高中数学基本不等式的解法十例

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不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。

例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。

对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。

下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。

然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。

∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。

当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

高中不等式经典例题

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴，然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

常见不等式的解法--高考数学【解析版】

专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-；由于()221a a a+--=，于是当20a -<<时，21x a≤≤-；当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤．综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞；当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩，即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<，所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =，不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6），则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <．即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ，则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增，而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =，当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5，当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜，综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥，则()1215f a a -=--，因为()13f a -<，所以2153a --<，即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+．（2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ．（3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)

专题2.1 基本不等式的应用技巧闯关技巧在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．一、加项变换例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 5解析 ∵x >a ，∴x －a >0，∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，∴2＋a ≥7，即a ≥5.反思感悟加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．二、平方后使用基本不等式例2 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________．答案 923 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝⎛⎭⎫922. 当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为923. 三、展开后求最值例3 若a ，b 是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 C解析 ∵a ，b 是正数，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a≥5＋24a b ·b a＝5＋4＝9，当且仅当b ＝2a 时取“＝”．四、常数代换法求最值例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94C ．2D ．3 答案 B解析由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时“＝”成立，故选B. 反思感悟通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．五、代换减元求最值例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________．答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3. 则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时取等号．反思感悟在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．六、建立求解目标不等式求最值例6 已知a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值等于________．答案 62－1解析 a ，b 是正数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，即有(a ＋b )(a ＋2b ＋1)＝9，即(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝18，可得3a ＋4b ＋1＝(2a ＋2b )＋(a ＋2b ＋1)≥2(2a ＋2b )(a ＋2b ＋1)＝62，当且仅当2a ＋2b ＝a ＋2b ＋1时，上式取得等号，即有3a ＋4b 的最小值为62－1.例7 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．1≤a ＋b ≤4B ．a ＋b ≥2C ．1<a ＋b <4D ．a ＋b >4答案 A解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b＝5， ∴a ＋b ＋a ＋b ab＝5. ∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴1ab ≥4(a ＋b )2， ∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4a ＋b， ∴a ＋b ＋4a ＋b≤5，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0，∴(a ＋b －4)(a ＋b －1)≤0，即1≤a ＋b ≤4，当a ＝b ＝12时，左边等号成立，当a ＝b ＝2时，右边等号成立，故选A.反思感悟利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．闯关训练一、单选题1．已知实数a ､b 满足1)28()(a b ++=，有结论：①存在0a >，0b >，使得ab 取到最大值；②存在0a <，0b <，使得a+b 取到最小值；正确的判断是（）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②不成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②成立【答案】C【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．【详解】解：因为1)28()(a b ++=，所以(2)6ab a b =-+，①0a >，0b >，22224()()44a b a b +=+++-≥=，当且22b =时取等号，所以64ab -≥，解得2ab ≤，即ab 取到最大值2；①正确；②0a <，0b <，当20a +>时，881233322a b a a a a +=+-=++-≥=++，当且仅当822a a +=+时取等号，此时2a =不符合0a <，不满足题意；当20a +<时，888123(2)33222a b a a a a a a ⎡⎤+=+-=++-=--+--≤--⎢⎥+++⎣⎦当且仅当()822a a -+=-+时取等号，此时2a =- 此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C .【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．已知1,0x y ，且1211x y +=-，则21x y +-的最小值为（）A ．9B ．10C ．11D ．7+【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)21x y x y ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】1x >，10x ∴->，又0y >，且1211x y+=-，[]1222(1)21(1)25511y x x y x y x y x y ⎛⎫-∴+-=-++=++≥+ ⎪--⎝⎭9=，当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立，故21x y +-的最小值为9．故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．已知a ，b ∈R ，a +b ＝2.则221111a b +++的最大值为（）A ．1B ．65CD ．2 【答案】C【分析】化简配方可得211a ++211b +＝242(1)(1)4ab ab ---+，令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0，则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+，令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，再由基本不等式计算可得最大值. 【详解】解：a ，b ∈R ，a +b ＝2. 则211a ++211b +＝2222221()a b a b ab +++++ ＝222()221()2()a b ab a b ab ab +-+++-+＝26252()ab ab ab --+＝242(1)(1)4ab ab ---+，令t ＝ab ﹣1＝a （2﹣a ）﹣1＝﹣（a ﹣1）2≤0，则242(1)(1)4ab ab ---+＝2424t t -+，令4﹣2t ＝s （s ≥4），即t ＝42s -，可得2424t t -+＝2(4)44s s -+＝4328s s +-，由s +32s，当且仅当s ＝t ＝2﹣可得4328s s+-≤12，则211a ++211b +故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题.4．已知正实数,a b 满足1a b +=，则222124a b a b +++的最小值为（） A ．10B ．11C ．13D ．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数,a b 满足1a b +=，则2221241422a b a b a b a b+++=+++， ()142a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭4777411b a a b =++≥++=，即：22212411a b a b+++≥，当且仅当4b a a b =且1a b +=，即21,33b a ==时取等号，所以222124a b a b+++的最小值为11. 故选：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力． 5．已知ab 14=，a ，b ∈（0，1），则1211a b +--的最小值为 A ．4B ．.6 C．3D．4【答案】D【分析】根据14b a =代入1211a b +--，变形为2244414a a ++--，等价处理成()()()2444123444121a a a a ⎛⎫+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求最值. 【详解】由题：ab 14=，a ，b ∈（0，1），14b a=， 12121111114112482a b a a a aa +=+=+---+----212141a a =++-- 2424441a a =++-- ()()()2444123411442a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()(412442212323444123a a a a ⎛⎫--=++++≥++ ⎪--⎝⎭，当且仅当()414444124a a a a --=--时，取得最小值，解得当a =4+故选：D【点睛】此题考查利用基本不等式求最小值，关键在于根据题目所给条件准确变形，根据积为定值求最值，注意考虑等号成立的条件.6．正数a ,b 满足9a b ab +=,若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．[)3,+∞B ．(]3,-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】A利用基本不等式求得a b +的最小值，把问题转化为()m f x ≥恒成立的类型，求解()f x 的最大值即可.【详解】9a b ab +=,191a b∴+=，且a ,b 为正数， 199()()1010216b a b a b a b a b a b a ∴+=++=+++，当且仅当9b a a b=，即4,12a b ==时，()16min a b +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则216218x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立，即222m x x ≥-++对任意实数x 恒成立，2222(1)33x x x -++=--+，3m ∴≥，故选：A【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.二、填空题 7．设1x >-则231x x y x ++=+的最小值为________【答案】1##【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由1x >-，可得10x +>.可令()10t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =，1x =时，等号成立.故答案为：1．8．若不等式()x a x y ++对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为______．【答案】2的最大值即可. 【详解】因,0x y >，则()x a x y a +≤+⇔，()222222x y x x y x yx y ++⋅+=≤==++，当且仅当2x y =时取“=”，则2a ≥，所以实数a 的最小值为2.故答案为：2 9．,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为________．【答案】12【分析】先变形得22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++,再利用重要不等式得到222a b ab +≥，222b c bc +≥,代入即可求解．【详解】22222222ab bc ab bc a b c a b b c ++=+++++, 222a b ab +≥，222b c bc +≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++ ∴2222ab bc a b c +++的最大值为12．故答案为：12．10．已知1m ，0n >，且223m n m +=，则214m m n +-的最小值为_______．【答案】94【分析】首先变量替换为223n m m =-，变形后得()22114123m m n m m +=+---，再利用换元，结合基本不等式求最值.【详解】因为223m n m +=，所以223n m m =-，因为0n >，1m ，所以2230n m m =->，得13m <<，所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----，记1,3a m b m =-=-，所以132a b m m +=-+-=，所以12a b +=，且0,0a b >>，所以()221215141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b +++=+=+=+=++---5944≥+，当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立，此时73m =，4977929n -==. 故答案为：9411．若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）①1ab ≤；≤③222a b +≥；④333a b +≥；⑤112a b+≥. 【答案】①③⑤【分析】根据基本不等式逐序号分析即可.【详解】 ①212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，取等号时1a b ==，故正确；②224a b =++=+，2≤，取等号时1a b ==，故错误；③()222242422a b a b ab ab +≥+-=-≥-=，取等号时1a b ==，故正确；④()()()()()23322232432432a b a b a b ab a b ab ab ⎡⎤+=++-=+-=-≥⨯-=⎣⎦，取等号时1a b ==，故错误； ⑤112221a b a b ab ab ++==≥=，取等号时1a b ==，故正确；故答案为：①③⑤12．若,0x y >，24x y +=，则()()2112x y xy++的最小值为___________. 【答案】9【分析】将所求代数式展开，将24x y +=代入化简，由基本不等式求出xy 的最大值，即可求所求代数式的最小值. 【详解】因为24x y +=，所以()()()()21122122252104x y x y xy xy xy xy xy xy++++++===+，因为42x y =+≥≤=2xy ≤，当且仅当242x y x y +=⎧⎨=⎩即21x y =⎧⎨=⎩时等号成立，xy 取得最大值为2，所以()()211210104492x y xy xy ++=+≥+=，所以()()2112x y xy++的最小值为9，故答案为：9.13．若3a b +=，0b >，则13a a b+的最小值为__________．【答案】59【分析】结合基本不等式的应用条件对a 进行讨论，利用基本不等式求最值，计算即可得结果．【详解】因为13a a b+有意义，所以0a ≠，而3a b +=，0b >，因此3a <且0.a ≠ （1）当0<<3a 时，因此111173399999a a ab a b a a b a b a b a b ++=+=+=++≥+=，当且仅当3b a =，即34a =，94b =时，等号成立，所以13a a b +的最小值为79．（2）当0a <时，则0ab <，0b a<，因此11133999a a a b a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=--=--=-+-- ⎪⎝⎭1599≥-+=，当且仅当3b a =-，即32a =-，92b =时，等号成立，所以13a a b +的最小值为59．综上所述，13a a b +的最小值为59．故答案为：59．14．正数,a b 满足912a b+=，若22a b x x +≥+对任意正数,a b 恒成立，则实数x 的取值范围是___________【答案】{}42x x -≤≤ 【分析】先利用基本不等式求解出a b +的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】因为()191191022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1110=106822a b ⎛+≥++= ⎝，取等号时3912a ba b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即62a b =⎧⎨=⎩，所以228x x +≤，解得{}42x x -≤≤，故答案为：{}42x x -≤≤.15．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则11a ab+的最小值是______．【答案】3+【分析】利用“1”的代换，转化为()211a b a b a ab a ab+++=+23b a a b =++，利用基本不等式求解. 【详解】()2221121a b a b b a b ab a ab a ab a ab+++++=+=++，2333b a a b =++≥=+2a =1b =时取等号．所以则11a ab+的最小值是3+故答案为：3+16．若正实数x 、y 满足2610x y x y +++=，则52y x-的最大值是______. 【答案】4 【分析】分析可得出254110x y x y x y -=+++-，利用基本不等式可得出25x y-的最小值，即可得出52y x -的最大值. 【详解】由题意可得26100x y x y+++-=，所以，254110104x y x y x y -=+++-≥=-，所以，524y x -≤，当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，此时有524y x -=.因此，52y x-的最大值是4. 故答案为：4.17．已知0x >，0y >，22x y +=，则22524x y x yxy+++的最小值为___________.【答案】4 【分析】利用22x y +=代入，将式子进行齐次化处理，变为()22252x y x y xy+++，进一步使用均值不等式即可. 【详解】()222222222225252454544x y x y x y x y x y x y x xy y xy xy xy xy++++++++++++===2229294444x y x yxy y x+=+=++≥= 当且仅当222922x y x y ⎧=⎨+=⎩时，等号成立.所以22524x y x y xy+++的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】易错点睛：值得注意的是，如果直接将式子拆分化简，变成两个式子分别求最值的话，会发现等号是取不到的，所以我们采用“齐次化”的方法，将()224x y +=代入处理.18．已知正实数,x y 满足()24,xy x y +=则2x y +的最小值为_______________.【答案】【分析】根据22340x y xy -=+，利用一元二次方程的解法结合0x >,0,y >得到2y x =-2x y +=. 【详解】因为正实数,x y 满足()24xy x y +=，所以22340x y xy -=+，解得2y x ==-±因为0x >，0,y >所以2y x =-所以2x y +=当且仅当12x y =-=，取等号，所以2x y +的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x ，将问题转化为2x y +=决.三、解答题19．有一种变压器铁芯的截面是如图所示的正十字形，为保证磁通量的稳定性，要求十字形铁芯的面积为2．为节约成本，需使用来绕铁芯的铜线最省，即正十字形外接圆周长最短．问当正十字形的长()CD 和宽()AB 为多少厘米时，正十字形外接圆周长最短，最短是多少厘米？【答案】，宽为3cm时，正十字形外接圆周长最短，最短是．【分析】设AB a，CD b=，由十字形铁芯的面积22ab a-=b半径的平方可表示为22222a bR⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入b化简可得22258116R aa⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用均值不等式可得minR【详解】设正十字形的宽AB a厘米，长CD b=厘米，且0,0a b>>，则由题意得：十字形铁芯的面积22ab a-=所以2ab=，正十字形外接圆周长最短，则圆半径最短，圆半径()22222221224142a bR a baa⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦2258116aa⎛⎫=+⎪⎝⎭20,0a a>>，228118aa∴+≥2225815181616R aa⨯⎛⎫∴=+⎪⎝⎭当且仅当2281aa=时即3cma=时，2minR，此时，32b =，min R =，正十字形外接圆周长最短为：22l R ππ==．答：，宽为3cm 时，． 20．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：()12212,,0nn n a a a a a a a n+++≤≥.小明由此得到启发，在求33x x -，[)0,x ∈+∞的最小值时，小明给出的解法是：3331132323322x x x x x x x -=++--≥-=--=-，当且仅当1x =时，取到最小值-2.（1）请你模仿小明的解法，研究44x x -，[)0,x ∈+∞上的最小值；（2）求出当0a >时，3x ax -，[)0,x ∈+∞的最小值.【答案】（1）-3；（2）【分析】（1）根据小明解法44411143x x x x -=+++--，利用均值不等式求解；（2）转化条件33x ax x ax -=，应用均值不等式求解.【详解】（1）由0x ≥，知44411143434433x x x x x x x -=+++--≥-=--=-，当且仅当1x =时，取到最小值-3；（2）由0a >，0x ≥，知33x ax x ax ax -=ax ax =-=当且仅当3x =21．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为2m ，底面积为21000m 的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排4m 宽的休闲区，休闲区造价为200元2/m ，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为100元2/m .其他设施等支出大约为1万元，设游泳池的长为m x .（1）试将总造价y （元）表示为长度x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1）()100020001128000y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元. 【分析】（1）求出游泳池的宽，分别计算出铺游泳池的花费和休闲区的花费，即可得出总造价y （元）关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求得y 的最小值，利用等号成立可得出结论. 【详解】（1）因为游泳池的长为m x ，所以游泳池的宽为1000m x，铺游泳池的花费为1000100010010002222400250x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，休闲区的花费为()1000100020088100016008x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯++-=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，总造价为100010001000400250160082000112800y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中0x >；（2）由基本不等式可得100020001128002000112800112800y x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭（元），当且仅当x =.因此，当x =时，总造价最低，且最低总造价为()112800元.22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+平方米. 【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得400y x=. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x+，所以294000x x +-，解得2516x -. 又0x >，所以016x <. 所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++（平方米）当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.23．一个圆心为O 的半圆形如图所示，C 、D 在半圆弧AB 上，AC BD =，AD 与BC 交于点P ，且10AC BC +=.（1）设AC x =，CP y =，求y 关于x 的函数关系式；（2）求APC △面积的最大值：【答案】（1）501010xy x-=-()05x <<；（2）最大值为75-【分析】（1）在直角 APC △中222AP AC CP =+，得501010xy x-=-，再由边长大于零得定义域可得解析式；（2）250575APC S t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭△，由基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）因为10AC BC +=，所以10BC x =-，又CP y =，AC BD =，所以AC BD =，90ACP BDP ∠=∠=，又APC BPD ∠=∠，所以CAP DBP ∠=∠ 所以ACP BDP ≅，所以10PB PA x y ==--. 依题意可得CA CB ⊥，在直角 APC △中，222AP AC CP =+，即222(10)x y x y --=+，整理可得501010xy x-=-，由010********x x x x ⎧⎪>⎪->⎨⎪-⎪>-⎩得05x <<，所以501010xy x-=-()05x <<.（2）115010(255)221010APC x x x S xy x x x--==⋅=--△，令10x t -=，则10x t =-，因为05x <<，所以510t <<，所以(10)(255)25025057575275APC t t S t t t---⎛⎫==-+--=- ⎪⎝⎭△当且仅当2505t t=，即t =10x =-. 故APC △面积的最大值为75-24．如图所示，某市现有自市中心O 通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线，要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ，且使A 、B 间的距离||AB 最小，请你确定A 、B 两点的最佳位置（不要求作近似计算）．【答案】A 、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处．【分析】先以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立直角坐标系．设(,0)A a -、(,)B b b ，则可得直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式可得2222100(22)a b a b ab =++，进而求得ab 的范围，再根据两点间的距离求得10abAB =，进而可得||AB 的范围及最小值．当||AB 取最小值时可求得a ，b 的值，进而求出||OA 和||OB ，确定A ，B 的位置．【详解】以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴，正北方向为y 轴的正半轴，建立如下图所示的直角坐标系设(,0)A a -、(,)B b b （其中0a >，0)b >，则AB 的方程为b ab y x a b a b=⋅+++，即()0bx a b y ab -++=．2222100(22)100(22)a b a b ab a ab ∴=++200(1ab =．0ab >，200(21)ab ∴+．当且仅当“222a b =”时等号成立，而10ab AB ==， 20(21)AB ∴+．当222a b =，ab =||AB 取最小值，即a =b =此时OA a ==，OB =A ∴、B 两点的最佳位置是离市中心O 均为处．25．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000 m 2矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.（1）设占用空地的面积为S （单位：m 2），矩形休闲广场东西距离为x (单位：m ，0x >)，试用x 表示为S 的函数；（2）当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【答案】（1）()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为4880 m 2.【分析】（1）由广场面积可得矩形广场的南北距离为4000xm ，进而可求得结果；（2）根据基本不等式可求得结果.【详解】（1）因为广场面积须为40002m ，所以矩形广场的南北距离为4000xm ，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知1600040401040404040800=4840S x x =++≥++，当且仅当40x =时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为48802m .26．某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50/km h ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20/km h 时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30/km h 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入-成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）4750元；（2）游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．【分析】（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，根据利润=收入-成本建立函数关系式，所以24000600015(050)y v v v=--<，代入30/v km h =即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．【详解】解：（1）设游船的速度为(/)v km h ，旅游公司单程获得的利润为y （元)，因为游船的燃料费用为每小时2·k v 元，依题意2·2060k =，则320k =．所以23100100240006000(?240?)600015(050)20y v v v v v v=-+=--<． 30/v km h =时，4750y =元；（2）2400060001560004800y v v =---=，当且仅当2400015v v=，即40v =时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40/km h ，最大利润是4800元．27．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为2(3)360x +L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)【答案】租车的总费用最少是280元，车速为70km/h ．【分析】设总费用为y 元，再根据题意求出y 与x 的关系式，再利用基本不等式求解即可【详解】解设总费用为y 元．由题意，得()2100100980076.47.23240100360x y x x x x x⎛⎫=⨯+⨯⨯+=+≤≤ ⎪⎝⎭．因为98002280y x x =+≥=．当且仅当98002x x=，即x ＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h ．28．为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为2300m 的矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m ，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m 的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区南北长x m .（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为南北长x 的函数()f x ，并写出x 的取值范围；（2）应该如何设计该隔离病区的边长，才能使工作区域的总占地面积最大？（结果精确到0.1m ）【答案】(1) ()f x =30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；(2) 隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.【分析】(1)根据长方形面积计算公式，求出各边边长，然后用总面积减去内部通过到面积和半污染缓冲区面积即可；(2)根据第一问表达式，结合基本不等式求最值即可.【详解】(1)南北长x ，则东西长300x ， 300300()300[32(6)32][(6)2822]f x x x x x ⎛⎫=-⨯+-⨯⨯--⨯+-⨯⨯ ⎪⎝⎭=30003808x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，7562x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ .(2)由(1)可得： 753000682x x x <<+≥，当且仅当30008,x x x==.此时工作区域面积达到最大，故隔离病区的边长为19.4m 时，工作区域的总占地面积最大值.29．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有2200m 的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天24m 的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积22m ，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水21m 的损失为250元.现在共派去x 名工人，抢修完成共用n 天. （1）写出n 关于x 的函数关系式；（2）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修（总损失＝渗水损失＋政府支出）.【答案】（1）1002n x =-，3x ≥，x N +∈；（2）52名工人. 【分析】（1）根据已经渗水的面积和扩散的面积之和等于x 名维修工人抢修n 天所抢修的面积列方程即可；（2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯，将其整理为关于x 的函数，再利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）由题意知：抢修n 天时，维修工人抢修的面积之和为2nx ，而渗水的面积为2004n + 所以有22004nx n =+，可得：1002n x =-，3x ≥，x N +∈. （2）设总损失为y ，则125502502y nx x nx =++⨯62550nx x =+100625502x x x =⋅+-()1250225001250505022x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 25005012502x x ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭250050212522x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭()50125250250125267600⎛⎫≥=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当250022x x =--时，即52x =时，等号成立. 所以应派52名工人去抢修，总损失最小.30．设002a b a b >>+=，，.（1）证明：(1)(1)4a b ab++≥；（2）证明：332a b +≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）把(1)(1)a b ab++展开化简，利用基本不等式即可得证；（2）结合已知条件，利用两数和的立方公式展开，再用基本不等式即可得证.【详解】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=.()()13111ab a b ab a a bb ab +++++==+. 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号），故331141ab +≥+=. 所以()()114a b ab++≥ （2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号，又()3328a b +==，故332a b +≥.31．若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，（1）若231x +比3接近1，求x 的取值范围；（2）证明：“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a 、b ，必有22a b ab +比33+a b接近2【答案】（1）x -<<（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）根据定义可得232x <，从而可求x 的取值范围.（2）通过反例可得“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件.利用不等式的性质可证明“x 比y 接近m ”是“231x y m x y+-<--”的必要条件，故可得所证结论. （3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.【详解】（1）因为231x +比3接近1，故231131x +-<-，故232x <，故28x <，所以x -<（2）取1,2,02x y m =-==，则1||2||2x m y m -=<=-，故x 比y 接近m . 但23120215922x y m x y +--++==->----，故“x 比y 接近m ”推不出“231x y m x y +-<--”. 所以“x 比y 接近m ”是“231x y m x y +-<--”不充分条件. 若231x y m x y +-<--，则330x m x y-<-，故()()0x m x y --<，所以00x m x y -<⎧⎨->⎩或00x m x y ->⎧⎨-<⎩，若00x m x y -<⎧⎨->⎩，则y x <且x m <，故2x y m x m +<+<，所以()()20x y m x y +--<，故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，也就是“x 比y 接近m ”.若00x m x y ->⎧⎨-<⎩，则x y <且m x <，故2x y m x m +>+>，所以()()20x y m x y +--<，故()()2220x m y m x y m x y ---=+--<，所以x m y m -<-，故“x 比y 接近m ”是“31x y m x y+-<--”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a 、b ，要证22a b ab +比33+a b 接近2即证：223322-++<-a b ab a b ，即证：332ab a b a b -<+-+即证：22a b b aa b ++-<-，因为2222a b b a a b b a +++≥=+，因为a b ，故22a b a b b a +>+>220a b a b b a+-+-，所以22a b b aa b ++-<-成立，故22a b ab +比33+a b 接近2【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.32．若对任意的[]1,5x ∈，对任意的[)4,a ∈+∞，不等式2a x b x≤++恒成立，求-a b 的最大值.【答案】33【分析】设(),15a f x x b x x =++≤≤，对a 讨论，分45a ≤≤，525a <≤，25a >，判断()f x 的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设()a f x x b x=++，当45a ≤≤时，()()15f f ≤，可得()f x 的最小值为f b = ，最大值为55a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-23a b a -≤+≤+ ；当525a <≤时，()()15f f >，可得()f x 的最小值为f b =，最大值为1a b ++，由题意可得2b ≥，即为2b ≥-22510233a b a -≤+≤+-=．5>即25a >时，()f x 在[]1,5递减，可得()f x 的最大值为()11f a b =++，最小值为55a b ++，由题意可得525a b ++≥，即为35a b ≥--，则63355a a a b a -≤++=+，由25a >，可得-a b 无最大值．综上可得-a b 的最大值为33．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题。

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

高中数学不等式解法15种典型例题

c
= =
− + = − 1
1 = (− 1 )(−
− 1
1
),
,
a
∴ x2 + b x + a 0 ，即 x2 + (− 1 − 1 )x + (− 1 )(− 1 ) 0 ，即 (x − 1 )(x − 1 ) 0 ．又 0 ，∴ 1 1 ，
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
不等式解法 15 种典型例题
例 1 解不等式：（1） 2x3 − x2 −15x 0 ；（2） (x + 4)(x + 5)2 (2 − x)3 0 ．
分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f (x) 0（或 f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，
但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为
当 a 2 时，不等式组(1)无解，(2)的解是 x a ． 2
) 综上可知，当 0 a 2 时，原不等式的解集是 a + 1 −
2a ,+
；当 a
2
时，原不等式的解集是
a 2
,+
．
说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 ， a 2 ”是依据“已知 a 0 及(1)中‘ x a ， x 1 ’，(2)中‘ x a ， x 1 ’”

高中数学——“不等式的解法”归类专题(参考)

“不等式的解法”专题一．整式不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解1. 一元一次不等式ax >b 解的讨论：当a>0时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b ，当a<0时解集为,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当a=0且b<0时解集为R ，当a=0且b ≥0时，解集为Φ；2. 一元二次不等式我们总可化为ax 2+bx+c>0和ax 2+bx+c+<0(a>0)两形式之一，记△=b 2-4ac 。

跟踪训练1.若01,a <<则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是 2. x 的取值范围是3. 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．4.解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()二．分式不等式的解法先移项通分化为一边为()()f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式，即： ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩跟踪训练 1.下列不等式与012≤+x x同解的是（） (A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C) 0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x 2. 不等式x x<1的解集为 .3. 不等式1213≥--xx 的解集为（） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2} (C) {x |x >2或x ≤43} (D){x |x ＜2} 4. 不等式21≥+x x的解集为 .5.解不等式237223x x x -≥+- 巩固训练不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 . 不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x +4)<0的解集为（） A .{x | x <－1或x >3} B .{x | －1<x <3}C .{x | x <－3或x >1}D .{x | －1<x <2或2<x <3} 2.与不等式023≥--xx 同解的不等式是（） A.(x －3)(2－x )≥0 B.lg(x －2)≤0 C.032≥--x xD.(x －3)(2－x )>0 3.不等式12x x-≥的解集为（） A. [1,0)- B. [1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1](0,)-∞-+∞U含绝对值的不等式1.应用分类讨论思想去绝对值；2.应用数形结合思想；3.应用平方法（要求不等式两端同号）基础训练1. 不等式|8－3x|＞0的解集是（）A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 2.不等式1|1|3x <+<的解集为（）.C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--U3. 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为指数、对数不等式的解法解指数、对数不等式的一些常用方法：（1）同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意分类讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件（2）转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（3）换元法：多用于不等式两边均有统一的组合形式，或取对数后再换元，注意所换“元”的范围（4）数形结合基础训练 1. 不等式2261xx +-<的解集为2.不等式1(33>的解集为 3. 不等式2log (2)0x -≤的解集为 4.函数()f x =为5. 不等式20.20.2log (23)log (31)x x x +->+的解集为6. 不等式0.51log x x ->的解集为巩固训练 1.已知当94x =时，不等式22log (2)log (23)a a x x x x -->-++成立，则不等式的解集为 2.设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 3. 已知集合22{228,},{log 1,}x A x x Z B x x x R -=≤≤∈=>∈，则()R A C B ⋂的元素个数为_____个5 若关于x 的方程2222x xxxa ---=+有解，求实数a 的取值范围6 已知0,1a a >≠，若2log 2log a a <，求实数a 的取值范围不等式解法六种典型例题典型例题一（整式不等式）例1. 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”。

(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析

一.基本不等式注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” . （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、应用一：求最值例1 :求下列函数的值域基本不等式应用1解：(1) y = 3x 2 + 21^ 1X = - 2例1 ：已知x 4，求函数y4x 2 —1—的最大值。

4x 5解：因4x 5 0 ,所以首先要 “调整”符号，又（4x 」不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, Qx 544x 0, y4x 21---- 54x 52)g4x 54x 32 3 15 4x11一，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数当且仅当5 4x上式等号成立, 故当x 1时，y max 1。

1. (1)若 a,b R ，则 a 1 2b 2 *2ab (2)若a,bR ，则 ab 2. (1)若 a,b R *，则2Jab ⑵若a,b R ，则 a b2 .2a —L （当且仅当a22J OE （当且仅当ab 时取“二”） b 时取“=”)⑶若a,b R ,则ab（当且仅当a b 时取“=”)3.若x 0，则x— 2 （当且仅当x 1时取“=”x若x 0，则 x 1 1 1 2 即 X — 2 或 X - -2 (x x X 3.若 ab 0，则 a b .2 （当且仅当a b 时取b a1时取“=”)若ab 0,则- b-2（当且仅当a b 时取“=”）4.若 a,b2 .2a—L (当且仅当 2b 时取“=”)比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.(1) y = 3x 2+ 女1(2) y = x + x“=”)当且仅当a b 时取“=”）2例1.当Dux 4时，求y x(8 2x)的最大值。

解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

数学复习：基本不等式的十大解题技巧

运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式，运用基本不等式并检验其
等号成立的条件，若等号取不到则，结合函数 y = x + a (a 0) 单调性，并运用其图像与性 x
质求出其函数的最值即可。
【例5】（★★★）函数 y = x2 + 5 的值域为
.
x2 + 4
【答案】
5 2
,
+
【解析】令 x2 + 4 = t(t 2) , 则 y = x2 + 3 = x2 + 4 + 1 = t + 1 (t 2) .
数学复习：基本不等式的十大解题技巧
1. 基本不等式原始形式
(1)若 a,b R ,则 a2 + b2 2ab .
(2)若 a,b R ,则 ab a2 + b2 . 2
2.基本不等式一般形式(均值不等式)
若 a 0,b 0 ,则 a + b 2 ab .
3. 基本不等式的两个重要变形
(1)若 a 0,b 0 则 a + b ab (当且仅当 a = b 时取“ = ”). 2
【答案】 2 3 3
【解析】由 x2 + y2 + xy = 1,得1 = (x + y)2 − xy, (x + y)2 = 1+ xy 1+ (x + y)2 ,解得 4
− 2 3 x + y 2 3 ,又 x 0, y 0 ,所以 0 x + y 2 3 ,因此 x + y 的最大值为 2 3
【例2】（★★）已知 0 x 4 时,则 y = x(8 − 2x) 的最大值为
【答案】8

基本不等式九个方法

基本不等式九个方法
基本不等式求解方法
不等式是数学中用于比较两个表达式大小关系的工具。

基本不等式求解方法有九种，每种方法都适用于不同的类型不等式。

一、代入法
代入法是最简单的不等式求解方法。

将一个已知的值代入不等式中，如果不等式仍然成立，则此值即为不等式的解。

二、两边同加或同减
在不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式仍然成立。

这种方法可以简化不等式或消除分母。

三、两边同乘或同除
在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，不等式仍然成立。

但需要注意，如果乘以或除以负数，不等号方向将改变。

四、利用性质化简
利用不等式的性质，如传递性、反对称性、可加性、可乘性等，可以简化或化解不等式。

五、转化为等价不等式
将不等式转化为等价形式，即不等号方向不变的不等式。

这种
方法可以将复杂不等式转换为简单形式。

六、平方或开方
对于含未知数平方或方根的不等式，可以平方或开方（注意开
方时不等号方向可能改变），将不等式化为可解的形式。

七、分离系数法
对于含有系数的不等式，可以将未知数的系数提取出来，分离
在不等式的一侧，使不等式化简为求解系数的不等式。

八、判别式法
对于二次回不等式（二次方程形式），可以应用判别式法判定不等式的解集。

判别式为正则有两实根，为零则有一重根，为负则无实根。

九、数轴法
对于线性不等式，可以在数轴上标出不等式对应的解集。

这种方法形象直观，适用于简单的不等式求解。

以上九种方法是基本不等式求解的常用方法，熟练掌握这些方法对于解决不等式问题至关重要。

常见不等式通用解法

常见不等式通用解法常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式①基础一元二次不等式如2X2-X-6*：0，x2*1 0，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0,不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2X2一X®:0的解为（弓,2）当二次项系数大于0,不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

X2-2x-1 0 的解^为（一. 2）：：）当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如3X1 -9X 2，令t=3X，原不等式就变为t2-3t2：：0，再算出t的范围，进而算出X的范围又如X2 .ax4，令t =X2，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集③含参数的一元二次不等式解法步骤总结:如不等式x^ax+1沁，首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论，寻-4的正负性即可。

i<0, R此不等式的解集为：=o,{x Rix—a》、-a+\!a—4 ,、A c, -a - J a —4A>O C,—2—)5—2—，-)又如不等式x2_(a2+a)x+a\0 ,发现其可以通过因式分解化为(x-a)(x-a2) 0，所以只需要判定a2和a的大小即可。

f a = 0or a =1,{x E R|x Ha}此不等式的解集为0 ：：a ：：：1,(一：：才)一(a,；)2a cOor a :>1,(-°o,a)5a，讼)又如不等式ax2 -2(a 1)x 4 0，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成始判断两根2和2的大小关系，这样做是有问题 a的。

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。

讨论完a=0的情况再讨论a，：0和a 0的情况。

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)

基本不等式求最值的常用方法一、常数代换法1、直接“1”代换例1. 已知正数x 、y 满足12=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：223221)11)(2(+≥+++=++yxx y y x y x当且仅当yxx y =2 即12-=x ，222-=y 时取“=” 变式. 已知正数x 、y 满足32=+y x ，求yx 11+的最小值. 解析：3221)223(31)221(31)11)(2(31+=+≥+++=++y x x y y x y x当且仅当y x x y =2 即)12(3-=x ，2)22(3-=y 时取“=”2、间接“1”代换例1. 若x 、y 为正实数且082=-+xy y x ，求y x +的最小值.解析：082=-+xy xy y x 即182=+x y ，188********)82)((=⨯+≥+++=++xyy x x y y x当且仅当xyy x 82= 即12=x ，6=y 时取“=”例2.若正数x 、y 满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值.解析：553==+xy xy xy y x 即531=+xy5)123213(51)12349(51)31)(43(51=⨯+≥+++=++x y y x x y y x当且仅当x y y x 123=即1=x ，21=y 时取“=” 例3.已知x 、y 均为正数，且111=+y x ，求1914-+-y yx x 的最小值. 解析：25362139413)11)(94(1914119114=+≥++=++=+=-+-y x x y y x x y xy yx当且仅当y x x y 94= 即35=x ，25=y 时取“=”例4. 已知函数x a y -=1的图像恒过定点A ,若点A 在直线1=+ny mx （0,0>>n m ）上，求nm 11+的最小值. 解析：由题意可得A 的坐标为（1,1）则有1=+n m41222))(11(11=+≥++=++=+nmm n n m n m n m当且仅当n m m n = 即21==n m 时取“=”例5. 已知函数xm y log 1+= （0>m 且1≠m ）的图像恒过点M ，若直线1=+bya x （0,0>>b a ）经过点M ，则b a +的最小值是多少？解析：由题意得M （1,1）则111=+ba 41222))(11(=+≥++=++=+b aa b b a b a b a当且仅当baa b = 即2==b a 时取“=”3.部分“1”代换例. 若正数x 、y 满足1=+y x ，求yx y 4+的最小值.解析：844244)(44=+≥++=++=+yx x y y x y x y y x y 当且仅当y x x y 4= 即31=x ，32=y 时取“=”二、双换元法1.有两项分母较长例1. 已知正数x 、y 满足1=+y x ，求1124+++y x 的最小值. 解析：令2+=x m ，1+=y n 则412=+=+++n m y x49)425(41)414(41)14)((411124=+≥+++=++=+++n m m n n m n m y x 当且仅当n m m n =4 即31=y ，32=x 时取“=”变式1. 若0,0>>b a ，且11121=+++b b a ，则b a 2+的最小值为多少？解析：令b a m +=2， 1+=b n 可得21+-=n m a ，1-=n b ，111=+nm23)232)(11(2323222212-++=-+=-++-=+n m n m n m n n m b a321232122123221+=⨯+≥++=m n n m 当且仅当nmm n 223=即n m 3=，213+-=b b a 时取“=”变式2. 已知0>>y x ，且2≤+y x ，求yx y x -++132的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=-=+n y x m y x 3 可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=443n m y m n x 由0>>y x 得443n m m n ->+ 即0>>n m ∴22422443≤+=+=-++=+n m n m n m n m y x得4≤+n m )0(>>n m ∴nm y x y x 12132+=-++ ∴223212))(12(+≥+++=++nmm n n m n m ∴n m n m ++≥+223124≤+n m ∴422322312+≥++≥+n m n m 当且仅当nmm n =2 即n m 2= 即248-=m ，424-=n 时取“=”2.有一项分母较长例. 已知y x 、为正实数，求yx xx y ++216的最小值. 解析：令⎩⎨⎧=+=n y x m x 2 可得⎩⎨⎧-==m n y mx 2∴62162216162216=-≥-+=+-=++nm m n n m m m n y x x x y 当且仅当nmm n 16=即m n 4= 即x y 2=时取“=”三、主元思想法：当要求的元素在条件里出现的时候例1. 已知0>x ，0>y ，y x xy 2+=，若2-≥m xy 恒成立，求实数m 的最大值.解析：xy y x y x xy 22222=⋅≥+= 两边平方得xy xy 8)(2≥，8≥xy2-≥m xy 恒成立即82≤-m ∴10≤m （本题将xy 作为主元）当且仅当y x 2=即4=x ，2=y 时取“=”例2. 若正实数y x 、满足xy y x =++62，则xy 的最小值是多少？解析： 62262262+⋅=+⋅≥++=xy y x y x xy 令0>=xy t可得6222+≥t t 解得2-≤t （舍去） 23≥t 18≥∴xy 得xy 的最小值是18 当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例3. 已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，求y x 2+的最小值.解析：822=++xy y x 4)2(222y x y x xy +≤⋅=由上面两式得4)2()2(822y x y x xy +≤+-= 令02>=+t y x得482t t ≤- 解得4≥t 即y x 2+的最小值为4当且仅当x y 2=即3=x ，6=y 时取“=”例4.已知y x 、均为正数，且1)(=+-y x xy ，求y x +的范围解析：4)(1)(2y x y x xy +≤++=，令0>=+t y x ，可得412t t ≤+解得222222+≤≤-t 0>t ∴2220+≤+<y x 当且仅当x y =即21+==y x ，时取“=”例5.已知0>x ，0>y ，且12)1)(3(=++y x ，求y x 3+的最小值.解析：1233)1)(3(=+++=++x y xy y x ，即93=++y x xy4)3(31)3(93312y x y x y x xy +⋅≤+-=⋅⋅= ，令03>=+t y x得1292t t ≤- 解得6≥t 即y x 3+的最小值为6当且仅当x y =3即3=x ，1=y 时取“=”四、拼凑法1.项数拼凑例1.求函数222163x x y ++=的最小值. 解析：63816326216)2(322-=⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(322+=+x x 即3634-=x ，时取“=”变式1. 求函数2162++=x x y 在),2(+∞-∈x 上的最小值. 解析：428416224216)2(2-=-⨯≥-+++=x x y当且仅当216)2(2+=+x x 即222-=x ，时取“=”变式2. 已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的最小值.解析：a a a a x a x 2424222)(2+=+≥+-+-，∴只需724≥+a 即可，23≥a例2. 求函数1216++=x x y （),21(+∞-∈x ）的最小值.解析：21242182211216212-=-≥-+++=x x y当且仅当1216212+=+x x 即2124-=x ，时取“=”变式. 已知0>x ，a 为大于x 2的常数，求x xa y --=21的最小值.解析：22221222221aa a x a x a y -=-≥--+-=当且仅当xa x a 2122-=-即22-=a x ，时取“=”2.系数拼凑例1. 当210<<x 时，求)21(21x x y -=的最大值. 解析：1614)212(41)21(241)21(212=-+⋅≤-⋅⋅=-=x x x x x x y当且仅当x x 212-=即41=x ，时取“=”例2. 已知0>a ，0>b ，且3222=+b a ，求212b a +的最大值.解析：224)12(2)1(22)1(41222222222=++⋅≤+⋅=+=+b a b a b a b a 当且仅当2212b a +=即1=a ，1=b 时取“=”五、分子分母不齐次1.低次换元法例1. 求313)(2-+-=x x x x f )3(>x 的最小值.解析：令3-=x t ，则3+=t x则 531231131)3(3)3()(22=+≥++=++=++-+=t t t t t t t t t f当且仅当tt 1=即1=t ，4=x 时取“=”例2.求2122+++=x x x y )2(->x 的值域.解析：令2+=x t ，则2-=t x 0211)2(2)2(2≥-+=+-+-=∴tt t t t y当且仅当tt 1=即1=t ，1-=x 时取“=”2.分子常数法例1. 求函数4342+=x x y 的最大值.解析：4342343432242=≤+=+=x x x x y （将分子化成常数）当且仅当224xx =即22=x 时取“=”例2.若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是多少？解析：513121311132=+≤++=++x x x x x 51≥∴a当且仅当xx 1=即1=x 时取“=”六、两元消参法例1. 若x ，),0(+∞∈y ，302=++xy y x ，求y x +的最小值. 解析：30)2(2=++=++y x x xy y x 2321232)2(230++-=+-+-=+-=∴x x x x x y 则328323221232-≥-+++=-++=+x x x x y x 当且仅当2322+=+x x 即224-=x 时取“=”例2. 已知41=ab ，a ，)1,0(∈b ，则b a -+-1211的最小值是多少？解析：41=ab )1,0(∈a )1,0(41∈=∴a b ，),1(4+∞∈a ，则 ),41(+∞∈a)1,41(∈∴a 142281114811411211-+-+-=-+-=-+-a a a a a a a a 214211142)14(211+-+-=-+-+-=a a a a a令)43,0(1∈-=a m )3,0(14∈-=a n 则34=+n m 原式可化为：2)824(312)4)(21(31221++++=+++=++nmm n n m n m n m324482314)8(314+=⨯+≥++=n m m n 当且仅当nmm n 8=即m n 22=，4)22(3-=m ，323-=n 时取“=”例3. 已知正实数b a 、满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32的最小值为多少？解析：由042≤+-b a 得42+≥a b141343333322++-=++-≥+-=+-+=++=aa a a ab a a b a a b a b a b a u 51414213=+-≥ 当且仅当2=a 即时取“=”例4. 若正数x ，y 满足0162=-+xy x ，则y x 2+的最小值是多少？解析：由0162=-+xy x 得 661612xx x x y -=-=32292231323312=≥+=-+=+x x x x x y x 当且仅当xx 3132=即22=x ，122=y 时取“=”例5. 已知0>>b a ，求)(12b a b a -+的最小值.解析：44)()(22a b a b b a b =-+≤- 442441)(122222=≥+=+≥-+∴aa a ab a b a 当且仅当224a a = 即2=a 时取“=”七、三元消参法（“相等”、“不相等”）1.“相等”关系例1. 正数a ，b ，c 满足)(4b a abc +=，求c b a ++的最值.解析：由)(4b a abc +=⇒ab ab b ac 44)(4+=+=842424444=+≥+++=+++=++b b a a a b b a c b a当且仅当a a 4= ，bb 4=即2=a ，2=b ，4=c 时取“=”例2. 设正实数x ，y ，z 满足04322=-+-z y xy x ，求zxy的最大值.解析：由04322=-+-z y xy x ⇒ 2243y xy x z +-=134213414322=-≤-+=+-=xy y x y xy x xy z xy 当且仅当xy y x 4=，即y x 2=时取“=”例3.设正实数x ，y ，z 满足 032=+-z y x ，求xzy 2的最小值.解析：由032=+-z y x ⇒ 23223zx z x y +=+=3234941223494)232(22=+⨯≥++=+=x z z x xz z x xz y 当且仅当 xzz x 494=，即z x 3=时取“=”例4.设正实数x ，y ，z 满足12=++z y x ，求zy y x y x ++++)(91的最小值. 解析：由 12=++z y x ⇒ y x z 21--=1191)(1)(91)(91-+++=+-+++=++++∴yx y x y x y x y x z y y x y x1119)11(+-++-+=yx yx 令t yx =-+11上式可写成 719219=+≥++t t 当且仅当 t t 1=，即21=+y x 时取“=”2.“不相等”关系例1.正数a 、b 、c 满足a c b ≥+，求ba cc b ++的最小值. 解析：由a c b ≥+ ⇒ c b a +≤ cb cc b b a c c b ++≥++∴2 令⎩⎨⎧=+=y c b x c 2 ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-==2x y b x c 2122121221222-=-≥-+=+-≥++≥++∴y x x y y x x x y c b c c b b a c c b 当且仅当 y x x y =2，即c b 2)12(-=时取“=”例2.正数x ，y ，z 满足1222=++z y x ，求xyzz S 21+=的最小值. 解析：由题意，xy z y x 21222≥-=+ 即212z xy -≤ 44)1(1)1(1)1(12122=+-≥⋅-=⋅-+≥⋅+=z z z z z z z z xy z S 当且仅当 z z =-1，即21=z 时取“=” 例3.二次函数0)(2≥++=c bx ax x f （b a <）对任意x 恒成立，求ab c b a -++4的最小值. 解析：由题意得：0>a ，042≤-=∆ac b ⇒ a b c 42≥ 11444222-++=-⋅++≥-++ab a b a b a b a b b a a bc b a 令1-=a b t 则1+=t a b 上式33233331)1()1(22+≥++=++=++++=tt t t t t t t 当且仅当 t t 3=，即13+=ab 时取“=”八、不能直接用均值不等式（一负二定三不等）1.为负值时（负）例1.已知10<<x ，求xx y lg 4lg +=的最大值. 解析：10<<x ，0lg <∴x 4)42()lg (4)lg (-=-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∴x x y 当且仅当 x x lg 4lg -=-，即1001=x 时取“=”例2.当23<x 时，求函数328-+=x x y 的最大值.解析：23<x ⇒ 032<-x 2523821223))32(8(2)32(328-=+⨯-≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=-+=x x x x y 当且仅当328232-=-x x ，即21-=x 时取“=”例3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 解析：45<x ⇒054<-x 354154+-+-=x x y 3)54(1)54(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---=x x 1312=+-≤ 当且仅当 54154-=-x x ，即1=x 时取“=”2.取不到等号（不等）例. 求函数4522++=x x y （R x ∈）的最小值.解析：令242≥=+t x ⇒ 422-=t x则tt t t t t y 115422+=+=+-=，2≥t 取不到1 2=∴t 时y 最小即25212=+≥y九、调几算平2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+例1.设a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值.解析：223292)31(231==+++≤+++b a b a 即2331≤+++b a 当且仅当 31+=+b a ，即27=a ，23=b 时取“=”例2.已知x 、y 均为正数，且y x a y x +≤+恒成立，求a 的最小值.解析：由y x a y x +≤+ ⇒ y x yx a ++≥ y x y x y x +=+≤+2222 ⇒ y x y x +⋅≤+2可得2≤++y x yx 2≥∴a例3.设实数a ，x ，y 满足⎩⎨⎧-+=+-=+3212222a a y x a y x ，求a 的取值范围. 解析：2222y x y x +≤+ 当且仅当y x =时“=”成立 2322122-+≤-∴a a a 即232414422-+≤+-a a a a 得07822≤+-a a ⇒ 222222+≤≤-a 例4.设实数a ，b ，c 满足122≤≤+c b a ，求c b a ++的最大值.解析：2222b a b a +≤+ 2122222=⋅≤+≤+∴b a b a 1≤c 12+≤++∴c b a 当且仅当b a =时“=”成立十、柯西不等式：①222122212211y y x x y x y x +⋅+≤+②232221232221332211y y y x x x y x y x y x ++⋅++≤++ 例1.设a ，b ，m ，R n ∈，且522=+b a ，5=+nb ma ，求22n m +的最小值. 解析：22225b a n m nb ma +⋅+≤+= 522≥+∴n m例2.设a ，b ，),0(+∞∈c ，且1=++c b a ，求c b a ++的最大值.解析：3111111222=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++c b a c b a c b a例3.已知a ，b ，c 均为正数，若632=++c b a ，求222c b a ++的最小值. 解析：222222321326c b a c b a ++⋅++≤++= 718222≥++∴c b a十一、拆分法求最值例1.已知x ，y ，+∈R z ,求222z y x yz xy U +++=的最大值. 解析：22)(2212212212122222222=++=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy z y y x yz xy U 当且仅当y z x 22==时“=”成立变式 .已知x ，y ，+∈R z ,（1）求222zy x zx yz xy U ++++=的最大值（2）求2222z y x yz xy U +++=的最大值解析：（1）)(21)222(21222222222z z y y x x zx yz xy z y x zxyz xy U +++++++=++++= 1)222(21=++++≤xz yz xy zxyz xy 当且仅当z y x ==时“=”成立（2）2554522545122222=++≤++++=yz xy yz xy z y y x yz xy U 当且仅当z y x ==5522时“=”成立例2.已知0>x ，求221xx +的最小值. 解析：23212232122213222=⋅⋅⋅≥++=+xx x x x x x x ，当且仅当1=x 时“=”成立十二、元素整体代换法：一般先分解因式，研究条件与问题关系，整体代换例1.若a ，b ，0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，求c b a ++2的最小值.解析:324))(()()()(-=++=+++=+++c a b a c b a b a a bc c b a a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x ⇒ 324-=xy 232324222-=-=≥+=++xy y x c b a当且仅当c b =时“=”成立例2.若a ，b ，0>c ，且124222=+++bc ac ab a ，求c b a ++的最小值.解析：12)2)(2()2(2)2(4222=++=+++=+++c a b a b a c b a a bc ac ab a令⎩⎨⎧+=+=c a y b a x 22 ⇒ 12=xy ， 3212222==≥+=++xy y x c b a 当且仅当c b =时“=”成立例3.已知c b a >>，N n ∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立，求n 的最大值. 解析：令⎩⎨⎧-=-=c b y b a x ⇒y x c a +=-，由c a n c b b a -≥-+-11 得y x n y x +≥+11，即42))(11(≥++=++≤yx x y y x y x n 当且仅当b c a 2=+时“=”成立十三、不等式证明例1.已知c b a >>，求证ca cb b a ->-+-111. 证明：令m b a =-，nc b =- ⇒c a n m -=+ 12))(11(>++=++n m m n n m n m ，1))(11(>--+-∴c a cb b a ca cb b a ->-+-∴111得证例2.设a ，b ，+∈R c ，求证4)11)((≥++++cb ac b a . 证明：令m a =，n c b =+，)11)(()11)((nm n m c b a c b a ++=++++ 42≥++=n m m n 4)11)((≥++++∴cb ac b a 当且仅当c b a +=时“=”成立例3.已知a ，b ，+∈R c ，求证c b a ac c b b a ++≥++222. 证明：c b a c b a a ac c c b b b a 222222222222++=++≥+++++ 当且仅当c b a ==时“=”成立c b a ac c b b a ++≥++∴222 得证。

高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。

2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。

其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。

例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。

变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。

例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。

变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为。

解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是。

高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。

2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．常考不等式：222211a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

问题（1（2例题例题解21212x x x +=⇒=-时取等号。

变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为。

解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y+=可得：14441y x x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=，化简可得：1441144y y x x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得：424y x x y +≥=，当且仅当24184x y x y x y =⎧==⇒⎨=⎩时取等号。

故而可得1444y x x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

不等式234y x m m +-＜有解，亦即2min 344y m m x ⎛⎫->+= ⎪⎝⎭，亦即2340m m -->，解得4m >或者1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-⋃+∞。

4x4x 2，亦即问题例题仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________．解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ⋅=++⇒=++，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y +≥31xy x y -=+≥当且仅当x y =时等号成立，化简上式可得()31011011xy xy --≥⇒-≥⇒≥⇒≥，此时1x y ==问题4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。

高中数学不等式解法15种典型例题

x + 5 0 (x + 4)(x
−
2)
0
x x
−5 −4或x
2
∴原不等式解集为 x x −5或 − 5 x −4或x 2
说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 x 的系数必为正；②对
于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题七
∴原不等式解集是{x x −2，或1 x 5，或x 6} ．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
2x2 3x2
− −
3x 7x
+ +
1200或32xx22
− −
3x 7x
+ +
1 0 20
∴原不等式解集为
(−,
1) 3
(
1 2
,1)
(2,+)
。
x 1 或 1 x 1或x 2 32
解法二：原不等式等价于 (2x −1)(x −1) 0 (3x −1)(x − 2)
(2x −1)(x −1)(3x −1) (x − 2) 0 用“穿根法”∴原不等式解集为 (−, 1) (1 ,1) (2,+)
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．

方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式

方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。

本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。

一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。

根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。

5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。

选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。

二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。

以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。

2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。

3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。

高中数学常见的10类基本不等式问题汇总

高中数学常见的10类基本不等式问题汇总一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。

2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()mina b +=。

其中[),0,a b ∈+∞（2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。

例题1：若实数,a b 满足221a b+=，则a b +的最大值是．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。

变式：函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。

例题2：，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。

变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为。

解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y+= ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是。