常用Fourier变换表
Fourier变换
t
d
2
0
sin
1
sin
2
t
d
所以有
0
sin sint 12
d
2
sin 0
t
| t | | t |
17
例2 求函数 f (t) A et2 旳Fourier变换及其积分体现 式，其中A > 0,β> 0。这个函数叫做钟形脉冲 函 数，也是工程技术中常遇到旳一种函数。
解 根据Fourier变换式，有
2 jsin 12
(cos t
j sin t ) d
1
2
2
sin sin 12
t
d
16
例
求函数
f (t)
sin t
0
|t |t
| |
旳Fourier变换并求：
0
sin
1
sin
2
t
d
.
解： f (t ) F 1[F ( )] 1 F ( )ejtd
2
1
2
2
sin sin 12
2
1
0
cos t 2
sin
2
t
d
所以
0 t0
f (t) 1
0
cos t 2
sint 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
1 / 2 e t
t0 t0
11
例1
求函数
0, f (t ) e t ,
t t
0 0
旳Fourier变换及其积
分体现式，其中β >0。这个f (t) 叫指指数衰减函数，
是工程技术上常遇到旳一种函数。
sin
常用傅立叶变换表完整版
常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。
常用傅里叶变换表
弧频次表示的时域信号说明傅里叶变换1线性2时域平移3频域平移 ,变换 2 的频域对应假如值较大，则会缩短4到原点邻近，而会扩散并变得扁平 .当 | a | 趋势无量时，成为 Delta函数。
傅里叶变换的二元性性质。
经过5互换时域变量和频域变量获得 .6傅里叶变换的微分性质7变换 6 的频域对应表示和的卷积—这8就是卷积定理9矩形脉冲和归一化的 sinc 函数变换 10 的频域对应。
矩形函数是理10想的低通滤波器， sinc 函数是这种滤波器对反因果冲击的响应。
11tri是三角形函数12变换 12 的频域对应高斯函数 exp(- αt 2) 的傅里叶13变换是他自己 .只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
141516a>017变换自己就是一个公式δ( ω) 代表狄拉克δ函数散布 .18这个变换展现了狄拉克δ 函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换 23 的频域对应20由变换 3和 24获得 .由变换 1和 25获得，应用了欧拉公21式: cos(at ) = ( e iat + e - iat ) / 2. 22由变换 1和 25获得这里 , n 是一个自然数 .δ ( n)(ω)是狄拉克δ函数散布的 n 阶微分。
23这个变换是依据变换7 和 24 获得的。
将此变换与 1 联合使用，我们能够变换全部多项式。
此处 sgn( ω) 为符号函数；注意此变24换与变换 7 和 24 是一致的 .25 26 27 28 34变换 29 的推行 .变换 29 的频域对应 .此处 u( t ) 是单位阶跃函数 ;此变换依据变换 1 和 31 获得.u( t ) 是单位阶跃函数，且 a > 0.狄拉克梳状函数——有助于解说或理解从连续到失散时间的转变 .。
Fourier变换
1Sec. 7.2 Fourier 变换1 Fourier 变换在Fourier 积分公式中, 令⎰∞∞--=dx e x f w G iwx )()( (1)则⎰∞∞-=dw e w G x f iwx )(21)(π(2)可见函数)(x f 和)(w G 可以通过积分相互表达. 我们称(1)式为函数)(x f 的Fourier 变换, 简称傅氏变换, 记作⎰∞∞--==dx e x f w G x f F iwx )()()]([ (3))(w G 又称为)(x f 的像函数;而称(2)式为函数)(w G 的Fourier 逆变换, 简称傅氏逆变换或傅氏反演, 记作⎰∞∞--==dw e w G x f w G F iwx )(21)()]([1π(4))(x f 又称为)(w G 的像原函数, 因此, 当)(x f 满足傅氏积分定理的条件时, 傅氏积分公式就成为)]}([{)(1x f F F x f -=这是傅氏变换和傅氏逆变换之间的一个重要关系易于看出, 傅氏变换的定义式(3)式和(4)式, 其积分前的系数虽然各书的写法不完全相同, 但只要此二系数的乘积等于π21, (4)式和(5)式仍均是可以互相满足的, 且两积分号内的指数因子iwx e -和iwx e 也可以同时改为iwx e 和iwx e -.由傅氏变换和傅氏逆变换的定义可知, 要求一个函数的傅氏变换(或逆变换), 实际上是求一个含参数的广义积分, 计算含参数的广义积分是一件比较困2难的工作. 但是对于某些函数, 还是比较容易的.如果)(x f 是一个信号, 利用它的像函数分析信号是Fourier 变换的一个很重要的用途, 但是按Fourier 积分定理, 诸如ax E x f cos )(0=的最简单的信号都不满足绝对可积条件. 如果不解决这个困难就不能利用Fourier 变换来研究信号. 下面介绍一个数学工具克服这个困难.2. δ函数定义用数学作为工具来研究物理问题时, 应该有描述研究对象和物理规律的数学概念. 在经典物理中点源是一个很重要的概念, 例如质点和点电荷, 它们的定义很清楚, 但是在经典物理中却没有数学工具来描述它们, 因为处理宏观物理问题时, 点源是一个数学的概念, 仅仅帮助理解物理的概念. 在研究量子力学时, 就需要有描述点源的数学工具了, 否则就无法得到正确的理论. 量子力学的创始人之一Dirac 引进δ函数来描述点源.δ函数是指同时满足下列二式的函数⎩⎨⎧≠=∞=-000 0)(x x x x x x δ 和 ⎰∞∞-=-1)(0dx x x δ可理解)(0x x -δ是放置在0x x =的点源的密度, 它的密度无限大, 但是它的积分值是确定的. 也就是说它的质量并不是无限大. 以质点为例, 质点是几何上的点, 体积为0, 当然密度无限大, 但却有确定的质量m , 而质量就是密度对体积的积分.)(x f 是定义在),(∞-∞的实函数, 计算积分)()()(lim )()()()(000000000x f dx x x f dxx x x f dx x x x f x x x x =-=-=-⎰⎰⎰+-→+-∞∞-εεεεεδξδδ3以上利用了实积分中的中值定理和δ函数的定义, 所以我们知道⎰∞∞-=-)()()(00x f x x x f δ可以验证δ函数是偶函数, 因为⎩⎨⎧≠=∞=-0 00)(x x x δ1)()()()(==---=-⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-dt t x d x dx x δδδ3. δ函数的Fourier 变换根据δ函数的定义.[]0)()(00iw x iw x e dx e x x x x F -∞∞--=-=-⎰δδ如果00=x , []1)(=x F δ而像函数的反演, 也就是δ函数的Fourier 积分[]⎰∞∞----==-dw e eF x x x x iw iw x )(10021)(πδ⎰∞∞-=dw e x iw x πδ21)(例 求x x f 0sin )(ω=的Fourier 变换 解: 利用Fourier 变换的定义式[][])()(2sin )(0000ωωδωωδπωωωω+--=-==⎰⎰∞∞---∞∞--idx e i e e dx xex f F x i x iw x i xi注意：这里面用到了delt 函数为偶函数的性质4. 开关函数⎩⎨⎧<>=0001)(x x x H 也称Heaviside 函数和单位阶跃函数. 它是一个最基本的信号. 此外, 还应该注意它在计算中的作用.4根据δ函数的定义, )(x H 和)(x δ的关系是⎰∞-=xd x H ξξδ)()(例 证明[])(1)(ωπδ+=iwx H F 解: 直接证明要用到一些广义函数的理论, 但是可以证明)()(11x H i F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπδω 21sin 12121212121212121)(121)(1000001+=++-=++=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞-∞∞-∞∞-∞∞--ωωωπωωπωωπωωπωωπωωπωωπδωπωπδωωωωωωωd x d i e d i e d i e d i e d i e d e i i F x i x i x i x i x i xi因为2s i n 0π=⎰∞dx x x 所以0>x , 2sin 0πωωω=⎰∞d x , 0<x , 2sin 0πωωω-=⎰∞d x . 代入后即可得证.由上例可以得到如下关系式)(1ωπδωω+=⎰∞-i dx e x i 21)(11-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x H i F ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰∞∞-21)(2x H i d e xi πωωω Fourier 变换分成两类, 一类是按Fourier 积分定理引进的Fourier 变换, 它要求原函数绝对可积, 这类可以称为经典或者古典Fourier 变换, 另一类是δ函数框架下的Fourier 变换. 虽然两者变换的原函数完全不同, 但是作为计算工具5并无太大差别.例 求xaxx f sin )(=, (0>a )的Fourier 变换 解: 利用定义来求[])()( 2121 2sin sin )()(ωωπωωωω----=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰∞∞---∞∞--∞∞---∞∞--a H a H dxxe i dx x e i dx e ix e e dx e x ax x ax F xa i x a i x i iax iax xi 因为⎩⎨⎧><=-a a a H ωωω0 1)(, ⎩⎨⎧->-<=--a a a H ωωω 01)(所以xaxx f sin )(=的像函数如图所示, 因为它的形状, 又被称为门函数.。
Fourier变换.
《积分变换》第一章 Fourier 变换 §.1 Four ier 积设f T (t)以T 为周期，在［-? T"］满足Dirichletf T (t)=亚 + 瓦 I a ^ jbne jn® t2 n =1 L 2变换是数学的灵魂.我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算.例如，解析几何中的坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减:alg(ab ^lg ^lgb, lg -^lg ^lgb.再取反对数变换复原.b积分变换 T:A T B , T(f) = F(U a f (t)K(t,d )dt ,af(t)壬 A 象原函数,F©)- B ――象函数,K(t,a )——核.它实现了从函数类A 到函数类B 的变换.在一定条件下可逆.积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用.主要应用：a .求解线性微分方程(组);b 信号处理.第一类间断点;20只有有限个极值点.则在［- p£］的连续点t 处，有 f T (t)二並+ 2+瓦(a n cosn® t 十 b nn =1sin n ⑷t), 其中2一〒， 21 =T, Ia nb n %T 』巧 f T (t)cos n ⑷ tdt, 2 T /=—f T (t)sin n« tdt,T /2(n =0,1,2,3，…) (n - 1,2,3/ ) 利用Euler 公式，转化成复数形式:cos® =丄(e" + e j) 2 ，sin® -1(e W e j 、 2j (…)收敛条件， 即: 10连续或只有有限个+ a n + jb n -j n « t2V f /T —j n T.b "I j«n t二心f 心d丁-T Tf T （t ）=f （t ）, tq 〒 2】.1 母-母.，"I ■. t—石J 亠卩亠fC )ej e*, t 匸(-处，+处),(3).称为Fourier 积分公式.它成立的条件如下.Fourier 积分定理.若f (t)在(S +处)上满足：1。
常用fourier变换表
常用fourier变换表傅里叶变换是一种重要的数学工具，常用于信号处理、图像处理、通信等领域。
以下是一些常用的傅里叶变换表：1.Fourier变换对：•时间域函数x(t) 的傅里叶变换X(f)：F{ x(t) } = X(f) = ∫[−∞, +∞] x(t) * exp(-j2πft) dt•频率域函数X(f) 的傅里叶逆变换x(t)：F^−1{X(f)} = x(t) = ∫[−∞, +∞] X(f) * exp(j2πft) df2.常见信号的傅里叶变换：•常数信号的傅里叶变换：F{1} = δ(f) （其中，δ(f) 表示狄拉克δ函数）•单频正弦信号的傅里叶变换：F{cos(2πf0t)} = 0.5 * [ δ(f - f0) + δ(f + f0) ]•矩形脉冲信号的傅里叶变换：F{rect(t / T)} = T * sin(πfT) / (πfT) （其中，rect(t / T) 表示矩形函数）•高斯函数的傅里叶变换：F{exp(-πt^2)} = exp(-πf^2)3.常见性质和公式：•傅里叶变换的线性性质：F{a * x(t) + b * y(t)} = a * X(f) + b * Y(f)•频率平移性质：F{ x(t - t0) } = X(f) * exp(-j2πft0)•时域和频域的缩放性质：F{ x(a * t) } = (1 / |a|) * X(f / a)•卷积定理：F{ x(t) * y(t) } = X(f) * Y(f) （其中* 表示卷积操作）这些是一些常见的傅里叶变换表中的内容，可以帮助我们理解信号在时域和频域之间的关系，进而应用到实际问题的分析和处理中。
请注意，这里只给出了部分常见的表达式和性质，实际的傅里叶变换表还包含更多的公式和变换对，具体的应用需要根据具体问题进行深入研究和理解。
Fourier变换与Laplace变换
附录F Fourier 变换、Laplace 变换§F.1 一维Fourier 变换在解微分方程的时候经常采用积分变换。
一阶微分方程，用一次积分变换就得到一个代数方程。
然后，求解这个代数方程。
最后，对其解作一次逆变换得到微分方程的解析解。
通常采用的积分变换有Laplace 变换、Fourier 变换。
这里先介绍一维的Fourier 变换： 函数()g t 的Fourier 变换()g ω定义为：()()i t g dt e g t ωω∞-=⎰（F.1-1a ）记为()()g g t ω≡⎡⎤⎣⎦F（F.1-1b ）这样自变量从原先的t 变成ω。
这是两个对应的自变量。
反过来，已知“象函数”()g ω可以通过逆变换得到“原函数”()g t ：()()i tg t d e g ωωω∞-∞=⎰（F.1-2a ）记为()()-1g t g ω≡⎡⎤⎣⎦F（F.1-2b ）Fourier 变换是一种线性变换，即：()()()()af t bg t af bg ωω+=+⎡⎤⎣⎦F （a 、b 为常数）（F.1-3）性质：（1）若()g t 是实的偶函数，则()g ω也是实的偶函数。
若()g t 是实的奇函数，则()g ω是虚的奇函数。
（2）伸缩：()1g at g a a ω⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭F （F.1-4）（3）翻转：()()g t g ω-=-⎡⎤⎣⎦F （F.1-5） （4）平移：()()00i t g t t g eωω+=⎡⎤⎣⎦F（F.1-6a ） ()()0-10i tg g t eωωω-+=⎡⎤⎣⎦F（F.1-6b ）（5）微分：()()()()()()n nn n n d ggt i g gt dtωω⎡⎤=≡⎣⎦F（F.1-7a ）()()()()()()()1n nn n nd g g it g t gd ωωωω-⎡⎤=-≡⎣⎦F（F.1-7b ） （6）卷积：()()()()1212g t g t g g ωω*=⋅⎡⎤⎣⎦F（F.1-8）其中()()()()()()ττττττ∞∞*≡⋅--⋅⎰⎰121212g t g t d g g t d g t g（F.1-9）§F.2 三维Fourier 变换任意三维变量r 的函数()V r ，其Fourier 变换()V k 定义为()()3/212i V d eV π⋅Ω⎛⎫≡ ⎪⎝⎭⎰k rk r r（F.2-1a ）或记为()()V V ≡⎡⎤⎣⎦k r F（F.2-1b ）注意：向量变量r 是在三维空间Ω中的， 体积元2sin d dxdy dz r dr d d θθφ==r（F.2-2）而向量变量k 是在对应的倒易空间Ω-1中的。
常用Fourier变换表
n = -¥
å Fn e
¥
jwnt
, where
1T Fn = ò f (t )e - jw 0 nt dt T 0
Signals & Systems - Reference Tables
3
Some Useful Mathematical Relationships
e jx + e - jx cos( x) = 2 e jx - e - jx sin( x) = 2j cos( x ± y ) = cos( x) cos( y ) m sin( x) sin( y ) sin( x ± y ) = sin( x) cos( y ) ± cos( x) sin( y ) cos(2 x) = cos 2 ( x) - sin 2 ( x) sin( 2 x) = 2 sin( x) cos( x) 2 cos2 ( x) = 1 + cos(2 x) 2 sin 2 ( x) = 1 - cos(2 x) cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = 1 2 cos( x) cos( y ) = cos( x - y ) + cos( x + y ) 2 sin( x) sin( y ) = cos( x - y ) - cos( x + y ) 2 sin( x) cos( y ) = sin( x - y ) + sin( x + y )
Table of Fourier Transform Pairs
Function, f(t)
Definition of Inverse Fourier Transform
Fourier Transform, F(w)
对离散fourier变换公式四种形式的讨论
对离散fourier变换公式四种形式的讨论Fourier变换是一种广泛应用于信号处理、图像处理、声音处理等领域的数学工具。
离散Fourier变换是Fourier变换的一种离散形式，用于对离散信号进行频域分析。
离散Fourier变换公式有四种不同的形式，本文将对这四种形式进行讨论。
一、正向离散Fourier变换公式正向离散Fourier变换（DFT）公式是将一个离散信号转换为它在频域中的表示。
设$x(n)$为长度为$N$的离散信号，则它的DFT表示为：$$X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-i2pi kn/N},k=0,1,cdots,N-1$$其中$i$为虚数单位。
公式中的$X(k)$表示信号在频域中第$k$个离散频率上的振幅和相位。
DFT公式是一种线性变换，因此可以用矩阵形式表示：$$begin{bmatrix} X(0) X(1) vdots X(N-1) end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 1 & e^{-i2pi/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)/N} vdots & vdots & ddots & vdots 1 &e^{-i2pi(N-1)/N} & cdots & e^{-i2pi(N-1)(N-1)/N} end{bmatrix} begin{bmatrix} x(0) x(1) vdots x(N-1) end{bmatrix}$$ 这个矩阵称为DFT矩阵，它的逆矩阵称为IDFT矩阵，可以用来进行反向DFT变换，将频域信号转换回时域信号。
二、反向离散Fourier变换公式反向离散Fourier变换（IDFT）公式是将一个离散频域信号转换为它在时域中的表示。
设$X(k)$为长度为$N$的离散频域信号，则它的IDFT表示为：$$x(n)=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{i2pi kn/N},n=0,1,cdots,N-1$$公式中的$x(n)$表示信号在时域中的振幅和相位。
傅里叶变换Fouriertransform
傅立叶变换
例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式，得
例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换 傅立叶变换
狄拉克函数
本章小结
傅立叶级数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数功能。
作 业
P73 6-2 (3) (1) (3) (1)
实施：
展开公式
困难
展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。
解决方法： 把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式： 展开公式：
展开系数：
取极限： 傅立叶变换：
傅立叶积分：
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)；
典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数
添加标题
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
01
添加标题
常用傅立叶变换表
时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移, 变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8表示和的卷积—这9矩形脉冲和归一化的sinc 函数10变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
11tri 是三角形函数12变换12的频域对应13高斯函数 exp( − αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
141516a>017变换本身就是一个公式18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19 变换23的频域对应20 由变换3和24得到.21由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2.22 由变换1和25得到23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.25 变换29的推广.26 变换29的频域对应.27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.。
4_4 Fourier变换
一些典型信号的傅立叶变换
一,门函数 二,单边指数函数 三,直流信号 四,符号函数 五,冲激函数 六,冲激偶 七,阶跃函数
ωτ gτ (t ) τ S a 2 1 α t e ε (t ) ,α > 0 α + jω 1 2 πδ (ω ) 2 sg n ( t ) jω
δ (t ) 1 δ ' ( t ) jω
F ( jω ) = 1 f (t ) = 2π
∫ ∫
∞
∞ ∞
f (t )e
jω t
d t = F [ f (t )]
1 Fn = T f (t ) =
∫
T 2 T 2 ∞
f (t )e j n t d t
∞
F ( jω )e jω t d ω = F 1[F ( jω )]
n = ∞
∑Fe
n
f (t )
∫
∞
∞
f (t )e jω t d t
∫
∞ ∞
0
e
(α + jω ) t
dt
E 1
-e
(α + jω ) t ∞
α + jω
1 = α + jω
0
O
t
e
幅度频谱 F ( jω ) = ω = 0, ω → ±∞ ,
α t
1 ε (t ) α + jω
1 E
F( jω F(ω) )
j n t
简写 f (t) F( jω)
有两个名称? 为什么 F ( jω ) 有两个名称? 1 . 频谱密度函数: 反映 f (t ) 的频率信息,与 Fn 对应. 对应. 频谱密度函数: 的频率信息, 2 . Fourier 变换:以及逆变换是时 域和频域的桥梁, 变换: 域和频域的桥梁, 是频域分析的工具. 是频域分析的工具.其 重要性超过 Laplace 变换和 变换. Z 变换. y (t ) = f (t ) * h(t )
Fourier变换
Fourier 变换①从Fourier 级数（对周期函数而言）到Fourier 积分（对非周期函数而言）； 基于基频频率02Tπω=，当为周期函数时，T 是有限大小，可以将周期函数分解成为基频及基频整数倍的频率信号；当为非周期信号时，即T 是无限大时，基频将会变得非常小，以至于频率分量取遍所有的频率。
②从Fourier 级数的三角表示到Fourier 级数的复数表示 基于欧拉公式：cos jsin j e θθθ=+，cos θ和sin θ可以表示为：cos 2sin 2j j j j e e e e θθθθθθ--+=-=Fourier 级数的复指数形式：0(t)jn t T n n f c e ω+∞=-∞=∑其中0/2/21(t)e T jn t nT T c f dt Tω--=⎰。
③此时可以得到非周期函数的Fourier 变换为：()(t)e 1(t)()2j t j tF f dtf F e d ωωωωωπ+∞--∞+∞-∞==⎰⎰④Fourier 级数和Fourier 变换以不同的形式反映了周期函数与非周期函数的频谱特性，通过单位脉冲函数δ函数将两者统一起来表示，形成广义的Fourier 变换。
基于δ函数的几个基本性质： 定义:当0t ≠时，(t)0δ=；(t)dt 1δ+∞-∞=⎰.筛选性质：00(t t )f(t)dt (t )f δ+∞-∞-=⎰偶函数：(t)(t)δδ=-单位阶跃函数与脉冲函数关系：[u(t)](t)dt (t),(t)td u dtδδ-∞==⎰ δ函数表示方法：δ函数的Fourier 变换基于以下几个基本的变换，可以将非周期与周期信号统一起来：()(t)e1j tj tt F dt eωωωδ+∞--=-∞===⎰；11[1](t)2j t F e d ωωδπ+∞--∞==⎰得到最重要的公式：2(t)j t e d ωωπδ+∞-∞=⎰ ⑤Fourier 变换的基本性质 位移性质：00010[f(t t )]e ()F [F()]e(t)j t j tF F f ωωωωω---=-=物理意义：当一个函数（或信号）沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不变，但是相位发生变化；逆变换则是用来进行频谱搬移，对信号进行旋转变换，得到信号频率的移动。
Fourier变换简介
Fourier变换的物理意义 变换的物理意义——频谱 4. Fourier变换的物理意义 频谱 4.1 4. 非正弦的周期函数的离散频谱
a0 ∞ f (t ) = + ∑ (an cos nwt + bn sin nwt ) 2 n =1 f (t ) = Cn e jwnt ∑
+∞
An = an + bn
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ (an cos(nω t ) + bn sin(nω t )) 2 n =1
2 T a0 = ∫ 2T fT (e)dt T −2
2 an = T
(1.1)
∫
2 bn = T
∫
T 2 T T − 2 T 2 T T − 2
(t ) cos(nω t )dt
(n = 1, 2 , 3 ,L )
fT ( t )的离散振幅频谱；
fT ( t )的离散频谱；
fT ( t )的离散相位频谱； n ∈ Ζ.
这种频谱图称为离散频谱 离散频谱，也称为线状频谱 离散频谱 线状频谱
4.2 4.2 连续频谱 在频谱分析中, Fourier变换F(ω)又称为f(t)的频谱 函数, 而它的模|F(ω)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频 谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一 个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.
−βt
jω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个Fourier
变换对。 1 +∞ 证 f (t) = ： F(ω)ejωtdω ∫−∞ 2π 1 +∞ jω0t jωt jωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π jω0t 即 和 πδ (ω −ω0)构 了 个 e 2 成 一 Fourier变 对 换 。 由上面两个函数的变换可得
傅里叶变换 - 维基百科,自由的百科全书
代表狄拉克δ函数分布.这 个变换展示了狄拉克δ函数的重 要性：该函数是常函数的傅立叶 变换
变换23的频域对应
由变换3和24得到.
由变换1和25得到，应用了欧拉 公式:
由变换1和25得到
这里, 是一个自然数. 是狄拉克δ函数分布的
阶微分。这个变换是根据变换7 和24得到的。将此变换与1结合 使用，我们可以变换所有多项 式。
7/8
三元函数
时域信号
角频率表示 的
傅里叶变换
参见
正交变换 傅里叶级数 连续傅里叶变换 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 傅里叶分析 拉普拉斯变换 小波变换
参考资料
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
此球有单位半径；fr是频率矢量的量值 {fx,fy,fz}.
1. ^ 林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974
时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确 定性原理的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连 续则意味着在对应域的信号的非周期性.
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其中an和bn是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广 过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
Fourier变换
n =−∞
∑ce
n
+∞
inωt
=
n =−∞
∑ce
n
+∞
iωnt
,
1 T2 ωn = nω = 2nπ T , cn = ∫ fT (t )e−iωnt dt T −T 2
6
1 T2 − inωt 合并为：cn = ∫ fT (t )e dt ( n = 0, ±1, ±2,L) T −T 2
级数化为： cn einωt ∑
n =−∞ +∞
1 +∞ T 2 = ∑ ∫ fT (τ )e − inωτ dτ einωt T n=−∞ −T 2
2
t
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
傅里叶级数 定理8.1
T T fT (t)为T − 周 函数 在− , 上满 期 ， 足 2 2 Dirichlet条 ： 件 • fT (t)连续 仅 有 个 或 有 限 第一 间 点 类 断 ； • fT (t)仅有 限 极 点 有 个 值 则 T (t)可 开 Fourier级数 且 连 点处 立 f 展 为 ， 在 续 t 成 ： a0 ∞ fT (t) = + ∑( an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n=1
a0 an − ibn an + ibn 1 T2 令 c0 = , cn = , dn = , 则 c0 = ∫ fT (t )dt 2 2 2 T −T 2 1 T2 1 T2 cn = ∫ fT (t ) [ cos nω t − i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T e−inωt dt T −T 2 T −T 2 1 T2 1 T2 d n = ∫ fT (t ) [ cos nω t + i sin nω t ] dt = ∫ f (t )T einωt dt ∆ c− n T −T 2 T −T 2 ( n = 1,2,L) (c− n = cn )
第一章fourier变换
jwn t
(w n = nw )
当T
?
， Tlim f T ( t ) = f ( t )
f (t ) =
蝌 2p
1
+? - ?
轾 犏 犏 臌
f (t )e
- j wt
dt e
jwt
dw
三 Fourier 积分定理：
f (t )
在 (-
? ,
) 满足下列条件:
(1) f ( t ) 在 任 何 有 限 区 间 上 满 足 展 开 为 Fourier 级数的条件,即只存在有限个第一类间断 点和有限个极值点； (2)
F2 ( w ) = F [ f 2 ( t )] 则
F1 ( w ) = F [ f 1 ( t )]
，
F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F1 ( w ) + b F2 ( w ) = a F [ f 1 ( t )] + b F [ f 2 ( t )]
F
- 1
1 2
ò
0
ì f (t ) t 贡 1 ï ï sin w cos w t dw =ï 1 í ï w t= 1 ï ï 2 î
+
当 t = 0 时， ò0
sin w w
dw =
p 2
——Dirichlet 积分
§1.2 Fourier变换
一 Flourier 积分
f (t ) = 1 2p
+ ?
f
(n)
(0 )
-
+
由于 F ( w ) = F [ d ( t )] =
ò
d (t )e
-
第五章 Fourier变换
0 M
5.2 快速Fourier变换（FFT）
1 M F ( M ) Fe ( M ) wN Fo ( M ) 2 1 M Fe ( ) wN Fo ( ) 2
M M M wN wN wN wN exp( j 2 N )
压缩率为：3.3 1.7： 2.24 ： 11
另一幅图像效果
Fourier变换的压缩原理
压缩率为：16.1 8.1： 10.77 ： 111 ：
返回
变换系数刚好表现的是各个频率点上 的幅值。在小波变换没有提出时，用来进 行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频 反映景物概貌的特性。往往认为可将高频 系数置为0，骗过人眼。
5.3 二维Fourier变换的应用
3. Fourier变换在卷积中的应用:
从前面的图像处理算法中知道，如果 抽象来看，其实都可以认为是图像信息经 过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化 滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂 时，直接进行时域中的卷积运算是不可思 议的。
f3
f7
5.2 快速Fourier变换（FFT）
f0 f4 f2 f6 f1
奇 数 区
0 F (0) (0) 1 f w 0 2 f4 2
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
偶 数 区
F (1)
( 0)
1 2
F ( 2) (0) 1 2 F ( 2) (1) 1 2
,u v 0 , u v 1,2,...N 1
直流系数
1 C (0,0) MN
M 1 N 1 x 0 y 0
c(i, j ),0 i j MN ) ，交流系数为 f ( x, y