分式方程有增根和无解

解得：
且
方法总结：1.化整式方程求根，且不能是增根. 2.根据题意列不等式组.
例2：k为何值时，关于x的方程
1 k 2 3 x2 2 x
解为正，求k的取 值范围？
a 1.若方程 ------= 1的解是负数,求a X+1 的取值范围.
2. a为何值时,关于x的方程 a-1 ------ = 2 的解为非负数 x-1
分式方程有增根:
指的是解分式方程时，在把分式方程转化为 整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了 一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数 的取值范围产生的未知数的值；从而使分式 方程无解。
（1）整式方程有解
（2）整式方程的解使最简公分母=0 从而使分时方程产生了增根 从而使 分式方 程无解。
例2
xa 3 1无解 3. 关于x的方程 x 1 x 则a ______
x 1 x 2 2 x a 4：关于x的方程 x 2 x 1 ( x 2)(x 1)
的解是非负数数，求a的取值范
随堂练习
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• 4、若关于x的分式方程
m x 1 5 m3 2x 1
则常数m的值等于( A )
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
x m （ 4） 当m为何值时，方程x 3 2 x 3
无解？
例4
2x a 1的解是正数，求 若分式方程 x2
a
.
的取值范围
解：两边乘（x-2）得: 2x+a=-(x-2)
解得 由题意得不等式组： 且x-2 ≠0 ∴ x≠2
x 1 3 x 2 例2 解方程： x2 2 x
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分式方程化为整式方程，整式方程本身就无解 当然原分式方程肯定就无解了．
∴分式方程无解不一定是因为产生增根．
分式方程无解:
则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边 的值等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但 这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增 根，从而原方程无解．
解关于x的方程 2 ax 3 无解，求 a。 2 x2 x 4 x2 （例2变式) 2 ax 3 解：变形为：x 2 ( x 2)( x 2) x 2 例3
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得
原分式方程无解分两种情况： 整式方程无解 当a-1=0时 解得a=1原分式方程无解。
。
无解，则m= 6，10
2 x 1x xa 2 2x a 1 例4：关于x的方程 x2 x 1 ( x 2)(x 1) x 1
的解是正数，求a的取值范围。
谢谢指导！
再见
2012、3、10
(4)写出原方程的根.
解方程： x 1 3 x (1) 2 x2 2 x
X=1
x2 16 (2) 2 1 x2 x 4
X=-2 不是分式方程的解 是分式方程的增根
.
∴原分式方程的无解
学习目标:
1.掌握分式方程的增根与无解这两个概念； 2.掌握增根与无解有关题型的解题方法；
反思小结
1.有关分式方程增根求字母系数的问题：
2.有关分式方程无解求字母系数的问题： 3.数学思想：
当 堂 检 测
作业；
1 10 2 1.如果分式方程 有增根，那么增 x 5 x 25
根可能是_____.
2 mx 3 2.当m为何值时,方程 会产生增 2 x 2 x 4 x 2 根.
1 或0 D、 2
随堂练习
• 4、分式方程
● x2 x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
X-4 1 X=5 （1）方程 x-5 = X-5 有增根，则增根是___ 1-X 1 -2 X=2 （ 2） 有增根，则增根是 ___ x-2 = 2-X x-3 m = 解关于 x 的方程 产生增根 , x-1 （ 3） x-1
当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4.
当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6.
∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根. 方法：1.化为整式方程。
2 有增根使最简公分母为零时，求增根
3.把增根 代入整式方程求出字母的值。
随堂练习
• 1、分式方程
• • • •
1 m x 2 x 1
例1 解方程：
2 4x 3 2 ① x2 x 4 x2
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得 2（x+2）-4x=3（x-2）② 解之得 x=2． 检验：当x=2时（x+2）（x-2） =0 ∴ x=２是原方程的增根． ∴原方程无解．
方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．去分母后 方程②中未知数x的取值范围扩大为全体数． ∴当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根． 本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零， 所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
有增根，则增根为（ C ） A、 2 B、-1 C、2或-1 D、无法确定
随堂练习
• 2、若分式方程
mx 1 1 x 1
•
有增根，求m的值
随堂练习
• 3、关于x的分式方程
2 kx 3 x4 4 x
有增根，求k的值 因增根产生无解。那么无解是否都是由增根 造成的？ 无解和增根一样吗？
整式方程的解为分式方程的增根时（x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2 ∴ x=2或x=-2是 整式方程的根. 当x=2时 2（a-1） =-10， 则a= -4 当x=-2时-2（a-1）=-10，解得a=6. ∴ a=-4或a=6时.原方程产生增根.原分式方程无解。
综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解. 方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情况讨 论，整式方程无解和整式方程的解为增根.而无解
随堂练习
• 1、若分式方程
mx 1 1 x 1
•
有无解，求m的值
随堂练习
• 2、关于x的分式方程
2 kx 3 x4 4 x
有无解，求k的值
随堂练习
m x 0无 • 3、若分式方程 2m x 1
解，则m的取值是（ A ） • • A、-1或 C、-1
1 2
1 B、 2
复习回顾
1.解分式方程的思路是：
分式 方程 转化 去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
“一化 二 解 三验 四结”
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
2 ax 3 2 解关于x的方程 产生增根,求 x2 x 4 x2 2 ax 3 解：变形为： x 2 ( x 2)( x 2) x 2
a
两边乘 （x+2）（ x-2）化简得 ∵有增根 ∴ （x+2）（ x-2）=0 ∴ x=2或x=-2是 的根.
∴ x=2或x=-2