(完整版)常用公式--线面积分公式大全

（一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧()

:,()()

x t L t y t =⎧≤≤⎨

=⎩ϕαβψ

(,)d [(),(L

f x y s f t t t βα

ϕψ=⎰

⎰；

（2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ϕ=≤≤

(,)d (,())

b

L

a

f x y s f x x x ϕ=⎰

⎰；

（3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧()

:()

x t L y t φψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→，

{}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L

P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα

φψφφψψ+=+⎰

⎰

；

（2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ϕ=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b

L

a

P x y x Q x y y P x x Q x x x x ϕϕϕ+=+⎰

⎰

；

（格林公式）

d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ⎛⎫

∂∂+=- ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰⎰Ñ； (斯托克斯公式)

R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰Ñ

L

dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P

Q

R

∑

∂

∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰

Ñ

（一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，

(,,)d (,,(,d x y

D f x y z S f x y z x y x y ∑

=⎰⎰

⎰⎰

；

（2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，

(,,)d [(,),,yz

D f x y z S f x y z y z ∑

=⎰⎰

⎰⎰；

（3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，

(,,)d [,(,),xz

D f x y z S f x y x z z ∑

=⎰⎰

⎰⎰

（二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则

(,,)d d (,, (,))d d x y

D R x y z x y R x y z x y x y ∑

=±⎰⎰⎰⎰

(上侧正，下侧负)

2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，

(,,)d d ((,), ,)d d y z

D P x y z y z P x y z y z y z ∑

=±⎰⎰⎰⎰

； (前侧正，后侧负)

3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，

(,,)d d (,(,),z )d d z x

D Q x y z z x Q x y x z z x ∑

=±⎰⎰

⎰⎰

(右侧正，左侧负)

合一投影公式：(,)z z x y =

()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑⎡⎤∂∂++=⋅-+⋅-+⎢⎥∂∂⎣

⎦⎰⎰⎰⎰ （高斯公式）

()d d d d d d d d d P Q R

P y z Q z x R x y x y z x y z

∑

Ω

∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰

⎰⎰⎰

Ò； ()(

)cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z

∑Ω∂∂∂α+β+γ++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰。