圆中的计算问题
第三单元 圆中的计算问题学习评价-
第三单元 圆中的计算问题学习评价一、选择题1．若半径为5的一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） （A ）18o ． （B ）36o ． （C ）72o ． （D ）144o ． 2．用半径为10cm ，圆心角为270o 的扇形，做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） （A． （B）． （C ）5cm ． （Dcm ．3．如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5cm ， 则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）（A ）2cm 12π．（B ）2cm 8π;（C ）2cm 6π．（D ）2cm 4π． 4．如果圆柱的底面直径为6，母线长为10，那么圆柱的侧面积为（（A ）30π． （B ）60π． （C ）90π． （D ）120π． 5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） （A ）60o ． （B ）90o ． （C ）120o ． （D ）180o ． 6．已知弧长l ＝4πcm ，它所对的圆心角为120o，那么它所对弦长为（ ） （A ）． （B ）． （C ）． （D ）cm ． 7．若圆柱的底面半径为3cm ，母线长为3cm ，则这个圆柱的侧面展开图的面积是（ ） （A ）212cm π． （B ）220cm π． （C ）218cm π． （D ）29cm π． 8．如图，有一住宅小区呈四边形ABCD ，周长为2000m ，现规 划沿小区周围铺上宽为3m 的草坪，则草坪的面积是（精确 到1m 2）（ ）（A ）6000m 2． （B ）6016m 2．（C ）6028m 2． （D ）6036m 2． 二、填空题9．已知120o 的圆心角所对的弧长是6πcm ，则圆的半径为___________． （第7题） 10．扇形的半径为6cm ，面积为9πcm 2，那么扇形的弧长为___________．11．已知扇形的面积为100πcm 2，扇形圆心角的度数为36o，则扇形的周长为__________． 12．圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为_____________．13．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为9cm ，圆心角为240o 的纸板制成的，还需要用一块圆形纸板作底面，那么这块圆形纸板的直径最小为____________． 三、解答题14．如图，⊙O 的直径12cm ，AB 、CD 为两条互相垂直的直径，连结AD ，求图中阴影部分的面积．DCBDCBA15．有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是36m ，圆弧所对的圆心角为60o ，求这段弯道约有多长．（精确到0.1m ）16．已知矩形ABCD 的长AB ＝4，宽AD ＝3，按如图放置在直线AP 上，然后只转动不滑动，当它旋转一周时，顶点A 经过的路线长等于多少？17．如图，已知半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O /，它们外切于点B ，∠AOB ＝40o，OA ∥CO /，求曲线ABC 的长．18．如图，将△ACO 绕点O 顺时针旋转90o 到△BDO 位置，若OA ＝3cm ，OC ＝1cm ，求阴影部分的面积．PDCBA19．如图，点C 在AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB ＝10，tan BAC ＝0.75，求阴影部分的面积．四、解答题20．如图，已知扇形AOB 中，∠AOB ＝90o，半径OA ＝2cm ，以OB 为直径在扇形内作半圆⊙M ，过M 引MP ∥AO ，交 AB 于P ，交 O B 于Q ，求阴影部分的面积．21．如图，有一直径为1米的圆形铁片，要从中剪出一个最大的圆心角为90o的扇形ABC ，解答下列各题：（1）被剪掉阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁片围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？五、解答题22．如图，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内，要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的三分之一，扇形的圆心角为多少度？说明你的理由．OBADCA23．在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图所示），现找出其中一种，测得∠C＝90o，AC＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形的半径）．AC B。
六年级圆经典常考题型
六年级圆经典常考题型在六年级数学学习中，圆是一个重要的概念。
以下是一些经典的圆相关常考题型：1.计算半径和直径这种题型要求根据给定的条件计算圆的半径或直径。
例题：一个圆的周长为12.56厘米，求其半径和直径分别是多少？解析：根据圆的定义，我们知道周长等于直径乘以π（pi）。
设该圆的半径为r，由题意可得周长等于2πr。
根据已知条件可列出方程式2πr=12.56。
将π取近似值3.14代入，解方程得到r≈2，即半径约为2厘米。
由此可计算出直径为4厘米。
2.求面积和周长这种题型要求根据给定的条件计算圆的面积或周长。
例题：一个圆的直径为6米，求其面积和周长分别是多少？解析：根据圆的定义，我们知道面积等于半径平方乘以π，周长等于直径乘以π。
设该圆的半径为r，则直径等于2r。
由题意可得半径等于6÷2=3米。
根据已知条件可计算出面积为πr²≈3.14×3²=28.26平方米，周长为2πr≈2×3.14×3≈18.84米。
3.求扇形面积这种题型要求根据给定的条件计算扇形的面积。
例题：一个扇形的半径为8厘米，弧长为12.56厘米，求其面积是多少？解析：扇形的面积等于扇形的圆心角度数除以360度乘以圆的面积。
设该扇形的圆心角度数为x度，由题意可得弧长等于x度除以360度乘以2πr。
根据已知条件可列出方程式x÷360×2π×8=12.56。
将π取近似值3.14代入，解方程得到x ≈180，即圆心角度数约为180度。
由此可计算出扇形的面积为180÷360×3.14×8²≈100.48平方厘米。
4.判断位置关系这种题型要求判断两个圆的位置关系，如内切、外切、相交或相离。
例题：判断两个圆是否相交，其中一个圆的半径为5厘米，另一个圆的半径为8厘米，两圆的圆心距离为10厘米。
解析：两个圆相交的条件是两圆的圆心距离小于两圆半径之和。
28.3.3圆中的计算问题 课件 华师大版数学九年级下册
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180 360
180 2 r 360 90 2 r 360
45 2 r 360
900
90 360
45 360 n 360
450
n0
n 2 r 360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半 径是r，那么 ，扇形面积计算公式为
Q
28.3圆中的计算问题
28.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中 铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
zxxk
解:∵圆心角900
1 图 28.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 则铁轨长是 2 100 50米
4
问题探究
上面求的是圆心角为900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360
c 2r l
l s n r 2 或s 1 lr 扇 形 面 积 S 360 2 n° r O
扇形周长计算公式为
z、xxk
c 2r l
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
专题2.10圆中的计算与证明的综合大题专项训练(50道)(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题2.10 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！一．解答题（共50小题）1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO=√2BE时，求DE的长．̂的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接AD，延长CD至点F，使BF＝BC．（1）求证：BF∥AD；（2）如图2，当CD为直径，半径为1时，求弧BD，线段BF，线段DF所围成图形的面积．6．（2022•凤翔县一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．（1）求证：∠A＝∠CDE；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．7．（2022秋•湛江校级月考）已知P A、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交P A 于C、交PB于D．（1）若P A＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．8．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．9．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．（1）求图中阴影部分的面积；（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．10．（2022•黔东南州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O 点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．11．（2022秋•如东县期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠DAB＝30°，AB＝4√3．（1）求CD的长；（2）求阴影部分的面积．12．（2022秋•松滋市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝4√3，∠DP A＝45°（1）求⊙O的半径．（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．13．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．14．（2022•本溪）如图，△ABC中，AB＝AC，点E是线段BC延长线上一点，ED⊥AB，垂足为D，ED 交线段AC于点F，点O在线段EF上，⊙O经过C、E两点，交ED于点G．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠E＝30°，AD＝1，BD＝5，求⊙O的半径．15．（2022•崇左）如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圆心依次为点A、B、C．（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．̂=CD̂，16．（2022•凉山州二模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD 求：∠BCD的度数．17．（2022•白云区一模）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AĈ上，且AD̂=2CD̂，OA＝4．（1）∠COD＝°；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）̂的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．18．（2022•西湖区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．19．（2022•武昌区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．20．（2022•东莞市校级模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝°；（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．21．（2022•鹿城区校级模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD ＝AC＝AE．求证：直线DE过△ABC的内心．22．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．23．（2022•温州一模）如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AÊ=CÊ，过点C 作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；̂的长．（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝3，求劣弧CF24．（2022•岳麓区校级一模）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4√2，ON＝1，求⊙O的半径．25．（2022•普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．26．（2022•乌鲁木齐一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．（1）若AB＝4，求弧CD的长；（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．27．（2022•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD＝2√2，BD=√3，求AB的长．28．（2022•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt △ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点CCD，作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．（1）用关于x的代数式表示BQ＝，DF＝．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．29．（2022•福建模拟）如图1，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作BE⊥AC，交⊙O 于点D，垂足为E，连接AD．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；̂的中点，连接FG，若FG＝2，CD （2）如图2，连接CD，点F在线段BD上，且DF＝2DC，G是BC＝2√2，求⊙O的半径．30．（2022•苏州模拟）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B 作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：∠DBF＝∠ACB；GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．（2）若AG=√62̂上一点，延长DA至点E，31．（2022•莱芜）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=√2CD．32．（2022•三明）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？33．（2022•昆明）（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD＝CE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？34．（2022•襄城区模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．35．（2022•台州校级模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面．（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．（3）在（2）的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？36．（2022•泰州模拟）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC，垂足为H，已知AD＝8，OH＝3．（1）求⊙O的半径；（2）若E是弦AD上的一点，且∠EBA＝∠EAB，求线段BE的长．37．（2022•河北）图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面̂所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）38．（2022•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．39．（2022•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．40．（2022•安徽一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．41．（2022•和平区一模）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．42．（2022•和平区二模）已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．43．（2022•南开区二模）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．44．（2022•红桥区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线于点P，CP 与⊙O交于点D．（1）如图①，若AP＝AC，求∠B的大小；（2）如图②，若AP∥BC，∠P＝42°，求∠BAC的大小．45．（2022秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO 并延长交AB于点E．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠DCE；（2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF．①求证：EB＝EG；②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值．̂上任一点（点P与点A、B重合），46．（2022秋•虹口区校级期末）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB连接AP、BP，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若P A＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；̂的长度．（4）在（3）的条件下，求AB47．（2022秋•赣榆区期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算．（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长l及其底面圆半径r；若不可行，请说明理由．48．（2022•浙江校级自主招生）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=√5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．49．（2022•浙江校级自主招生）如图，O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．50．（2022•枣庄校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．。
初中数学初三数学下册《圆中的计算问题》教案、教学设计
1.教学活动设计
在本节课的导入阶段，我将通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引发学生对圆的关注。接着，提出问题：“你们觉得圆有什么特别之处？”让学生思考并回答，从而激发学生对圆的性质和计算问题的兴趣。
2.教学内容
（1）引导学生观察圆形物体，发现圆的形状特点。
（2）让学生用自己的语言描述圆的定义和性质。
4.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解题方法和技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过对圆的性质和计算问题的研究，使学生体会数学的和谐美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆周角定理等。
2.运用垂径定理、切线定理、弦长公式等解决圆中的计算问题。
3.将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决与圆相关的问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、硬币等，引发学生对圆的兴趣，为新课的学习打下基础。
（3）简要回顾已学的圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在此环节，我将采用讲解、示范、提问等方式，向学生传授圆的基本性质和计算方法。同时，结合实际例子，让学生更好地理解和掌握新知识。
2.教学内容
（1）讲解圆的半径、直径、周长和面积的定义及计算方法。
（2）介绍圆的对称性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
当前学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对新鲜事物充满兴趣。他们对数学学科的兴趣和信心是教学的重要基础。此外，学生在学习过程中可能存在以下问题：对复杂题目的畏惧心理、解题思路不清晰、对知识点掌握不牢固等。
第28章《圆》常考题集(35)：28.3 圆中的计算问题
第28章《圆》常考题集（35）：28.3 圆中的计算问题解答题271．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h＝cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．272．在圣诞节，小明自己动手用纸板制作圆锥形的圣诞老人帽．圆锥帽底面直径为18cm，母线长为36cm，请你计算制作一个这样的圆锥帽需用纸板的面积．（精确到个位）273．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．（1）请用尺规作出扇形的对称轴（不写作法，但应保留作图痕迹）；（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的高．274．高晗和吴逸君两同学合作，将半径为1m、圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积（接缝忽略不计）时，吴逸君认为圆锥的高就等于扇形的圆心O 到弦AB的距离OC（如图），高晗说这样计算不正确．你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来．275．小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角是多少度制成的？圆锥模型的全面积是多少？276．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C请在网格图中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，D点坐标为；（2）连接AD，CD，则⊙D的半径为（结果保留根号），扇形DAC的圆心角度数为；（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为（结果保留根号）．277．如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若的长为底面周长的，如图2所示．（1）求⊙O的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）278．课堂上，师生一起探究知，可以用已知半径的球去测量圆柱形管子的内径．小明回家后把半径为5cm的小皮球置于保温杯口上，经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算出保温杯的内径．279．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲．用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001cm）280．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y ＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．281．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．（1）直接写出线段OB的长；（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．282．如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．283．如图，是一个几何体的二视图，求该几何体的体积．（π取3.14）284．如图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（π取3.14）第28章《圆》常考题集（35）：28.3 圆中的计算问题参考答案解答题271．；272．；273．；274．；275．；276．；；；；277．；278．；279．；280．；281．；282．；283．；284．圆柱；。
关于圆的数学问题
关于圆的数学问题
关于圆的数学问题有很多，以下列举几个常见的：
1.圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点的距离都相等的点组成的集合。
2.圆的周长和面积：圆的周长为2πr，其中r 为半径；圆的面积为πr²，其中r 为半径。
3.弧长和扇形面积：圆的弧长计算公式为s = θr，其中θ为弧度，r 为半径；圆的扇形面积计算公式为 A = 1/2θr²，其中θ为弧度，r 为半径。
4.弧度和角度的转换：常用的一个圆的弧度等于π角度等于180°。
弧度和角度的转换公式为弧度= 角度×π/180，角度= 弧度×180/π。
5.圆的切线和切点：圆与直线相切时，切点在圆上；圆与另一个圆相切时，切点在两个圆的切线上。
6.圆锥曲线：圆是一种特殊的椭圆，其离心率为0，焦点和焦距均为零。
7.圆锥曲线的方程：圆的方程一般形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
这些是关于圆的数学问题的一些基本概念和定理。
在几何学和解析几何中，圆是一个重要的基础概念，它在很多数学问题中都有重要的应用。
课题：27.3圆中的计算问题(第2课时圆锥的侧面积和全面积)
A
学 以 致 用
2.将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计）, 则围成的圆锥的高为（ B ） 5 3 A、 3 B、 C、 5 D、 2 2
学以致用
例 3 如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝
忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的 面积是（ A ） A、 B、 480cm 2 240cm 2
温故知新
温故知新
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。底面是个圆， 侧面是个曲面。
探究发现
（Ⅰ）圆锥的母线： 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的母线， 记作l.注意：圆锥的母线有无数条哟！ （Ⅱ）圆锥的高： 连结顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高，记作h.
探究发现
问题：圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有何数量关系？
学以致用
例 2 若用一张直径为20cm的半圆形铁皮做一个圆锥的侧面,接缝忽略不
计，则所得圆锥的高为（ A、 5 3cm A ）
5 15 C、 cm 2
B、 5 5cm
D、 10cm
10
5 3
20
5 2r 10 r 5
数 学 活 动 室
1.如图,半径是10cm圆纸片,剪去一个圆心角是120°的扇形（图 中的阴影部分）,用剩余部分围成一个圆锥,求圆锥的高和底面圆 的半径。
h
l 2 h2 r 2
r
如：已知一个圆锥的高为6cm,半径为8cm,则这个圆锥的母线长为 10cm
探究发现
问题：请将准备的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图。
通过刚才 的操作， 你有何收 获呢？
S
哇噻！是 一个扇形 哟！
圆中的计算问题练习题
圆中的计算问题练习题一、选择题1.如图1,⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交,且半径都是0.5cm,•图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和是( ) A. 12πcm2 B. 8πcm2 C. 6πcm2 D. 4πcm2CB A120︒BOA CB D O A(1) (2) (3)2.半径为3cm 、圆心角为120°的扇形的面积为( )A.6πcm2B.5πcm2C.4πcm2D.3πcm23.如图2,在同心圆中,两圆半径分别为2、1,∠AOB=120°,•则阴影部分的面积为( )A.4πB.2πC. 43π D. π4.已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2,母线长是5cm,则圆锥的底面半径为( )A. 32cm B.3cm C.4cm D.6cm5.如图3,扇形AOB 中,∠AOB=60°,AD=3cm,CD=3πcm,则图中阴影部分的面积为( ) A. 92πcm2 B. 152πcm2 C. 212πcm2 D.21πcm26.一个圆锥的底面半径为52,母线长为6,•则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )A.180°B.150°C.120°D.90°7.已知圆锥形模具的母线长和底面圆的面积均是10cm,求得这个模具的侧面积是( )A.50πcm2B.75πcm2C.100πcm2D.150πcm28．若圆锥的母线长为4cm ，底面半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是（ ）A ． 6πcm2B ．12πcm2C ． 18πcm2D ．24πcm29．如图，已知两同心圆中，大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA=3∶2，则弧CD 与弧AB 的长度之比为 ( )A ．1∶1B ．3∶2C ．3∶5D ．9∶25二、填空题:1.一个扇形如图4,半径为10cm,圆心角为270°,用它做成一个圆锥的侧面,那么圆锥的高为_______cm.2.半径为R,圆心角为36°的扇形面积是_________.3.已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为_____.4.一个扇形的弧长为20πcm,面积为240πcm 2,则该扇形的圆心角为______度.三、解答题:1.如图,点C 在以AB 为直径的半圆上,连结AC 、BC,•AB=•10,tan ∠BAC=34,求阴影部分的面积.C B A2.如图1-18-28,等腰直角△ABC 的斜边AB=4,O 是AB 的中点,以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于点D 、E,求图中阴影部分的面积.(结果用π表示)E CB DO A。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
关于圆形的数学问题
关于圆形的数学问题
1. 请问圆的直径和半径有什么关系？
圆的直径是一个通过圆心的线段，它等于圆半径的两倍。
换句话说，圆的直径是圆的半径的两倍。
表达式为：直径 = 2 ×半径。
2. 如何计算圆的周长和面积？
圆的周长可以通过公式C = 2πr 来计算，其中 r 为圆的半径，π 是一个无限不循环小数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A = πr² 来计算，其中 r 为圆的半径，π 同上。
3. 如何计算圆的弧长和扇形面积？
圆的弧长可以通过公式L = θ/360 × 2πr 来计算，其中θ 为弧度数，r 为圆的半径。
圆的扇形面积可以通过公式A = θ/360 × πr² 来计算，其中θ 为
弧度数，r 为圆的半径。
4. 如果已知一个圆的周长，如何计算其半径和直径？
圆的周长可以用公式C = 2πr 表示，其中 r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的周长 C，可以通过C = 2πr 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
5. 如果已知一个圆的面积，如何计算其半径和直径？
圆的面积可以用公式A = πr² 表示，其中r 为圆的半径。
因此，如果已知圆的面积 A，可以通过A = πr² 计算半径 r。
圆的直径可以直接通过公式 D = 2r 计算，其中 r 为圆的半径。
这是一些关于圆形的常见数学问题和公式。
如果您有其他问题，请随时提问。
圆中的计算问题
圆中的计算问题教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。
理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。
能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。
2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。
学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。
了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。
4、会把实际问题抽象成数学问题。
学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。
养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。
【知识重点与学习难点】重点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的180、n表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。
2、会计算扇形的面积。
对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。
要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的,圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的.公式中的n与弧长公式中的n 一样，理解为1°的倍数,不带单位。
3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点 1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。
2、圆锥的侧面展开图——扇形的圆心角的计算。
通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。
会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。
【教学过程】一、弧长和扇形的面积：提出问题：让学生思考后，再做回答。
由此教师总结出弧长与扇形面积的计算公式：在这里要注意：1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C＝2πR,1°的圆心角的弧长就是圆周长的即，故圆心角为n°的弧长等于，即。
强调这里的n表示1°的圆心角的倍数，是不带单位的。
九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。
已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。
④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
23.3.1-圆中的计算问题-弧长与扇形面积新
,
∴铁轨的长度l ≈ 2 3.14100 =157.0（米）
4
思考(一) 图23.3.2中各圆心角所对的弧长分别是
圆周长的几分之几？
图 23.3.2
探索(一)
1、圆心角是180°，占整个周角的1138600 ，因 此它所对的弧长是圆周长_____2_____；
2、圆 此心 它角所是对的90弧°长，是占圆整周个长周的角_的_14__39_6040_5，___因_； 345、 、 、圆 此 圆 此 圆心 它 心 它 心角所角所角是对是对是41的的n°5°弧弧°占，长 长，整占是 是占个整圆 圆整周个周 周个角周长 长周的角的 的角_的__的___81_____3_3_6n____610_____03____6，_n0___3__因__61，，__0__因因；；
此它所对的弧长是圆周长的_____3_6_0___；
思考(二)
如果弧长为 ，l圆心角度数
为n，圆的半径为r，你能用n,r
表示弧长 l吗？
弧长的计算公式： r
l=
n 360
·2
r
=
nr
180
图 23.3.2
注意
（1）在应用弧长公式l nR ， 进行计算
时，要注意公式中n的意义1．80n表示1°圆心 角的倍数，它是不带单位的；
如图，水平放置的一个油管的横截 面半径为12cm,其中有油的部分油面 高6cm,求截面上有油部分的面积(结 果精确到0.1cm2).
O
A
B
如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB的长为6，CD的长为10，AC=12， 求阴影（红色）部分ABDC的面积．
C
A
O
BD
例3
已知：圆环的外圆周长 C1 250 cm，内圆周长 C2 150 cm, 求圆环的宽度 d（精确到1mm）
初中数学圆的经典题型
初中数学圆的经典题型以下是一些初中数学中关于圆的经典题型：1.求圆中阴影部分的面积。
这种题目通常会给出圆的半径，或者圆中阴影部分的形状，要求你求出阴影部分的面积。
阴影部分的形状可能是扇形、弓形等。
2.求圆的外切多边形的面积。
这种题目通常会告诉你圆的外切多边形的边长，或者圆的外切多边形的面积，要求你求出圆的半径。
外切多边形的形状可能是正方形、正六边形等。
3.求圆中弦的长度。
这种题目通常会告诉你圆的半径和弦与圆心的夹角，或者弦所对的圆心角，要求你求出弦的长度。
4.求圆中两条平行弦之间的距离。
这种题目通常会告诉你圆的半径和平行弦之间的夹角，或者平行弦所对的圆心角，要求你求出两条平行弦之间的距离。
5.求圆中弧的长度。
这种题目通常会告诉你圆的半径和弧所对的圆心角，或者弧所对的弦的长度，要求你求出弧的长度。
弧的长度可以用圆的周长乘以弧所对的圆心角的比例来求解。
6.求圆中角度的大小。
这种题目通常会告诉你圆的半径和圆中两条弦之间的距离，或者圆中两条弦所对的圆心角的大小，要求你求出这个角度的大小。
角度的大小可以用圆周角公式来求解。
7.求圆的内接多边形的面积。
这种题目通常会告诉你圆的内接多边形的边长，或者圆的内接多边形的面积，要求你求出圆的半径。
内接多边形的形状可能是正方形、正六边形等。
8.求圆中点到直线距离最短的点的坐标。
这种题目通常会给你一个圆和一条直线，要求你求出圆中点到直线距离最短的点的坐标。
可以通过作圆的切线，切线与直线的交点就是距离最短的点。
9.求圆外一点到圆的最短距离。
这种题目通常会给你一个圆和圆外一点，要求你求出这一点到圆的最短距离。
可以通过连接这一点与圆心，得到的线段与圆的交点就是最短距离的点。
10.求圆内接正多边形的边长。
这种题目通常会告诉你圆的半径和圆内接正多边形的边数，要求你求出圆内接正多边形的边长。
可以通过作圆的直径，将圆分成若干等份，然后计算每一份的长度即可。
11.利用圆的性质求角度大小。
初三圆的问题练习题
初三圆的问题练习题第一题：已知一个直径为10cm的圆，求其半径。
解析：圆的直径是圆周长的两倍，而圆周长的公式是C=2πr，其中π取近似值3.14。
所以，已知一个直径为10cm的圆，其半径可以通过半径的计算公式r=d/2来求解，其中d为直径。
代入已知条件，r=10/2=5cm。
第二题：已知一个圆的半径为7cm，求其直径。
解析：圆的直径是半径的两倍，而半径的计算公式是r=d/2，其中d为直径。
所以，已知一个半径为7cm的圆，其直径可以通过直径的计算公式d=2r来求解，其中r为半径。
代入已知条件，d=2×7=14cm。
第三题：已知一个圆的周长为18πcm，求其半径。
解析：圆的周长公式是C=2πr，其中π取近似值3.14。
所以，已知一个周长为18πcm的圆，其半径可以表示为r=C/(2π)。
代入已知条件，r=(18π)/(2π)=9cm。
第四题：已知一个圆的周长为30cm，求其直径。
解析：圆的周长公式是C=2πr，其中π取近似值3.14。
所以，已知一个周长为30cm的圆，其直径可以表示为d=C/π。
代入已知条件，d=30/π≈9.55cm（保留两位小数）。
第五题：已知一个圆的直径为12cm，求其面积。
解析：圆的面积公式是A=πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。
所以，已知一个直径为12cm的圆，其半径可以通过半径的计算公式r=d/2来求解，其中d为直径。
代入已知条件，r=12/2=6cm。
将半径代入面积公式，A=3.14×6²≈113.04cm²（保留两位小数）。
第六题：已知一个圆的半径为5cm，求其面积。
解析：圆的面积公式是A=πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。
所以，已知一个半径为5cm的圆，将半径代入面积公式，A=3.14×5²=3.14×25=78.5cm²（保留一位小数）。
第七题：已知一个圆的周长为8πcm，求其面积。
中考专题复习[34]ZZzzl圆中的计算问题
![中考专题复习[34]ZZzzl圆中的计算问题](https://img.taocdn.com/s3/m/da27a3c9bb4cf7ec4afed024.png)
D.
A D
分析：连接AM， ∵ BC切圆弧于M， ∴ AM⊥BC 作DF⊥BC，
E B M
F
C
∵ ABCD为等腰梯形 1 1 ∴ BM = FC = (BC - MF) = (6 - 2) = 2 2 2
9
四、提高练习 1. 如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半 径的圆与BC切于点M与AB交于点E，若AD = 2，BC = 6， 则DE的长为（ A ）
数学中考专题复习
圆中的计算问题
一、本节课主要知识点
1. 弧长公式：n°圆心角所对的弧长l = 2. 扇形的面积公式
n r . 180
n r 2 （1）n°圆心角的扇形面积S扇 = . 360 （2）弧长为l的扇形面积，S扇 = 1 lr . 2
2
3. 圆柱的侧面展开图及计算
矩形 ，它的长等于圆柱的 （1）圆柱的侧面展开图是_____ 底面周长 ，宽是圆柱的____. 高 __________
7
2. 有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r. 现要围绕笔筒 的表面由A至A1（A、A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银 色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是_____________. 4 2 r 2 h2
A1 A A1 A C
分析：∵ 圆柱的侧面展开图是矩形， ∴ 这条金属线的最短长度就是 这个矩形的对角线长，如图
3 A. 2
3 B. 4
3 C. 8
D.
A D
分析：∴ AM = BM = 2
1 ∴ ∠B = ∠BAM = ×90°= 45° E 2 B M ∴ ∠EAD = 45°+ 90°= 135° n r 135 2 3 l= = = 180 2 180 ∴ 选A.
圆的面积实训中遇到的问题
圆的面积实训中遇到的问题
在圆的面积实训中，可能会遇到以下问题：
1. 计算错误：圆的面积计算涉及到π的值，而π是一个无理数，需要用近似值表示，这可能会导致计算结果存在误差。
2. 剪纸操作问题：实训中需要将圆分成若干（偶数）等份，然后剪开后用这些近似的等腰三角形小纸片拼成长方形。
如果等分数不够精确，或者剪纸操作不当，可能会导致拼成的长方形不够平整，从而影响实验效果。
3. 理解问题：圆的面积计算公式是通过将圆等分后拼成长方形得出的，如果学生对这一过程的理解不够深入，可能会影响他们对公式的学习和掌握。
4. 计算机软件使用问题：在利用计算机软件进行圆的面积计算时，可能会遇到软件操作不当、输入错误等问题，导致计算结果不正确。
5. 数学概念和公式不熟悉：圆的面积计算涉及到一些数学概念和公式，如果学生对这些内容不熟悉，可能会影响他们的学习效果。
为了解决这些问题，建议在实训中注意以下几点：
1. 确保计算精确：使用精确的π值进行计算，或者采用数学公式精确计算圆的面积。
2. 注意等分圆的精度：在剪纸操作中，要尽量保证等分圆的精度，以便拼成长方形时能够更加平整。
3. 加强学生对圆面积计算过程的理解：通过讲解、演示等方式，帮助学生深入理解圆的面积计算过程。
4. 熟悉计算机软件操作：在利用计算机软件进行计算时，要熟悉软件操作流程，避免输入错误等问题。
5. 加强数学概念和公式的掌握：对于涉及到的数学概念和公式，要加强学生的掌握和运用能力。
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圆中的计算问题一、一周知识概述1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：．说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”．(2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示．(3)在弧长公式中，已知，n，R中任意两个量，都可以求出第三个量．(4)在用弧长公式求n时，要注意与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360．2、扇形面积扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB和所构成的图形也是扇形．3、扇形的面积公式．如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形= ②．说明：(1)公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10．(2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高．(3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②．(4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量．4、圆锥的侧面积和全面积圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高．圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：S侧=πr．圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即S全=πr(r＋)．说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．(2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长．(3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积．二、重难点知识理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形面积公式的应用，圆锥侧面积求法．三、典型例题例1、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O＝90°，则的长为（）(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是( )A．2πB．4πC．6πD．8π分析：(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，⊙O的半径为，由此不难求出三段弧的长度和；(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．解：(1)B；(2)B．总结：运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．例2、解答下列各题：(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为（）(2)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是（）A．P=Q B．P＞Q C．P＜Q D．不能确定分析：题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点；(2)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．解：(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．∴，故选B．(2)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则故选择A．总结：本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(2)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．例3、如图，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图）.解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图。
设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知.又AB切小半圆于点H，故，故总结：本题中的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的特殊位置。
具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．例4、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)圆锥的表面积．分析：如图所示，AO为圆锥的高，经过AO的剖面为等腰三角形ABC．圆锥的母线长与底面半径之比即︰r，圆锥的表面积即圆锥的侧面积(半圆的面积)与圆锥底面积之和．解：(1)如图所示，∵圆锥的侧面展开图是半圆，且圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，即2πr=πl∴．圆锥的母线长与底面半径之比为2︰1．(2)在Rt△AOC中，AC2=AO2＋OC2，即l2=h2＋r2．又∵l=2r，h=，∴(2r)2=()2＋r2．∴3r2=27．∴r=3．∴l=2r=6．∴S表面积=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6 π＋π×32=27π(cm2)，即圆锥的表面积为27πcm2．例5、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)画圆锥的侧面展开图．分析：(1)圆锥的轴截面是等边三角形，则底面圆半径是母线长的一半，利用这个关系及勾股定理求出底面半径，母线长，即可求出圆锥的侧面积和表面积；(2)画圆锥的侧面展开图时，由于圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，故求其圆心角的度数即可．解：(1)如图，已知△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且，则．设DC=r，则AC=2r．在Rt△ADC中，，解之得r=2cm∴S侧=πr·2r=2πr2=8πcm2S表=S侧＋S底=πr·2r＋πr2=3πr2=12π；(2)∵圆锥的侧面展开图为扇形．设其圆心角为n°．∴，∴n=180∴此时圆锥的侧面展开图是个半圆．如图所示．选择题1、如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．10π C．12πD．20π2、若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm2，则扇形的弧长是（）A．5πcm B．20πcm C．40πcm D．10πcm3、如图所示，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是（）．A．B． C．D．4、如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B点D．无法确定5、如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为（）cm．A．10πB．15π C．20πD．30π6、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为（）cm2（取π3.14）．A．9420 B．9419 C．9421 D．94187、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是（）．A．B．C．D．8、如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长为36m．母线长8m，为防雨在粮仓顶部铺油毡，需铺油毡面积是（）m2．A．140 B．144 C．145 D．1489、若圆锥和圆柱的底面半径都等于10cm，高为，则圆锥和圆柱的侧面积的比为（）A．1︰3 B． C．1︰2 D．10、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（）A．R=2r B． C．R=3r D．R=4rB 卷二、填空题11、如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠．则小猫所经过的最短路线是m．12、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是_________cm(不取近似值)．三、解答题13、如图，等腰直角△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，求图中阴影部分的面积(结果用π表示)．14、如图所示，扇形OAPB的半径为20 cm，∠AOB=90°，以OB的中点M为圆心，OM为半径作圆，过点M 作OA的平行线，交⊙M于点N，交于点P，则劣弧与NP围成的阴影部分的面积是多少?15、一个扇形如图，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面．求圆锥底面半径和圆锥的高．16、工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做一个圆锥形模型．(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图)；(2)何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高，求出此时圆锥模型底面圆的半径．中考解析弧长、扇形面积和圆锥的侧面积、全面积问题多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。