储庆昕高等电磁场讲义 第二章
电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律笔记
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1.1 电磁场的概念。
电磁场原理(第二版)2章
性的两个场量，如果知道υ，则可由式(2.2.5) 求出矢量函数 E 。同样，已知电场强度 E ， 可根据式(2.2.9)获得电场中任意点的电位。 • 2.2.3 静电场的图示 • 在研究场的问题时，为了使场更直观一些， 通常要作场的分布图形。在静电场中主要 是作E线和等位面(线)。 • 等位面(线)是将空间电位相等的点连接起来 形成的曲面(线)，等位面(线)的方程为
图2.14 介质极化建立的电位
• 2)设有一体积为V′的介质，包围V′的闭合曲 面为S′，如图2.14所示。
• 3)从以上讨论可知，介质在电场中表现出二 重性。 • 2.4 高斯定律 • 在 2.2 节中，讨论了静电场的无旋特性，从 而得到静电场的一个基本性质，即静电场 的守恒性。在这一节将讨论静电场的通量
• 当电荷分布已知时，可以求出电场中任一 点的电位。对于点电荷q，应用矢量分析式 (2.1.4)，有
• 比较式(2.2.5)，则可得 • 同理，可得到体、面、线分布电荷以及点 电荷系的电位分别为
• 当电荷分布于有限空间时，如果选无限远 为参考点，式(2.2.10)~式(2.2.14)中的积分常 数均为零。以上四式又称为计算电位的场 源关系式。 • 电位函数 υ 和电场强度 E 是表征同一电场特
第2章 静电场
• 电荷间相互作用力的存在揭示了电场的存 在，反映了电场的物质性。 • 2.1 库仑定律 电场强度 • 电荷在其周围空间会产生一种特殊形式的 物质，这种物质被称为电场，电场强度是 表征电场特性的一个基本物理量，在引入 电场强度之前， 首先介绍库仑 定律。 图2.1 两点电荷之间的作用力
• 电场强度是矢量函数，直接进行运算比较复 杂。由式(2.2.4)总可以定义一个标量函数υ • 称该标量函数 υ 为电位，式 (2.2.5) 是电位的 定义式，负号表明电场的方向就是电位最大 减少率的方向。电位的单位为伏[特](V)。 • 电位与电场强度一样，也是描述静电场的基 本物理量，它具有实际的物理意义。基于式 (2.2.2) ，如果以 qt 除该式可得电场对单位正 的点电荷所做的功：
电磁场与电磁波第二章课件2
• 设双根传输线轴线间的距离 D 远大于其半 径 a 。试求该传输线单位长度的电容。
a
r
D
P
0
a + l er
1o
r
r
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P'
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la
o'
D-r
2
r r D r Dex
场强
D
E
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er r
r r2
E
l 2 0
er r
rer
D(cos er sin e )
E1
2U 2d1 1d2
1
d1 d2
1 2
U
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1U 2d1 1d2
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S
d1 d2
1 E1 2 E2
D
P1 P2
S
A+
C
U -
SB
在 极板A 上
D 1E1
U d1 d2
S
1 2
电容
C
Q U
SS
U
d1
S
d2
1 2
1 d1 d2 1 1
C 1S 2S C1 C2
T
l 2
F
l 2
F
Ql E
p E
可见，力矩 T 将使电偶极子的电矩 p 转向外电场 E 的方向。
lθ
• 一、介质及其分类 • 二、电介质的极化和电极化强度 • 三、束缚电荷 • 四、电位移矢量和介质中的高斯定理 • 五、例题 • 六、介质中静电场的基本方程
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高等电磁场讲义第二章
第2讲 Maxwell 方程在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。
2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式Maxwell 方程的积分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高斯定理磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 vssl s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ（2-1）以及电流连续性方程⎰∂∂-=⋅s tQs d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H（2-3） 以及 tJ ∂∂-=⋅∇ρ（2-4）Maxwell 方程的实践性Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。
但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。
比如，库仑定律RRq q F ˆ4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。
由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H=⨯∇但是，由上式可得0=⋅∇J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t∂=∂，从而构成了完整自l ds d图2-1 体积分、面积分和线积分示意图洽的Maxwell方程。
●Maxwell方程的对称性杨振宁说：对称性决定支配方程。
居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。
电磁场第二章习题解答-推荐下载
d
d
d2
d
0
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4 9
4 9
4 9
0U 0 d
0U
0U
0d
0
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4
4
4
3 x2
3
3
x
2
x2
3
3
3
，式中
)S
)S
d
d
x
x
故
J
v
e
Q 4 a3 3
Q 4 a3
2.4 一个半径为 a 的导体球带总电荷量为 Q ，同样以匀角速度 绕一个直 径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z 轴。设球内任一点 P 的位置 矢量为 r ，且 r 与 z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为
v r er sin
球内的电荷体密度为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
电磁场与电磁波第二章
第二章 电磁场的基本规律
麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说， 进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克 斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，是分析解决 电磁场问题的理论基础。 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和 磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上 建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电 磁场的能量和能流。
dF ′ =
µ 0 I d l × [ I ′ d l ′ × ( r − r ′)]
4π r − r′
3
其中 µ0 为真空的磁导率， r 和 r’ 分 别为电流元 I dl 和 I’ dl’ 的位矢。
第二章 电磁场的基本规律
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运 动电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基 本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 由此，式（2-3-1）可写为 dF' = I dl×B' 其中
第二章 电磁场的基本规律
dq d F = I dl × B = dl × B = d q v × B dt 即运动电荷所受的磁力为 dF = dq v×B
(2-3-5)
此称洛仑兹力。上式表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速 度，故洛仑兹力永不作功，它只改变电荷的运动方向。
2.3.2 磁通连续性原理 磁场的散度
dB ′ =
(2-3-2)
µ 0 I ′ d l ′ × ( r − r ′)
4π r − r′
3Байду номын сангаас
（2-3-3)
为电流元 I' dl' 在 r 处产生的磁感应强度。
电磁场chap2
♥ 在各向异性（anisotropism）的介质中（等离子体）极化 强度与合成电场具有不同方向。
2-14
《电磁场与电磁波理论》
ctric Flux Density）
—— 为了便于计算的引出量 （2.1.22）
电位移或电通量密度
♥ 线性各向同性的电介质
2.1.3 电极化强度（Polarization Vector）
1. 电偶极子和电偶极矩矢量 ♥ 电偶极子（dipole）
—— 电介质（即绝缘体）中的
分子在电场的作用下所形成的 一对一对的等值异号的点电荷。 ♥ 电偶极矩矢量（dipole moment） （2.1.17） —— 大小等于点电荷的电量和间距的乘积， 方向由负电荷指向正电荷
方向，其正方向与电流的流向之间符合右手螺旋关系
2-27
《电磁场与电磁波理论》
第2章宏观电磁现象的基本规律
2. 磁介质的磁化和磁化强度 磁介质的磁化（magnetism）——当存在外磁场时，磁介 质中的磁偶极矩的取向将发生变化，使磁偶极矩的矢量和 不为零，对外呈现磁效应，即磁介质被磁化。
无外加磁场 B0 时
《电磁场与电磁波理论》
第2章宏观电磁现象的基本规律
第2章
宏观电磁现象的 基本规律
基本要求： 掌握电场强度、电位、极化强度、电位 移矢量、电流强度、磁感应强度、磁场 强度等物理量的基本概念；掌握库仑定 律等电磁场基本定律和麦克斯韦方程组 以及边界条件。
2-1
《电磁场与电磁波理论》
第2章宏观电磁现象的基本规律
——电导率，单位是西门子每米 ——电阻率，单位是是欧姆米 ♥ 导电媒质中任一点体电流密度与该点的电场强度成正比。
2-20
《电磁场与电磁波理论》
电磁场第二章dsy2010
南师大泰州学院 信科系 丁沭沂
2009-10-22
电磁场理论及其应用 第2章 麦克斯韦方程组和时变电磁场
1. 法拉弟电磁感应定律的表述
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生
变化时，回路中产生的感应电动势in的大小 等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要
阻止回路中磁通量的改变，即
in
d
dt
的线分布
电荷的电场强度
E(r ) 1
4 0
S
S (r)R
R3
dS
E(r ) 1
l (r)R dl
40 C R3
南师大泰州学院 信科系 丁沭沂
2009-10-22
电磁场理论及其应用 第2章 麦克斯韦方程组和时变电磁场 2.5 电磁感应定律和位移电流
• 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场 • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场
电磁场理论及其应用 第2章 麦克斯韦方程组和时变电磁场
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称
en et JS
为面电流，用面电流密度矢量 JS 来描述其分布
JS
et
lim
l 0
i l
et
di dl
l
dh0 0
面电流密度矢量
单位：A/m。
正电荷运动的方向
通过薄导体层上任意有向曲线 l的电流为
导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，Ei回n 路中 的感应电动势可表示为
in C Ein dl
因而有
C Ein
dl
d dt
B dS
S
对感应电场的讨论：
高等电磁场经典讲义
r r r r r ∇ ⋅ (ϕf ) = ∇ ⋅ (ϕf c ) + ∇ ⋅ (ϕ c f ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ (∇ ⋅ f ) r r r r r ∇ × (ϕf ) = ∇ × (ϕf c ) + ∇ × (ϕ c f ) = ( ∇ϕ ) × f + ϕ ( ∇ × f ) r r r r r r ∇ ⋅ ( f × g) = ∇ ⋅ ( f × gc ) + ∇ ⋅ ( f c × g) r r r r r r r r r a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ ( a × b )
[
]
所以，并矢既可以用矢量表示也可用三阶矩阵表示，但并不是任意三阶矩阵都表示并矢。因为 并矢只有 6 个独立量，而三阶矩阵有 9 个独立量。 ˆx ˆ+y ˆy ˆ+z ˆz ˆ 称为单位张量，对应于单位矩阵。 I=x r r I ⋅a =a 并矢运算规则 1. 2. 3. 4. 点乘 叉乘 双 重 点 乘 （1-14） 双重叉乘
（1-29）
r
源 点
r r r R = r − r′
场 点
r r′ r r
O
图 1-1 矢径的定义
l
梯度 ∇f (R ) = df ˆ R = −∇ ′f (R ) dR （1-30）
其中， ∇ ′ 表示对源点求梯度。特别有 ˆ ∇R = R 1 1 ˆ ∇ =− 2 R R R v v v v ∇ a ⋅ R = a ，其中， a 为常矢。 （1-31） （1-32） （1-33）
高等电磁理论第二章
ψ k = ( A1 sin k x x + A2 cos k x x) ⋅ ( B1 sin k y y + B2 cos k y y ) ⋅ (C1 sin k z z + C2 cos k z z )
或： ψ k = ( A1e jkx x + A2 e− jkx x ) ⋅ ( B1e jk y y + B2 e− jk y y ) ⋅ (C1e jkz z + C2 e− jk z z )
∂ 2Π e ∂E ∂ ε ) = ε (∇∇ ⋅ Π e − με ∂t ∂t ∂t 2
所以： 矢量运算：
∂ 2Π e ∇ × ∇ × Π e − ∇∇ ⋅ Π e + με =0 ∂t 2
∇ × ∇ × Π e = ∇∇ ⋅ Π e − ∇ 2 Π e
可见，电赫兹矢量位 ∂ 2Π e 2 =0 满足波动方程： ∇ Π e − με 2 ∂t
高等电磁理论 则标量Helmholtz方程的通解为：
ψ ( x, y, z ) = ∑∑ C (k x , k y )h(k x x) h( k y y ) h( k z z )
kx ky
C 其中： (k x , k 源自 ) 为系数，其大小和波函数的形式选择取决于给定的边界条件。
在电磁波中，选择行波状态时，令 A1 = B1 = C1 = 0
得：
∂Π ∂φ = με ∇ ⋅ e ∂t ∂t
φ = −∇ ⋅ Π e
高等电磁理论 电磁场表示为：
∂ ⎧ B = ∇ × A = με (∇ × Π e ) ⎪ ∂t ⎪ ⎨ ∂ 2Π e ⎪ E = ∇∇ ⋅ Π − με e ⎪ ∂t 2 ⎩
在无源区：
∇× H = ε
高等电磁理论第二章答案2
其中 Am
'
2V1 2V2 ' ， Bm x0 m J1 ( x0 m ) x0 m J1 ( x0 m )
由 z 0 时， 2 ； z d 时， 1 可得
2V2 2 ' Am Bm ， Bm x0 m J1 ( x0 m ) x0 m J1 ( x0 m )
n 1
设柱外电势为 1 ，柱内电势为 2 ，定解过程如下： 当 时， 1 E0 cos ，则有 n 1 时， A1 E0 ； n 1 时， An 0 ，故
1 E0 cos
n 1
n
Bn
cos n
当 0 时， 2 为有限值，故2 中不可有 n 项，即 Bn 0 ，则
2 x, y
若按 y 划分区域，即一区 0 y y ，二区 y y b ，1 、 2 如何呢？
习题 2-5 图 解：如图所示分为两个区域，则在两个区域中 1 、 2 均满足拉普拉斯方程，且与 z 无关，其通解形式为
1 (m1 m2 x)(m3 m4 y ) ( An chkn x Bn shk n x )(Cn cos k n y Dnn
D 'n sin kn ye kn x
x 0 时，1 2 ，则 Bn Dn sin kn y B 'n D 'n sin kn y ，即 Bn Dn B'n D'n
n 1 n 1
x 0 时，
后得
2 1 ，则 kn Bn Dn sin kn y kn B 'n D 'n sin kn y ，化简 x x n 1 n 1
2场论基础下
gy
g
z
⎤⎦
⎢ ⎢
yˆ
⎥ ⎥
⎢⎣zˆ ⎥⎦
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第二讲 场论基础（2）
则
A=
f g = [ xˆ
yˆ
⎡
zˆ
]
⎢ ⎢
f f
x y
⎤ ⎥
⎥
⎡⎣ g
第二讲ϕφ) = ∇(ϕφc ) + ∇(ϕcφ) = (∇ϕ )φ + ϕ (∇φ) ∇ ⋅ (ϕ f ) = ∇ ⋅ (ϕ fc ) + ∇ ⋅ (ϕc f ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ (∇ ⋅ f ) ∇ × (ϕ f ) = ∇ × (ϕ fc ) + ∇ × (ϕc f ) = (∇ϕ ) × f + ϕ (∇ × f )
第二讲 场论基础（2）
● ∇ × ( f × g) = ∇ × ( f × gc) + ∇ × ( fc × g)
利用 a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − (b ⋅ a )c = (c ⋅ a )b − c (a ⋅ b )
∇ × ( fc × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇)g ∇ × ( f × gc ) = (g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f ) 所以 ∇×( f × g) = f (∇⋅ g) − ( f ⋅ ∇)g + (g ⋅ ∇) f − g(∇⋅ f )
第二讲 场论基础（2）
¾ 函数f 的梯度、矢量函数 f = f1qˆ1 + f2qˆ2 + f3qˆ3 的散度和旋度定义如下：
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第2讲 Maxwell 方程
在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。
2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式
Maxwell 方程的积分形式
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
高斯定理
磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v
s
s
l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ
（2-1）
以及电流连续性方程
⎰
∂∂-
=⋅s t
Q
s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇
ρD B t B E t D J H
（2-3） 以及 t
J ∂∂-=⋅∇ρ
（2-4）
Maxwell 方程的实践性
Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。
但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。
比如，库仑定律R
R
q q F ˆ
4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。
由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但
是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H
=⨯∇但是，由上式可得
0=⋅∇J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t
∂=∂
，从而构成了完整自
l d
s d
图2-1 体积分、面积分和线积分示意图
洽的Maxwell方程。
●Maxwell方程的对称性
杨振宁说：对称性决定支配方程。
居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。
Maxwell方程充满显示了电与磁的对称性，但发现这一对称性却是从不对称性开始的。
历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有<<论磁学>>,1820年丹麦学者奥斯特（Oersted）首先发现电流可以产生磁，并创造了Electromagnetics一词。
法拉弟（Faraday）在1821-1831十年间根据对称性原理，猜测磁铁可以产生电流，但多次失败。
1831年8月29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领悟到变化的磁场产生电场。
Maxwell根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。
奥斯特发现
法拉弟猜想
法拉弟发现
Maxwell发现
图2-2 对称性发现过程
●Maxwell方程的哲学性
1.深刻揭示了电与磁的相互转化，相互依赖，相互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转化
成磁，而磁又断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整体。
2.深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成时间变化，反过来，时间变化也会转化成地点
图2-3 电磁场相互绞链相互转换
变化。
正是这种地点和时间的相互转化构成了波动的外在形式，通俗地说，也即一个地点出现的事物，经过一段时间后又在另一地点出现。
Maxwell 方程的独立性
Maxwell 方程中四个方程并不是完全独立的。
独立的方程有
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
∂∂-=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J t B E t D J H ρ
（2-5） 由上式中第一式，可得0=⋅∇∂∂+⋅∇D t J 。
代入第三式，得D t t ⋅∇∂∂=∂∂ρ，即()
0=-⋅∇∂∂
ρD t
，即
const D =-⋅∇ρ 。
由于在静态场时(如0=t 时为静态场) ρ=⋅∇D 故对时变场也有ρ=⋅∇D。
同理由第二式可得0=⋅∇∂∂
B t
，由于静态场时0=⋅∇B 故对时变场也有0=⋅∇B 。
应当注意，上述独立性是利用了静态方程。
独立方程还可以有其他形式，如
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD t B E t D J H
（2-6） 也构成独立方程，它可以导出0=⋅∇B ，和t
J ∂∂-=⋅∇ρ。
2.2 媒质界面上的场方程---边界条件
在媒质界面上，由于媒质的性质有突变(με,有奇异
性)，Maxwell 方程的微分形式不再成立。
但积分形式仍然成立。
从积分形式可以导出媒质界面上的场方程即边界条件。
()
s J H H n
=-⨯21ˆ （2-7a ） ()
0ˆ21=-⨯E E n
（2-7b ） ()0ˆ2
1
=-⋅B B n
（2-7c ） (
)
s D D n
ρ=-⋅21ˆ
（2-7d ） [证明1] 如图2-6所示，跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体积，0→h 。
应用积分形式的Maxwell 方程（2-1a ），有
Sh t
D Sh J h K S H n H n ∂∂+=+⨯-⨯
)ˆˆ(21
式中，K
表示H n ⨯ˆ关于小盒侧面的线积分。
当0→h 时，
Z Z
T 1时刻
T 2时刻
图2-4 电磁波
11,H E
22,H E
图2-5 两种媒质的交界面
媒质2
媒质界面
图2-7 边界条件的推导
0 0→∂∂→Sh t
D h K
，，则有
s J H H n
=-⨯)(ˆ21 其中，Jh J h s 0
lim →=为面电流密度。
同理，应用电流连续性方程，有
t
Q
dl n J h S J J n l ∂∂-=⋅+-⋅⎰'21ˆ)(ˆ
式中，n
'ˆ为S 的周界l 的外法向单位矢。
当0→h 时，有 t
J J J n s s s ∂∂-⋅-∇=-⋅ρ
)(21
式中，S
dl n J S dl n J h J l
s S l S h s s ⎰
⎰'⋅='⋅=⋅∇→→→ 00
0lim
lim ，为面散度，s ρ为面电荷密度。
2.3频域电磁场
对于时谐场（场量随时间作简谐变化），可采用复函数，取时谐因子t j e ω，则上述时域中只须将
t
∂∂
变为ωj 即可。
注意，如果时谐因子取为t
j e ω-，则
t
∂∂
变为ωj -。
因此，在研究频域电磁场时，一定要事先规定好时谐因子。
由于任何时变场都可以应用Fourier 变换展开为时谐场分量的叠加，所以，研究时谐场具有普遍意义。
习题 2
2．1 讨论Maxwell 方程中四个边界条件的独立性。
2．2 验证}exp{ˆ0jkz E z
E -=
是否为可能存在的电磁场。
2．3 证明边界条件：()0ˆ21=-⨯E E n
和()
s D D n ρ=-⋅21ˆ 。