《高等代数》试题2 重理工资料库

合集下载

高等代数期末考试复习题及参考答案

高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。

高等代数复习题

高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。

12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。

二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。

(完整版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷,推荐文档

线性空间同构：（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。
2、（ D ）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）A的核是零子空间的充要条件是A是满射；（B）A的核是 V 的充要条件是A是满射；（C）A的值域是零子空间的充要条件是A是满射；（D）A的值域是 V 的充要条件是A是满射。
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（）设A是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
2、设A是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是A的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
答案
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
3、（ B ）矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4

高等代数试题库

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（ )。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;D ．设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ）条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A 。

如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B 。

如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么))()(()(x h x g x f ±C 。

如果)()(x g x f ,那么][)(x F x h ∈∀,有)()()(x h x g x fD 。

如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲:将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙:对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立;B 。

甲不成立，乙成立；C .甲, 乙均成立;D ．甲，乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B 。

代数基本定理适用于复数域;C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中， ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

高等代数复习题II

2 2 25. 要使二次型q (x1 , x2 , x3 ) = x2 1 + 4x2 + 4x3 + 2tx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 正定, t的取值
范围是
2 2 ; 要使二次型f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 1 + x2 + x3 +2x1 x2 + tx2 x3 正
4. 以下定义的变换为线性变换的是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A). 在F2 中, σ (a, b) = (a2 , a − b);
)
B). 在F3 中,σ (a, b, c) = (a + 1, a + b, c);
19. 已知三阶A的特征值是−1, 1, 2, f (x) = x2 +2x+2.则A2 特征值是征值是 , trAk = ; 而f (A)的特征值是 ,|f (A)|=
20. 设A, B 是n阶非零矩阵, 且AB = B . 则A必有特征值 2E )B = O, E 为n阶单位矩阵, 则A必有特征值 21. 在欧氏空间C [−1, 1]中, | − 1| = 关的单位向量是 . .
)
B). σ (f (x)) = xf 2 (x), ∀f (x) ∈ F[x];
C). σ (f (x)) = f (x0 ), ∀f (x) ∈ F[x], x0 是F中固定的数; D). σ (f (x)) =
x 0
f (t) sin tdt, ∀f (x) ∈ F[x].
高等代数复习题II 第 3 页共 10 页

(完整版)高等代数习题集

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

湖南理工学院高等代数试卷(2)

高等代数试卷（2）1．填空题：（2×10=20）1．若向量组可由线性表示，且r>s,则线性。

2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。

5．设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。

6．设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是。

7．令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，，则关于基下的矩阵是。

8．设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且（单位变换），则是变换。

9．欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。

10．设是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。

二．判断题（每题1分，计10分）1．设。

（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。

（）3．若，，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。

（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。

（）6．设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。

（）7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。

（）8．设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。

（）9．两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。

（）10．实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。

（）三、证明题（10×3=30）1．在一个欧氏空间里，对任意向量有不等式；且仅当线性相关时等式成立。

2．设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使得。

3．设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.四、计算题（15×2=30）1．设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案

高等代数试卷二一、单项选择题（每小题2分，共10分）【】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。

若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。

2018年重庆理工大学考研真题822高等代数(A卷)硕士学位研究生入学考试试

重庆理工大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学，统计学考试科目（代码）：高等代数（822）（A 卷）（试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题与答题纸装入原信封内交回。

一、填空题（每小题3分，共15分）1. 方程的所有根为________________.222333444441230123123x x x x =2. 设,,为2阶单位矩阵,则2011A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭22B A A I =-+I 1-=B ________________.3. 方程组有解的充要条件是________________.12233123-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩x x a x x a x x =a 4. 已知为3阶方阵, 与相似, 且的特征值为1,2,3.设为,A B A B A B *B 的伴随矩阵，则________________.B I *-=5. 已知实二次型经222123123121323(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++正交变换可化为标准形,则________________.x Py =213f y ==a 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设为数域上的多项式,则下列说法正确的是( ).(),(),()f x g x h x F (A) 若,则()()()()f x g x f x h x =()()g x h x =(B) 若,则((),())1f x g x =((),()())1f x g x f x +=(C) 若互素,则两两互素(),(),()f x g x h x (),(),()f x g x h x (D) 若,则或()|()()f x g x h x ()|()f x g x ()|()f x h x 2. 设3阶方阵的秩,则( ).A ()2R A =()R A *=(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33. 设向量组可由向量组线性表示,则下列12:,,,r A ααα 12:,,,s B βββ 说法正确的是( ).(A) 当时, 向量组必线性相关r s <B (B) 当时, 向量组必线性相关r s >B (C) 当时, 向量组必线性相关r s <A (D) 当时, 向量组必线性相关r s >A 4. 若阶矩阵的任意一行的个元素之和都是,则必有一个特征值n A n a A 为( ).(A) (B) (C) 0 (D) a a -1a5. 设是欧氏空间的一个正交变换,则下列说法不正确的是( ).σV (A) 保持向量的内积不变σ(B) 保持向量的长度不变σ(C) 不一定是可逆变换σ(D) 在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵σ三、( 14分)证明：设是数域上的次数大于0的多项式, 则)(x f F )(x f 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对上的任意多项式F )(x g , 必有, 或者对某一正整数,有.1))(),((=x g x f m )(|)(x g x f m四、(18分)计算阶行列式.n 310000230000002310000231000023=n D 五、(16分)设是阶方阵,是阶矩阵,且,证明：B rC r n ⨯()R C r =(1) (10分)如果,那么；BC O =B O =(2) (6分)如果,那么.BC C =B I =六、(18分)已知向量组,，()1=2,1,4,3α()2=1,1,6,6α--，,,设生()3=1,22,9α---，()4=1,1,2,7α-()5=449α2,,,123,,ααα成的子空间为,生成的子空间为1123(,,)W L ααα=12,ββ.212(,)W L ββ=(1) (10分)求子空间的维数；12W W +(2) (8分)求子空间的一个极大无关组.12W W +七、(20分)设是数域上所有3维行向量构成的向量空间，是3F F σ3F 的一个线性变换, 给定的一个基：，，3F 1=(1,1,1)α-2=(1,0,1)α-，且在基，，下的矩阵是.3=(0,1,1)ασ1α2α3α110110023⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)(8分)求出在基，，下的矩σ1=(1,0,0)ε2=(0,1,0)ε3=(0,0,1)ε阵；(2) (6分)求出的特征值和特征向量；σ(3) (6分)判定能否相似对角化.σ八、(14分)设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵.A n n I n (1) (8分)证明：的伴随矩阵是正定的；A A *(2) (6分)证明：大于.2n A I *+2n 九、(20分)已知实二次型可(22212312323(,,)2332f x x x ax x x x x =+++)通过变量的正交变换化为标准形0a ≠.222123123(,,)4f y y y y ay by =++(1) (8分)求的值；,a b (2) (12分)求出将化为标准形时所用的正交变换的矩阵.123(,,)f x x x。