电子科技大学概率论-c4-3

是计算X、Y 的方差和协方差.
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解 先计算 E(X), E(Y)
E(X) x(fx,y)dxd1dyx2(1x)6x2ydy
00
112x2(1x)2dx2
0
5
E(Y)y(fx,y)dx d1ydx2(1x)6x2 ydy
00
116x(1x)3dx4
0
5
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的协方差矩阵.
c11 c12 ... c1n
C c21
cFra Baidu bibliotek2
...
c2n
. . ... .
cn1
cn2
...
cnn
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其中有 Cov( X,Y )=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
D(X)= cov(X,X )
例4.3.6
三、协方差矩阵的性质
1 ） c i iD (X i), i 1 ,2 ,.n ; ..,
标准化随 机变量的
为随机变量X与Y 的相关系数.
协方差
注 1）ρXY是一无量纲的量.
2）XY E[X D E (X (X ))Y D E (Y (Y ))]
E [X *Y*]C(o X *v ,Y*)
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性质 设随机变量X,Y 的相关系数ρ存在，则 1） |ρ|1;
2） |ρ|＝1
X与Y 依概率为1线性相
其中 D(X)=E{[X－E(X)]2}=E(X2) －[E(X)]2
注意到 μ2=D(X), γ1=E(X), γ2=E(X2)
221
更一般的, 因μ1=0, 可得 k与k的关系： kE(Xk)E{X [ E(X)E(X)k]}
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E{[X(1)1]k}
k
CkiiE[(X1)ki]
D (X ) D (X )
对1 同理可.证
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""充分性
若 P { Y X } 1 ,
E (Y )E (X ), D(Y)2D(X),
C ( X , o Y ) E v { X [E ( X )Y ] E [ ( Y )]}
E { X [E ( X ) ] X [ E ( X )]}
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一.协方差 定义4.3.1 若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在，
称 Cov( X,Y )=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
为随机变量(X,Y)的协方差.
有 D(X)= Cov(X, X )； D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y )
协方差的性质 1.Cov( X, Y )＝ Cov( Y, X ) ；
X与Y依概率为1 线性相
关，即 , ( 0 ) 使 ,P { Y X } 1 .
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证明" ："必要性
1时 由 1） 有
D(XY)0, E(X*Y*)0.
由方差的性质 4）得
P {X Y E (X Y ) }1 ,
即P{XY0}1, 或者
P Y － D (Y )X D (Y )E (X )E (Y ) 1 .
n 1C(oX 1v ,X 1)n 1i n2C(oX 1v ,X i)
n1D(X1)
2 n
.
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定理证明
1） | |1
证 0 D 明 ( X Y ) ： D ( X ) D ( Y ) 2 cX o ,Y v )
22XY2(1XY)
1X Y0, XY1.
2） |ρ|＝1
注2 若(X,Y)~N(μ1,σ21; μ2 , σ22; ρ) ,则
X, Y 相互独立 参见P116 例4.4.6
ρXY＝0 .
例4.3.3 例4.3.4
例4.3.5
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定义4.3.3 设n 维随机变量(X1,X2,…,Xn) 的协
方差
Cij = Cov( Xi , Xj )
均存在, 称矩阵 C(cij) 为(X1, X2 ,…, Xn)
D(X).
XY
coX v ,Y()
1.
D (X) D (Y) 2
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例4.3.3 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内 服从均匀分布
f(x,y)1, x2y21; 0, 其它 .
fX(x) 11 xx221dy21x2, 1x1;
0,
其它
同
理
2 fY(y)
1y2 ,
1y1;
E ( U ) 0 P X Y { } 1 P X Y { } 3 /4 E ( U 2 )
D(E U (U 2 ))[E (U )2]393, 41616 y
同 E ( V )理 1 /2 , D ( V ) 1 /4 ,
G
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O
x
UV 的分布律为 0, X2Y;
a{ b X [ E E (X )Y ] [ E (Y )]}
abC(X o,Yv). 常用计算公式
cov( X,Y )＝E(XY) －E(X)E(Y)
例4.3.1
例4.3.2
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二、相关系数
定义4.3.2 设二维随机变量X,Y 的D(X)>0,
D(Y)>0 , 称
XY
Co(vX,Y) D(X) D(Y)
称αk =E(|X|k), k=1,2,3…..为X的 k 阶绝 对原点矩.
定义4.3.5 设 X 为随机变量,若E[|X－E(X)|k] < +∞, 称
μk= E{[X－E(X)]k} k=1,2,3….. 为X的k 阶中心矩.
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称 βk =E[|X－E(X)|k] k=1,2,3…..为X 的k 阶绝对中心矩.
故 Cov(X, Y)=E (XY)－E (X) E(Y) = E (XY）
xy dxdy
x2 y2 1
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10 10 2r3si n co ds d r0.
例4.3.2 设随机变量 X 1 ,X 2 , X n ,(n 1 )
相互独立同 分布，且其方差为 2 0 ，令
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X1X2
coX v1,(X2) E(X1X2)E(X1)E(X2)
D(X1) D(X2)
D(X1) D(X2)
2 3
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例4.3.6 设二维随机变量 (X, Y ) 的联合概 率密度为
f(x,y) 0 6 ,x,y0x其 1 ,0 . 它 y2 (1x);
求: (X, Y )的协方差矩阵。 分析 计算(X, Y )的协方差矩阵, 本质上就
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2.Cov( aX, bY )＝ ab Cov( X,Y ), a, b是常数； 3.Cov( X1+X2 , Y )＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ). 证 2 ） C ( a ,o b X ) E v Y { a [ a X ( X ) E b ] b [ Y ( Y ) E ]
2）ρXY＝1，则α<0 称 X, Y 负相关；
3）ρXY＝0，称 X, Y 不相关.
注2 ρXY＝0 仅说明X, Y 之间没有线性关系，
但可以有其他非线性关系.
参见讲
义P114
例4.4.4
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定理4.3.1 若随机变量X 与Y 相互独立， 则X 与Y 不相关，即有 ρXY＝0 . 注1 此定理的逆定理不成立, 即由ρXY＝0 不 能得到X 与Y 相互独立.
1 , X i 0 ,
抽i等 到 ; 品 其 . 它 (i1 ,2 ,3 )
求 X 1X 2
需求
X 1 X 2D c(X o 1 X )1 ,D v X (2 X )( 2)E (X 1 D X ( 2 X ) 1 )E (D X (1 X )E 2)(X 2)
关键是求E(X1X2)
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求出X1X2分布律
解 由已知可得
E(X1)0P{抽到非一} 等品
1P{抽到一}等 0.品 8
D (X 1 ) 0 .8 (1 0 .8 ) 0 .16
同 E ( X 理 2 ) 0 .1D ( X 2 ) 0 .09
1, 抽到一等品同时等抽品 ;到二
X1X2 0,
其它 .
E(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋0×P{X1X2=0} =1×0 ＋0×1=0
0,
其.它
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已计算得 Cov(X, Y)=0.
可以 D (验 X )0,证 D (Y )0 ,
从而 X Y0 .
当x2+y2≤1, f(x ,y )fX (x )fY (y ),
随机变量不相关不一定相互独立!
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例4.3.4 设二维随机变量（X, Y）在矩形
G={(x, y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀
i0
k
Cki i ki
i0
k
同 理k 1kiCki1kik
i0
数学期望 线性性质
随机变量的矩是数！！！
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例4.3.1 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内
服从均匀分布
f(x,y)10,,
x2y21; 其.它
求Cov(X, Y) .
解 因E (X ) xfX (x )d x 1 12 x1 x 2d x 0 ,
UV1, X2Y. V 故 E (U) V E (V )1/2 ,
co Uv),(VE (U) V E (U )E (V ) ρ U VD (U )D (V ) D (U )D (V )
124312 3 13614 3
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例4.3.5 某集装箱中放有100件产品, 其中 一、二、三等品分别为80、10、10件. 现从 中任取一件，记
2 ） c ij cj,i i,j 1 ,2 ,.n .;.,
对称阵 3）C是非负定矩阵；
4） ci2jciicjj, i,j1,2n ,...,
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四.矩 定义4.3.4 设X为随机变量, 若E(|X|k) < +∞,
称 γk= E(Xk) k=1,2,3…..
为X的 k 阶原点矩.
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2] 1 (2)2 1 5 5 25
D (Y )E (Y 2) [E (Y )2] 4 (4)2 4 5 5 25
为计算协方差, 计算 E(XY )
E (X)Y xy (x,fy)dxdy
1dx2(1x)6x2y2dy116x2(1x)3dx4
关. 即 存 在 ,,(0),
P {YX}1
证明
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关
程度的数字特征.
练习 将一枚硬币重复抛掷n次, X, Y 分别表示
正面朝上和反面朝上的次数，则ρXY＝ －1
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注1 若随机变量X, Y 的相关系数ρXY存在,
1）若ρXY＝1， P {YX}1
中的α>0, 称 X, Y 正相关；
§4.3 协方差.相关系数与矩
当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个 方面.
本节介绍的协方差、相关系数就是描述 随机变量之间相互关系的数字特征.
D(X＋Y)=D(X)＋D(Y)+2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
D(X－Y)=D(X)＋D(Y)－2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
Y
1 n
n
i 1
X
i
计算协方差 Co(vX1,Y).
解 因 X1，X2， Xn相互独立，故
C ( X 1 , X i o ) E ( X 1 v X i ) E ( X 1 ) E ( X i ) 0 ,( i 2 , 3 , , n )
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Co(Xv1,Y)n 1Co(Xv1,i n1Xi)
为计算方差, 再计算 E(X 2), E(Y 2)
E (X 2) x2f(x,y)dxdy
1dx2(1x)6x3ydy11x23(1x)2dx1
00
0
5
E (Y2) y2f(x,y)dxdy 01dx02(1x)6x3ydy0124x(1x)4dx54
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得到
分布．记
0, XY;
0, X2Y;
U 1, XY. V 1, X2Y.
求ρUV .
分析 UV
c oU v,V () D(U) D(V)
y
E(UV)E(U)E(V)
G
D(U) D(V)
O
x
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关键是求E(UV)
可先求出UV分布律.
解 由已知可得
f(x,y)10/,2,
(x,y)G; 其.它
E(Z) = 2 E(X)－E(Y) + 3 = 2－0 + 3 = 5
00
0
15
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得到 Cov( X, Y ) 4 24 4
15 5 5 75
于是, (X, Y ) 的协方差矩阵为
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例4.3.7 设随机变量 X、Y 相互独立, X ~ N(1, 2), Y ~ N(0, 1), 求 Z = 2X－Y + 3 的概率密度.
解 Z是相互独立的正态分布随机变量X、 Y 的线性组合, 故 Z也服从正态分布; 计算 Z 的均值和方差, 有