高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结

第一节 导数

1．基本概念 （1）定义

0000000000

()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y

f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数

0'00000

0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x -

--∆→→+∆--==∆-. 0

'00000

0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +

++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.

（3）导数的几何应用

曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.

法线方程：0001

()()'()

y f x x x f x -=-

-. 2．基本公式

（1）'0C = （2）'

1

()a a x ax -=

（3）()'ln x

x

a a a =（特例()'x

x

e e =）（4）1

(log )'(0,1)ln a x a a x a

=

>≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-

（7）2(tan )'sec x x = （8）2

(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-

（11

）(arcsin )'x =

（12

）(arccos )'x =

（13）21(arctan )'1x x =

+ （14）2

1

(arccot )'1x x =-+ （

15[ln(x +

=

3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则

()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2

''

()'u u v uv v v

-= （2）复合函数求导法则--链式法则

设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.

例5 求函数2

1

sin x

y e

=的导数.

（3）反函数的求导法则

设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则

11

'()'()'(())

g y f x f g y =

=. （4）隐函数求导

设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'

''x y

F y F =-.

（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1）()

()

ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =

（2） ()

(sin )sin()2n n kx k kx n π

=+

（3）()

(cos )

cos()2n n kx k kx n π

=+

（4）()

1

(1)!

[ln(1)]

(1)(1)n n n

n x x --+=-+

（5）()

()

(1)(2)

(1)k n k n x k k k k n x -=---+

（6）莱布尼茨公式：()

()()

()

n

n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.

定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数

()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.

注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系

一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算

（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则

②四则运算法则

()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2

()u vdu udv

d v v -=

②一阶微分形式不变

若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；

若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.

练习题

1、求下列函数的导数。

（1）

223)1(-=x x y ； （2）x

x y sin =

； （3）bx e y ax

sin =； （4）)ln(2

2a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x

x y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。 （1）

0)cos(sin =+-y x x y ；

（2）已知,e xy e y

=+求)0(y ''。 3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)

cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数

dx dy

与二阶导数2

2dx y d 。

4、求下列函数的高阶导数。 （1）

,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。 （1）

)0(,>=x x y x ； （2）2

1arcsin x

x y -=

。

6、求双曲线122

22=-b

y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求

)0(f '，其中

⎪⎩⎪⎨⎧=,

0,1sin )(2

x

x x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-=

)37)(1(222--=x x x 。