蕴含数列中的数学思想方法

蕴含数列中的数学思想方法
山东省五莲一中 王振香
数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果.
一 函数思想
由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决.
例1．已知数列{}n a 是等差数列，若10=n S ，502=n S ，求n S 3.
分析：因{}n a 是等差数列，则知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题. 解：)1(2)1(2111-+=-+=n d a n d n n na n S n ，故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列， 其通项为一次函数，将之设为b ax x f +=)(，则点),(n S n n 、)2,2(2n
S n n 在其图象上，n
b an 10=+∴，5022a n b n ⋅+=，则解得155,an b n n ==-. 故n n n S n n a n f n 5315353)3(3-⋅==-
⋅=，解之得1203=n S . 评注：n
S n 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建立一次函数来求解n S 3.当然更可利用结论“232,,n n n n n S S S S S --成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题.
二 方程（组）思想
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程
组而求解.如，数列的通项公式与前n 项和的公式紧密地联系着五个基本量1n a ,n,d(q),a ,n s ，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法. 例2．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n s ，并且对于所有的正整数n ，n a 与2的等差中项等于n s 与2的等比中项，以此求{}n a 的通项公式.
分析：由题设“n a 与2的等差中项等于n s 与2的等比中项”即可列出方程进行分析.
解
：由题意可知
22n a +=21(2)8
n n s a =+， 当1n =时，21111(2)8
s a a =+=，解得12a =. 又11n n n a s s ++=-2111(2)8n n a a ++∴=+-21(2)8n a +，整理得： 11()(4)0n n n n a a a a +++--=.又0n a >，
∴14n n a a +-=，即{}n a 是首项为2、公差为4的等差数列，42n a n ∴=-.
点评：本例利用了方程的消元思想由11n n n a s s ++=-、21(2)8
n n s a =+消去n s 得到了 11()(4)0n n n n a a a a +++--=这一方程，找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助11n n n a s s ++=-消去n a 利用1,n n s s +递推关系解题. 例3．已知等差数列{}n a 的公差是正数，并且374612,4a a a a =-+=-，求前n 项的和n s . 分析：由464a a +=-可知374a a +=-，结合条件3712a a =-可得相关方程.
解：由等差数列{}n a 知：3746a a a a +=+，从而373712,4a a a a =-+=-，
故37,a a 是方程24120x x +-=的两根，又0d >，解之得：376,2a a =-=.
再解方程组111
2610,622a d a a d d +=-=-⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩ ，因此有10(1)n s n n n =-+-. 点评：本题利用了3746a a a a +=+这一性质构造了二次方程，从中巧妙的解出了两个量 376,2a a =-=，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与n m p q a a a a +=+（或n m p q a a a a ⋅=⋅）找出解题的捷径.
三 分类讨论思想
所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决.
例4． 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n .
（Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设122
3++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 分析：凡涉及等比数列和的问题，一般而言均需分类讨论.
解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得
当;0,11>==na S q n 时
1(1)11,0,0,(1,2,)11n n
n a q q q S n q q
--≠=>>=--当时即 上式等价于不等式组：),2,1(,01,
01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n ① 或),2,1(,0
1,
01 =⎩⎨⎧>->-n q q n ② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃- （Ⅱ）由2132
n a n b a a ++=-得23()2n n b a q q =-，则其前n 项和23()2n n T q q S =-. 于是)123(2--
=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n 又∵n S >0且－1<q <0或q >0. 当112q -<<-
或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当122
q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S < 当12q =-
或q =2时，0n n T S -=即n n T S = 点评：关于数列的分类一般考查三个方向：对公差d 的分类讨论、对公比q 的分类讨论、对项数n 的分类讨论.
四 化归与转化的思想
数列的绝大多数问题最后归结为两大问题——求通项公式和求前n 项和.由于数列种类繁多，对一般数列讨论这两个问题有一定困难，故一般的，均能将待解决的问题化归成我们比
较熟悉的等差、等比这两种最典型的数列去解决.
例5． 已知数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且)(24*1N n a S n n ∈+=+，求{}
n a 的通项公式.
分析与略解：当n ≥2时，241+=+n n a S ，241+=-n n a S .
两式相减，得11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，将之变形为)2(2211-+-=-n n n n a a a a . 可见{}n n a a 21-+是公比为2的等比数列.
又 241221+==+a S a a ，11=a ，得 52=a ，则 3212=-a a .
因此 11232-+⋅=-n n n a a .两边同除以12+n ，得432
211=-++n n n n a a （常数）， 可见⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为2121=a ，公差为43的等差数列. 因此)1(43212-+=n a n n 4
143-=n ，从而22)13(--=n n n a . 评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度.化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等.
结束语：当然，渗透数列中的思想还有“一般与特殊的思想”、“归纳猜想的思想”、“递推（归）的思想”等.数学中的思想与方法是数学的“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累、解题方法的提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性.因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识.。