2016年中考数学考点学案：专题16+与圆有关的概念

考点十六：与圆有关的概念

聚焦考点☆温习理解

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

3.直径

经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）

直径等于半径的2倍。

4.半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

5、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

7、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、垂径定理

【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B．

考点：1.垂径定理；2.勾股定理.

【点睛】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

【举一反三】（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

【答案】B．

考点：1．垂径定理；2．勾股定理．

考点典例二、求边心距

【例2】

（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm．【答案】2．

【解析】

试题分析：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠

OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=

3

2

AO=3，解得：AO=2．故答案为：2．

考点：正多边形和圆．

【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和

内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．

【举一反三】

如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于

( )

A.

2

41

B.

2

34

C. 4

D. 3

【答案】D．

考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点A作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，

∴∠DAE=∠BAF.

在△ADE和△ABF中，∵

AD AB

DAE BAF AE AF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ADE≌△ABF（SAS）.∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH.

又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=1

2

BF=3．

故选D．

考点典例三、最短路线问题

【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN 的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

A． B．1 C． 2 D． 2

【答案】A.

故选A．

【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

【举一反三】

如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF

上任意一点,，则PA+PC 的最小值为 ▲ ．

【答案】72. 【解析】由于A 、B 两点关于MN 对称，因而PA+PC=PB+PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC 的值就是PA+PC 的最小值．因此，

如答图，连接BC ，OB ，OC ，过点C 作CH 垂直于AB 于H ．

∵AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，

∴BE=12AB=4，CF=12

CD=3. ∴22222222OE OB BE 543OF OC CF 534=-=-==-=-=，.

∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.

在Rt △BCH 中根据勾股定理得到2222BC BH CH 7772=+=+=，即PA+PC 的最小值为72．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．（2015广元）如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ．则下列结论一定错误的是（ ）

A ．CE =DE

B ．AE =OE

C ．BC B

D = D ．△OC

E ≌△ODE