江苏省铅山一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案

则
f f
(a) (b)
mb ma
，两式相除整理得
(a
b)(a
b
5)
0
，
∴ a b 5 ，∴ b 5 a a ，∴ 2 a 5 ， 2
由 a
4
5
mb
m
5a
4 a
1
4
a
5a
a(a 5)
6
1
a
4 5 2 2
25 4
，
∴
m
1 3
,
9 25
综上所述，m
的取值范围为
1 3
,
9 25
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知函数 f (x) x2 2(a 1)x a2 ， g(x) x2 2(a 1)x a2 2 ，记
H1(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) | ， H2(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) | ，
则 H1(x) 的最大值与 H2 (x) 的最小值的差为（ ）
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元？ 21．（12 分）
4 x2, x 0 已知函数 f (x) 2, x 0 ．
1 2x, x 0
（1）求 f ( f (2)) ， f a2 1 (a R) 的值；
（2）当 f (x) 2 时，求 x 的取值范围．
22．（12 分）
A．[1, 2015]
B．[1,1) (1, 2015] C．[0, 2016]
D．[1,1) (1, 2016]
9．若函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
n
，值域为
25 4
,
4
，则
n
的取值范围是（
）
A． (0, 4]
B．
4,
25 4
C．
3 2
,
3
D．
3 2
,
10．已知函数
f
(x)
x2 2ax, (x 1)
A．0,1, 2
B．3, 1,0
C．1,0, 2
D．3,0, 2
2．设集合U {1, 2, 3, 4, 5} ， A {1, 3, 5}， B {2, 3, 5} ，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）
个
A．3
B．4
C．7
D．8
3．下列五个写法：①{0}{1, 2, 3} ；② {0} ；③{0,1, 2} {1, 2, 0} ；④ 0 ；⑤ 0 ，其中
则
f f
(a) (b)
ma mb
，即
f
(x)
mx
，
m
4 x2
5 x
1在
x [1, 2] 有两个不相等的实根，
令
1 x
t
1 2
,1
，则
4 x2
5 x
1
(t )
4
t
5 2 8
9 16
作
(t
)
在
1 2
,1
的图象可知，
1 2
m
9 16
，
（ⅱ）[a, b] [2, 4] ， f x 在区间[a, b] 上均为单调递减，
A． 4
B．4
C． a2 a 4
D． a2 a 8
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 x, y 在映射 f 下的对应元素是 (x 2 y, x 2 y) ，则 1, 2 在映射 f 下的对应元素是__________．
14．若函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间 (, 4) 上是单调减函数，则实数 a 的取值范围是__________．
已知定义在区间 (0, ) 上的函数 f (x) x 4 5 ． x
（1）判断函数 g(x) x 4 在 (2, ) 的单调性，并用定义证明； x
（2）设方程 f (x) m 有四个不相等的实根 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ．
3
①证明： x1x2 x3x4 16 ；
②在1, 4是否存在实数 a，b，使得函数 f x 在区间a,b 单调，且 f x 的取值范围为[ma, mb] ，
(2a
1) x
3a
6,
(
x
1)
，若
f
(x)
在 , 上是增函数，则实数
a
的取值范围
是（ ）
A．
1 2
,1
B．
1 2
,
C．[1, )
D．1, 2
11．在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 k ，即[k] 5n k∣n Z ，
k 0,1, 2, 3, 4 ，给出如下四个结论：① 2011[1] ；② 3 [3] ；③若整数 a，b 属于同一“类”，则 a b [0] ④若 a b [0] ，则整数 a，b 属于同一“类”其中，正确结论的个数是（ ）
x2
20000, 0
x
400, x N
60000 100x, x 400, x N
（2）当 0 x 400 时， f (x) 300x 1 x2 20000 1 (x 300)2 25000 ，
2
2
所以当 x 300 时， f (x) 的最大值为 25000；
当 x 400 时， f (x) 60000 100x 是减函数，
错误写法的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知集合 A {1, 3} ， B x∣x2 mx n 0 ，若 A B A ，则 n （ ）
A．4
B． 4
C．3
5．下列四组函数中， f (x) 与 g ( x) 表示同一函数是（ ）
D． 3
A． f (x) x 1， g(x) x2 1 x 1
18．解：（1）当 a 1时， A {x∣1 x 2}， B {x∣0 x 1} ，
因此， A B {x∣0 x 2}
（2）∵ A B
∴①当 A 时，即 2a 1 a 1，∴ a 2 ；
②当
A
时，则
2a 2a
1 1
a 1
1
或
2a 1 a a 1 0
1
，
解得1 a 2 或 a 1． 综上所述，实数 a 的取值范围是 (, 1] [1, ) ．
铅山一中 2020-2021 学年第一学期高一第一次月考数学科试题
考试时间：120 分钟 分值：150 分
一、选择题：（本题包括 12 小题，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知全集U Z ，集合 A 3, 1, 0,1, 2 ， B x∣x 2k 1, k N ，则 A B ðU B （ ）
1 2
,
9 16
．
7
B．
f
(x)
|
x
1|
，
g(x)
x 1, x 1,
x 1 x 1
C． f (x) 1 ， g(x) (x 1)0
D． f (x) 3 x3 ， g (x) ( x )2
Hale Waihona Puke Baidu
6．已知
f
1 2
x
1
2x
3
，
f
(m)
8
，则 m
等于（
）
A． 1 4
B． 1 4
C． 3 2
D． 3 2
7．已知函数 f (x) x2 2ax 3 ，且其对称轴为 x 1 ，则以下关系正确的是（ ）
x1
x2 x1x2
x1x2
4
∵ x1 x2 , x1, x2 (2, )
5
∴ x1 x2 0 ， x1x2 4 0 ， x1x2 0
∴ g x1 g x2 0 ，即 g x1 g x2 所以 g x 在 (2, ) 上单调递增．
（2）①由 x 4 5 m x 4 5 m 或 x 4 5 m
所以 f (x)max 60000 100 400 20000 25000
综上，当月产量为 300 台时，公司所获利润最大，最大利润为 25000 元．
21．解：（1） f ( f (2)) 2 ， f a2 1 3 a4 2a2
（2）①当 x 0 时，由 f (x) 2 ，
若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
铅山一中 2020-2021 学年第一学期高一第一次月考数 学科试题答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
C
C
B
B
C
B
C
D
C
B
二、填空题
13． 5, 3
14． , 3
15．
2 3
,1
16．196
三、解答题
17．解：（1） M 6,8
（2） 痧U A U B 5,7,9,10
15．已知 y f (x) 在定义域 0,1 上是减函数，且 f (1 a) f (2a 1) ，则实数 a 的取值范围__________．
16．已知集合U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} ， A {1, 2, 3, 4, 5} ， B {4, 5, 6, 7,8}则集合 U 的子集但不是集合 A
4
∴ a(x 1)2 b(x 1) 1 ax2 bx 1 2x
即 2ax a b 2x ，
2a 2
a 1
由恒等式性质，得
a
b
0
，∴
b
．
1
∴所求二次函数为 f (x) x2 x 1 ．
20．解：（1）由题意得总成本为 20000 100x 元，
所以利润
f
(x)
300x
1 2
20．（12 分） 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元．设该公司的仪
器月产量为 x 台，当月产量不超过 400 台时，总收益为 400x 1 x2 元，当月产量超过 400 台时，总收益为 2
80000 元．（注：总收益=总成本+利润）
（1）将利润表示为月产量 x 的函数 f x ；
19．解：（1）设 t x 1(t 0) ，则 x 1 t 2 ，
故 y 1 t 2 t(t 0) ∴ y [1, ) （2）设所求的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0) ．
∵ f (0) 1， c 1，则 f (x) ax2 bx 1 ． 又∵ f (x 1) f (x) 2 x ，
得
4 x
x2 0
2
0
x
2；
②当 x 0 时，满足题意
③当
x
0
时，由
f
(x)
2
，得
1 2x
x
0
2
x
1 2
综上所述：x 的取值范围是： x∣x 1 或0 x
2
．
2
22．解：（1）证明：任取 x1, x2 (2, ) ，且 x1 x2 ．
g
x1
g
x2
x1
4 x1
x2
4 x2
A． f (3) f (2) f (7) C． f (2) f (3) f (7)
B． f (3) f (2) f (7) D． f (2) f (7) f (3)
1
8．若函数 y f (x) 的定义域是0, 2016 ，则函数 g(x) f (x 1) 的定义域是（ ）
x 1
x
x
x
即 x2 (m 5)x 4 0 或 x2 (m 5)x 4 0
∵ x1 ， x2 ， x3 ， x4 为方程 f (x) m 的四个不相等的实根 ∴由根与系数的关系可得： x1x2 x3x4 16
②由 f x 的图像可知， 0 m 1， f x 在区间 1, 2 ， 2, 4 上均为单调函数． （ⅰ）当a,b 1, 2时， f x 在区间a,b 上均为单调递增．
的子集，也不是集合 B 的子集的集合个数为__________． 三、解答题（共 70 分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10 分）
2
已知全集U {x∣x 10, x N}， A {0, 2, 4, 6,8} ， B {x∣x U , x 5}． （1）求 M {x∣x A但x B}；
（2）求 痧U A U B ．
18．（12 分）
已知集合 A {x∣2a 1 x a 1} ， B {x∣0 x 1} ． （1）若 a 1，求 A B ； （2）若 A B ，求实数 a 的取值范围．
19．（12 分）
（1）求函数 f (x) x x 1 的值域； （2）已知 f (x) 是二次函数，且满足 f (0) 1， f (x 1) f (x) 2x ，求 f (x) 的解析式．