【精品】上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
上海交通大学历年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n rr n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) ； (ｄ)5. 设),,,(21n X X X Λ为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ))(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； (ｃ))1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是；一次品被误认为是合格品的概率是．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X Λ为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: ， ， ， ， .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）22 ； 2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； ； 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(x y x x x y f X Y ；5. ),1(m F6. 上限为 .7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ (1分)0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1Λ=i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=-ΛΛ)1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；）分（2)1(2-=n n k πXYP+ZpqZ)1P；XY=P(,0)0=((2=)1=+==XPYP=+ZP；=XYZpq)0()1(=2)0,1+=(2==YP+ZX=YP；XZpqP=(2)1(=)1)1=,1+=(2=YX=+ZPY=P；XZpqP()2(=)0)0=+=,2(2=X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分)所以Y一 是非题（请填写是或非。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
Ω 0 ,1,2. Ω 10,11,12.
（４）
3
五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个 （但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 解:
9 P96 P ( A) 0.0605. 6 9 10
六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解:
P( AB) 0.4; P( A B) 0.7.
5. 设 P( AB) P( AB), 且 P ( A) p, 则 P( B) 1 p.
8
二、
设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B) 用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
P( AB) P( BC ) 0， 则：
（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 （2）A、B、C中都发生的概率为 0 ； 。 （3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 ；
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
上海交通大学概率论与数理统计习题全解
(2) 因 为 P ABC P ABC P AB ， 故 所 求 P ABC P AB P ABC
0.1 0.03 7% 。
(3)类似(1)计算可得， P ABC 0.23, P ABC 0.2 ，故所求 P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC
解：(1) ABC 表示非平装的中文数学书； (2)若 C B ，则说明非平装图书都是中文图书； (3) A B A B ，即所有数学书都不是中文版的。
证：(1) A B AB, A A B A A B A A B AA AB AB AB ，
所以 A B A A B 。
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
习题 1
解：(1) 1,2,3 ； (2) 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12；
(3) n n为自然数； (4) 1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；
(5) 合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格； (6) t1,t2 t1 9, t2 19 ；
2
概率。 解：
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
设两艘船的到达时刻为 x, y ，则 0 x, y 24 ，两船相会的条件为 0 x y 1，
0 y x 2 。如图，由几何概率知，所求概率为
1 232 1 222
22 242
0.879 。
3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求
PBi 0.51,0.49, P A Bi 0.05, 0.025 。
2
上海交通大学历年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004—01姓名： 班级： 学号： 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1。
在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 （ ） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 （0,1) 分布，则Y X = （ ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( ）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时， 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ） 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 。
(a ） r n r r n p p C ----)1(11； （b ） r n rr n p p C --)1(； (c ） 1111)1(+-----r n r r n p pC ; (d) r n r p p --)1(。
2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P 。
（ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ） )()(11-+-k k x F x F ； （ｃ） )(11+-<<k k x X x P ； （ｄ） )()(1--k k x F x F 。
3。
设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ） 是连续函数； （ｂ) 恰好有一个间断点; （ｃ） 是阶梯函数； （ｄ) 至少有两个间断点。
4。
设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40; （ｂ） 34； （ｃ) 25.6； （ｄ） 17.6 5。
交大概率论与数理统计教材
交大概率论与数理统计教材
交通大学概率论与数理统计教材参考资料如下：
1. 《概率论与数理统计》（第三版）- 王宏志，北京航空航天大学出版社，2006年。
2. 《概率论与数理统计教程》（第三版）- 曾国藩等，高等教育出版社，2010年。
3. 《概率论与数理统计》（第三版）- 罗昌智，高等教育出版社，2013年。
4. 《概率论与数理统计教程》（第五版）- 朱启勇，高等教育出版社，2017年。
5. 《概率论与数理统计》（第四版）- 长江师范学院出版社，2019年。
6. 《概率论与数理统计》（第六版）- 郑经堂等，高等教育出版社，2021年。
以上教材都是经典的概率论与数理统计教材，适合学习交大相关课程。
但具体使用教材可能因不同讲师而异，建议以授课教师的要求为准。
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评分细则
P( X Y 1, Z 0) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 0) ；
P( X Y 1, Z 1) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 1) ；
P( X Y 2, Z 0) pq 2 P( X Y 2)P(Z 0) ；
P( X Y 2 , Z 1) p3 P( X Y 2)P(Z 1) .
E( X ) 未必存在( )
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( )
二．选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设每次试验成功的概率为 p (0 p 1) ，重复进行试验直到第 n 次才取
得 r (1 r n) 次成功的概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评 分细则
2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………2 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………8 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………17 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………32 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………41 2011-2012年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………50
故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .
五、证明题 (7 分) 由题设知
X0 1 P qp
X Y 0 1 2
P
q 2 2 pq p 2
P( X Y 0, Z 0) q3 P( X Y 0)P(Z 0) ；
P( X Y 0 , Z 1) pq 2 P( X Y 0)P(Z 1) ；
概率论与数理统计习题全解(1) 2
习题22 解：X 的取值为8,11,21,23,27，对应的概率为23232367574737,27,C C C C == 2337635,C C = 分布函数为()3781157112131212334352327127x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩。
4解：X 的分布律为(){}113,1,2,,13P X k k === 。
(1){}15513P X ≤≤=。
(2)()616{}613k F P X k ====∑。
5 解：(1){}2111412,4,6,21143kk P X +∞=====-∑ 。
(2) {}31181321124k k P X +∞=≥===-∑。
8 解：(1) 设X 表示4人中血型为A 的人数，则()~4,0.4X B ，所求为{}222420.40.60.3456P X C ==⋅=。
(2) 设X 表示4人中血型为B 的人数，则()~4,0.2X B ，所求为{}400.80.4096P X ===。
9 解：设X 为击中次数，则(1) ()~3,0.3X B ，{}22320.30.70.3^30.216P X C ≥=+=。
(2) ()~5,0.3X B ，{}22333255230.30.70.30.70.441P X C C ≤≤=+=。
10 解：设,X Y 为甲、乙投中次数，则()()~2,0.6,~2,0.5X B Y B 。
(1) {}{}{}{}0,01,12,2P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==221122220.40.5C 0.60.4C 0.50.50.60.50.37=+⨯⨯⨯+⨯=。
(2) {}{}{}{}1,02,02,1P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==12212222C 0.60.40.50.6C 0.50.50.60.50.39=⨯⨯+⨯⨯+⨯=。
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解概率论马敖理<<+対軀及各嚓——第呂章N习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y 的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:红,2白）=3. 设二维随机变量（X ,Y ）的联合分布函数为..n .. .. n0_x ,0_y_ —2 2 其他.加＜y#内的概率.【解】如图P{0<XM -,亠Y < n公式(3.2)4 63n nn n nnF(?n-F(?n-F(o，n+F(o,6)n n n - n 厂 n - n二 sinsin — -sin — _sin — -sin 0_sin —sin0_sin —6¥(—).4求二维随机变量 （X ，Y ） 在长方形域F (x , y )= sin xsiny,说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度求：(1) 常数A ;(2)随机变量(X , Y )的分布函数;(3) P{0 *1, 0之<2}.【解】(1)由 U(x,y)dxdyAe®"y)dxdy =£ = 1得 A=12 (2)由定义，有y xF(x, y) !. j. f(u,v)dudve 」x )(1-「y ) y 〉O,XAO,i o, -.0， 其他⑶ P{0 _X ：：1,0 _Y :: 2}二 P{0 ：： X 岂 1,0 ：： Y < 2}1 2=Jo ( 12e*x44y)dxdy = (1 — ed)(1—e 」” 0.9499.5. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为(X, y )= ‘Ae*y)0,x ■ 0, y 0, 其他.（X ，y ）=k(6 - x - y),0 ： x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ；(2)求P{X v 1, Y v 3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y< 4}. 【解】(1)由性质有:::: 2 4f(x, y)dxdy = 0 2 k(6 - x - y)dydx =8k =1,1 3P{X :：: 1,Y :：: 3H f (x, y)dydx1 313=0 .2k(6 _ X _ y)dydx n 8 8(3) P{X ：：：1.5}= f (x, y)dxdy 如图 a 11 f (x, y)dxdyx£.5D 11.5 4127=i dx 一(6 - x - y)dy = 0 28 32⑷ P{X+YW4}= ff f (x, y)dxdy 如图 b [[f (x, y)dxdy X沖翌6. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0, 0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为-5eD 22 4_x 1 20dx 2 8(6-x-y)dy=3峯y 0,0, 其他.f Y (y )十 x-lj'=4求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{YN}.兀一_ 1-5 -所以f (x y X)丫独立 fxxUf Y y”25e'y, 0< xv0.2且y >0, 0, 其他.(2) P(Y _ X)二 f(x, y)dxdy 如图 25e^ydxdyD0.2 x -5y 0.2 $=[dxj 0 25e dy=J 0 (—5e +5)dx =e -10.3679.7. 设二维随机变量(X ，Y )的联合分布函数为；(1 - e 」x )(1-e'y ), x 〉0,y 〉0,、0,其他.求(X ，Y )的联合分布密度.X —【解】(1)因X 在(0, 所以X 的密度函数为题6图0.2)上服从均匀分布, f x (X)= < 0.2' 0,0 ：： x0.2,「5e'y fs。
概率论与数理统计 - 上海交通大学数学系
Probability can be viewed as a study of the likelihood of a possible outcome to occur in an experiment. An experiment usually means an act such that there is uncertainty about the outcomes after it is performed. A typical example of an experiment is the act of observing the number of dots on the top face of a die upon rolling it. The mathematical counterpart of an experiment is usually called a sample space. The potential outcomes of a probabilistic experiment are called events.
概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案
5
0.3
0.6
X的分布函数为：
4、解：由已知，X的密度函数为：
此二次方程的
（1）当 时，有实根，即
所以
（2）当 时，有重根，即
所以
（3）当 时，无实根，
5、解：设X为元件寿命，Y为寿命不超过150小时的元件寿命。由已知：
6、解：由 ，有： ，即
又由 ，有 ，即
联立求解，得：
7、解： ，由 ，有：
，即
则
所以
2、解：由已知： ，
可得：
同理： ，而
所以：
3、解：由已知边缘密度为： ，
所以 ，
而 ，所以 ，
4、解：
5、解：设每毫升血液中白细胞数为X，则由已知： ，
要估计 ：
由切比雪夫不等式，可得
即每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率大概为 。
习 题 七 第四章
一、填空题
1、0
2、N（0，5）
=
习题三第二章随机变量及其分布
一、填空题
1、 2、2 3、 4、0.8 5、 6、
二、单项选择题
1、B 2、A 3、B 4、B
三、计算题
1、解：由已知 ，其分布律为：
至少有两人的概率：
多于13人的概率： 0
2、解设击中的概率为p，则X的分布率为
X
1
2
3
4
5
6
（
（
（
（
（ +（
3、解：X的分布律为：
X
3
习题一
一．填空题
1． 2、 3、 4、
二．单项选择题
1、B 2、C 3、C 4、A 5、B
三．计算题
1．（1）略
概率论与数理统计课后习题答案习题第四章
y 2 i4e −4 y dy =
00
3
1 2 E ( X ) = ∫ xi2 xdx = , 0 3
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tj
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求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值
.c
⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, 其他; ⎩0,
5.设随机变量 X 的概率密度为
N
∑ kP{ X = k}
k =0
N
求 E（X） ，D（X）. 【解】 E ( X ) =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ x(2 − x)dx
0 1
1
2
w.
1 2 0 1
3 ⎡1 3 ⎤ ⎡ 2 x ⎤ = ⎢ x ⎥ + ⎢ x − ⎥ = 1. 3 ⎦1 ⎣ 3 ⎦0 ⎣
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
计
【解】 （1） E[U ] = E (2 X + 3Y + 1) = 2 E ( X ) + 3E (Y ) + 1
= 2 × 5 + 3 × 11 + 1 = 44.
因Y , Z 独立E (Y )i E ( Z ) − 4 E ( X )
= 11× 8 − 4 × 5 = 68.
上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章
⎧ 2y , x < y < 1, 0 < x < 1 f ( x, y ) ⎪ ， ( y x ) = f x = ⎨1 − x 2 X ( ) ⎪ 其它 ⎩ 0,
上海交通大学《概率论与数理统计》习题全解第三章
fY X
⎧9 y 1 ⎛ 1 ⎞ ⎪ , < y <1 。 ⎜ y 3⎟ = ⎨ 4 3 ⎝ ⎠ ⎪ 0, 其它 ⎩
289 400 51 400 51 400 9 400
不放回抽样：
P { X = 0, Y = 0} =
17 × 16 272 17 × 3 51 ， = , P { X = 0, Y = 1} = = 20 ×19 380 20 ×19 400
上海交通大学《概率论与数理统计》习题全解第三章
P { X = 1, Y = 0} =
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
⎧1 f ( x, y ) ⎪ , 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1 fX Y ( x y) = = ⎨x ， fY ( y ) ⎪ 其它 ⎩ 0, ⎧ 2x , 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x, y ) ⎪ = ⎨1 − y 2 。 fX Y ( x y) = fY ( y ) ⎪ 其它 ⎩ 0,
密度为
y ⎧1 −2 , y>0 e ⎪ ， fY ( y ) = ⎨ 2 ⎪ 0, 其它 ⎩
(1) 求 X 和 Y 的联合概率密度； (2) 设含有 a 的二次方程 a 2 + 2 Xa + Y = 0 ，试求 a 有实根的概率。
上海交通大学《概率论与数理统计》习题全解第三章
y ⎧1 −2 ⎧1, 0 < x < 1 ⎪ e , 0 < x < 1, y > 0 解：(1) f X ( x ) = ⎨ ， f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = ⎨ 2 。 ⎩0, 其它 ⎪ 0, 其它 ⎩
《概率论与数理统计》试卷9
《概率论与数理统计》试卷9上海交通⼤学概率论与数理统计（A 类）试卷（A 卷） 2006－06－21姓名班级学号⼀. 选择题（每题3分，共15分）1．设事件,,,A B C D 相互独⽴，则下列事件对中不相互独⽴的是（）)(A A 与BC D ?； )(B A C D与BC ； )(C BC 与A D -； )(D C A -与BD .2．设事件C B A ，，满⾜，,,B A B C ??()0.8,()0.6,()0.5P A P AC P A B ==-=，则()P ABC 等于（）)(A 0.1； )(B 0.2； )(C 0. 3； )(D 0.4. 3．设随机变量Y X ，相互独⽴，(),(),(),cov(,)D X D Y D XY X Y 都在，则下列不等式成⽴的是（）)(A cov(,)()X Y D XY ≤； )(B c o v (,)(X Y D X Y ≥； )(C ()()cov(,)D X D Y X Y ≤； )(D ()()()D X D Y D X Y ≥. 4. 设X 和2S 为取⾃总体),(~2σµN X 的样本)(21n X X X ，，，的均值和⽅差，),(~2σµN Y ，Y X X X n ，，，，21独⽴，则n n S X Y 1+- 服从分布（）)(A (1)t n -； )(B ()t n ； )(C (1)t n +； )(D (2)t n +.5. 总体X 的分布律 ()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===- .已知取⾃总体的⼀个样本为(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2)，则参数N 的矩估计值是（）)(A 5； )(B 6； )(C 7； )(D 8.⼆. 填空题（每题3分，共15分）1．已知男⼈寿命⼤于60岁的概率为74%，⼤于50岁的概率为85%．若某⼈今年已50岁，则他的寿命⼤于60岁的概率为．2．某射⼿每次射击的命中率是0.6，他打中12次便停⽌射击，设X 为射击的总次数，则X 的分布律为 . 3．已知⼆维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试⽤其联合分布函数表⽰概率)(b Y a b X a P ≤<≤<，. 4．设随机变量X 和Y 的期望分别为2-和2，⽅差分别为1和4，0.5XY ρ=-，由切⽐雪夫不等式，(6)________P X Y +≥≤ ．5．设),,,(21n X X X 为取⾃总体),(~2σµN X 的样本，参数2,σµ均未知，∑==n i i X n X 11，212)(X X Z ni i -=∑=，则对于假设00=µ：1．设随机事件,A B 满⾜0)(0)(>>B P A P ，，则表⽰式AB =?和()()()P AB P A P B = 不可能同时成⽴. （）2．⼆维均匀分布的随机变量的边缘分布不⼀定是⼀维均匀分布. （） 3．若随机变量X 的⽅差不存在，则X 的数学期望也不存在. （） 4．设随机变量序列12,,,,n X X X ，的期望和⽅差都存在且相等，记为)(X E和)(X D ，则(,)x ?∈-∞+∞22()lim .t n k x n X nE X P x d t -→∞??- ??≤=?∑?（）5．给定显著性⽔平α及样本容量n 后，参数θ的置信区间不唯⼀. （）四. 计算证明题（每题10分，共60分）1．有甲、⼄、丙三个盒⼦，其中分别有⼀个⽩球和两个⿊球、⼀个⿊球和两个⽩球、三个⽩球和三个⿊球。