蕴含数列中的数学思想方法
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蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中 王振香
数列是高中数学的重要内容之一,与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇,这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法(如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等),在分析与处理解决时,若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导,则会取得事半功倍的效果.
一 函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数,则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列,在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系,利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题,就会使数列的一些性质显现得更加清楚,使某些问题得到更好地解决.
例1.已知数列{}n a 是等差数列,若10=n S ,502=n S ,求n S 3.
分析:因{}n a 是等差数列,则知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
也为等差数列,由此可用一次函数的方法解决问题. 解:)1(2)1(2111-+=-+=n d a n d n n na n S n ,故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列, 其通项为一次函数,将之设为b ax x f +=)(,则点),(n S n n 、)2,2(2n
S n n 在其图象上,n
b an 10=+∴,5022a n b n ⋅+=,则解得155,an b n n ==-. 故n n n S n n a n f n 5315353)3(3-⋅==-
⋅=,解之得1203=n S . 评注:n
S n 是关于n 的一次函数,其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建立一次函数来求解n S 3.当然更可利用结论“232,,n n n n n S S S S S --成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.
二 方程(组)思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系,方程(组)思想在学习过程中得以较为充分的体现,许多数列习题都可通过列出方程或方程
组而求解.如,数列的通项公式与前n 项和的公式紧密地联系着五个基本量1n a ,n,d(q),a ,n s ,“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. 例2.设{}n a 是正数组成的数列,其前n 项和为n s ,并且对于所有的正整数n ,n a 与2的等差中项等于n s 与2的等比中项,以此求{}n a 的通项公式.
分析:由题设“n a 与2的等差中项等于n s 与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
解
:由题意可知
22n a +=21(2)8
n n s a =+, 当1n =时,21111(2)8
s a a =+=,解得12a =. 又11n n n a s s ++=-2111(2)8n n a a ++∴=+-21(2)8n a +,整理得: 11()(4)0n n n n a a a a +++--=.又0n a >,
∴14n n a a +-=,即{}n a 是首项为2、公差为4的等差数列,42n a n ∴=-.
点评:本例利用了方程的消元思想由11n n n a s s ++=-、21(2)8
n n s a =+消去n s 得到了 11()(4)0n n n n a a a a +++--=这一方程,找到了数列中相邻两项的递推关系,使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助11n n n a s s ++=-消去n a 利用1,n n s s +递推关系解题. 例3.已知等差数列{}n a 的公差是正数,并且374612,4a a a a =-+=-,求前n 项的和n s . 分析:由464a a +=-可知374a a +=-,结合条件3712a a =-可得相关方程.
解:由等差数列{}n a 知:3746a a a a +=+,从而373712,4a a a a =-+=-,
故37,a a 是方程24120x x +-=的两根,又0d >,解之得:376,2a a =-=.
再解方程组111
2610,622a d a a d d +=-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩ ,因此有10(1)n s n n n =-+-. 点评:本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程,从中巧妙的解出了两个量 376,2a a =-=,再利用方程求得了首项与公差的值,从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+(或n m p q a a a a ⋅=⋅)找出解题的捷径.
三 分类讨论思想
所谓分类讨论,就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时,我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究,最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4. 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和),2,1( 0 =>n S n .
(Ⅰ)求q 的取值范围; (Ⅱ)设122
3++-=n n n a a b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,试比较n S 与n T 的大小. 分析:凡涉及等比数列和的问题,一般而言均需分类讨论.
解:(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列,.0,0,011≠>=>q S a S n 可得
当;0,11>==na S q n 时
1(1)11,0,0,(1,2,)11n n
n a q q q S n q q
--≠=>>=--当时即 上式等价于不等式组:),2,1(,01,
01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n ① 或),2,1(,0
1,
01 =⎩⎨⎧>->-n q q n ② 解①式得q>1;解②,由于n 可为奇数、可为偶数,得-1 综上,q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃- (Ⅱ)由2132 n a n b a a ++=-得23()2n n b a q q =-,则其前n 项和23()2n n T q q S =-. 于是)123(2-- =-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n 又∵n S >0且-1 或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当122 q -<<且q ≠0时,0n n T S -<即n n T S < 当12q =- 或q =2时,0n n T S -=即n n T S = 点评:关于数列的分类一般考查三个方向:对公差d 的分类讨论、对公比q 的分类讨论、对项数n 的分类讨论. 四 化归与转化的思想 数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n 项和.由于数列种类繁多,对一般数列讨论这两个问题有一定困难,故一般的,均能将待解决的问题化归成我们比0. 当112q -<<-