流体力学第10章

θn
n1 n2
θm
m1 m2
3
§10 －1 力学相似性原理
相应线段夹角相同，即：
n
m
相应的线性长度保持一定的比例：
dn dm

ln lm
l
称为长度 比例常数
相应面积之比为长度单位的平方：
An Am

A

2 l
相应体积之比为长度的立方： Vn Vm
V
3 l
4
§10 －1 力学相似性原理
an
am
un vm an am
这个速度比值就是马赫数M。
即弹性力相似，原型与模型的马赫数相等：Mn＝Mm
11
各种不同力作用下的相似准则
相似 准则
作用力
牛顿
1
相似
F＝ma
重力
2
相似
G＝mg
3
层流阻 力相似
A du
dy
压力
4
相似
P＝pA
弹性力
5
相似
F＝EA
谐时
6
相似
S m u t

2uz y2

2uz z2
)


V2 L
ux
uz x

V2 L
uy
uz y
V2
L
uz
uz z
16
§10－2 相似准数
把常数整理一下，动量方程通除以V2/L,得：
ux uy uz 0 x y z




g
1

( Pp) ( Lz)


(

2
(
(Vuz Lx )
)
2

2 (Vuz ) ( Ly)2


2
(
(Vuz ) Lz ) 2
)


(Vux
)
(Vuz ) ( Lx)

(Vuy
)
(Vuz ) ( Ly)

(Vuz
F pm
FIm
FGn FIn (b)
FGm
FIm
Fn FIn (c )
Fm
FIm
Fln FIm Fn Fm
是惯性力与粘性力的比值，
即雷诺数。 Re ul

原型水流和模型水流粘性力与惯性力的相似关系可以写成：
Re n Re m
即原型与模型的雷诺数相等。
10
§10－2 相似准数


1
( Pp)
( 2 (Vux )
2 (Vux )

2
(Vux
) )
Hale Waihona Puke Baidu
( Lx)
( Lx)2 ( Ly)2 ( Lz)2

(Vux
)
(Vux ) ( Lx)

(Vuy
)
(Vux ) ( Ly)

(Vuz
)
(Vux ) ( Lz)
主要方法是列出支配现象的物理法则（或定律），根据这些法则用特征 物理量的幂次表示相应的力，由这些力的比值得到动力相似准则数。
牛顿第二定律 牛顿粘性定律
压强公式
用物理法则法导出的相似准则数物理意义明确，例如Re数代表惯性力与 粘性力之比， Fr数代表惯性力与重力之比等，只要物理法则运用得当， 导出的相似准则数便具有代表性。
x Lx, y Ly, z Lz
ux Vux .u y Vuy , uz Vuz

p

Pp
其中L、V、P均为定性的量。
比 如
ux

ux u
;
y
y
14
§10－2 相似准数
(Vux ) (Vuy ) (Vuz ) 0 ( Lx) ( Ly) ( Lz)
实验分原型实验和模化实验： 原型实验：现场实物实验，所有条件均为真实的物理条件。 模化实验：对真实条件作相似变换，既可放大，也可缩小。
相似：如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物理量的大小成 比例， 各向量物理量除大小成比例外，方向相同，则称这两个现象是相似的。
一、几何相似 几何相似指的是流动空间几何相似。 即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例
二、运动相似
两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，相应点的流速成比例。
un1 um1

un2 um 2

vn vm
u
时间比例常数
t

l u
λv称为速度比例常数。
该式表明原型流动和模型流动实现一个特定流动过程所需时间之比。
加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数： a

u t
FIm
FGn FIn (b)
FGm
FIm
Fn FIn (c)
Fm
FIm
7
§10－2 相似准数
现将(a)写成： Fpn FPm
FIn
FIm
原型水流中所取的质点是边长为Ln的立方体； 模型水流中所取的相应质点是边长为Lm的立方体
则两水流质点所受压差作用分别为
Pn
l
2 n
;
p
m
l

2u l
只要速度相似，加速度也必然相似。反之亦然。 u al
由于流速场的研究是流体力学的首要任务，运动相似通常是模型实验的目的。
5
§10－1 力学相似性原理
三、动力相似 流体的运动相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力是指同一物理性质的力。例如粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。 同名力作用是指原型中，如果作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。 则模型中也同样作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。

ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z




1 Fr

Eu p z

1 ( 2 uz Re x 2

2 uz y 2

2 uz z 2
)


ux
uz x

uy
uz y
uz
l
2 m
l
3 n
l
3 m
再由 g 得： vn2 vm2

gln glm
v2
Fr
称为弗诺德数。 弗诺德数是惯性力与重力的相对比值。
gl
原型水流与模型水流惯性力和重力的相似关系，可以写成：
Frn Frm
即原型与模型的弗诺德数相等。
9
由(c）式
§10－2 相似准数
Fpn FIn (a )


P
V 2
p x


VL
(
2 ux x 2

2 ux y 2

2 ux z 2
)


ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z



gL
V2
P
V 2
p z
( 2 uz
在高速气流中，弹性力起主要作用
惯性力与弹性力的比值，以 v 2l 2 来表示
El 2
式中E为气体的体积弹性模量。
则原型与模型的弹性力相似，在消去 l2 以后，得出
nvn2 mvm2
En
Em
根据气体动力学，我们知道： E / a E / a 2
相似关系简化以后
( vn )2 ( vm )2
uz z

无量纲方程组
18
相似准则数的确定方法
量纲分析法 方程分析法
以 П 定理为基础
适用于物理方程未知但相关物理量可以确定的物理现象，主要缺 点是相似准则数的物理意义不够明确。
根据物理方程的量纲齐次性可对已知方程进行量纲为1化，无量纲形 式的方程将包含相关的相似准则数。
物理法则分析法
第十章 相似性原理和因次分析
§10－1 力学相似性原理 §10－2 相似准数 §10－3 模型律 §10－4 因次分析法
如何设计模型，使原型与模型流动相似 ？ 如何把模型中测量的物理量换算到原型 ？
相似原理和模型试验基础
答案
2
§10－1 力学相似性原理
“没有理论的实践是盲目的实践；没有实践的理论是空洞的理论”
7
浮升力 相似
F (e m)g
阿基米德数
Ar

gd0
v
2 0
T0 Tu
重力与 浮升力之比 12
§10－2 相似准数
对某一流动具有代表性的物理量称为定性量，或叫特征物理量。
比如：在管内流动中，断面的平均速度就是有代表性的速度，我们称为定性速度。 对于长度的代表性的量，有管内径、外径和管长度， 管内径就是定性长度（定型尺寸）。
原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以写为：
Eun＝Eum，即原型与模型的欧拉数相等。
结论：如果两现象动力相似，那么它们的Eu数应相等。
8
§10－2 相似准数
由(b）式得
Fln FIm FGn FGm
将
FGn

l
3 n
FGm

l
3 m
代入（b）式，可得：
v
2 n
l
2 n

v
2 m
6
§10－2 相似准数
设想在两相似的水流中，如图，取两个相应的质点n和m，研究这两个质 点所受的粘性力、压力、重力、惯性力。流体不可压缩，不存在弹性力。
根据动力相似条件：
Fn Fpn FGn FIn FEn Fm Fpm FGm FIm FEm
Fpn FIn (a)
F pm
用动力相似的定义得到了相似准则数，结果表明， 两个流动现象相似，它们的同名准则数相等。
下面我们再从流体的运动微分方程出发，用比例代换的方法， 也可以推导出相似准则数。
主要采用的方法是对微分方程进行无量纲化，然后通过有量纲的方程与 无量纲的方程之间的对比得到一些准则数。
我们以重力作用下的粘性不可压缩恒定流为例。
13
§10－2 相似准数
ux uy uz 0 x y z


1

P x


(
2ux x 2

2ux y 2

2ux z 2
)

ux
ux x

uy
ux y

uz
ux z


1

P y


(
2uy x 2

2uy y 2
VL x 2

2 uz y 2

2 uz z 2
)


ux
uz x

uy
uz y
uz
uz z
17
§10－2 相似准数
ux uy uz 0 x y z

Eu p 1 ( 2 ux 2 ux 2 ux ) x Re x 2 y 2 z 2
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§10－2 相似准数
如果两个流动现象是相似的，它们的无量纲量应该分别相等，即有：
uxn uxm , uyn uym , uzn uzm , pn pm
Eun Eum , Re n Re m , Frn Fr m
2 m
作用于这两个立方体的惯性力（动量）为： Qn v n

v
2 n
l
2 n
;
Qm
vm

vm2 lm2
将以上两式代入(a)式。得：
pn
l
2 n

pm
l
2 m
v
2 n
l
2 n
v
2 m
l
2 m
即：
pn pm
v
2 n
v
2 m
p
Eu
v 2
称为流动的欧拉数，欧拉数是压差和惯性力的相对比值。
)
(Vuz ) ( Lz)

由于L、V、P为常数，可以提到微分项的外边，即有：
2 ( Lx)2

1 L2
2 x2
2 , (Ly)2

1 L2
2 y2
2 , (Lz)2

1 L2
2 z125
§10－2 相似准数
方程变为：
V ux V uy V uz 0 L x L y L z


1

P L
p
x
V L2
(
2ux x2

2ux y2

2ux z2
)


V2 L
ux
ux x

V2 L
uy
ux y

V2 L
uz
ux z




g
1

P L
p
z
V L2
(
2uz x2
相应的同名力成比例是指原型流动和模型流动的同名力成比例
Fvn Fpn FGn FIn FEn Fvm Fpm FGm FIm FEm
式中，v、P、G、I、E分别表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据。 动力相似是决定两流动运动相似的主导因素。 三者是一个彼此密切相关的整体，缺一不可。

2uy z 2
)

ux
uy x

uy
u y y

uz
uy z



g

1

P z


(
2uz x 2

2uz y 2

2uz z 2
)

ux
uz x

uy
uz y

uz
uz z

引入无量纲的参数， 有量纲与无量纲参数之间的关系为：
准则 数
牛顿数
Ne

F
l 2v 2
弗诺德数 Fr v
gl
雷诺数 Re vL

欧拉数
p Eu v 2
马赫数 Ma v a
斯特罗哈数 St L vt
物理意义
各种力与 惯性力之比 惯性力与 重力之比 惯性力与 粘性力之比 压差与 惯性力之比 惯性力与 弹性力之比
当地惯性力与 牵连惯性力之比