棱柱、棱锥和棱台

棱柱、棱锥和棱台

层级一学业水平达标

1．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 3

2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为

上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将

正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________.

解析：将展开图还原成原来的正方体，由图知标

“△”的面的方位是北．

答案：北

3．棱台具备的性质是________(填序号)．

①两底面相似；②侧面都是梯形；

③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.

解析：用棱台的定义去判断．

答案：①②④

4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．

解析：结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.

答案：①

5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．

①有一对面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的

公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点．

解析：由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．

答案：①②③

6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．

解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．

答案：六

7．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm,4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.

解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起，得到的长方体的表面积最大，此时，所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm，表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.

答案：164

8.如图，三棱台ABC­A′B′C′，沿A′BC截去

三棱锥A′­ABC，则剩余部分是________．

解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后，剩余的

是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥．

答案：四棱锥A′­BCC′B′

9．如图，观察并分别判断①中的三棱镜，②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对．

解：图①中有1对互相平行的平面，只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面，只有1对可以

作为棱柱的底面．

10.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现

在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？

(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？

(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？

解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．

(2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．

(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．

层级二应试能力达标

1．下列命题正确的是______(填序号)．

①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；

②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；

④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．

解析：根据棱柱的定义可知④正确．

答案：④

2．给出下列几个命题：

①用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

③多面体至少有四个面；

④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．

其中真命题是________(填序号)．

解析：①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.

答案：①②③

3.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，

C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝

________.

解析：将平面图形翻折，折成空间图形，

可得∠ABC＝60°.

答案：60°

4．下图中哪些不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图，其序号是________．

解析：(3)(4)中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，当然不是正四面体的展开图．

答案：(3)(4)

5．在正方体上任意选择4个顶点，则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1上，若取

A，B，C，D四个顶点，可得矩形；若取D，A，C，

D1四个顶点，可得③中所述几何体；若取A，C，D1，

B1四个顶点，可得④中所述几何体；若取D，D1，A，

B四个顶点，可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.

答案：①③④⑤

6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1

的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短

路程是________ cm.

解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点

连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的