全等三角形例题

1 (a b c)r
为__2__________．
手拉手模型
常见图形5(背靠背)
例3：把两个含有45°角的直角三角板如图
1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD
的延长线交BE于点F．求证：(1)BE=AD；
(2) AF⊥BE
B
F D
E
C
A
如图,已知 中, ,BE ,CF 都是 的高,P 是BE 上一点且BP=AC ,Q 是CF 延长线上一点且CQ=AB ,连接AP ,AQ ,QP ,求证:
变形_1: 以点A为顶点作二个等腰直角三角
形（△ABC，△ADE），如图所示，连接
BD，CE （1）求证：BD=CE
C
（2）求∠BFC的度数
D
F
A
B
E
以点A为顶点作二个等边三角形（△ABC， △ADE），连接CD，连接BE. 有哪些结论？
C
D F
B
E
A
变形_2: ：以点A为顶点作二个等边三角
形（△ABC，△ADE），连接CD，连接
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
结论3：PAB≌PAC
B
AB AC
3
(全等三角形的对应边相等)A
1 2
5=6
5
6P
4
(全等三角形的对应角相等)
C
条件：CD是线段AB的中垂线
结论1：AO BO;CD AB(中垂线的意义)；
结论2：PA PB(中垂线的性质定理)；
结论3：PAO≌PBO；
图中有几对全等三角形?
如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝ ∠ADE＝90°， BC与DE相交于点F，连接CD，EB.21 (1)图中还有几对全等三角形； (2)求证：CF＝EF.
条件：AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC
结论1：1 2(角平分线的意义)；
3 4=900(垂直的意义)； 结论2：PB PC(角平分线的性质定理)
BE.
（1）求证：BD=CE
（2）求∠BFC的度数
C
D F
B
E
A
已知如图，△ABC与△EDC都是等边三角 形，且A．D．E在同一条直线上，若 ∠DBE＝86° 则∠ADB＝
A
D
B
C
E
如图（1），等边△ABC 中，D是AB边上的动点， 以CD为一边，向上作等边△DEC ，连结AE。
1）试说明AE∥BC的理由 3）如图（2），将（1）中点D运动到边BA的延长 线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有 AE∥BC？证明你的猜想。
数学期末考试范围： 七下：第3,4,5,6章 （整式的乘除、因 式分解、分式、数据与统计图表） 八上：第1章（三角形的初步知识）
第2章（2.1—2.3）（等腰三角 形的性质为止）
全等三角形
如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ BD=CE吗?
A
D
E
1
2
B
C
6. 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC与 E，BE、CD交于O，且AO平分 ∠BAC，求证：OB=OC
C
1 2;
3 4
P
34
(全等三角形的对应角相等) 1
2
A
O
B
D
要修建一个超市P，要满足三个村庄A、B、C 都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三 角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明 理由？
A
如图：点P为所求位置
B
P
C
3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水 电站O，使点O到三条公路的距离相等.
常规结论有哪些：
D E
A
B
F
C
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BE， CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在 AD上.求证：BC=AB+DC.
F
D E A
B C
如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交 于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.
你能有哪些结论？
在线段BC取点F，使得BF=BE，连结OF。
这样的点 有几个？
各内角与外角的角平分线 4个
•6、作图，你能否找出一个点，使 它到线段AB两端点的距离相等，并
且到∠COD两边的距离也相等．
A
C
B
O
D
试说明：三角形角平分线的交点到三 角形三边的距离相等．
若三角形三条边边长分别为a,b,c， 三条角平分线的交点到三角形三条边 的距离为r，则三角形的面积
结论1：△BOE≌△BOF，
A
需要证：CF=CD
角平分线，构筝形 线段和差，截长补短
B
E D
O
F
C
如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交 于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.
在线段BA或延长线上取点H，使得BH=BC， 连结OH。
A H
结论：△BOH≌△BOC
要证：EH=CD 即证：△EOH≌△DOC
E D
O
B
C
如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交 于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.
在线段BA或延长线上取点H，使得CD=EH，
连结OH。 A
H
要证△BOH≌△BOC，
已有条件BO=BO，
E
∠HBO=∠CBO.
D O
B
C
原因：没有用到角平分线模型
如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交
如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角 EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC 于点E、F，给出以下四个结论：(1)AE=CF； ((24))△ 当E∠PEFP是F等在腰△直AB角C内三绕角顶形点；P(旋3)转S四时边形EAFEP=FAP12(点SΔAEBC ； 不与A、B重合)。上述结论中始终正确的有()
源自文库
A
E
D
A
E
D
B
C
(1)
B
C
(2)
如图,已知在△ABC中,AB>AC,BE ,CF 都 是△ABC高,P 是BE 上一点且 BP=AC ,Q 是CF 延长线上一点且CQ=AB , 连接AP ,AQ ,QP ,求证:
（1）AP=AQ ; （2）AP⊥AQ .
如图13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2， BD=CE，请说明△ABD≌△ACE吗？为什么？
截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段，可 以采取“截长补短”法。
截长法，即在较长线段上截取一段等 于两较短线段中的一条，再证剩下的一段 等于另一段较短线段。
补短法，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BE， CE分别平分∠ABC，∠BCD，且点E在 AD上.求证：BC=AB+DC.
于点O，∠A=60°.求证：CD+BE=BC.
方法总结：
A
A
H
E D
O
E D
O
B
F
CB
BE=BF
C
BH=BC
统一模型：角平分线轴对称模型