复变函数的极限和连续
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复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数第二章
z → z0
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
复变函数第一章(第二讲)
z → z0
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
复变函数的极限与连续性
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，
第2章 复变函数
( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2
复变函数论第1章第3节
z → z0 z∈E
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
复变函数第二章 1-2
二、连续性 定义 6.2 若 lim f ( z ) = f (z0 ) , 则称 f ( z ) 在 z0 点连续 ; z→ z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
复变函数的极限与连续
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数
盐城工学院基础部应用数学课程组
z Re( z ) 例1 计算函数 f ( z ) 在 z 0 的极限. z
解 设z x iy，则 f ( z )
x2 x y
2 2
i
xy x2 y2
u( x, y )
x2 x y
2 2
, v( x, y)
2 2
xy x2 y 2
根据复数的乘法公式可知,
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成 w 平面上与实轴交角为 2 的角形域 .
盐城工学院基础部应用数学课程组
定义虽然在形式上相同 , 但在实质上要求苛刻得多
.复变函数、极限、连续的等价条件 2.
① 一个复变函数对应于两个二元实变函数； ② 复变函数的极限存在等价于两个二元实变函数 极限同时存在； ③ 复变函数连续等价于两个二元实变函数同时连续.
盐城工学院基础部应用数学课程组
作业
习题一: 31,32
盐城工学院基础部应用数学课程组
z 2 . 例3 计算 lim z i z 1 z 2 z 2 i 2 1 3i 在z i处连续， 故 lim . 解 因为 z i z 1 z 1 i 1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
2.连续函数的性质 (1)连续函数的和差积商仍然连续；
f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z)
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 例1 证明 w 是定义在除原点外的整个复平面上 z 的复变函数.
证 令z x iy,
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
复变函数
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
lim f(z) = f(z0)
在集 E 上连续.
则称 f(z) 在 点z0 连续.若 f(z) 在集 E 的每一个聚点连续, 则称f(z) 注: 设 z = x+iy, z0 = x0+i y0, f(z) = u(x,y) + i v(x,y). 则
z → z0 z∈E
lim f(z) = f(z0) = u(x0, y0) + i v(x0, y0) ⇔
这一映照可以看成由 ω = 对于复变函数 f(z), 由于 f(z) ∈ C, 故而一般地有表示:
1
f(z) = u(x,y) + i v(x,y),
2 2 2
(x,y) ∈ E.
2 2 2
例 4: w = f(z) = z = (x+iy) = x - y + 2xyi. 则 u(x,y) = x - y , v(x,y) = 2xy. 下面我们讨论复变函数的极限与连续性. 定义: 设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有 | f(z) - α | < ε 则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作
第二章
复变函数
（Complex Variable Functions）
本章介绍复变函数及其极限与连续等的概念与性质; 引入判断函数可微和解析的主要条 件---柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件; 把实的初等函数推广到复数域上并研究复变函数的 性质, 其中包括几类多值函数的性质；最后引入了调和函数的概念，给出调和函数和解析函 数之间的关系。
复变函数的极限与连续
定义：设复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 的定义域为复数集合 E ，z0 是 E 的聚点，如果有一确定的数 A
存在，对于任意给定的 0 ，都有 0 存在，当 0 | z z0 | ，
z E 时，有
| f (z) A || u iv A |
实变函数的极限。因此，求复变函数的极限问题可转化为求
该函数的实部和虚部的极限问题。
复变函数的极限与实变复值函数的极限有类似的四则运
算法则。
定理 4:
如果 lim zz0
f
(z)
A, lim zz0
g(z)
B,
那么
1) lim [ f (z) g(z)] A B ， zz0
lim z(t) A
t t0lBiblioteka mt t0x(t)
x0
，
lim
t t0
y(t)
y0
。
注 1：这个定理告诉我们求实变复值函数
z z(t) x(t) iy(t) 的极限问题转化为求两个一元实变函数 x(t) 和 y(t) 的极限问题。
定理 2：实变复值函数极限的四则运算与实变函数极限 的四则运算法则完全一致。 2、复变函数的极限
复平面内连续。
注
2：有理分式函数
w
P(z) Q(z)
在复平面内使分母不为零的
点处是连续的。
1.6复变函数的极限与连续
二、函数的极限
1、实变复值函数的极限 定义：设实变复值函数 z z(t) x(t) iy(t) 的定义域为实
数集合T ，t0 是T 的聚点，如果 A数，对于 0 ，都有 0
存在，对于任意给定的 0 ，都有 0 存在，当 0 | z z0 | ，
z E 时，有
| f (z) A || u iv A |
实变函数的极限。因此，求复变函数的极限问题可转化为求
该函数的实部和虚部的极限问题。
复变函数的极限与实变复值函数的极限有类似的四则运
算法则。
定理 4:
如果 lim zz0
f
(z)
A, lim zz0
g(z)
B,
那么
1) lim [ f (z) g(z)] A B ， zz0
lim z(t) A
t t0lBiblioteka mt t0x(t)
x0
，
lim
t t0
y(t)
y0
。
注 1：这个定理告诉我们求实变复值函数
z z(t) x(t) iy(t) 的极限问题转化为求两个一元实变函数 x(t) 和 y(t) 的极限问题。
定理 2：实变复值函数极限的四则运算与实变函数极限 的四则运算法则完全一致。 2、复变函数的极限
复平面内连续。
注
2：有理分式函数
w
P(z) Q(z)
在复平面内使分母不为零的
点处是连续的。
1.6复变函数的极限与连续
二、函数的极限
1、实变复值函数的极限 定义：设实变复值函数 z z(t) x(t) iy(t) 的定义域为实
数集合T ，t0 是T 的聚点，如果 A数，对于 0 ，都有 0
复变函数的概念
性质1 在z0处连续的两个函数的和、差、积、 商 （分母不为0）仍在处z0连续。
性质2 函数 f (z) u( x, y) i v(x, y) 在 z0 x0 i y0
处连续
u(x, y) , v(x, y) 在( x0, y0 )处连续。
性质3 当函数 f (z) 在有界闭区域 D 上连续时，
v0
.
三、复变函数的连续性
1. 复变函数连续的定义
设 f (z) 在点 z0 的某邻域内有定义 ，若
lim
zz0
f (z)
f (z0)
则称 f (z) 在 z0 处连续。
若 f (z)在区域D 内每一个点都连续，则称函数 f (z) 在区域D内连续。
三、复变函数的连续性
2. 连续的复变函数的性质
一、复变函数的概念
2. 复变函数与实值函数的关系
设z=x+iy , w=u+vi与之，则 w=f(z)可写作 w=u+vi=f(x+yi)=u(x , y)+i v(x , y)
其中 u(x , y)与 v(x , y)为实值函数。比较上式的实部 和虚部可得到： u=u(x , y) , v= v(x , y)。
这样，一个复变函数 w=f(z)就相当于一对二元实值 函数u=u(x , y) , v= v(x , y) 。
从而 w=f(z)的性质就取决于u=u(x , y) , v= v(x , y) 的性质 。
一、复变函数的概念
2.复变函数的几何意义
如果复数 z和 w分别用Z 平面和 W 平面上的点表示，则函 数 w=f(z) 的几何意义是：
zz0
二、复变函数的极限
2. 复变函数的极限与实值函数的极限的关系
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
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场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
3.若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。
w f(zz)f(z)
lim lim
z z0
z0
z
存在，并且与 z 0 的方式无关，则称 w f (zz)
在 z 可导，并称这个极限f ( z值) 为 w f (z) 在 z 点的导
数，记作：
数学物理方法 第一章
5
例1：设 f(z)zn,求f'(z)
解:
f'( z ) l i m ( z z ) n z n l i m [ n z n 1 n ( n 1 ) z n 2z (z ) n 1 ]
( x ,0 )
（C为常数）
f(z) x 2 y 2 i(2 x y C ) z2 iC
数学物理方法 第一章
26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法二：
解：
vu2y,vu2x
x y
y x
d v 2 y d x 2 x d y d (2 x y )
所以 v2xyC
f(z) x 2 y 2 i(2 x y C ) z2 iC
数学物理方法 第一章
x x y y
所以：
u v,v u x y x y
柯西-黎曼条件(C-R条件)
说明：A: C-R条件的有限性
B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互
紧密联系的。
数学物理方法 第一章
12
三、导数存在的充分必要条件
f ( z ) 在B内点z可导的充要条件是：
函数f (fz
)
(
z
)
的偏导数
u , u , v , v 存在且连续，并且
数学物理方法 第一章
1
2.性质
数学物理方法 第一章
2
(二)复变函数的连续
1. 函数在某点连续的定义
w f (z) z 0
z z0
设 w f (z) 在 z 0 点及其邻域内有定义，并
且当 z z0 时，有：
lim f ( z ) f (z z0 ) f (z0)
zz0
则称函数 w f (z)在 z 0 点连续
解：设电场线方程为：v(x,y)=c
v u 2 y, v u 2x
x y
y x
dv v dx v dy 2 ydx 2xdy d (2xy) x y
电场v 线2方xy程为C 2xy C
数学物理方法 第一章
31
2. 平面无旋液流
由于无旋，速度矢量可表为某标量的梯度，该标量称速度 势。用一解析函数f的实部或虚部表示速度势，该解析函 数称该平面无旋液流的复势，其虚部或实部即是流量函数， 所代表的曲线族是流线族。
x y
y x
dv2ydx2xdy
所以
(x,y)
＝ 2 ydx 2 xdy 2 ydx 2 xdy C （C为常数）
v
(0,0)
（C为常数）
( x ,0 )
(x,y)
2 ydx 2 xdy ＋ 2 ydx 2 xdy＋C
(0,0)
( x,0)
(x,y)
2 xdy＝2 xy C
如何判断 f ( z ) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件： u , u , v , v
x y x y
在点 z 可导的必要条件是 u , u , v , v 存在，且满足C-
R条件：u vux,uyv,uyvvxx y x y x y y x
数学物理方法 第一章
9
证明：由导数的定义知， z 以任何方式趋于零时，极限
证明： u 梯度
uuiuj, vvivj
x y
x y
则 u • v ＝ ( u i u j ） • （ v i v j ） ＝ u v ＋ u v x y x y x x y y
由C-R条件 uv,vv,则u v＋u v＝0 x y x y x x y y
所以 u•v＝0
五、复变函数的极限和连续
(一)复变函数的极限
1.定义 设函数 w f (z) 在 z 0 点的某邻域内有定义，
若对于任意给定的
，总0 存在有
，
使得当 0
0时| z，就z0|
有 | f(z)w0| ，
w 则称 f ( z ) 当 z z0 时以
记为：
为极限,并
0
limf (z) w0
zz0
是以任意方式
limwlimf(zz)f(z)
z z0
z0
z
存在，且有相同的极限值，即 f ( z )与 z 0 的方式无关， 使我们可讨论沿x轴和y轴趋于零的情形
设 zxyi
w f(z z)f(z)
u(x x,y y)v(x x,y y)i u(x,y)v(x,y)i
数学物理方法 第一章
10
1. z 沿平行于X轴的方向趋于零， y0,zx
27
方法三：
vu2y,vu2x
x y
y x
将上面第二式对y积分，x视作参数，有
v2xy（ x）
其中 （ x） 为x的任意函数，将上式两边再对x求导
v 2y'(x)
x
由C-R条件'得(x：) 0 (x, ) C
（常数）
所以 v2xyC
f ( z ) x 2 y 2 i ( 2 x y C ) 数 学物( x 理方 法y 第i ) 一2 章 C i z 2 C 1 ( C 1 复 常 28 数 )
f(z)u(xx,y)v(xx,y)iu(x,y)v(x,y)i x
uvi x x
2. z 沿平行于y轴的方向趋于零，
x0,zyi
f(z)u(x,y+y)v(x,y+y)iu(x,y)v(x,y)i yi
v u
i
y y
数学物理方法 第一章
11
因为在 ( x , y ) 可导，因此 uvi vui
注意：连续的定义比实变函数要求更严格
连续函数：
在区域B内各点均连续的函数称为在区域内B的连续函数
数学物理方法 第一章
3
思考：
1
f(z)ez在 原 点 极 限 ？ ， 是 否 连 续 ?
数学物理方法 第一章
4
1.3
一、导数
导数
1.导数的定义：设函数 w f (z) 是在区域B中定义的单
值函数，对B内某一点 z ，若极限
数学物理方法 第一章
20
三、解析函数的性质
1.正交性( u•v＝0 )
若函数f ( x ) u i v 在 区 域 B 上 解 析 ， 则 其 实 部 和 虚 部 梯 度 正 交
或 者 u ( x , y ) C 1 , v ( x , y ) C 2 是 区 域 B 上 的 两 组 正 交 曲 线
数学物理方法 第一章
21
1.调和性（2u0,2v0）
若函数 f ( z ) u i v 在 区 域 B 上 解 析 ， 则 其 实 部 和 虚 部 都 是 调 和 函 数
数学物理方法 第一章
22
B
数学物理方法 第一章
23
四、解析函数的求解
由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过 C-R条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则 可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。 1.证明： 函 数 解 析 ， 则 u , v 可 微 并 满 足 C - R 条 件
3. 平面温度场
同样可用一解析函数，其实、虚部可分别代表温度分布和 热流量函数，对应曲线族分别是等温线族和热流线族。
数学物理方法 第一章
32
本章小结： 书面作业：
P18：1, 2(1),(4),(7), (9), 3
数学物理方法 第一章
33
数学物理方法 第一章
24
2.方法 1.曲线积分法 全微分的积分与路径无关，故可以选取特 殊积分路径，使积分容易算出
2. 凑全微分显示法 把du的等式右边凑成全微分显示
3. 不定积分法