完全信息静态博弈及其纳什均衡解

1第四章 完全信息动态博弈及其均衡解1.完全且完美信息动态博弈完全信息博弈指的是参与者的收益是共同知识。

完全且完美信息动态博弈指的是：博弈中的每一步中参与人都知道这一步之前博弈进行的整个过程。

因此，我完全且完美信息动态博弈的特点：（1）行动是顺序发生的；（2）下一步行动选择之前所有以前的行动都可以被观察到；（3）每一可能的行动组合下的参与人的收益都是公共知识。

而不完美信息博弈指的是，在某一步参与人不知道以往博弈所进行的历史或者没有观察到以往的所有行动。

例4.1．我们来考虑这样一个动态博弈: 假定甲在开采一个价值4万元的金矿时需要1万元资金，乙有1万元资金。

甲向乙借钱来开金矿。

在这个博弈的第一阶段，甲向乙承诺: 如果乙借钱给他的话，那么他就会将采到的金子与乙对半分成，即(2，3)——乙得到2万元的金子，同时收回自己的1万元投资。

对于甲的承诺，乙如果不借钱给甲的话，那么博弈到此为止，双方收益为(0，1)。

如果乙借钱给甲的话，那么博弈进入第二个阶段。

在第二阶段中，若甲遵守他的承诺，分给乙一半的金子，这样两人的收益为(2，3)，其中1万元为投资成本。

〖JP3〗然而，若甲违背自己的承诺，博弈就会进入到第三个阶段: 如果乙同甲打官司，那么由于打官司费时费力， 两个人的收益为(0，1)；若乙不打官司，那么两个人的收益就为(5，0)。

参见图1。

乙借 不借甲分 不分 （0，1）乙 乙 （2，3） 打官司 不打官司（1，2） （5，0）图1. 借钱博弈的博弈树2.逆向归纳法与子博弈纳什均衡解逆向归纳法（Backward induction ）又称逆推法，是指这样一种动态博弈求解方法：从博弈的最后一步开始，计算最后一步的参与人的最优行动，逐步逆推到博弈开始时进行第一步的参与人的最优行动，从而确定每个参与人的最优行动。

在动态博弈中逆向归纳法能够进行的前提：参与人是理性的——任何一步参与人都选择甲乙2最优策略；理性是公共知识——参与人选择最优策略是其他人所能够预测的。

在完全且完美信息动态博弈中逆向归纳法能够求得子博弈精炼纳什解。

乙借 ╳ 不借甲分 ╳ 不分 （0，1）乙 乙 （2，3） 打官司 ╳ 不打官司（1，2） （5，0）图2. 借钱博弈的逆向归纳法的求解过程在例4.1中这样一个动态博弈，用逆向归纳法，我们就可以推知，如果甲做出“不分”的选择，那么乙一定会选择“打”官司。

因为对于乙而言，打官司的收益为1，不打官司的收益是0，所以，作为一个理性人，乙一定会选择打官司。

而如果甲知道在“不分”的情况下乙必定选择“打官司”，那么甲就一定会选择“分”一半的金子给乙，因为对甲而言，“分”的收益是2，“不分”的收益是0。

所以，甲的承诺是可置信的。

而对于乙来说，他会选择“借”，因为“借”的收益是3，“不借”的收益是1。

因此，该博弈最终的子博弈精炼纳什均衡点就是(2，3)。

例4.2.斯坦克尔伯模型。

两个厂商垄断某个市场，其中厂商1处于支配地位，它先行动，然后从属企业2后行动。

假定市场需求函数为p=a-Q 。

厂商的单位产品的成本c 。

这些是企业1和2的公共知识。

问：厂商1和2是如何决定的它们的生产产量的。

假定厂商1和2所决定的产量分别为q 1,q 2。

我们用逆向归纳法来求解。

企业2后行动，对于企业1的任何行动，即任意给定的产量，企业2确定产量以使利润最大，即使L 2=p ×q 2-c ×q 2最大。

假定企业1决定的产量为q 1，因为：L 2=p ×q 2-c ×q 2=（a-q 1-q 2）×q 2-c ×q 2由dL 2/dq 2=0:q 1-2q 2=a-c (1)甲乙即：q2=(q1-a+c）/2企业1先行动，它能够预知企业2的最优化行为，即在它的最优产量q1给定的情况下，企业将按照q2=(q1-a+c）/2进行决策。

这样，企业的利润函数为：L1=p×q1-c×q1=（a-q1-q2）×q1-c×q1=（a-q1-q2）×q1-c×q1而q2是q1如下的函数：q2=(q1-a+c）/2由dL1/dq1=0:q1*=(a-c）/2于是，q2*=(a-c）/4因此，（(a-c）/2，(a-c）/4)为逆向归纳法解。

该解被称为子博弈精炼纳什均衡解。

此时总产量为q2=3(a-c）/4，价格为(a+3c)/4企业1的利润L1=(a-c)2/8企业2的利润为L2=(a-c)2/16请读者与古诺均衡解进行比较。

3.动态博弈中的威胁与承诺为了实现最大利益，使博弈在博弈参与人所希望的策略组合上实现，在他人作出行动之前的每一步参与人都会向对方可能做出某种威胁或承诺，希望对方做出或者不做出某个行动。

而通过逆向归纳法我们能够区别动态博弈中威胁或承诺是否可信。

例4.1：甲向乙承诺：借钱给我，我赚钱后将分给你。

甲的承诺是可信的。

乙威胁甲：若你不分给我，我将起诉你。

乙的威胁也是可信的。

之所以发生威胁与承诺的言语现象，是因为轮到他人行动的时候，参与人只能通过言语而影响他人的行动从而实现自己希望的结果。

甲之所以承诺，是因为他希望乙能够“借钱”给他。

同样，而乙之所以进行威胁，是因为他借钱之后，希望甲能够连本带利将钱给乙。

当然，在博弈论中因为参与人是理性人，威胁与承诺是否可置信能够被确认。

这样任何威胁与承诺都是没有意义的：若是不可置信，它是公共知识，又何必做这样的威胁或承诺；若是可置信的，因为该博弈是完全且完美信息博弈，做出这样的威胁与承诺也是无益的。

但是在实际生活中，做出这样的威胁与承诺是有意义的，因为，人们不一定认为对方是完全理性人，而认为会发生某种“偏离”：或者会受言语的影响，而“忘记”应该按照计算的行动进行，或者相信了对方的承诺或威胁而改变了原来的行动选择；等等。

4.理性的困境：蜈蚣博弈与最后通牒博弈3逆向归纳法是从动态博弈的最后一步往回推，以求解动态博弈的均衡结果。

它是完全归纳推理，其推理是演绎的，即结论是必然的。

逆向归纳法在逻辑上是严密的，然而它存在着“困境”。

逆向归纳法的逻辑严密性毋庸置疑。

然而，当我们分析一个特殊的博弈——蜈蚣博弈——的时候，一个违背直觉的悖论出现了，这个悖论被认为是对逆向归纳法的挑战。

蜈蚣博弈（centipede game）为罗森塔尔（R.Rosenthal）在1981年提出，我们这里采取的是奥曼（Aumann，1998）论文中的形式1。

安娜鲍伯安娜鲍伯安娜鲍伯2n+22n+12 1 43 2n 2 n-11 4 3 6 2n-12 n+2图 8-2 蜈蚣博弈这个博弈有两个参与人，安娜和鲍伯。

该博弈从安娜开始，她有两个策略“合作”和“不合作”，若她选择“不合作”，博弈即刻终止，安娜得到2，鲍伯得到1；若她选择“合作”，那么博弈继续进行，由鲍伯开始选择。

鲍伯同样有“合作”和“不合作”两种策略。

在这第二轮选择中，若鲍伯选择“不合作”，博弈终止，选择“合作”，博弈继续进行……在这个博弈最后一轮，即第2n轮，若鲍伯选择“不合作”，他所得2n+1，安娜得2n-1；若他选择“合作”，鲍伯得2n+1安娜得2n+2。

因这个博弈树形状像蜈蚣，因而被称为蜈蚣博弈。

在这里我们假定了，总的步数2n是一个双方都知道的有限数。

严格地说，我们假定了，该博弈的总步数2n为双方的公共知识（common knowledge）。

我们用逆向归纳法来分析这个博弈的结果：在最后一步，鲍伯在“合作”与“不合作”中进行选择时，因为“不合作”带给他的好处是2n+2，而“合作”的好处是2n+1，选择“不合作”的好处大于“合作”的好处，鲍伯应当选择“不合作”。

在倒数第二步，安娜这样想，选择“不合作”的好处是2n；而选择“合作”，在下一步鲍伯肯定会选择“不合作”，此时她的好处将是2n-1，因此在这倒数第二步安娜的理性选择“不合作”……通过这样的分析，在这个博弈的第一步安娜的理性的选择是“不合作”。

这样，这个博弈的结果是，在博弈的第一步安娜选择“不合作”，博弈即终止。

这一点构成蜈蚣博弈的完美纳什均衡点。

在这个点上，安娜得到支付2，而鲍伯得到支付1。

这样的结果是反直觉的：最大化自己支付的理性人其所得是不合理的。

从这个博弈树来看，若他们均选择“合作”，双方的支付将会很高。

但根据逆向归纳法，这个结果达不到。

在这个博弈中，每个人考虑到未来他人不合作，自己先采取不合作。

因在最后一步理性的参与人必定采取不合作，每个人的考虑是有逻辑基础的。

于是，一个违反直觉的糟糕结果便出现了。

这便是动态不合作。

对于蜈蚣博弈的这个逆向归纳法解，博弈论专家中存在赞成和反对两种观点。

著名的博弈论专家奥曼（R.J. Aumann）认为，如果“策略人是理性的”是双方的公共知识，逆向归纳法的解必然要达到。

英国伦敦经济学院的宾谟（K.Binmore）教授则认为，在蜈蚣博弈的开始存在混合策略的可能，即在博弈的开始安娜有采取“合作”的非零概率，而轮到鲍伯，他同样有采取“合1Aumann, R.J. Note on the centipede Game[J]. Games and Economic Behavior,1998, vol23,pp97-105.4作”策略的非零概率。

因此，在宾谟看来，该博弈终止于第一步不是必然的。

2本人认为，在最后一步鲍伯合作的概率必然为0，逆推到第一步，安娜的合作概率也必然为0。

这样，宾谟试图通过引进混合策略均衡以作为这个博弈的替代性的解是行不通的。

逆向归纳法悖论依然存在。

最后通牒博弈。

参与人1和2分一笔钱，如100元，1提出分配方案，2表决。

如果参与人1所提出的分配方案得到参与人2的同意，就按照该分配方案分配；如果参与者2拒绝，双方都将一无所获。

逆向归纳法解：6.完全非完美信息动态博弈博弈的扩展式表达囚徒1合作不合作囚徒2 囚徒2合作不合作合作不合作（3,3）（4,1）（1，4）（2,2）6.子博弈纳什均衡解与进化稳定策略在博弈论、行为生态学及演化心理学中，演化稳定策略ESS是一个这样的策略，一旦它被给定环境中的参与人群体采用，它不能被任何其他可能的策略所侵略。

一个ESS是纳什均衡的精炼。

它是演化稳定的纳什均衡：一旦它在一个种群中得到确认，自然选择本身足以放防止变异的可能策略侵略成功。

演化稳定策略在博弈论证是一个中心概念，它由John Maynard Smith和George R. Price在1973首先给出，并被用于人类学、演化心理学、哲学和政治科学之中。

进化稳定策略依赖于侵略的概念。

一个X-策略参与人的群体被Y策略的参与人所造访。

如果新的参与人使用Y策略比X-策略的参与人得分更高，他被认为是侵略的。

假定参与人能够选额和变换策略，这会导致原来的种群开始走向Y策略。