定积分的元素法讲解学习

定积分的元素法

一 、再论曲边梯形面积计算 设f x ()在区间[,]a b 上连续，且f x ()≥0，求以曲线

y f x =()为曲边，底为[,]a b 的曲边梯形的面积A 。

1、化整为零 用任意一组分点

011n n a x x x x b -=<<<=L

将区间分成 n 个小区间

[,]x x i i -1，其长度为

1--=∆i i i x x x , ),,2,1(n i Λ=

记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆=Λλ 相应地，曲边梯形被划分成n 个

窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积记为

),,2,1(n i A i Λ=∆。

于是 A A i i n

=

∑=∆1

2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

∆∆A f x x x i n i i i i i i ≈∀∈=-()[,](,,,)ξξ112

3、积零为整，给出“整”的近似值

A f x i i i n

≈∑=()ξ∆1

小结：元素法的提出、思想、步骤 （注意微元法的本质）

4、取极限，使近似值向精确值转化

A f x f x dx i i i n

a

b =∑=⎰→=lim ()()λξ01∆

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：(一)、若将[,]a b 分成部分区间[,](,,,)x x i n i i -=112 ，则A 相应地分成部分

量∆A i n i

(,,,)=12 ，而A A i i n

=∑=∆1

这表明：所求量A 对于区间[,]a b 具有可加性。

(二)、用

f x i i ()ξ∆近似∆A i ，误差应是∆x i 的高阶无穷小。

只有这样，和式f x i i i n

()ξ∆=∑1

的极限方才是精确值A 。

备注：

确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ是关键。

上述做法可进一步简化为

略去下标i ，用A ∆表示任一小区间[,]x x dx +上窄曲边梯形的面积，

这样 A A =∑∆一般地称()f x dx 为面积元素 记作 ()dA f x dx =

窄曲边梯形A ∆叫典型面积元素。 于是 ()A f x dx dA ≈∑=∑

lim ()()b

a

A f x dx f x dx =∑=⎰

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法

1、能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1)、U 与变量x 的变化区间[,]a b 有关； (2)、U 对于区间[,]a b 具有可加性； (3)、U 部分量∆U i 可近似地表示成

f x i i ()ξ⋅∆。

2、写出计算U 的定积分表达式步骤

(1)、根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；

(2)、设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，

求出它所对应的部分量∆U 的近似值

∆U f x dx ≈() ( f x ()为[,]a b 上一连续函数)

则称

f x dx ()为量U 的元素，且记作dU f x dx =()。

(3)、以U 的元素dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得

()b

a

U f x dx =⎰

这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式

dU f x dx a x b =≤≤()() 因此，也称此法为微元法。

【例1】已知闸门上水的压强p (单位面积上压力的大小)是水深h 的函数，且3

(/)p h =吨米。若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受的水压力P 。 备注：

教 学 内 容 （教 学 时 数： ）

解：选择h 为积分变量，则 03≤≤h 位于水深h 与 h dh +之间的闸门所承受的水压力近似地为

dP h dh hdh =⋅=()22 故 (

3

3

20

29()P hdh h

=

==⎰

吨

( 注：这里，dP hdh =2是水压力元素 )

备注：

作业、讨论题、思考题：