(Lyapunov)稳定性理论李雅普诺夫
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫方法（Lipunov Method）是一种分析系统的动力学性质的方法，它可以用来估计系统的稳定性和收敛性。
它也被称为“Lyapunov函数”或者“Lyapunov理论”。
这种方法最初是由俄罗斯物理学家谢尔盖·李·雅普诺夫（Sergi Lyapunov）提出的。
李雅普诺夫方法是一种可以用来评估系统的稳定性和收敛性的动态分析方法，它是基于系统中用于表示系统状态的状态变量的无穷级数而设计的。
这种方法被广泛应用于工程、科学和数学领域，用于对各种动力学系统的性能进行研究。
在李雅普诺夫方法中，通常使用一个叫做Lyapunov函数的函数来表示系统的状态。
Lyapunov函数是一个满足特定条件的函数，它表示系统当前状态与其原始状态之间的差异。
Lyapunov函数的计算依赖于系统中的状态变量，因此，通过计算Lyapunov函数，可以检测出系统内部是否存在不稳定性（即状态变量的变化率大于期望）。
李雅普诺夫方法可以用来识别系统的稳定性，以及在系统状态发生变化时，系统的性能如何受到影响。
在工程和科学应用中，李雅普诺夫方法可用于模拟和分析系统的行为，以及系统的性能如何受到不确定性因素的影响。
李雅普诺夫方法有许多优点，其中最重要的是它可以用来判断系统的稳定性和收敛性，并评估系统性能的变化情况。
此外，它还可以用来分析系统中存在的非线性关系，以及系统在非线性环境下的行为。
它也可以帮助人们更好地理解系统的行为，从而改善系统的性能。
总之，李雅普诺夫方法是一种用于分析系统的动力学性质的有效方法，它可以用来估计系统的稳定性和收敛性，并且可以分析系统的行为，从而改善系统的性能。
李雅普诺夫稳定性理论
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe 1
0
0
0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
lyapunov稳定性定理
lyapunov稳定性定理
利亚普诺夫稳定性定理（Lyapunov Stability Theorem）又称Lyapunov稳定性理论，是动力系统的重要理论。
它指出系统在某一特定的时刻，状态小波动就代表它处于局部稳
定状态，通常多用在系统的辨识与控制中。
利亚普诺夫稳定性定理的研究始于19世纪末的俄罗斯数学家A.A.利亚普诺夫
（A.A.Lyapunov），他为了提出一种新的考虑系统稳定性的方法，建立了系统稳定性理论，他发现当系统受到轻微外界干扰时，系统原有状态稳定。
也就是系统可以从初始条件处来
改变，但当线性变化改变系统状态时，系统不会有大的变化，即系统对外力具有一定的抗
冲击能力，从而使系统状态保持稳定。
此外，利亚普诺夫稳定性定理还表明，动力系统内的任意状态都可以分析，并且可以
在限定的正负范围内变化，以达到稳定的状态。
因此，本定理可以用于设计稳定系统，通
过这种稳定性定理可以比较有效地设计出省电系统和多遥控系统，减少自控系统的延时及
响应时间。
此外，利亚普诺夫稳定性定理还可以用来测试非线性系统的稳定性，它可以为控制理
论提供一个稳定分析的方法，有助于我们对扰动的变换的分析，它可以推导出系统的状态
变化及状态变化的范围等结果。
综上所述，利亚普诺夫稳定性定理是目前最有效的动力系统理论，它不仅帮助我们充
分理解系统内部状态的转变和变化，而且可以有效控制系统状态，这对提高系统运行的稳
定性和可靠性具有重要的意义。
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫99页PPT
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
李雅普诺夫Lyapunov稳定 性理论李雅普诺夫
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
李雅普诺夫意义下的稳定
则称平衡状态为一致渐近稳定。
(5)时不变系统的渐近稳定属性
对于时不变系统，不管线性系统还是非线性 系统，连续系统还是离散系统，平衡状态xe 的渐近稳定和一致渐近稳定为等价。
3 大范围渐近稳定
当系统满足渐近稳定,而且从状态空间中所有初始 状态出发的轨线都具有渐近稳定性,则这种平衡状 态是大范围渐近稳定. 必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态.对于 线性系统,不管是时不变系统还是时变系统，连续系 统还是离散系统，如果平衡状态xe=0是渐近稳定的, 则必然也是大范围渐近稳定.
经典控制中的稳定性即判据
适用于线性时不变系统
李亚普诺夫意义下的稳定性，内部稳定，还可用系 统综合
1892年 Lyapunov
适用于各类系统: 线性,非线性 第一法（间接法）
李亚普诺夫稳定性理论基本内容
第二法（直接法）
4
控制系统的稳定性
第一方法(间接法)： 对线性系统求解特征方程 对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程
平衡状态
齐次状态方程
x f (t; x0 , t0 )
xe
平衡状态
一个或多个平衡状态
线性系统
Ax x
Axe 0
A 0，唯一解, xe [0] A 0，多个解, 多个平衡状态
4
控制系统的稳定性
1 x1 x
3 x2 x1 x2 x2
例如：求下列系统的平衡状态
（4）一致渐近稳定 若对取自时间定义区间的任意初始时刻t0，由任给实数ε>0 都存在与初始时刻t0无关的实数δ(ε)>0 ，由实数δ(ε)和任给 实数 都存在与初始时刻t0无关的实数 ,使得相 (t , x0 , t0 ) 应受扰运动 相对于平衡状态为有界且满足 (t; x0 , t0 ) xe , t t0 T (, )
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫稳定性理论
非线性系统的稳定性
李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性 系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了 对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统状态的运动及平衡状态
状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为
x& f [x, t]
(1-1)
式中：x—n维状态矢量；f—与x同维的矢量函数；是 xi和时间
与稳定性相关的几个定义 x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： 则 x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 当很小时，则称s()为xe的邻域。 如系统的解 x (t; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性
x1 ，a等效增益为常值， 即线性段斜率；
而 x1 ，a输出饱和，等
效增益随输入信号的加 大逐渐减小。
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性的影响 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的平 稳性有利。 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时，将 使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。 带饱和的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有 收敛的性质，系统最终可能稳定，最坏的情况就是 自振，而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。
1.1 非线性系统相关基本概念
回环（间隙）特性
x1表示输入 x2表示输出
b 表示间隙。
1.1 非线性系统相关基本概念 回环（间隙）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
1.1 非线性系统相关基本概念 继电器特性
李亚普诺夫函数控制律
李亚普诺夫函数控制律李亚普诺夫函数控制律（Lyapunov function control law）是一种重要的控制策略，广泛应用于系统稳定性分析和控制设计中。
其基本原理是通过构造一个李亚普诺夫函数来评估系统的稳定性，并设计相应的控制策略使系统稳定。
本文将详细介绍李亚普诺夫函数控制律的概念、原理以及在实际控制系统中的应用。
一、李亚普诺夫函数的概念及特点李亚普诺夫函数是一种用来描述系统稳定性的数学函数。
它通常是系统状态的某种非负函数，并满足一系列特定的性质。
通过选择适当的李亚普诺夫函数，可以将系统的稳定性问题转化为函数的极值问题，从而简化了系统分析的复杂性。
李亚普诺夫函数具有以下几个重要特点：1. 非负性：李亚普诺夫函数的值始终为非负数，且仅在系统稳定时取得最小值。
2. 单调性：随着时间的增长，李亚普诺夫函数的值逐渐减小或保持不变。
3. 连续性：在系统状态空间内，李亚普诺夫函数是一个连续函数。
李亚普诺夫函数控制律是一种基于李亚普诺夫函数的控制策略。
其基本原理是通过构造合适的李亚普诺夫函数及相应的控制律，使系统的李亚普诺夫函数随时间递减并最终趋于零，从而实现系统的稳定控制。
具体而言，李亚普诺夫函数控制律的设计包括以下几个步骤：1. 李亚普诺夫函数的选择：根据系统的性质和要求，选择合适的李亚普诺夫函数，通常选择的函数形式为正定函数或半正定函数。
2. 李亚普诺夫函数的导数计算：计算李亚普诺夫函数的导数，得到描述系统状态变化的信息。
3. 控制律设计：根据李亚普诺夫函数的导数及系统的动态方程，设计相应的控制律，使得系统的李亚普诺夫函数在时间上递减。
4. 稳定性分析：通过对李亚普诺夫函数及其导数的分析，判断系统的稳定性，并对控制律进行调整和优化。
李亚普诺夫函数控制律在控制系统设计中具有广泛的应用。
它可以应用于不同类型的动态系统，如机械系统、电气系统、化学过程等。
具体的应用包括但不限于以下几个方面：1. 系统稳定性分析：通过构造适当的李亚普诺夫函数，可以对系统的稳定性进行分析，判断系统是否稳定。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。
在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。
本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。
一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。
另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。
2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。
3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。
4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。
常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。
2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。
3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。
稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。
通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。
愿本文能给读者带来启发和帮助。
lyapunov函数定义
lyapunov函数定义Lyapunov函数是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李亚普诺夫（Ale某andr Mikhailovich Lyapunov）于1892年提出的一个概念，它是用来描述非线性动力系统稳定性的一种数学工具。
李亚普诺夫函数（Lyapunov function）可以判断系统的稳定性和不稳定性，它是随时间变化的实数函数，具有一定的正定性和递减性。
李亚普诺夫函数的定义如下：对于一个非线性动力系统，如果存在一个实值函数V(某)，使得满足下面两个条件，那么V(某)就是系统的一个Lyapunov函数：1.V(某)是正定的：对于所有的某≠0，V(某)>0；2. V(某)是递减的：对于所有的某，V(某)的导数满足dV(某)/dt≤0。
其中，某是系统的状态变量，t是时间。
根据Lyapunov函数的定义，当一个系统的Lyapunov函数存在时，可以根据Lyapunov的稳定性定理来判断系统的稳定性：1.当V(某)是正定的，即V(某)>0，只有在某=0时，V(某)=0，这表明系统的平衡态某=0是一个稳定平衡态。
2. 当V(某)是严格递减的，即dV(某)/dt<0，对于所有的某≠0，这表明系统的平衡态某=0是一个渐进稳定的平衡态。
根据上述推论，当一个系统的Lyapunov函数在其状态空间内是正定的且严格递减的时候，系统的平衡态是稳定的。
可以通过选择合适的Lyapunov函数来证明系统的稳定性。
Lyapunov函数的使用使我们能够更方便地分析非线性系统的稳定性，而不需要求解系统的精确解。
它被广泛应用于控制理论、动力系统、优化以及其他多个领域。
需要注意的是，Lyapunov函数只能判断系统的稳定性，不能给出收敛到平衡态时的速度快慢。
有时候，系统可能在一个Lyapunov函数下是渐进稳定的，而在另一个Lyapunov函数下是指数稳定的。
因此，在实际应用中，选择合适的Lyapunov函数和判断系统稳定性的条件是非常重要的。
李雅普诺夫关于稳定性的定义
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t)
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统
转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用，但是难以适用于一般系统。
在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
Lyapunov稳定性分析
第四章 Lyapunov 稳定性分析4.1 概述线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。
Lyapunov 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大〃 米哈依诺维奇〃李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
在这一历史性著作中，Lyapunov 研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统),(t x f x= 的给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的稳定性，等价于给定运动)(t x φ=(包括平衡状态e x x =)的扰动方程),~(~~t x f x = 之原点(或零解)的稳定性。
在上述基础上，Lyapunov 提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov 第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
本章4.1节为概述。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
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（2）局限于研究系统的外部稳定性 （输入输出稳定性）
经典控制理论的稳定性判据
劳斯（Routh）判据
奈氏（Nyquist）判据
现代控制理论对稳定性分析的特点
（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统 （2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性（状态稳定性） （3）能够反映系统稳定的本质特征。
表示状态空间中，以 x e为球心，半径为c的球
以平衡点xe 为球心，取 和 为半径，在n维状态空间作出 两个球域 S ( )、S ( )。 其中
：任意取的正数（可以任意小） ：是 取定后看能否找到的
1、李雅普诺夫意义下稳定 任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫稳定性的定义
李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫第二法（直接法）
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 一、系统状态的运动及平衡状态 设系统的齐次状态方程为：
x f (x, t )
n维状态向量
展开式为：
（4.1）
n维向量函数
i f i ( x1 , x2 ,, xn , t ) i 1,2,, n x
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
0
方程的解（运动或状态轨线）为： x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0Biblioteka f (x, t ) x
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统：
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
2、渐近稳定
若系统方程的平衡状态
稳定性，且有
x e不仅具有李雅普诺夫意义下的
lim x(t ; x 0 , t0 ) x e 0
t
则称系统的平衡状态
x e是渐近稳定的。
若 与 t 0 无关，则为一致渐近稳定。（定常系统）
几何意义： 初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以无限接
x1 0 3 x x x 1 2 2 0
0 0 0 x e1 , x e 2 , x e3 0 1 1
二、稳定性的几个定义 欧式范数
2 2 x x12 x2 xn
表示向量 x 的长度
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( xn xne ) 2
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
x2
S ( )
稳定的。
时变系统 与 t 0有关 定常系统 与 t 0无关
xe
S ( )
x1
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 0 ，都存在另一实 数 0，使当初始状态位于以平衡状态 x e为球心， 为半径的 闭球域S ( )内，即
x 0 x e t t0
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性：
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
2
经典控制理论对稳定性分析的局限性