储庆昕高等电磁场讲义 第二章

第2讲 Maxwell 方程

在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。

2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式

Maxwell 方程的积分形式

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

高斯定理

磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v

s

s

l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ

（2-1）

以及电流连续性方程

⎰

∂∂-

=⋅s t

Q

s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧

=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇

ρD B t B E t D J H

（2-3） 以及 t

J ∂∂-=⋅∇ρ

（2-4）

Maxwell 方程的实践性

Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。比如，库仑定律R

R

q q F ˆ

4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。

由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但

是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H

=⨯∇但是，由上式可得

0=⋅∇J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t

∂=∂

，从而构成了完整自

l d

s d

图2-1 体积分、面积分和线积分示意图

洽的Maxwell方程。

●Maxwell方程的对称性

杨振宁说：对称性决定支配方程。居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。

Maxwell方程充满显示了电与磁的对称性，但发现这一对称性却是从不对称性开始的。历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有<<论磁学>>,1820年丹麦学者奥斯特（Oersted）首先发现电流可以产生磁，并创造了Electromagnetics一词。法拉弟（Faraday）在1821-1831十年间根据对称性原理，猜测磁铁可以产生电流，但多次失败。1831年8月29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领悟到变化的磁场产生电场。Maxwell根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。

奥斯特发现

法拉弟猜想

法拉弟发现

Maxwell发现

图2-2 对称性发现过程

●Maxwell方程的哲学性

1.深刻揭示了电与磁的相互转化，相互依赖，相互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转化

成磁，而磁又断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整体。

2.深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成时间变化，反过来，时间变化也会转化成地点

图2-3 电磁场相互绞链相互转换

变化。正是这种地点和时间的相互转化构成了波动的外在形式，通俗地说，也即一个地点出现的事物，经过一段时间后又在另一地点出现。

Maxwell 方程的独立性

Maxwell 方程中四个方程并不是完全独立的。独立的方程有

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

∂∂-=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J t B E t D J H ρ

（2-5） 由上式中第一式，可得0=⋅∇∂∂+⋅∇D t J 。代入第三式，得D t t ⋅∇∂∂=∂∂ρ，即()

0=-⋅∇∂∂

ρD t

，即

const D =-⋅∇ρ 。由于在静态场时(如0=t 时为静态场) ρ=⋅∇D 故对时变场也有ρ=⋅∇D

。

同理由第二式可得0=⋅∇∂∂

B t

，由于静态场时0=⋅∇B 故对时变场也有0=⋅∇B 。

应当注意，上述独立性是利用了静态方程。独立方程还可以有其他形式，如

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD t B E t D J H

（2-6） 也构成独立方程，它可以导出0=⋅∇B ，和t

J ∂∂-=⋅∇ρ

。

2.2 媒质界面上的场方程---边界条件

在媒质界面上，由于媒质的性质有突变(με,有奇异

性)，Maxwell 方程的微分形式不再成立。但积分形式仍然成立。从积分形式可以导出媒质界面上的场方程即边界条件。

()

s J H H n

=-⨯21ˆ （2-7a ） ()

0ˆ21=-⨯E E n

（2-7b ） ()0ˆ2

1

=-⋅B B n

（2-7c ） (

)

s D D n

ρ=-⋅21ˆ

（2-7d ） [证明1] 如图2-6所示，跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体积，0→h 。应用积分形式的Maxwell 方程（2-1a ），有

Sh t

D Sh J h K S H n H n ∂∂+=+⨯-⨯

)ˆˆ(21

式中，K

表示H n ⨯ˆ关于小盒侧面的线积分。当0→h 时，

Z Z

T 1时刻

T 2时刻

图2-4 电磁波

11,H E

22,H E

图2-5 两种媒质的交界面

媒质2

媒质界面

图2-7 边界条件的推导