高数第二章导数与微分知识点与习题
大学高数 第二章 导数与微分
定义 2.1 设函数 f ( x) 在 x0 点及其附近有定义，若 x 在在 x0 点处有增量
第 二 章 导 数 与 微 分
x （ f ( x0 x) 仍有定义） ，函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) ；
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 若 存在，则称函数在 x0 点可导 x 0 x
且该极限为函数在 x0 点的导数，记为:
dy df ( x ) |x x0 f '( x) 、 y ' |x x0 、 |x x0 、 dx dx
6
关于导数定义的几点说明
y ①若 lim 不存在，则称函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导。 x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) 存在（即左极限存在） ，则称函数在 x0 点左 x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) （即右极限存在） ，则称函数在 x0 点右 导 可导；同理 lim x 0 x 数
1）求增量： y f ( x x) f ( x) C C 0
y f ( x x ) f ( x ) 0 2）算比值： x x f ( x x) f ( x) lim 0 0 3）求极限： f ( x) lim x 0 x 0 x
11
利用导数的定义求导数的一般步骤
（1）计算函数值增量 y f ( x x) f ( x)
y f ( x x ) f ( x ) （2）写比式： x x
y lim （3）求极限： f '( x) y ' x 0 x
12
例 求 f ( x) C ( C 为常数)的导数．
北大高数(上)第2章习题
习题2-11. 设212s gt =，求2d d t s t =. 导数与微分 导数的概念导数的定义解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==. 2. 下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.导数与微分 导数的概念导数的定义(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆ 故0()A f x '=- (2) 000()()0,lim;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- 解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '= 3. (1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠导数与微分求导法则复合函数求导法解：0021()().x x f x f x x =''==-(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f '解：00()(0)(0)limlim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-4.讨论函数y =0x =点处的连续性和可导性.连续函数连续的概念连续的定义解：00(0)x f →=,故函数在0x =处连续.又2300lim x x x -→→==∞,故函数在0x =处不可导. 5. 设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？连续函数连续的概念连续的定义解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax af a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导. 6. 试求过点(3，8)且与曲线2y x =相切的直线方程.导数与微分导数的应用 切线方程解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得282(3)y x x y x-=-⎧⎨=⎩ 为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：44(2),168(4).y x y x -=--=-7. 求下列函数的导数：导数与微分 导数的基本运算 导数的四则运算法则(1) y =(2) y =；(3) y =.（4）3ln sin 7y x π=+； （5）y x ； （6）()()21sin 1sin y x x x =-⋅⋅-.（7）1sin 1cos x y x -=-； （8）tan y x e π=+； （9）sec 3sec xy x x=-.（10）2ln 2lg 3log y x x x =-+； （11）211y x x =++.解：(1)y '=(2)5323y x -'=-(3)2512326y xx +-==561.6y x -'=222(1sin )'(1cos )(1sin )(1cos )'(7).'(1cos )cos (1cos )(1sin )sin (1cos )1cos sin (1cos )x x x x y x x x x x x x x x -----=-----=---=-2(8).'(tan )'()'sec y x e x =+=π22sec (9).')'(3sec )'(sec )'sec ()'3sec tan sec tan sec 3sec tan xy x xx x x x x xx x x x x x x x =--=--=-（2(10).'(ln )'(2lg )'(3log )'123ln10ln 2123(1)ln10ln 2y x x x x x x x =-+=-+=-+2222221'(1)(1)'(11).'(1)12(1)x x x x y x x x x x ++-++=+++=-++8. 设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++ 导数与微分 求导法则复合函数求导法证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++习题2-21. 求下列函数的导数： 导数与微分 求导法则复合函数的求导法(1) 3e x y =; (2) 2arctan y x =; (3) y = (4) 2(1)ln(y x x =+⋅;(5) 221siny x x =⋅； (6) 23cos y ax =（a 为常数）； (7) 1arccos y x =；(8) 2(arcsin )2x y =；解： ⑴ 33e x y '=;⑵ 421xy x '=+; ⑶2y '==⑷22ln((1)(1y x x x '=⋅++++2ln(x x =++⑸ 22231122sincos ()y x x x x x '=+⋅- 221212sin cos x x x x=-；⑹ 3322cos (sin )3y ax ax ax '=⋅-⋅233sin 2ax ax =-； ⑺21()y x '=-=⑻12arcsin22x y '=2arcsinx =；2.3arccos3x y -=-求3x y ='.导数与微分求导法则复合函数求导法解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3.试求曲线e x y -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.导数与微分导数的应用 切线方程、法线方程解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-= 法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+=在点（－1，0）处的切线方程为：1x =-法线方程为：0y =4. 求函数11ln 21x y x+=-的反函数()x y ϕ=的导数.导数与微分求导法则反函数求导法解：21[ln(1)ln(1)]2d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=+--故反函数的导数为：2d 11d d d x x yy x==- 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx： 导数与微分 求导法则有参数方程确定的求导法（1） cos sin ,sin cos ,x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩ (,a b 为常数)； （2）(1sin ),cos .x y θθθθ=-⎧⎨=⎩.解：（1）d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin y y ab bt ab att x x ab bt ab attbt atat bt +==-++=-（2）d d cos sin cos sin d d d 1sin (cos )1sin cos d y y x x θθθθθθθθθθθθθθ--===-+---6. 已知e sin ,e cos ,t tx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩求当π3t =时d d y x 的值. 导数与微分微分的运算复合函数的微分解：d de cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t tyy t t t tt x x t t t t t--===++π3ππcos sind 332ππd sin cos 33t y x =-==+.7. 求下列隐函数的导数：导数与微分 求导法则 隐函数求导法(1) 3330x y axy +-=； (2) ln()x y xy =； (3) e e 10y x x y -=； (4) 22ln()2arctan y x y x+=； (5) e x y xy +=解：(1) 两边求导，得：2233330x y y ay axy ''+⋅--=解得 22ay x y y ax-'=-.(2) 两边求导，得：11ln()()y xy y y xy xy''=+⋅+ 解得 (ln ln 1)x yy x x y -'=++.(3) 两边求导，得： e e e e 0y y x x x y y y ''+⋅++=解得 e e =e e y xy xy y x +'-+.(4) 两边求导，得：222211(22)21()y x yx yy y x y x x'-'⋅+=⋅⋅++ 解得 =x yy x y+'-. (5) 两边求导，得：e (1)x y y xy y +''+=+解得 e =e x y x yyy x ++-'-.8. 利用对数求导法，求下列函数的导数：导数与微分 求导法则 对数求导法 (1)45(3);(1)x y x -=+ (2) cos (sin );xy x = (3)2x y =解：(1)1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+145[]2(2)31x x x =--+-+ (2)2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=-(3)211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-习题2-31. 求自由落体运动21()2s t gt =的加速度. 导数与微分 导数的基本运算导数的四则运算法则解：()s t gt '=()[()]s t s t g ''''==即为加速度. 2. 求n 次多项式1101n n n n y a x a x a x a --=++++的n 阶导数.导数与微分求导法则高阶导数解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y a x a x a x a a x a n --=++++⋅3.设*n N ∈，且2n ≥，()ln f x x x =，求()()n f x .()()()()()()()()()()1121ln =1+ln 1!1ln ln 1n n n n n f x x x x n fx x x x ----''=-∴=+==-4. 验证：函数e sin xy x =满足关系式220y y y '''-+=导数与微分求导法则高阶导数证明：e (sin cos )x y x x '=+e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=⋅故222cos e e (2sin 2cos )2e sin 0x x x y y y x x x x '''-+=⋅-++= 5. 求下列函数在指定点的高阶导数： 导数与微分 求导法则高阶导数(1)()f x =求(0)f ''； (2)21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；(3)6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解：(1) 322()(1)f x x -'==-5223()(1)22f x x x -''=--⋅故(0)0f ''=.(2) 21()2e x f x -'=2121()4e ()8ex x f x f x --''='''=故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. (3) 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=故(5)(0)720107200f=⨯=，(6)(0)720f =6. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d yx：导数与微分求导法则高阶导数(1) 222222b x a y a b +=； (2) 1e y y x =+； (3) tan()y x y =+； (4) 242ln y y x +=. 解：(1) 两边对x 求导，得 22220b x a yy '+=22422223b x b y xy b y y a y a y a y'-'''⇒=-⇒=-⋅=-.(2) 两边对x 求导，得 e e y y y x y ''=+223e e (2)e ()e (3)2(2)(2)y y y y y y y y y y y y y ''----'''⇒=⇒==---. (3) 两边对x 求导，得 2sec ()(1)y x y y ''=++2321cot ()2cot()cot()csc()(1)2cot ()csc ().y x y y x y x y x y y y x y x y '⇒=--+'''⇒=+⋅+⋅+⋅+''⇒=-+⋅+(4) 两边对x 求导，得 3224yy y x y''+⋅= 32322322222422321(223)(1)22(1)2[3(1)2(1)].(1)yx y y y x y x y yx yy y y x y y x y y '⇒=+''+⋅+-⋅''⇒=+++-=+ 7. 已知()f x ''存在，求22d d yx：导数与微分求导法则高阶导数(1) 2()y f x =； (2) ln ()y f x =.解：(1) 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+(2)()()f xyf x''=22()()[()]()f x f x f x yf x'''-''=8.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22ddyx：导数与微分求导法则高阶导数⑴(sin),(1cos),x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩(a为常数)；⑵(),()(),x f ty tf t f t'=⎧⎨'=-⎩设()f t''存在且不为零.解：⑴dd sin sinddd(1cos)1cosdyy a t ttxx a t tt===--2222d d sin d sin1()()dd d1cos d1cosdcos(1-cos)-sin sin1=(1-cos)(1cos)1=.(1cos)y t txx x t t ttt t t tt a ta t==⋅--⋅⋅---⑵dd()()()ddd()dyy f t tf t f tt txx f tt''''+-===''22d d d111()()1dd d d()()dyt txx x t f t f tt==⋅=⋅=''''.习题2-41.在括号内填入适当的函数，使等式成立：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1d( )d 1x x=+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸ d( )x=; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1d( )ln d x xx =; ⑻ d( )x =.解： ⑴(sint)cos t '=d(sin )cos d t C t t ∴+=. ⑵11(cos )(sin )sin x x x ωωωωω'-=-⋅-=1d(cos )sin d x C x x ωωω∴-+=.⑶1[ln(1)]1x x'+=+ 1d[ln(1)]d 1x C x x∴++=+. ⑷22211(e )(2)e =e 22x x x ---'-=-⋅- 221d(e )e d 2x x C x --∴-+=.⑸(2)2x '=)C x∴=. ⑹2211(tan3)sec 33sec 333x x x '=⋅⋅= 21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=.⑺21111(ln )2ln ln 22x x x x x '=⋅⋅= 211d(ln )ln d 2x C x x x∴+=.⑻(1(2)x x '--=-=d()C x ∴=.2. 根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-= 3. 求下列函数的微分： 导数与微分微分的运算复合函数的微分⑴ e xy x =； ⑵ ln xy x=； ⑶y = ⑷ ln tan 5xy =；⑸ 286e xxy x =-； ⑹2(arctan )y x . 解：⑴ d (e )d e (1)d x xy x x x x '==+；⑵ 221ln ln 1ln d ()d ()d d x xx xx y x x x x x x ⋅--'===；⑶d d (siny x x x '==-=；⑷ ln tan ln tan 21d (5)d (ln 55sec )d tan xx y x x x x'==⋅⋅⋅ ln tan 12ln 55d sin 2xx x=⋅⋅； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d xxxxy x x x x x '=-=+-； ⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==⋅+； 4. 求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y ：导数与微分微分的运算 隐函数的微分⑴ 1e yy x =+； ⑵ 22221x y a b+=；⑶ 1sin 2y x y =+； ⑷ 2arccos y x y -=. 解：⑴ 对等式两端微分，得 d e d d(e )y y y x x =+ 即d e d e d y y y x x y =+于是e d d .1e yyy x x =- ⑵ 对等式两端微分，得22112d 2d 0x x y y a b ⋅+⋅= 得22d d .b x y x a y=-⑶ 对等式两端微分，得 1d d cos d 2y x y y =+ 解得2d d .2cos y x y=-⑷ 对等式两端微分，得2d d y y x y -=解得d .y x =5. 利用微分求下列各数的近似值： 导数与微分 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用⑴⑵ ln 0.99；⑶ arctan1.02.解：⑴113x≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=.⑵利用近似公式ln(1)x x+≈，有ln0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶取()arctanf x x=，令1,0.02x x==，而21()1f xx'=+，则21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+6.设0a>，且b与n a相比是很小的量，证明：1.nbana-≈+导数与微分微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用11xn≈+，有11(1)n nb ba an a na-=≈+⋅=+.7.利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和ϕ均为可微函数：导数与微分微分的运算微分四则运算法则⑴34(())y f x xϕ=+；⑵(12)3sin()y f x f x=-+.解：⑴3434d[()]d[()]y f x x x xϕϕ'=++34234=[()][34()]df x x x x x xϕϕ''++⑵d d(12)3dsin()y f x f x=-+=(12)d(12)3cos()d()(12)(2)d3cos()()d[2(12)3cos()()]d.f x x f x f xf x x f x f x xf x f x f x x'--+''=--+''=--+习题二1. 填空题（1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 1y x =- .导数与微分导数的应用切线方程（2）已知函数21arctan ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则(0)f '= 2π .导数与微分导数的运算复合函数求导法（3）设()f x '=2()xy f e =，则0d x y ==.导数与微分导数的运算复合函数求导法（4）设()y y x =是由方程sin 1ye x y -+=确定的隐函数，则0d x y ==12dx .导数与微分求导法则隐函数求导法（5）设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），则224d d t yx π=导数与微分求导法则高阶导数2.选择题（1）设函数2()(1)(2)(),xxnx y x e e e n =---其中n 是正整数，则()(0)y A '=（12年全国考研题第（2）题） 导数与微分 求导法则高阶导数A.1(1)(1)!n n --- B.(1)(1)!n n -- C.1(1)!n n -- D.(1)!n n -（2）设函数21()sin (0)f x x x x=<<+∞，()g x 为其导函数，则（ C ）.导数与微分导数的概念导数的定义A. ()g x 是x →+∞过程的无穷小量B. ()g x 是x →+∞过程的无穷大量C. ()g x 不是x →+∞过程的无穷小量，但在(0,)+∞内有界D. ()g x 不是x →+∞过程的无穷大量，但在(0,)+∞内无界 （3）设函数()f x 在0x =处连续，下列结论错误的是（ D ）.导数与微分 导数的概念 导数的定义 A.若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B.若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C.若0()limx f x x→存在，则(0)f '存在 D.若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)f '存在（4）设函数()y f x =具有二阶导数，且()()0,0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与d y 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若x ∆>0，则（ A ）.导数与微分 求导法则高阶导数A.0<d y y <∆B. 0<d y y <∆C.<d 0y y ∆<D. d <0y y <∆（5）设*n N ∈，函数()=n f x ()f x 在(,)-∞+∞内（ C ）.导数与微分 导数的概念 导数的定义A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点 3. 如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=一元函数微分学 导数的概念解：()f x 是偶函数()()∴-=f x f x对上式两边同时求导可得：()()''--=f x f x令0=x 可得：(0)(0)''-=f f故(0)0'=f4. 求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.导数与微分导数的概念左导数、右导数(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩ (2) 10,0,0;1e 0,0,xx x y x x ⎧≠⎪==+⎨⎪=⎩(3) 021, 1.,1,x y x x x ≥==<⎪⎩证明：(1) 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===- 300()(0)(0)lim lim 0,0x x f x f x f x x---→→-'===- 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导. (2) 100()(0)1(0)lim lim 0,01e x x x f x f f x +++→→-'===-+ 100()(0)1(0)lim lim 1,01e x x x f x f f x ---→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.(3) 11()(1)1(1)lim lim ,12x x f x f f x +++→→-'===- 211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导. 5. 已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '. 导数与微分 导数的运算 有参数方程确定的求导法解：当0x <时，()cos ,f x x '=当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==-故(0) 1.f '=综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩6. 设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数，()x ϕ为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性.导数与微分导数的概念导数的定义解：()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x af x f a a x x f a a x a x a ϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---.故当()0a ϕ=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ϕ≠时，()f x 在x a =处不可导. 7. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:导数与微分 导数的概念 导数的定义 (1) sin ,0;y x x ==解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f xf x x+++→→-'===-(0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x xx ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续.又2001sin()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x→→-'===-, 故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-===11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===--11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===---(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.8. 已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.导数与微分求导法则由参数方程确定的求导法解：23, (), x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x x x f x f -+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+=故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩9. 若11()e x x f x+=，求()f x '.导数与微分 求导法则 复合函数求导法解：令1t x=，则 1()et tf t +=,即1()ex xf x +=121()e(1)x xf x x+'=-. 10. 证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .导数与微分导数的应用切线方程证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y则222220, , x a a a y y y x xx =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=--令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+=得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+=得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ， 故 2000012222.2S x y x y a === 11. 已知()f x 在0x x =点可导，证明： 0000()()lim()()h f x h f x h f x hαβαβ→+--'=+ (,αβ为常数) .导数与微分 导数的概念 导数的定义证明： 000()()limh f x h f x h hαβ→+--000000()()()()limlim h h f x ah f x f x h f x h hβαβαβ→→+---=+-000()()()().f x f x f x αβαβ''=+'=+12. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：21()10(m),2h t t gt =-求：导数与微分 导数的概念 导数的定义 ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度： ⑵ 速度函数v (t )； ⑶ 物体何时到达最高.解：(1)11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2g gh h v --⨯-+-===-⋅- (2) ()()10v t h t gt '==-. (3) 令()100h t gt '=-=,得10(s)t g =, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g=13. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称tθω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻0t 的角速度？ 导数与微分 导数的应用相关变化率解：设此角速度值为ω,则0000()()lim()t t t t t tθθωθ∆→+∆-'==∆.14. 设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ︒加热到C T ︒所吸收的热量，当金属从C T ︒升温到()C T T +∆︒时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ∆=+∆-Q ∆与T ∆之比称为T 到T T +∆的平均比热，试解答如下问题： 导数与微分 导数的应用 相关变化率⑴ 如何定义在C T ︒时，金属的比热； 解：0()()lim()T Q T T Q T Q T Tν∆→+∆-'==∆⑵ 当2()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+. 15. 求下列函数在给定点处的导数：导数与微分 求导法则复合函数求导法⑴ 1sin cos ,2y x x x =+求π4d d x y x=；⑵ 23(),55x f x x =+-求(0)f '和(2)f '； ⑶ 254, 1,()43, 1,x x f x x x x -≤⎧=⎨->⎩求(1)f '.解：(1)11sin cos sin sin cos 22y x x x x x x x '=+-=+π41ππππsin cos )24442x y ='=+=+(2)232()(5)5f x x x '=+-317(0) (2)2515f f ''== (3)211()(1)431(1)limlim 511x x f x f x x f x x +++→→---'===-- 11()(1)541(1)lim lim 511x x f x f x f x x ---→→---'===-- 故(1) 5.f '=16. 求下列函数的导数：导数与微分 求导法则复合函数求导法(1) y = (2) sin cos ny x nx =⋅； (3)y =(4)y =(5) ln cosarctan(sinh )y x =；(6)2arcsin (02a x y a a=>为常数）. 解：(1)12ln y x x '=⋅=; (2) 11sin cos cos sin (sin )sin cos(1)n n n y n x x nx x nx n n x n x --'=⋅+-⋅=⋅+；(3)y '==(4)2(1)(1)(1)x x y x -+--'==+ (5) 211[sin arctan(sinh )]cosh tanh cosarctan(sinh )1(sinh )y x x x x x '=⋅-⋅⋅=-+；(6)21(2)2x y x a '=-=.17. 若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求2d d x y x=.导数与微分 微分的运算复合函数的微分解：22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x x y f x='=⋅-'===18. 设()f x 可导，求下列函数y 的导数d d y x：导数与微分微分的运算复合函数的微分⑴ 2()y f x =； ⑵ 22(sin )(cos )y f x f x =+. 解：⑴22()y xf x ''=⑵222sin cos (sin )2cos (sin )(cos )y x xf x x x f x '''=+-22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x ''=- 19. 已知()y f x =的导数2221()(1)x f x x x +'=++，且(1)1f -=，求()y f x =的反函数()x y ϕ=的导数(1)ϕ'.导数与微分 求导法则 复合函数的求导法解：1y =时1,x =-故221(1)()()21x x y f x x ϕ++'=='+, 从而22[1(1)(1)](1)12(1)1ϕ+-+-'==-⨯-+.20. 求下列函数的高阶导数： 导数与微分 求导法则高阶导数⑴ e sin ,x y x =⋅求(4)y ； ⑵ 3e ,x y x =⋅求(6)y ； ⑶ 2sin ,y x x =⋅求(80)y .解：⑴e sin e cos e (sin cos )x x x y x x x x '=⋅+⋅=+(4)e (sin cos )e (cos sin )2cos e 2e (cos sin )2e (cos sin )2e (sin cos )=4e sin x x x x x x x y x x x x x y x x y x x x x x''=++-=⋅'''=-=-+---333333323(4)333(5)333(6)233(13)3(13)3(69)9(69)3(2727)27(2727)3(10881)81(10881)3(405243)243(405243)3(1458x x xx x x x x x x x xx x x x x y e x e x e y e x e x e y e x e x e ye x e x ey e x e x e y e x e '=+⋅=+''=++⋅=+⋅'''=++⋅=+⋅=++⋅=+⋅=++⋅=+⋅=++⋅=⑵3729)xx e +⋅⑶ 80(80)2()(80)800()(sin )ii i i yC x x -==∑ 2(80)(79)(78)22(sin )802(sin )31602(sin )πππsin(80)+160sin (79)6320sin (78)222sin 160cos 6320sin .x x x x x x x x x x x x x x x =+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅++⋅=--21. 设()y f x =是由方程组2323,e sin 1,yx t t y t ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩所确定的隐函数，求202d d t yx=.导数与微分 求导法则 隐函数求导法、高阶导数 解：分别对已知方程组的两边关于x 求导，得：d d 162,d d d d de sin e cos ,d d d y y t t t x x y y t t t xx x ⎧=⋅+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩再对x 求一次导，得2222222222d d d 06()62,d d d d d dy d d d (e )sin 2e cos e sin ()e cos ,d d d d d d y y y y xt t t t x x x y y t t t t t t t x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪'=+⋅⋅-+⋅⎪⎩将00,1t t y===代入上述各式，得002022202d 1d e , ,d 2d 2d 3, d 4d e 3e.d 24t t t t t y x x t x y x =======-=- 22. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且lim (),x af x A +→'=试证： ()f a A +'=. 导数与微分导数的概念 左导数、右导数证明：()()()lim x af x f a f a x a ++→-'=-()lim lim ()1x a x a f x f x A ++→→''===. 23. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，试证：(), 0,()(0), 0,f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导，且导函数连续.导数与微分 求导法则复合函数求导法证明：因()f x 具有二阶连续导数，故0x ≠时，()g x 可导,又002000()(0)()(0)(0)lim lim 0()(0)()(0)lim lim 2()(0)lim ,22x x x x x f x f g x g xg x xf x f x f x f x xf x f →→→→→'--'==-'''-⋅-==''''==故 ()g x 是可导的，且导函数为2()(), 0,()(0), 0, 2xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨''⎪=⎪⎩又因2()()lim ()limx x xf x f x g x x →→'-'=000()()()lim2()(0)lim lim (0) 22x x x f x xf x f x xf x fg →→→''''+-='''''===故()g x 的导函数是连续的.24. 求下列函数的高阶微分：导数与微分 微分的运算高阶微分⑴y =2d y ； ⑵ x y x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d n y ； 解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+ 21[(1ln )],xy x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).xy x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x x n n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅-。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( ) A ．()x x f ∆+0 B ．()x x f ∆+0 C ．()()00x f x x f -∆+ D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，那么()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 持续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分没必要要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，那么=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．假设函数()x f 在点a 持续，那么()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有概念 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，那么=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．假设()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，那么a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．假设函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．至少一个有导数D ．最多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，那么( ) A ．()x f ，()x g 都必需可导 B ．()x f 必需可导C ．()x g 必需可导D ．()x f 和()x g 都不必然可导 13．xarctgy 1=，那么='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，那么()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f ''B ．()a f ''C ．()a f ''2D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内持续，且()b a x ,0∈，那么在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不必然可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不必然存在 16．设()x f 在点a x =处可导，那么()()=--→hh a f a f n 0lim。
《高等数学》第二章 导数与微分
2021年1月2日星期六
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二、导数的定义（Definition of Derivatives）
1. 函数在一点的导数与导函数.
定义1 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
6
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称
x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ;
三、反函数的求导法则
四、复合函数的求导法则
五、小结与思考题
2021年1月2日星期六
27
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一、问题的提出（Introduction）
1. 导数的定义
y xx0
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
lim y x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x0 h) f (x0 )
h0
h
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2. 利用导数的定义得出以下导数公式：
(C) 0; (ln x) 1 ,
经典-高数第2章：导数与微分
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点）
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性，因为式中有除以Δ x，
反应的是变化的快慢，几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量，Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x)，解决的是函数的变化 增量，微分表示函数值的增量结果，可间
联系
可微必可导，可导必连续，连续有极限 但是，有极限不一定连续，连续不一定可
x
当Δ x足够小时，dy与Δ y相差很小，切线段MP 可近似的代替曲线段MN（以直代曲）
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数，但却与f(x)与x0有 关。实际上，A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义，当Δ x很小时， Δ y≈dy（这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量）
可微与可导的区别与联系（理解
注意：此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值，
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库
第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， ，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ， ，()n y 或33d y dx ，44d y dx ， ，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-， ，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
高数第二章 知识点总结
往年考题:
(13-14) 已知 f ( x ) = (5 − cos x )
2 x −3
，则 f ′(0 ) = _______________。
(13-14) 已知 y = ln x + 1 + x 2 ，则 dy = _______________ 。
(10-11)
⎧ e ax , x≤0 ⎪ 设 f (x ) = ⎨ ，试求常数 a 、 b ，使 f ( x ) 处处可导． 2 ⎪ ⎩b(1 − x ) , x > 0 ⎧ e ax , x≤0 ⎪ 设 f (x) = ⎨ ，试求常数 a 、 b ，使 f ( x ) 处处可导 2 ⎪ ⎩b(1 − x ) , x > 0
dy
x =1
.
(09-10) 设 f ( x) 可导， y = f ( e tan x ) ，则 dy = ___________________． (08-09) 设 f ( x) 可导， y = f (arctan x 2 ) ，则 dy =
。
4. 隐函数、反函数求导
知识点及题型:
1. 隐函数求导数 (1) 区分自变量和因变量 (2) 方程两端同时对 x 求导，得关于 y′ 的方程 (3) 由上述方程解出 y′ (结果中可以含 y ) 2. 对数求导法 (1) 形如 y = f ( x) g ( x ) 的幂指函数 (2) 若干个因子乘积、商、开方、方幂 3. 反函数求导数
6
(1)
(2) (3)
(ax )( n) = a x ⋅ lnn a (a > 0)
(sin kx)( n) = k n sin(kx + n ⋅ ) 2 (cos kx)( n) = k n cos(kx + n ⋅ ) 2
武忠祥教授高等数学考研第二三章
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
f ( x0 )
定义2(左导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定义3(右导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定理1 可导 左右导数都存在且相等
定义4(区间上可导及导函数)
2. 微分的概念
f (b) f (a) f ( ).
ba 定理4（柯西中值定理）
设 f ( x), F ( x) 在 [a, b] 连续, 在 (a, b) 内可导， 且 F( x) 0 那么至少存在一个 (a, b) ，使
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
所确定的隐函数, 则 d 2 y dx2
_______.
(1)
x0
【例9】(2013年1）设
y
x sint, t sint cost,
d2y dx2 t __________.
4
( t 为参数), 则 ( 2)
【例10】(2007年2,3）设函数 y 1 , 则 2x 3
第二讲导数和微分内容提要和典型例题
x0
① f (x)连续 ② f(0)存在
③ f(x)连续 ④ f(0)存在
第二章 导数与微分典型例题
解 首先注意到
当 0时lim xsin 1不存在
x 0
x
当 0时 lim xsi1 n0
x 0
x
① 当 x0时f， (x)xnsi1n是初等函数，连续 x
因此要使 f (x)连续只f须 (x)在 x0处连续
F ( 0 ) 存 F ( 0 ) 在 F ( 0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 )
x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ixn f(0 )f(0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 ) x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ix n
2d yy22tyd yet 0
dt
dt
dyet y2 dt 2ty2
dy
dy dx
dt dx
(1t2)(et y2) 2ty2
dt
④ 设 f(x)(x20 01 1)g(x)，其 g(x)在 中 x1处连续
且 g(1)1求 f(1)
第二章 导数与微分典型例题
第二讲 导数与微分
内容提要与典型例题
第二章 导数与微分内容提要
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
第二章 导数与微分内容提要
高等数学-——导数与微分练习题.pdf
C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ， 则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan
最新高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册
第二章 导 数 与 微 分第 一 节 作 业一、填空题：1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f.)()(lim )2(.)()(lim)1(000000=--+=∆-∆-→→∆h h x f h x f x x f x x f h x2. 设=⋅=',5322y xx x y 则 .3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 .4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）：1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101-； （C ）-100； （D ）.99!100 答：（ ）.1)(;1)(;21)(;0)(:)0(',0,00,1)(.22-⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-D C B A f x x x e x f x为则设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 讨论函数.00,00,1sin 处的连续性与可导性在=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx y2. 已知).(',0,,sin )(x f x x x x x f 求⎩⎨⎧≥<=3. 设?,,1)(,1,1,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =⎩⎨⎧>+≤=四、试证明下列各题：1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a2.2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.第 二 节 作 业一、填空题：.)]sin )(cos cos [(sin .2.',3ln .12=+-=+=x x x x dxdy x e y x则设二、选择题（单选）：.)()()(;)()()(;)()()(;)()()(:,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 设.,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
高等数学 第二部分 导数与微分
x 0
x
都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量 改变量趋于零时的极限．在自然科学和工程技术领域 中，甚至在社会科学中，还有许多概念，例如物质比 热、电流强度、线密度等，都可以归结为上述形式的 极限问题．我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在 数量关系上的共性，引入导数的概念．
2-1 导数及其基本概念
2-1 导数及其基本概念
注意：这个定理的逆命题不成立,即函数
y f (x) 在点 x0处连续时，在点 x0不一定可导． 例如，函数 y 3 x 在x 0点连续。因为
y 3 0 x 3 0 3 x ，
， y
lim x0 x
3
lim
x
x0 x
lim x0 3
1 (x)2
故，在 x 0处，y 3 x 连续，但不可导．
二、导数及其基本概念
1．函数在一点处的导数
定义2.1 设函数 y f (x) 在 x0点的某 个邻域内有定义， 当自变量在点 x0 处取得 改变量 x(x 0)时，函数 f (x) 取得相应的改
变量 y f (x0 x) f (x0 ) ．如果当x 0 时，
y lim
lim
f
(x 0
x)
x0
x
lim sin(x x) sin x
x0
x
2sin x cos(x x)
lim
2
2
x0
lim
x0
sin
x 2
x
x
cos
x
x 2
cos x 2
这就是正弦函数的导数公式 即 (sin x) cos x
2-1 导数及其基本概念
例 5 求函数 f (x) loga x(a 0且a 1) 的导数．
第二章 导数与微分知识点
第二章 导数与微分一、导数1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限 ()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。
多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。
如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。
2、单侧导数右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
3、导数的几何意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()()()010000≠'-'-=-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。
高等数学(上册)(慕课版)第二章 导数与微分
y f (x0 x) f (x0 )
dy f (x0 )x
标准形式
y Ax (x)
近似
dy Ax
10
02 微分
几何意义
y
M0 y f(x)
T M
P dyy Q
“以直代曲”
x
O
x0
x0 x
x
数学思想
注意 当曲线y f (x)在点M (x, y)处的横坐标x 有增量x 时， y是其纵坐标的增量，dy 就是曲线切线上点的纵坐标相应增量. 当 x 很小时，y dy.
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
一、 导数的定义
定义2.1
设函数y f (x)在点x0 的某邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有增量x时，
相应函数的增量为y
f (x0 x)
f
( x0
).
如果当x
0
时，极限
lim
x0
y x
存在，
则称函数y f (x)在点x0 处可导，并把这个极限值称为
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在且相等.
19
一、 导数的定义
例1
若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在，证明f (x)在x=0 处可导. x0 x
证法一
设 lim f (x) A( A为常数)，则lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
记作：f (x) ，y，df ，dy ， dx dx
即
f (x) lim f (x x) f (x) ，
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高数第二章导数与微分知识点总结第一节 导数1．基本概念 （1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x yf x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln xxa a a =（特例()'xxe e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-（11）(arcsin )'x =（12）(arccos )'x =（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （15[ln(x +=3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v-= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin xy e=的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+（4）()1(1)(1)n n nn x x --+=-+（5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()()nn k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节 微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udvd v v -=②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.练习题1、求下列函数的导数。
（1）223)1(-=x x y ； （2）xx y sin =； （3）bx e y axsin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x xx y )1(+=。
2、求下列隐函数的导数。
（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y=+求)0(y ''。
3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dx y d 。
4、求下列函数的高阶导数。
（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。
5、求下列函数的微分。
（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin xx y -=。
6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。
7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。
答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=)37)(1(222--=x x x 。
（2）解：2sin cos )sin (xxx x x x y -='='。
（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。
（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。
（5）解：)11()11(11)11(arctan2'-+-++='-+='x x x x x x y11)1()1()1()1(2)1(2222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。
（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x xx xe xx y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++= )1ln 11()1(xx x x x x +-++=。
2、（1）解：两边直接关于x 求导得0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y )sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。
（2）解：将0=x代入原方程解得,1=y原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ，上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y将0=x，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，将0=x ，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。
3、解：),cos 1(t a dt dx -=t a dt dy sin =； 2cot )cos 1(sin tt a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc 41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx dt dx dy dt d dxy d -=-⋅-=⋅=。
4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。
（2）解：设,,2sin 2x v x u==则)50,,2,1)(22sin(2)( =⋅+=k k x uk k π，),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k代入萊布尼茨公式，得2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+==πππx x x x x x x y )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=。
5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.（2）解：]122arcsin 111[112222xx x x x x y --⋅----='2322)1(arcsin 1x x x x -+-=；='=dx y dy dx x x x x 2322)1(arcsin 1-+-。