解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解
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第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→
→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→
AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．
6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
可 以构成一个三角形.
证明： )(21
AC AB AL +=
Θ )(21
+=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1
=+++++=++∴
7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 ++=OL +OM +ON .
[证明] +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=
)(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量BM ,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA +OB ++OD ＝4OM .
[证明]：因为OM ＝
21
(OA +), OM ＝2
1
(OB +), 所以 2OM ＝2
1
(OA +OB +OC +) 所以
OA +OB ++OD ＝4OM .
10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
图1-5
证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →
→
→
→
→
→
++=+=DN AD MA AN MA MN ，
→
→
→
→
→
→
++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →
→→+=BC AD MN ，即
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OP ＝λ
λ++1
[证明]：如图1-7，因为
＝－OA ,
PB ＝OB －,
所以 －OA ＝λ (OB －),
(1+λ)OP ＝+λ,
从而 OP ＝λ
λ++1OB
.
4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.
(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()
12123
1
31,e e e e -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123
1
32e e AE +=
（2）因为
||||TC ＝|
|11e e , 且 BT 与方向相同， 所以 BT |
|21e e .
由上题结论有
AT |
|||1|
|21
2
211e e e e e +
||||212112e e e e e e +.
5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量
,,,的分解式。
解：G Θ是ABC ∆的重心。∴连接并延长与BC 交于P
()
(
)()
AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+•==+=
31
213232,21Θ 同理()(
)
+=+=3
1
,31 C O
()++=+=∴31
（1） G P
()++=+=3
1
（2） A B
()
CB CA OC CG OC OG ++=+=31
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得
()()
++++++
++=3
131
3 ++=
6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A
()
OP ++=+
=+=3
1
3211 ()()
OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=31
31 A
同理()
OC OB OA OP ++=31
2 N M
()
OP ++=31
3 B L C
321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） 即()
++=
3
1
§1.5 标架与坐标
9. 已知线段AB 被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A 与B 的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).
在A i G i 上取一点P i ，使i i A ＝3i i G P , 从而i ＝
3
13++i
i OG ，