棱柱、棱锥和棱台
高中立体几何 第01讲_棱柱、棱锥、棱台
第一周课
点线面、棱柱、棱锥、棱台
一、概念
1、多面体、旋转体（母线、轴）
2、柱、锥、台、棱柱、棱锥、棱台
3、直棱柱、正棱柱、正棱锥
4、棱柱、棱锥、棱台的高 二、关系表
三、特征示意图及表示
例1. 下面两个空间图形有何区别呢？
例2.
打开的书是怎么放在平面α上的呢？
例3. （1）三张不同的平面可能把空间分成几部分？
（2）正方体各面所在能把空间分成几部分？三棱锥呢？（思考、选讲）四棱锥呢？
例4. 下列几何体中是棱柱的有（把正确答案都填上）（ ）
例5.
例6. 已知正四棱锥Ｖ-ABCD ，底面面积为16
，一条侧棱长为
例7. （1）有两个面互相平行，且每个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
（2）有个一面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？ （3）一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼接成吗？
例8. 若将三棱锥S ABC 沿其侧棱剪开，恰好可以摊开成三角形，求证：该三棱锥的对棱长度相等．
例9. 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1（每个侧面都是矩形，且底面是三角形的三棱柱）的底
面边长为1，高为8，一个质点自A 点出发，则
（1）该质点沿着三棱柱的侧面绕行一．周．到达A 1点的最短路线的长为_________； （2）该质点沿着三棱柱的侧面绕行两．周．到达A 1点的最短路线的长为_________； （3）该质点沿着三棱柱的侧面绕行n 周．到达A 1点的最短路线的长为_________（用含n 的代数式表示）．
A
B
C
E
F
D。
苏教版棱柱棱锥棱台
苏教版棱柱棱锥棱台在苏教版的数学教材中，棱柱、棱锥和棱台是立体几何中的重要概念。
它们不仅在数学理论中有着基础且关键的地位，在实际生活中的应用也十分广泛。
首先，咱们来聊聊棱柱。
棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及若干个平行四边形侧面围成的多面体。
棱柱的特点十分明显，两个底面是全等且平行的多边形，侧面都是平行四边形。
根据底面多边形的边数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。
比如说三棱柱，它的底面就是一个三角形；四棱柱呢，底面就是一个四边形，像咱们常见的长方体、正方体都属于四棱柱。
棱柱有着很多独特的性质。
棱柱的侧棱都相互平行且相等，这意味着如果我们沿着棱柱的侧棱方向进行测量，得到的长度都是一样的。
而且，棱柱的侧面展开图是一个矩形。
这一性质在解决很多与表面积相关的问题时非常有用。
在实际生活中，棱柱的例子比比皆是。
像建筑物中的柱子，很多就是棱柱的形状；还有一些包装盒，比如装牙膏的盒子，往往也设计成棱柱的形状，这样既美观又能充分利用空间。
接下来，咱们说说棱锥。
棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面围成的多面体。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，顶点与底面多边形的各个顶点相连，形成侧面三角形。
同样，根据底面多边形的边数，棱锥也有三棱锥、四棱锥等分类。
棱锥的性质也有其特点。
棱锥的顶点到底面多边形各个顶点的连线叫做棱锥的侧棱，这些侧棱相交于一点，也就是棱锥的顶点。
棱锥的侧面三角形的面积之和就是棱锥的侧面积。
棱锥在生活中的应用也不少。
比如金字塔，就是一种棱锥的形状，展现出了独特的建筑美学和稳定性。
最后，再讲讲棱台。
棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体中，位于截面上方的部分就是棱台。
棱台的上下底面是互相平行且相似的多边形，侧面都是梯形。
棱台也有自己的相关性质和计算公式。
通过了解这些性质和公式，我们可以更准确地计算棱台的体积、表面积等。
在实际应用中，比如一些花坛的造型、某些特殊的容器，可能会采用棱台的形状，既实用又具有一定的艺术感。
高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲
高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容】棱柱、棱锥和棱台棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 棱柱的有关概念和性质。
（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的几个概念。
这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111（4）棱柱的分类。
棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
正棱柱是特殊的直棱柱。
（5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。
四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2. 棱锥的有关概念。
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的几个概念。
这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。
棱柱、棱锥和棱台
棱柱、棱锥和棱台知识点一 棱柱思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？（１） （２） （3） （4）1、概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．2、元素：底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面．侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．3、性质：（1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行 （2）侧面都是平行四边形．（3）所有侧棱平行且相等。
不具以上条件的多面体便不是棱柱，如图：4、表示：图（１）三棱柱'''C B A ABC -；图（4）六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF -5、分类：（1）按底面的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
即底面是几边形就为几棱柱．（2）按侧面是否与底面垂直分：不垂直的叫做斜棱柱，垂直的叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
例如正方体就是正四棱柱。
（3）特殊棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的棱柱叫做 。
底面是正多边形的直棱柱叫做 。
底面是平行四边形的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做 底面是矩形的直平行六面体是 ，棱长都相等的长方体是 。
例1、下列命题中不正确的是（ B ）A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C ．直棱柱的侧面是矩形D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱例2、设有三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体（2）底面是矩形的平行六面体是长方体 （3）直四棱柱是直平行六面体 以上命题中正确的有 (1)例3、长方体交与同一顶点的三条棱长分别为3，4，5，求长方体的对角线的长。
例4、在棱柱中( )A 只有两个面平行B 所有的棱都相等C 所有的面都是平行四边行D 两底面平行，且各侧棱也平行例5、判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。
空间图形(棱柱,棱锥,棱台)
三. 正棱柱、正棱锥、正棱台
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的 特征为侧面是矩形，侧棱等于高．
直棱柱
如果直棱柱的底 面是矩形，就是 长方体
如果长方体的 所有棱的长都 相等，就是正 方体
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
正棱锥: 底面是正多边形且顶点到底面的垂 足是底面的中心的棱锥
正棱台: 由正棱锥截得的棱台
S下
S上S下
l
(适用于一般棱锥)
斜高l
l : 斜高 h : 高 p : 底面周长
直棱柱、正棱锥和正棱台的面积和体积公式
名称
直棱柱
正棱锥
正棱台
侧面积
S侧 =lp
全面积 S全= lp+2 S底
V= S底h
体积
(适用于一般 棱
柱)
S侧 =12 lp
S侧
1
=2
l(
p上＋p下
)
S全
=
1 2
lp+S底
1
V= 3 S底 h
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
图1
图2
图3
棱柱:由一个平面多边形平移形成的空间几何体叫 做棱柱
棱锥:当棱柱的上面收缩为一点时，可得到棱锥； 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和 平行截面间的部分叫做棱台．
二. 棱柱、棱锥和棱台的基本性质
名 称
棱柱
棱锥
棱台
上底面
图
侧棱
顶点
侧棱
上底面
侧棱
高
解:上底面积S上=64，下底面积S下=144，
V=
1 3
h
(
S上
S下
S上S下
)＝1 （6 64＋144＋ 3
棱柱、棱锥、棱台
A O
B
顶点 侧棱 侧面
D C
S
A
B
D
C
思考：仿照棱柱，说出棱锥的分类
棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱
锥、五棱锥、……
棱锥的表示方法：
图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示
棱锥的性质:底面是多边形,侧面是有一个 公共点的三角形.
思考：有一个面是多边形其余各面是 三角形，这个多面体是棱锥吗？
平行四边形 平行且相等
⑤平行于底面的截面与底面的关系？ 全等
⑥过不相邻的两侧棱的截面是什么 平行四边形 图形？
6.棱柱的性质
1. 两个底面及平行于底面的截面是全等的多边 形，且对应边互相平行； 2. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
只要有两个面平行,其余各 面都是平行四边形的几何体是 不是棱柱?
问题：指出该几何体的底面和侧面；所有棱柱、 棱锥、棱台的底面是唯一确定的吗？
例 4.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的长、宽、 高分别是 5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从 A 到 C1 点， 沿着表面爬行的最短距离是多少？
变式训练：四面体 P-ABC 中，PA=PB=PC=2，
APB= BPC= APC=30°，一只蚂蚁从 A
缩为一点 多边形（没变）
三角形 交于一点
棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一 个点时，得到的几何体叫棱锥。
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
与棱柱相仿，棱锥中常用名称的含义
S
侧面：有公共顶点的各三角形面 底面（底）：余下的那个多边形 侧棱：两个相邻侧面的公共边 顶点：所有侧面的公共顶点 底面多边形的顶点:如图中A B C
棱柱、棱锥、棱台—高中数学湘教版(2019)必修二
A,B,D正确,故选ABD.
探究二
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例2下列四个说法正确的有(
)
①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何
体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱
台;
A.0个 B.1个 C.3个 D.4个
③顶点:棱和棱的交点叫作多面体的顶点
一个多面体最少有4个顶点
旋转轴:形成
旋转体所绕
的定直线称
为旋转轴
微思考
观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?
探究四
正棱锥(台)中的几何计算
例4若定义正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高为斜高,求解以下问题:已
知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2 6 ,计算它的高和斜高.
分析根据正三棱锥的性质,找出底面正三角形的中心及底面边的中点,构造
直角三角形.利用勾股定理求解.
解 如图所示,设O是底面中心,连接VO,AO,并延长AO交BC于点D,连接VD,
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于
E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计教学设计：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、教学目标：1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义和特点。
2.掌握计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的方法。
3.能够解决与实际生活相关的问题，灵活运用所学知识。
二、教学内容：1.棱柱的表面积和体积-定义：棱柱是底面为多边形，且侧面都是平行于底面的平面多边形的立体图形。
-表面积：底面的面积加上所有侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度。
2.棱锥的表面积和体积-定义：棱锥是底面为多边形，且侧面都是从一个顶点到底面各边的连线的立体图形。
-表面积：底面的面积加上侧面的面积。
-体积：底面的面积乘以高度再除以3。
3.棱台的表面积和体积-定义：棱台是上下底面相等且平行，侧面为梯形的立体图形。
-表面积：上下底面的面积加上四个侧面的面积。
-体积：上下底面的面积乘以高度再除以2。
三、教学过程：1.导入（5分钟）引入新内容，通过展示不同形状的棱柱、棱锥、棱台的图示，让学生通过观察和思考，激发他们对这些几何体的好奇心和兴趣。
2.重点讲解（20分钟）a)针对棱柱，让学生了解定义和基本特点，并通过示例计算棱柱的表面积和体积，帮助学生掌握计算方法。
b)类似地，让学生了解棱锥和棱台的定义和特点，并计算其表面积和体积。
c)强调计算表面积和体积的公式，让学生明确计算的步骤和方法。
3.练习与巩固（25分钟）a)分发练习题，让学生自主完成计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题目。
b)鼓励学生在解答问题时灵活运用所学知识，将几何形状和实际生活中的问题相结合，增强学生的综合运用能力。
4.拓展与应用（25分钟）a)给出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，例如：-饮料瓶的形状是棱柱体，求它的表面积和体积。
-蜡烛的形状是棱锥体，求它的表面积和体积。
-塔楼的形状是棱台体，求它的表面积和体积。
b)让学生在小组中合作，分享和比较解决方案，培养他们的思考和合作能力。
5.总结与评价（5分钟）回顾本节课所学内容，让学生总结计算棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的公式和方法，并进行简单的评价，了解学生对本节课的掌握情况。
棱柱、棱锥和棱台
一、棱柱、棱锥和棱台温故1.棱柱、棱锥、棱台的概念，它们的形成特点2.棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称典例精析例1判断下列说法是否正确：（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；(2)有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；(3)用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥.（5）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面.（6）棱锥的各侧棱长相等.例2(1)把正方形的一个角截去后,○1若剩下的几何体共有12条棱,画出该几何体图形;②若剩下的几何体共有14条棱,画出该几何体图形.(2)把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有个面.例3(1)如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？CC 1A 1B 1A(2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？(3)四面体P-ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A 点，蚂蚁经过的最短路程是多少？例4`(1)平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？(2) 用任意一个平面去截正方体，得到的截面可能是几边形？演练提升1. 四棱柱共有_______条棱;四棱锥共有_______条棱;四棱台共有共有_______条棱;四面体共有_______条棱.2. 长方体1111ABCD A B C D -中,作出截面11BCD A ,其截面把长方体分成两部分,则这两部分几何体分别是_________3. 如图,三棱台111ABC A B C -中,沿1A BC 截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分是________4. 下列说法:① 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥; ② 当棱台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥;③ 棱柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台; ④ 棱锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台. 正确的有______.(填上所有正确说法的序号) 5. 给出下列几个命题: ① 棱柱的侧面都是平行四边形;② 棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都是一个共同的公共点; ③ 多面体至少有四个面;④ 棱台的侧棱所在直线均相交于用一点. 其中正确的命题是________.6. 在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是_________.(写出所有正确结论的编号)○1矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三面为等腰直角三角形,有一面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体.7. 已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．8. 有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥9. 如图，多面体的名称是_______________________； 该多面体的各面中，三角形有_______________个， 四边形有_________________________________个．10.如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．11. 观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1） （2）12. 根据下列对几何体结构的描述，说出几何体的名称，并试画出其立体图． （1）由1个梯形沿某一方向平移形成；（2）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形； （3）由4个面围成，且每个面都是三角形．AA 'DD 'BB 'C 'CCA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDEF B 'C 'D 'F 'E '（3）二、圆柱、圆锥、圆台和球温故1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念2.圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系典例精析例1（1）给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中说法正确的是.（2）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.例2（1）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，以AB所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征.（2）给出下列命题：①以直角三角形的一条边为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径.其中正确命题的序号是例3（1）判断图所表示的几何体是不是圆台？为什么？（2）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm.36cm2，则球心与截面圆例4（1）已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是π圆心的距离是.（2）已知球的两个平行截面分别为π5和π8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.例5`（1）如下图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？（2）下图（1）是由图（2）中的哪个平面图旋转得到的（3）如图是一枚公章，这个几何体是由简单的几何体、、组合而成的.演练提升1．将等边三角形绕着它的一边上的中线所在的直线旋转0180,形成的几何体是______. 2．将一个直角三角形绕着它的斜边所在直线旋转一周,形成的几何体是_________.3．下列关于球的叙述:①将圆绕着它的任意一条直径所在的直线旋转0180,形成的几何体是球;②将半圆绕着它的任意一条半径所在的直线旋转一周,形成的几何体是球;③空间中到l l 的点的集合是球.正确的是__________.(填上所有正确的一个定点的距离小于等于(0)说法的序号)4．如果一个球恰好内切于一个棱长为10cm的正方体盒子(球与正方体的六个面都能接触),那么这个球的半径为_______cm.5．下列说法:①当圆柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;②当圆台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;③圆柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台;④圆锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台.其中,不正确的是______.6．下列说法:①用一个平面去截一个球所得的截面是一个圆面;②用一个平面去截一个圆柱所得的截面是一个圆面或矩形;③用一个平面去截一个圆锥所得的截面是一个圆面或等腰三角形;7．如图,将直角梯形ABCD绕腰CD边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？CDCBA8．用一个平面截一个几何体，不管怎样截，得到的都是圆面，则这个几何体是__________ 9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积是3，则这个圆锥的母线长为______________ 10．圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________11．矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 12.圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________13.矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__________(5)(4)(3)(2)(1)15.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 ．A ．B ．C ．D ．16.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从点A 到点C 的最短距离为___________17.在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10m处，同一时刻一根长3m的木棒垂直于地面，且影子长1m，求此球的半径.2，∠C=90°，以直线AC为轴将△ABC旋18.在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=3转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值. 19.一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱.（1）用x表示圆柱的轴截面面积S （2）当x为何值时，S最大？。
空间几何体及棱柱、棱锥、棱台的结构特征
连续性
空间几何体的表面是连续 的，即表面上的任意两点 可以通过曲面上的曲线连 接。
有限性
空间几何体的大小是有限 的，其体积和表面积都是 有限的数值。
02
棱柱的结构特征
棱柱的定义
总结词
棱柱是由两个平行的多边形底面和与 底面平行的棱组成的几何体。
详细描述
棱柱是一种常见的空间几何体，其底 面可以是任意多边形，如三角形、四 边形等。棱柱的侧棱都与底面平行， 并且侧棱长度相等。
棱柱的分类
总结词
根据底面的多边形类型，棱柱可以分为直三棱柱、直四棱柱 等。
详细描述
根据底面的多边形类型，棱柱可以分为不同种类的直棱柱。 例如，当底面为三角形时，称为直三棱柱；当底面为四边形 时，称为直四棱柱。此外，还有斜棱柱等其他类型的棱柱。
棱柱的性质
总结词
棱柱具有平行性、对称性和稳定性等性质。
THANKS
感谢观看
详细描述
棱柱的性质包括平行性、对称性和稳定性。平行性是指棱柱的侧棱与底面平行，且侧棱长度相等；对称性是指当 底面为轴对称图形时，棱柱也具有轴对称性；稳定性是指棱柱在受力情况下不易发生形变。此外，不同种类的棱 柱还具有各自独特的性质。
03
棱锥的结构特征
棱锥的定义
总结词
棱锥是由一个多边形与其内部一点所确定的几何体。
详细描述
棱锥的定义包括一个多边形作为底面，一个点作为顶点，以及连接顶点和底面 各顶点的线段。
棱锥的分类
总结词
棱锥可以根据底面的形状和顶点的位置进行分类。
详细描述
根据底面的形状，棱锥可以分为三角形棱锥、四边形棱锥等。根据顶点的位置， 棱锥可以分为正棱锥、斜棱锥等。
棱锥的性质
总结词
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱、棱锥和棱台是一些常见的几何形体，它们都具有棱和面的特点。
对于这些几何形体，我们可以用体积来描述它们的大小。
下面分别介绍棱柱、棱锥和棱台的体积公式。
棱柱的体积公式：
棱柱的体积可以通过底面积与高度相乘来计算。
假设棱柱的底面积为A，高度为h，则棱柱的体积V为：
V = Ah
例如，一个正六棱柱的底面积为4平方米，高度为3米，则它的体积为：
V = 4 × 3 = 12
因此，该正六棱柱的体积为12立方米。
棱锥的体积公式：
棱锥的体积可以通过底面积与高度相乘再除以3来计算。
假设棱锥的底面积为A，高度为h，则棱锥的体积V为：
V = 1/3Ah
例如，一个正五棱锥的底面积为6平方米，高度为4米，则它的体积为：
V = 1/3 × 6 × 4 = 8
因此，该正五棱锥的体积为8立方米。
棱台的体积公式：
棱台的体积可以通过上底面积与下底面积的平均值与高度相乘
来计算。
假设棱台的上底面积为A1，下底面积为A2，高度为h，则棱台的体积V为：
V = 1/3h(A1 + A2 + √(A1A2))
例如，一个上底面积为6平方米，下底面积为4平方米，高度为3米的棱台，则它的体积为：
V = 1/3 × 3 × (6 + 4 + √(6 × 4)) = 18
因此，该棱台的体积为18立方米。
总之，对于棱柱、棱锥和棱台这些常见的几何形体，我们可以用相应的体积公式来计算它们的大小。
这些公式是在数学研究中得出的定理，可以帮助我们更好地理解这些几何形体的特点和性质。
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
棱锥的底面
A BC棱锥的Fra bibliotek面思考3：有一个面是多边形，其余各面都是
三角形的几何体一定是棱锥吗？ 不一定是棱锥
思考4：有一个面是多边形，其余各面都是有一
个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
体一定是棱锥吗？ 一定是棱锥
棱锥的表示方法:
S
A B C D
棱锥S-ABCD 棱锥S-AC
棱锥的分类: 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥、……
4、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？ 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢？
棱锥和棱台
1.棱锥
S A B C D
特征性质：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个 公共顶点的三角形。
棱锥的概念： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥. 棱锥的侧棱 棱锥的顶点
C1
棱台AC1
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对 角线。 V C E
D 食盐 明矾 石膏
A
B
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
棱柱、棱锥、棱 台的结构特征
•实验中学 高一数学组
第一类：
棱柱
(1) (2) (5) (8)
第二类：
棱锥
(4) (6) (7) (12)
第三类：
棱台
(3)
(9) (10) (11)
多面体
一、多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 两个面的公共边叫做多面体的棱，
高中数学知识点精讲精析 棱柱、棱锥、棱台
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台1.棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.侧棱.顶点.（2）本质特征：①有两个面相互平行；②其余各面的两面的公共边相互平行.（3）结构特征：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面相互平行；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.（4）分类：棱柱的分类方法有两种：①按底面多边形的边数可分为三棱柱.四棱柱.五棱柱等；②按侧棱与底面是否垂直分为直棱柱.斜棱柱.2.棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.侧棱.顶点.（2）结构特征：①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共点的三角形.（3）分类：①棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．②按底面多边形的边数分为三棱锥.四棱锥.五棱锥等.棱锥主要从下面几点把握：（1）组成元素：底面.侧面.轴.母线.（2）结构特征：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰三角形.（3）表示方法：用表示轴的字母表示.3.棱台与多面体：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面.侧棱.顶点.棱台主要从下面几点把握：（1）组成元素：上.下底面.侧面.侧棱.顶点.（2）结构特征：各侧棱延长后相交于一点，两底面是平行的相似多边形.（3）分类：棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，故其分类和棱锥的分类方法一样.多面体的结构特征由平面多边形（包括它们内部的平面部分）围成的几何体称为多面体.其中，各个额多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.把多面体的任一个平面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.一个多面体至少四个面.多面体按照它的面数分别叫做四面体.五面体.六面体等.几种常凸多面体间的关系几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分例1 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台答案：D。
棱柱棱锥棱台的概念
棱柱棱锥棱台的概念
嘿，朋友！今天咱们来聊聊棱柱、棱锥和棱台这几个有趣的几何小
伙伴。
先来说说棱柱吧。
棱柱就像一个被拉长的盒子，有着直直的棱，上
下两个面还平行得很呢！你想想看，那一根根笔直的棱，是不是像站
岗的士兵，整整齐齐排列着？它的侧面都是平行四边形，就像一块块
整齐的拼图拼接在一起。
比如说咱们常见的铅笔盒，那是不是就有点
像棱柱？
棱锥呢，就像是尖尖的小山丘。
它有一个尖尖的顶点，然后从顶点
向各个方向延伸出棱，最后形成一个底面。
这就好像一把撑开的雨伞，顶点就是伞尖，那些棱就是伞骨，底面就是伞撑开后的那个圆形。
棱
锥的侧面都是三角形，是不是很神奇？你看埃及的金字塔，不就是个
大大的棱锥嘛！
再讲讲棱台。
棱台就像是棱柱被削去了一截儿。
上面小，下面大，
中间的棱还斜斜的。
这就好比一个大蛋糕被切去了上面一层，变得上
窄下宽。
棱台的侧面都是梯形，就像一级级的台阶一样。
咱们生活中其实到处都能看到棱柱、棱锥和棱台的影子。
比如那些
高楼大厦，有的柱子就是棱柱形状的；公园里的假山，说不定就有棱
锥的模样；还有一些花坛，可不就是棱台的样子嘛！
你说，这几个几何图形是不是很有趣？它们看似简单，却隐藏着无
数的奥秘和规律。
就像我们的生活，看似平凡，却充满了惊喜和未知。
所以啊，咱们可得好好掌握它们的概念，这样才能在数学的世界里
畅游，发现更多的美好和神奇！。
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棱柱、棱锥和棱台
层级一学业水平达标
1．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 3
2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为
上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将
正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________.
解析：将展开图还原成原来的正方体，由图知标
“△”的面的方位是北．
答案：北
3．棱台具备的性质是________(填序号)．
①两底面相似；②侧面都是梯形；
③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.
解析：用棱台的定义去判断．
答案：①②④
4．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．
解析：结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.
答案：①
5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．
①有一对面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的
公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点．
解析：由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．
答案：①②③
6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．
解析：若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．
答案：六
7．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为5 cm,4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.
解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起，得到的长方体的表面积最大，此时，所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm，表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.
答案：164
8.如图，三棱台ABCA′B′C′，沿A′BC截去
三棱锥A′ABC，则剩余部分是________．
解析：在图中截去三棱锥A′ABC后，剩余的
是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥．
答案：四棱锥A′BCC′B′
9．如图，观察并分别判断①中的三棱镜，②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对．
解：图①中有1对互相平行的平面，只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面，只有1对可以
作为棱柱的底面．
10.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现
在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．
层级二应试能力达标
1．下列命题正确的是______(填序号)．
①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；
②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；
④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．
解析：根据棱柱的定义可知④正确．
答案：④
2．给出下列几个命题：
①用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．
其中真命题是________(填序号)．
解析：①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.
答案：①②③
3.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，
C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝
________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：60°
4．下图中哪些不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图，其序号是________．
解析：(3)(4)中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，当然不是正四面体的展开图．
答案：(3)(4)
5．在正方体上任意选择4个顶点，则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1上，若取
A，B，C，D四个顶点，可得矩形；若取D，A，C，
D1四个顶点，可得③中所述几何体；若取A，C，D1，
B1四个顶点，可得④中所述几何体；若取D，D1，A，
B四个顶点，可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.
答案：①③④⑤
6.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1
的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短
路程是________ cm.
解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点
连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的
答案：13
7．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称．
(1)由6个平行四边形围成的几何体．
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．
(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．
B是边长为3的正方形，CC1
8.如图，四边形AA
＝2，CC1∥AA1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？
若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．
解：这个几何体的所有面中没有两个互相平行
的面，∴这个几何体不是棱柱．
在正方形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连结C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其侧棱长为2；截去的部分。