2020-2021学年度第一学期福建省福州市三校联考九年级数学第一次月考试卷(解析版)

2020-2021学年度第一学期福建省福州市三校联考九年级数学第一次月考试
卷
一、选择题（共10题；共40分）
1.如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（）
A. 2
B. ﹣2
C. ±2
D. ±4
2.用配方法解方程x2=4x+1，配方后得到的方程是（）
A. (x−2)2=5
B. (x−2)2=4
C. (x−2)2=3
D. (x−2)2=14
3.关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（）
A. a≥0
B. a<2
C. a≥0且a≠1
D. a≤2或a≠1
4.下列抛物线中，顶点坐标为(2,1)的是（）
A. y=(x+2)2+1
B. y=(x−2)2+1
C. y=(x+2)2−1
D. y=(x−2)2−1
5.由抛物线y=−3x2−1得到抛物线y=−3(x+1)2+1是经过怎样平移的（）
A. 右移1个单位上移2个单位
B. 右移1个单位下移2个单位
C. 左移1个单位下移2个单位
D. 左移1个单位上移2个单位
6.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为y=
(x−4)2+3，由此可知铅球推出的距离是（）
−1
12
A. 2m
B. 8m
C. 10m
D. 12
7.已知抛物线y=ax2−3ax+a2+1(a≠0)图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，当x1<x2<−1时，有y1<y2；当−1≤x1≤2时，y1最小值是6 .则a的值为（）
A. −1
B. −5
C. 1或−5
D. −1或−5
8.某商场将进价为20元∕件的玩具以30元∕件的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？若设每件玩具涨x元，则下列说法错误的是（）
A. 涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B. 涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C. 涨价后每天销售玩具的数量是(300−10x)件
D. 可列方程为(30+x)(300−10x)=3750
9.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（）
A. 10%
B. 15%
C. 20%
D. 25%
10.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2.其中正确的结论的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共6题；共24分）
11.当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝________.
12.将二次函数y=1+1
2
(x+3)2的图像沿x轴对折后得到的图像解析式________.
13.一元二次方程x2+2x−8=0的两根为x1,x2，则x2
x1+2x x12+x1
x2
=________
14.某一计算机的程序是：对于输入的每一个数，先计算这个数的平方的6倍，再减去这个数的4倍，再加上1，若一个数无论经过多少次这样的运算，其运算结果与输入的数相同，则称这个数是这种运算程序的不变数，这个运算程序的不变数是________．
15.有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．
16.学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面土有一瓶洗手液(如图
①)，于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a= −1
18。

洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD。

小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Ｑ到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是________cm。

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解方程：
（1）x2−2x−3=0．（2）3x2+2x−1=0．
18.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围
19.如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)用60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米;能否围成430平方米的矩形花园?
20.已知关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
的实数根，写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．
（2）如果此方程有两个不相等
．．．
21.已知:如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0，0)和点A (3，3)，P为拋物线上的一个动点，过点P 作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C。

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值。

22.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标.
23.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
y x x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24.已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2mx+m2+2m−1的顶点为A，点B的坐标为(3,5)
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标
（2）点A的坐标记为(x,y)，求y与x的函数表达式；
（3）已知C点的坐标为(0,2)，当m取何值时，抛物线y=x2−2mx+m2+2m−1与线段BC只有一个交点
25.已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0）与x轴的一个交点．（1）当a=1,m=−3时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C ，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=2√2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N ，当m为何值时，MN的最小值是√2
？
2
答案
一、选择题
1.解：把x ＝4代入方程 x 2−3x =a 2
可得16-12= a 2 ，
解得a=±2，
故答案为：C ．
2.解：方程移项得：x 2−4x=1，
配方得：x 2−4x+4=5，
即（x −2）2=5．
故答案为：A ．
3.解：∵一元二次方程有两个实数根
∴{a −1≠04−4×（a −1）×（−1）≥0
) 解得，a ≥0且a ≠1
故答案为；C.
4.解: y=(x +2)2+1 的顶点坐标是 (−2,1) ，A 不符合题意，
y=(x −2)2+1 的顶点坐标是 (2,1) ，B 符合题意，
y=(x +2)2−1 的顶点坐标是 (−2,−1) ，C 不符合题意，
y=(x −2)2
−1 的顶点坐标是 (2,−1) ，D 不符合题意，
故答案为：B ．
5.解： 抛物线 y =−3x 2−1 向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得 抛物线 y =−3(x +1)2+1 . 故答案为：D.
6.解：由题意可得y=0时， −112(x −4)2+3 =0，
解得： (x −4)2 =36，
即x 1=10，x 2=-2（舍去），
所以铅球推出的距离是10m.
故答案为：C.
7.解：∵ y =ax 2−3ax +a 2+1
∴ y =a(x −32)2−94a +a 2+1 ，即该抛物线的对称轴为x= 32
∵ x 1<x 2<−1 时， y 1<y 2
∴a ＜0
∵x= 32 在 −1≤x 1≤2 范围内，
∴当x= 32 时有最大值，x=-1时有最小值
∴ a ·(−1)2−3a ·(−1)+a 2+1=6
整理得 a 2+4a −5=0 ，解得a=1（舍去）或a=-5
故答案为：B.
8.设涨价x元，根据题意可得：
A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A符合题意；
B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B符合题意；
C、∵（300－10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C符合题意；
D、根据每天获利3750元可列方程（30＋x－20）（300－10x）＝3750，D不符合题意；，故答案为：D．
9.解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．则200×（1+x）2=288.
（1+x）2=1.44
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，
∴x=0.2=20%．
10.解：①∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac＜b2，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-b
2a
=-1，
∴b=2a，故③错误；
④当x=-1时，y＞2，
∴a-b+c＞2，故④正确.
故答案为：C.
二、填空题
11.解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10.
故答案为：10.
12.解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴函数y=1+1
2(x+3)2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为- y=1+1
2
(x+3)2，即y=
−1
2
(x+3)2−1；
故答案为：y=−1
2
(x+3)2−1 .
13.∵x2+2x−8=0，
∴a=1，b=2，c=−8，
∴x1+x2=-b
a =−2，x1·x2=c
a=-8
，
∴x2
x1+2x x12+x1
x2
=x22+x12
x1x2
+2x x12，
= (x1+x2)2−2x x12
x1x2
+2x x12，
= (−2)2−2×(−8)
−8+2×(−8)=−37
2
．
故答案为−37
2
．
14.解：设这个输入的数为x，根据题意可得6x2﹣4x+1=x，即6x2﹣5x+1=0，
∴（2x﹣1）（3x﹣1）=0，则2x﹣1=0或3x﹣1=0，
解得：x= 1
2或x= 1
3
，
故答案为：1
2和1
3
15.解：设每轮传染中平均一个人传染x人，由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，
解得：x1=11，x2=﹣13，
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．
故答案为：11．
16.解：如图，以GH所在的直线为x轴，GH的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线的顶点，B，D，H所在的直线是抛物线的对称轴，
∵GH=12，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Ｑ到直线DH的水平距离为3cm，
∴点G（-6，0），点H（6，0），BH=16，
∴点B（6，16），点Q（9，15.5）
∵a=−1
18
设函数解析式为y=−1
18(x−6)2+16=−1
18
x2+2
3
x+14
当y=0时，−1
(x−6)2+16=0
18
解之：x1=6+12√2，x2=6−12√2（舍去）
∴洗手液落在台面的位置距DH的水平距离为6+12√2−6=12√2.
故答案为：12√2
三、解答题
17. （1）解: x2−2x−3=0
(x+1)(x−3)=0
∴x+1=0或x-3=0
∴x1=−1,x2=3
（2）解: 3x2+2x−1=0
(x+1)(3x−1)=0
∴x+1=0或3x-1=0
∴x1=−1，x2=1
3
18. （1）解：把A点代入二次函数，解得m=－1，
∴二次函数表达式为y=(x+2)2－1
∴B点坐标为(－4，3)，从而一次函数为：y=－x－1
（2）解：∵(x+2)2≥kx+b－m把m移到左边的式子可得：(x+2)2+m≥kx+b，即二次函数大于一次函数，由图像可得，x的取值范围为：x≥－1或者x≤－4
（1）∵点A(－1，0)在抛物线上，
∴把A点代入二次函数的解析式得，0=（-1+2）2+m，
解得m=-1;
∴二次函数表达式为y=(x+2)2－1;
∵抛物线y=(x+2)2－1与y轴交于点C，
∴点C（0,3），对称轴为直线x=-2，
∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称,
∴可得B点坐标为(－4，3)，
设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点A、B的坐标代入解析式可得{−4k+b=3
),
−k+b=0
解得k=-1，b=-1，
∴一次函数的解析式为：y=－x－1；
（2）∵(x+2)2≥kx+b－m，
∴(x+2)2+m≥kx+b，
即二次函数大于一次函数，
由图像可得，x的取值范围为：x≥－1或者x≤－4。

19. 解：当矩形的长BC 为x 米时，则AB 为
60−(x−2)2米，根据题意，得 60−(x−2)2·x=300
解得 x 1=12 x 2=50
∵50＞28
∴x=12
能。

理由如下：
60−(x−2)2·x=430
整理，得 x 2-62x+860=0
解，得 x 1=31+√101 x 2=31-√101
当 x=31+√101时，
60−(x−2)2=31−(31+√101)2=-√1012 ， 不符合题意，舍去； 当 x=31-√101时，60−(x−2)2=31−(31−√101)2
=√1012 ， 符合题意。

∴能围成430平方米的矩形花园。

答：当矩形的长BC 为12米时，矩形花园的面积为300平方米;能围成430平方米的矩形花园。

20. （1）证明：∵ △=(a +1)2−4×1×a =(a −1)2≥0 ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：如果此方程有两个不相等的实数根时，
即： (a −1)2>0 ，
∴ a ≠1
∴当 a =0 时，方程化为 x 2+x =0 ，
解得x 1=0，x 2=-1．
21. （1）解：把0(0，0)，A(3，3)代人得: {c =09a +12+c =3
解得: {a =−1c =0
则抛物线解析式为y=-x 2+4x
（2）解：设直线OA 解析式为y=kx ，
把A(3，3)代人得:k=1，即直线OA 解析式为y=x ，
∵PB ⊥x 轴，
∴P ，C ，B 三点纵坐标相等，
∵B(m ，0)，
∴把x=m 代人y=x 中得:y=m ，即C(m ，m)，
把x=m 代人y=-x 2+4x 中得:y=-m 2+4m ，即P(m ，-m 2+4m)，
∵P 在直线OA 上方，
∴PC=-m 2+4m-m=-m 2+3m(0<m<3)
当m= −3
2×(−1)=3
2
时，PC取得最大值，最大值为−32
4×(−1)
=9
4
22.（1）解：将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
{12=9+3b+c −3=4−2b+c ，解得{b=2
c=−3
，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）.
23. （1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
{60k+b=1400
65k+b=1300
，
解得，{k=−20
b=2600
，
∴y与x之间的函数表达式为y=−20x+2600；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，x1=70，x2=110，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴x=70，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
w=(x−50)(−20x+2600)
= −20(x−90)2+32000
∵x−50≤50×30%
∴x≤65
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
24.（1）解：∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）解：∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，
∴顶点A的坐标为（m，2m−1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x−1；
（3）解：由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，
解得m＝1或−3，
所以当m＝1或−3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．
25. （1）解：当a=1，m=−3时，抛物线的解析式为y=x2+bx−3．
∵抛物线经过点A(1,0)，
∴0=1+b−3．解得b=2．
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3．
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)．
（2）解：①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，
∴0=a+b+m，
0=am2+bm+m，即am+b+1=0．
∴a=1，b=−m−1．
∴抛物线的解析式为y=x2−(m+1)x+m．
根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．
过点A作AH⊥l于点H．
由点A(1,0)，得点H(1,m)．
在Rt △EAH中，EH=1−(m+1)=−m，HA=0−m=−m，∴AE=√EH2+HA2=−√2m．
∵AE=EF=2√2，
∴−√2m=2√2．解得m=−2．
此时，点E(−1,−2)，点C(0,−2)，有EC=1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt △EFC中，CF=√EF2−EC2=√7．
∴点F的坐标为(0,−2−√7)或(0,−2+√7)．
②由N是EF的中点，得CN=1
2
EF=√2．
根据题意，点N在以点C为圆心、√2为半径的圆上．
由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=−m，CO=−m．
∴在Rt△MCO中，MC=√MO2+CO2=−√2m．
当MC≥√2，即m≤−1时，满足条件的点N落在线段MC上，
MN的最小值为MC−NC=−√2m−√2=√2
2，解得m=−3
2
；
当MC<√2，−1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，
MN的最小值为NC−MC=√2−(−√2m)=√2
2，解得m=−1
2
．
∴当m的值为−3
2或−1
2
时，MN的最小值是√2
2
．。