数学物理方程复变函数

x, x,
y) y)
u0 v0
( x0 , ( x0 ,
y0 y0
) . )
z
ix
jy
(z)
i u(x,
y)
jv(
x,
y)
这是平面上的矢量场
1.3. 导数
定义
lim lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
运算规则
df dz
d dz
(1
2)
d1
dz
d 2
dz
,
d dz
i2 1
加法
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 z1 z2
减法
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 z1 z2
乘法
z1 z2 (x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
除法
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 1 ei(12 )
第一篇 复 变 函 数 论
复变函数 微分和积分 泰勒展开和洛朗展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换
第一章 复变函数
1.1. 复数
z
y
1
O
1x
代数表示: x ,y 为实数，i 为单位虚数，则
z x iy
为复数
且 x 为其实部，y 为虚部，记
x Re z y Imz i2 1
几何表示
x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为 此平面上的一点
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
u(x, y)
u2
u1
r1
r2
0
r1
r2
y
x
y
z z
z
z z'
x 复数
0
x x x
实数
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强 的多的条件。
柯西—黎曼方程
z 沿实轴
z 沿虚轴
y 0
x 0
u i v
z0 r
区域 z z0 r
复平面上圆 内点的集合
区域 B 的内点 z 和它的邻域都属于 B， 则 z 为 B 的内点。
外点 z 和它的邻域都不属于 B， 则 z 为 B 的外点。
境界点
不是内点，也不是外点的点。
境界线
全体境界点的集合
区域
内点组成的连通集合
闭区域
区域和境界线的全体
例
多项式 有理分式
记 f (z) z E
yz
Ez
0 定义域
x
v
0 值域
f (z)
u
实函数：
定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ，都有唯一 的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数
的定义域，记 y f (x) 。
连续，可微：
C n n 次可微
C 无限可微
几个概念
zz 邻域
根式 指数函数 三角函数
双曲函数 对数函数 幂函数
a0 a1z a2 z 2 an z n a0 a1z a2 z 2 an z n b0 b1z b2 z 2 bm z m
a0 a1z a2 z 2 an z n
ez exiy exeiy ex (cos y i sin y)
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
小结
复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。 它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则； 它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。
1.2. 复变函数
从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量
为矢量长度
为幅角
记 z ei 且 x2 y2
arctg( y / x)
x cos
和 y sin
其它概念
z 又称为模 Argz
主值 (0 Argz 2 ) 复共轭 z x iy ei
复数的运算
z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
(1
2 )
d1
dz
2
1
d 2
dz
,
d dz
( 1 2
)
1'2 12 22
'
ຫໍສະໝຸດ Baidu
,
d
dz
1 dz
,
d
d F ( ) dF d ;
dz
dz dz
d z n nzn1, dz
d ez ez, dz
d sin z cosz, dz
d cosz sin z, dz
d ln z 1 .
dz
z
复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数 空间又是个二元空间，故复函数类似于一个矢 量场，其导数一般应与方向有关。
cos z eiz eiz , 2
sin z eiz eiz 2i
ez ez
cosh z
,
2
ez ez sinh z
2
ln z ln ei ln i
z s seis
连续：
z z0 或：
x y
x0 y0
视 z 为矢量
可以设矢量函数
f (z) f (z0)
u( v(
z x x u i v
z iy iy
lim u i v
z0 z x x
lim v i u
z0 z y y
可导，要求二者相等 柯西—黎曼方程
u v x y
v u x y
必要条件
必要条件
u v x y
v u x y
可导的充分条件:
f (z) 的
u , u , v , v x y x y
存在，连续且满足柯西—黎曼方程。
1.4. 解析函数
f (z) 在点 z0 解析，即在这点可导。
为在区域 B 中解析函数，即在区域的点 点解析。
性质
(1) 曲线族 u(x, y) C1 v(x, y) C2 相互正交。
由柯西—黎曼方程
u v u v x x y y
即
u v u v 0 u v x x y y
z2
x22 y22
x22 y22
2
幂（n整数） zn nein
根
n z n ei /n
逼近 z z0 x x0 , y y0
测地投影和无限远点
N
A’
A
S
如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北 极由一条直线相连，直线与球相交于 A’ 。由此，每一有限的复数 投影到 球上一点 。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。
比较与实变函数相对应的定义
实函数：
y f (x)
x y=f(x)
y=f(x)
x
y f (x)
定义域、值域
复函数 f (z) u iv
y
z
z
0
yz
z
0 定义域
x
x
v
f (z)
0
v
u
f (z)
0 值域
u
定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复
数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域，
两族曲线的梯度正交 两族曲线正交
(2)
满足拉普拉斯方程