高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。

角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其

准线上。设抛物线y2=2px （p>0），弦AB 过焦点，△ ABQ为其阿基米德三角形，则△ ABQ的面积的最小值为___ 。_

P £

解：抛物线y2= 2px （p>0 ）的焦点F②0）,可设直线AB的方程为x= ty +J ,

代入y2= 2px 得y2—2pty —p2=0

设点 A (x i, y i) , B (X2 , y2) (y i>0 , y2<0 )贝9 y i + y2= 2pt , y i y2=—p2,

|AB| = |FA|+|FB| = ( x i +P) + ( x2 +」)=x i + X2 + p y/ 芝;"i*珥)」£珀坯tzpt) !十即[ =2卩+即+ p = 2卩+ p = 即+ p = 2p ( 1 + t2)

y/ pPh-H,

设切线AQ：y= k i (x—环)+ y i = k i x + —环—，代入y2= 2px 得,

切线AQ的方程：y =

切线BQ的方程:

1 2 ■ I 山、亍L2

2 - |AB| - d = P ⑴ t)>P

可见t=0 （即直线AB: x=与x轴垂直）时取等号，△ ABQ的面积最小值为p2

阿基米德三

(k i x + 即) —2px，整理得X+ =0

=0，整理（两同乘；，再用平方差公式）(4pfe1y12p2) ( -2p2)=0

=0, ( k i y i—p) 2= 0 , k i ='，从而

设切线BQ: y = k2 (x —X2)+ y2 = k2（x —即）+ y2, 同理可得，k2=

联立①②，解得

(y=—=p L

于是点Q （,pt）,其到直线AB的距离d=

=P T1+?

从而S △ ABQ =

k i2x2+

财P冲亦）1

延伸：点Q坐标：（，pt）表明点Q在抛物线准线上，

2_L= _=_B L=_]

从k i K2 =儿儿一儿$厂一，可知切线AQ、BQ互相垂直。