南通中学高三数学练习2020.2.29 - 解析版
2020年江苏省南通市通州通海中学高三数学文测试题含解析
2020年江苏省南通市通州通海中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：C本题考查函数定义域的求解，难度较小.要使有意义，则，解得，故定义域为，故选C.2. 已知Z= (i为虚数单位),则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：D因为Z=＝＝1-＋，Z的共轭复数为1-－，在第四象限。
3. 一个工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查。
已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线的生产的产品数量是A．12000 B．6000 C．4000D．80002,4,6参考答案：D4. 设命题，则是（）A． B． C． D ．参考答案：D5.某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有A．48种B．98种C．108种D．120种参考答案：答案：C6. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个参考答案：A7. 已知，则“”是“”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B8. 已知函数的图象经过两点，在内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：D 【分析】 由题意画出函数的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数的图像大致如下因为，由图可知，又因为，所以，所以，因为，由图可知，，解得，又因为，可得，所以当时，，所以，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.9. 已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可知f （x ）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数， ∴f（x ）在[0，+∞）为增函数，∵=f （﹣2）=f （2），1＜20.3＜2＜log 25， ∴c＞b ＞a ， 故选：B ．10. “”是“直线与直线相互垂直”的.充分必要条件.充分而不必要条件.必要而不充分条件.既不充分也不必要条件参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量与的夹角是，，.若，则实数.参考答案：略12. 函数最小值是___________参考答案：略13. 在等比数列中,,则.参考答案：32 略14. 设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为，B 与C 的球面距离为，则球O 在二面角B -OA -C 内的那一部分的体积是______．参考答案：15. 若函数为奇函数,则实数a 的值为________.参考答案：a =0 易证为奇函数,又因为函数为奇函数,所以为偶函数.故16. 设等比数列的前和为，已知的值是____________.参考答案： 0 略17. 等比数列中，，，则的前项和为参考答案：120三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题含解析
【答案】
【解析】
由图可知,当直线y＝kx在直线OA与x轴（不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
8.已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4)（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数,则当n最小时实数a的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案。
【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1，
最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A ，A 1，解得B ，所以A﹣B ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.
【详解】（1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ,
且 ,
所以
。
(2)因为 ，且 ,所以 ，
又 ,
则 ,
所以 .
16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点．
（1）求证:VA∥平面BDE；
（2）求证:平面VAC⊥平面BDE．
综上所述,a＝﹣2．
故答案为:﹣2．
【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9。已知双曲线 （a＞0，b＞0)的两个焦点为 、 ,点P是第一象限内双曲线上的点,且 ，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理得 ，根据余弦定理得 2PF1•PF2cos∠F1PF2 3，联立方程得到 ，计算得到答案。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =10.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。
【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，所以10ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题. 7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ．【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得y=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=. 故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x的取值范围是_________ 【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =， 24cos 1sin 5A A ∴=-=， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯， 3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______. 21.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y +=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得21x ≥．因此实数x 21．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510︒==r r，即有2102555c a ==r r ，则2102524||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为3()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c .【答案】(1) 3C π=(2) 36【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为93，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r Q ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r 则||1832AC ==u u u r32AC =因为ABC V 的面积为93， 所以1sin 932CA CB C ⋅= 即132sin 9323CB π⨯=解得62CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅221(32)(62)232622=+-⨯54=，所以5436AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．……………………… 10分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点61,2⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P . （i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O .【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题． 19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+② ①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===，41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③， 由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数； 当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析x (0,1)1(1,)+∞()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x e=，列表分析 x(0,1e)1e(1,)e +∞()g x '− 0 +()g x单调递减 单调递增min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e '=-=-，①若1a e≤-则()ln 0af x x x '=-≥，故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->， 因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-. 因为当1x >时，1ln 1(*)x x>-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由x 0(1,)x0x0(,1)x a +()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为13993(),(22A B线段AB 的中点为553(2A ，3AB k =故线段AB 中垂线的斜率为133AB k k --==， 所以AB 的中垂线方程为：5335)2y x --=- 化简得：3100x +-=， 所以极坐标方程为cos 3sin 100ρθρθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：3y x =的距离为1035331d ==+ 线段8AB =，故ABC ∆的面积为15382032S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b=+-+()22a b a a b=+-++22a b a a b≤++++()22222244242a a a a≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC ABλ=u u u r u u u r （Rλ∈），且向量PCuuu r与BDu u u r夹角的余弦值为1515.（1）求λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210.【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，写出,PCu u u r，BDu u u r的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD的法向量为(),,n x y z=r，根据n PCn DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u rr u r，进而得到⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u rr u rn PCn DC，从而求出nr，向量PBu r的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos,n PB<>r u r，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P，因为DC ABλ=u u u r u u u r，所以(,2,0)Cλ，从而(,2,2)PCλ=-u u u r，则由15cos,15PC BD=u u u r u u u r，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC=-u u u r，(0,2,2)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量(,,)n x y z=r，则0⋅=r u u u rn PC，0⋅=r u u u rn PD，即0x y z+-=，且0y z-=，所以0x=，不妨取1y z==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n=r，又易得(1,0,2)PB=-u u u r，故10cos,5=⋅=-u u u r rPB n PB n，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a的通项公式为1515225n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N∈，记1212n n nS C a C a=++…nn nC a+.（1）求1,S2S的值；（2）求所有正整数n，使得n S能被8整除.【答案】(1) 11S=；23S=；(2) {}*|3,n n k k N=∈【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n nS S S++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛+ =⋅+⋅+ ⎝⎭⎝…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即有1S 515==； 2S 3535==； （2）35355n n S n ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 23535225n S n n +⎡⎤+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535353535352222225n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+⎢⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦13n n S S +=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1,n n S S +除以8的余数确定，因为11,a =21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=，432324321,S S S =-=-=543363855S S S =-=-=，654316521144,S S S =-=-=7535643255377S S =-=-=，87631131144987,S S S =-=-=987329613772584S S S =-=-= 由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3,n k =*k N ∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
江苏省南通中学2020届高三年级下学期数学周末卷2020.2.29
高三数学周末卷 2020.2.29数学Ⅰ一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1 ． 已知集合{}{}0,2,4,2,0A B ==-，则集合 A ∪B= ▲ ．【答案】{}2,0,2,4-2 ． 已知复数 z 满足()345i z +=，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的实部为 ▲ ．【答案】353 ． 某工厂生产 A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比为 2: 1: 3．现用分层抽样的方法抽取 1 个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 18 件，则样本容量 n 的值为 ▲ ．【答案】 544 ． 执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值是 18，则输入的 x 的值为 ▲ ．【答案】 65. . 函数()2ln 2y x x=+-的定义域是 ▲ ． 【答案】()1,2-6. . 从 2 个白球，2 个红球，1 个黄球中随机取出 2 个球，则取出的 2 球中不含红球的概率是 ▲ ．【答案】3107. . 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线2214x y -=的两条渐近线和一条准线围成的三角形的面积为 ▲ ． 【答案】858 ． 已知三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的体积为 2，△DEF 为过各侧棱中点的截面，O 为上底面 A 1 B 1 C 1 内一点，则多面体 O-DEF-ABC 的体积为 ▲ ． 【答案】439. 若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()03ω<<图象的一条对称轴为3x π=，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ．【答案】 4π 10 ．若直线20ax by -+=()0,0a b >>和函数()log 21c y x =++（0c >且1c ≠）的图象均恒过同一个定点，则4ab a b+的最大值为 ▲ ． 【答案】2911．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，{}21n a -是公差为 d 的等差数列，{}2n a 是公比为 q 的等比数列，且 a 1 ＝a 2 ＝a ，S 2 ：S 4 ：S 6 ＝1：3：6，则d aq的值是 ▲ ． 【答案】2 12. 如图放置的正三角形 ABC ，AB=4，A ，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上滑动，则OA OC⋅u u u r u u u r 的最大值是 ▲ ．【答案】1213．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程：()2214x y +-=过点()00,P x y ， 存在直线 l 被圆 C 截得的弦长为23，则实数0x 的取值范围是 ▲ ．【答案】00x ≤或01x ≥14. 已知函数()3,02,0x x f x ax x x ⎧>⎪=⎨++<⎪⎩，若函数()()11y f x f x =-+-恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()2,+∞二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．（本小题满分 14 分）如图，四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，VC ⊥平面 BDE ，E 是棱 VC 的中点.（1）求证： V A ∥平面 BDE ；（2）求证：平面 V AC ⊥平面 BDE.【解】（1）连结 OE ．因为底面 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 是棱 VC 的中点，所以 V A ∥OE. ……………………3 分又因为 OE ⊂ 平面 BDE ， V A ⊄ 平面 BDE ，。
2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题 (2)
14.
已知
x
0
，
y
0，
x
4 y
3 2
1 x
y
15 2
，则
x
y
的最小值为________．
【答案】-1
13. 若在 Rt△ABC 中， ABC 90， AB 2 ， BC 3．在△ABD 中， ADB 45 ，则 CD 的取
值范围是________．
【答案】 5 2, 17 2
【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，设 D(x, y) ，D 在第一象限或第二象限，根据 ADB=45 ，求出 D 的轨迹方程为
则 n m 的最小值是 14 2 8 ，
3
3
故答案为： 8 ． 3
【点睛】本题主要考查由函数 y Asin(x ) 的部分图象求解析式，正弦函数的单调性的应用，属于中档
题．
8. 已知正六棱柱的侧面积为 36cm2 ，高为 3cm ，则它的外接球的体积为________ cm3 ． 【答案】 125
x 2, y 4 时， 2 x 2和 z y 2 同时取得最大值，进而计算可得答案.
x2
【详解】解： m 2x2 4x y 2 2 x 22 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 4
x2
x2
x2
令 z y 2 ，则 z 表示可行域中的点 x, y 与点 D2, 2 所在直线的斜率，
3 / 24
【答案】 8 3
【解析】
【分析】
由函数的最值求出 A ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，求得 f (x) 2sin( x) ．根据函数在
4
[2 ， 14] 上是减函数， 3
f
（2） 2 ，
【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案
江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年南通市高三数学参考题(35题)
2020年南通市高三数学参考题（35题）一、选择题1． （命题人：启东中学）函数f （x ）＝|x 2－a | 在区间［－1，1］上的最大值M （a ）的最小值是 A ．41 B ．21C ．1D ．2 【解析】选B ．f （x ）是偶函数，所以M （a ）是在［0，1］内的最大值，当a ≤0时，f （x ）＝x 2－a ，则M （a ）＝1－a ；当a >0时，由图像可知，若12≥a ，则M （a ）＝a ，若12<a ，则M （a ）＝f （1）＝1－a ， 从而M （a ）＝ 11212a a a a ⎧-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，≤，， M （a ）min ＝12．2． （命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以32的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ，则 A ．P 5>P 4 B ．P 8<P 7 C ．P 11<P 12 D ．P 15>P 16【解析】由题32)1(3111⋅-+⋅=--n n n P P P （*)N n ∈，即13132--=n n P P （*)N n ∈，以n ＋1代n ，得n n P P 31321-=+， 所以)(3111-+--=-n n n n P P P P （*)N n ∈．而31,110==P P ，所以n n n P P )31(321--=-+（N n ∈）． 所以22121200k k k k P P P P -+->⎧⎨-<⎩，，所以偶数项比它相邻项大，所以答案为C ．3． （命题人：海门市悦来中学何振华，审题人：沈康生）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 和DC 上运动，设θ=∠ABP ，将ABP∆沿BP 折起，使得二面角C BP A --成直二面角，当θ为（ ）时，AC 长最小． A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒75 【解析】过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ，∴BCP 面⊥AH ．∴θθcos 3BH sin 3AH A t ==∆，中，在BH R ．在）（）（中，θθθ-︒⨯⨯⨯-+=∆90cos cos 3424cos 3CH 222BHC ， ∴在中ACH R ∆t ，θ2sin 12252-=AC ，∴︒=45θ时，AC 长最小；选B ． 4． （命题人：通州中学陈颖，审题人：严东来）如图，非零向量,OA OB u u u r u u u r与x 轴正半轴的夹角分别为 6π和23π，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则OC u u u r与x 轴正半轴的夹角的取值范围是A ．(0,)3π B ．5(,)36ππC ．2(,)23ππD ．25(,)36ππ【解析】OC u u u r与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量,OA OB --u u u r u u u r与x 轴正半轴的夹角之间，故选B ．5． （命题人：通州中学严东来，审题人：王淦华）已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],(,)a b a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数对(,)a b 共有A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个【解析】()f x 在R 上是偶函数，故()f x 的图象关于y 轴对称，作出()f x 的图象，截取值域是[]0,1 的一段，发现a ，b 的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2﹑2必须至少取一个，故选B ． 6． （命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）yAOxBC三角形ABC 中AP 为BC 3=，2-=⋅BC AP ＝A ．2B ．3C ．5D ．7 【解析】22PCBP =，即22)()(AC PA AP BA +=+，5222=⋅+=，=5，故选C ．7． （命题人：如皋中学薛钧，审题人：冒红玉）已知双曲线22221(0)25x y a a a-=>-的左右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上的一点，Q 点满足112PQ PF PF PF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r ，12F F u u u u r 在1F P u u u r上的投影的大小恰为1FP u u u r ，且它们的夹角为6π，则a 等于A ．52 B ．52 C ．52 D ．52【解析】因为112PQ PF PF PF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r ，所以1,PQ PF u u u r u u u r是一对同向向量，且2PQ PF =u u u r u u u u r ． 又因为12F F u u u u r 在1F P u u u r 上的投影的大小恰为1F P u u u r ，所以122F PF π∠=． 在12Rt F PF ∆中，1212,||10, 5.6PF F F F PQ π∠===又112FQ PF PQ a =-=，所以25a =，所以a =A ． 8． （命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）如图1，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13图1 图2【解析】如图2，设25AM AB =u u u u r u u u r ，15AN AC =u u u r u u u r，则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r ．由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以ABP ANABC AC ∆=∆u u u ru u u r ＝15，同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆，选B ．9． （命题人：海安中学王光华，审题人：王光华）现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有A ．12种B ．15种C ．20种D ．30种 【解析】法一：分类，“42000型”，共有2种方案；“33000型”，共有1种方案；“32100型”，共有种21236A C ⋅=种方案；“22200型”，共有3种方案；“22110型”，共有3种方案；故共有15种不同的分配方案．选B ． 10．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）已知f （x ）＝x ＋1，g （x ）＝2x ＋1，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧f (a n ) (n 为奇数)，g (a n ) (n 为偶数)，则数列{a n }的前2020项的和为A ．5×22020－2020B ．3×22020－5020C ．6×22020－5020D ．6×21003－5020【解析】∵a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝（2a 2n ＋1）＋1＝2a 2n ＋2，∴a 2n ＋2＋2＝＝2（a 2n ＋2）， ∴数列{a 2n ＋2}是以2为公比、以a 2＝a 1＋1＝2为首项的等比数列．∴a 2n ＋2＝2×2 n －1，∴a 2n ＝2 n －2．又a 2n ＋a 2n ＋1＝ a 2n ＋2a 2n ＋1＝3a 2n ＋1，∴数列{a n }的前2020项的和为 a 1＋（ a 2＋ a 3）＋ （ a 4＋ a 5）＋ （ a 6＋ a 7）＋ …＋ （ a 2020＋ a 2020） ＝ a 1＋（3a 2＋1）＋ （3a 4＋1）＋ （3a 6＋1）＋ …＋ （3a 2020＋1） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003＋1－5×1003＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003－ 5020 ，故选D ． 二、填空题11．（命题人：启东中学）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________．【解析】答案：5 2 ．连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒． 又∠BC 1C ＝45︒，∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理，可求得A 1C ＝52． 12．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞 ）已知函数f （x ）、g （x ）满足x ∈R 时，f′（x ）>g′（x ），则x 1<x 2时，则f （x 1）－f （x 2）___g （x 1）－g （x 2）．（填>、<、＝）【解析】记)()()(x g x f x F -=，则)()()(x g x f x F '-'='． 由已知，0)(>'x F ，所以)(x F 在R 上单调递增， 所以x 1<x 2时，)()(21x F x F <，即f （x 1）－f （x 2） < g （x 1）－g （x 2）．13．（命题人：通州中学王淦华，审题人：瞿国华）△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r ．则 C ∠＝ ，cos A ＝ ． 【解析】通过画图，可求AOB ∠，即OA u u u r 与OB u u ur 的夹角，再通过圆心角与圆周角的关系，求得C ∠，而A ∠是BOC ∠ 的一 半，可用半角公式进行计算．答案：135C ∠=o，cos 10A =14．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为 ． 【解析】x ＝0是方程的一个根，其余根即方程12=-ax x （x ＞0）的根． 由f （x ）＝ax x -2（x ＞0）与y ＝1的交点个数，可知a ＞0． 且f （2a）＞1，得a ＞2． 15．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为________________________．【解析】提示：依题意，可知212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，，， 从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有21240(1)01.b ac f a b c c x x a ⎧⎪->⎪-=-+>⎨⎪⎪=<⎩，，24,,.b ac b a c c a ⎧>⎪⇒<+⎨⎪<⎩ 又,,a b c 为正整数，取1c =，则 1a b a b +>⇒≥，所以22444a b ac a a ≥>=⇒>．从而5a ≥，所以2420b ac >≥．又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11． 下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b ac >≥，所以5b ≥． 又5a c b +>≥，所以6a c +≥，所以11a b c ++≥． 综上可得，a b c ++的最小值为11．16．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华） 如图，在ΔABC 中，|AB|=3，|AC|=1，l 为BC 的垂直平分线，E 为l 上异于 D 的一点，则⋅AE (AB-AC )u u r u u r u u r等于____．【解析】⊥∴⋅DE BC BC DE =0u u r u u r Q ，又AE =AD+DE u u r u u u r u u r， ∴⋅⋅⋅AE(AB-AC )=(AD+DE )CB =AD CB u u u r u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r⋅22111=(AB+AC )(AB-AC )=(AB -AC )=(9-1)=4222u u r u u r u u r u u r u u r u u r ． 17．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）O 为坐标原点，正△OAB 中A 、B 在抛物线x y 22=上，正△OCD 中C 、D 在抛物线22x y =上，则△ OAB 与△OCD 的面积之比为 ．【解析】设△OAB 的边长为a，则不妨设11,,,2222A a B a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入x y 22=，得a =；同理，设△OCD 的边长为b ，可得b =．:4:1a b ∴=，:16:1OAB OCD S S ∴=V V ．18．（命题人：南通中学陆玉英，审题人：顾军）如图，在∠AOB 的两边上分别为1234,,,A A A A ，12345,,,,B B B B B 共9个点，连结线段(14,15)i j A B i j ≤≤≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图 中共有___________对“和睦线”【解析】一个四边形，有且只有一对“和睦线”，这9个点可组成224560C C =个四边形，故图中关于60对“和睦线”． 19．（命题人：南通一中秦志国）已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21），c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________． 【解析】a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称， ∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1， 又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）． 20．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设P 为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-上除顶点外的任意一点，21F ,F 分别为左右点，21PF F ∆ 的内切圆交实轴于点M ，则21MF M F ⋅值为 ． 【解析】 由已知，得 121222PF PF a F M F M a -=±-=±，即． 又2c M F M F 21=+，a c a c M F ,a c a c M F 21+-=-+=∴或或． 因此22221b a c )a c )(a c (MF M F =-=-+=⋅． 三、解答题21．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）已知函数a ax x x f ,13)(3-+=为实常数．（1）a 在什么范围内时，3)(==y x f y 与只有一个公共点？（2）若]2,0()0,2[1)()(2⋃-+=在x x f x ϕ上有最小值2，求a 的值． 【解析】（1）)(333)(22a x a x x f +=+='．①当0≥a 时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在R 上单调增，此时3)(==y x f y 与只有一个公共点；②当0<a 时，))((3)(a x a x x f ---+=' ．由0)(='x f ，得a x a x -=--=21,． 在R x ∈上列表：因为3)(==y x f y 与只有一个公共点，所以3)(<极大值x f 或3)(>极小值x f ． 所以3)(,3)(>-<--a f a f 或，得043<<-a ． 综上，1->a ，3)(==y x f y 与只有一个公共点． （2）x ax x ax x x x f x 31131)()(232+=+-+=+=ϕ．由)()(x x ϕϕ=-，可知)(x ϕ为偶函数，则原题即为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2． 设x ax x g 3)(+=（]2,0(∈x ），则222331)(x a x x a x g -=-='．①0<a 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调增，所以]232,()(ax g +-∞∈． 因为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2，所以2232-=+a ，所以38-=a ． ②0=a 时，x x =)(ϕ，无最小值，不合题意．③0>a 时，)()(x g x =ϕ，222)3)(3(3)(x a x a x x a x x g -+=-='．（I ）423a ≥，即时，0)(<'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调减，所以),232[)(+∞+∈ax g ， 此时)(x ϕ在]2,0(上的最小值为2232≠+a，不合． （II4203a <<，即时，由0)(='x g ，得a x 3=． 在]2,0(∈x 上列表：∴min min 1()()2 3x g x g a ϕ=====，所以．综上，a 的值为3138或-．22．（命题人：海门市悦来中学邢素琴，审题人：董卫平）设()x f ＝cx bx ax +++12（a >0）为奇函数，且()x f min ＝22，数列{a n }与{b n }满足如下关系： a 1＝2，2)(1nn n a a f a -=+，11+-=n n n a a b ．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）证明：当n ∈N ＋时，有b n ≤n )31(．【解析】（1）由f （x ）是奇函数，得 b ＝c ＝0． 由|f （x ）min |＝22，得a ＝2，故f （x ）＝ xx 122+．（2） 2)(1nn n a a f a -=+＝n n nnn a a a a a 2121222+=-+，2112111121112n n n n n n na a ab a a a ++++--==+++＝211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n a a ＝2n b ， ∴n b ＝21-n b ＝42-n b ＝…＝121-n b ．而b 1＝31，∴n b ＝12)31(-n ．当n ＝1时，b 1＝31，命题成立．当n ≥2时，∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋112111----+++n n n n C C C Λ≥1＋11-n C ＝n ，∴12)31(-n ＜n )31(，即 b n ≤n )31(．23．（命题人：通州中学陈颖，审题人：王淦华）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，（O 为坐标原点），P 为椭圆上一点，2,OP F P 的斜率分别为247-和34-．（1）求证：120PF PF =u u u r u u u u rg ；（2）若△1OPF 的面积为3，求椭圆方程． 【解析】解法一 （1） 依题意，令21,PF O POF αγ∠=∠=，则324tan tan 2tan 47ααγ===，．∴2γααβαβ==+∴=，．∴21,90OP OF OF θβ==+=o，所以120PF PF =u u u r u u u u r g ． （2）在Rt △12PF F 中，111214562342OPF PF m F F m S m m ∆=∴===⋅⋅，，，所以21 27 25 6m a c b ===∴=，，，． 所以椭圆方程为2214964x y +=． 解法二 （1）令0012()( 0)( 0)P x y F c F c -，，，，，，由题意，得 00247y x =-， ① 0034y x c =--． ②由①、②，可知00217572.75x c y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1007247521375PF c y k x c c c ∴===+-+．∴12121PF PF k k PF PF =-∴⊥g ，，∴120PF PF =u u u r u u u u rg ． 24．（命题人：通州中学陈颖，审题人：羌达勋）某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为102m ，2020年底人均住房面积为202m ．据此计算：（1）1996年底人均住房面积超过142m ，试给出证明；（2）若人口年平均增长率不超过3﹪，能否确保2020年底人均住房面积比2020年底有所增加？为什么？【解析】（1）设86年底人口总数为a ，住宅总面积10a ，年人口增长的公比为q （即后一年是前一年人口的q 倍），年住宅总面积的公差为d ，则2020年底人均住房面积为20102020a ds aq+==，则20105(21)d q a =-，故1996年底人均住房面积201010101010514a d q A aq q++==≥． （2）2020年底人均住房面积2022221022221a d q p aq q +-==，2020年与2020年底人均住房面积之差2022222220120q q s p q --=-=V ．∵0q >，∴只需考虑分子2022202()222012(1110) 1 (1)f q q q q q q =--=-->． ∵1921()440()0f q q q '=-<，∴()f q 单调递减．又2021.03 ()(1.03)2 1.03(1110 1.03)1q f q f ∴=⨯-⨯-≥≤，， ∴220201110 1.030.39 2 1.032(10.03)2(1200.03) 3.2-⨯>⨯=⨯+>⨯+⨯=，． ∴() 3.20.3910f q >⨯->．此即表明，2020年底人均住房面积仍超过2020年底人均住房面积．25．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y ＝x 对称．（1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程；（3）设直线y ＝m x ＋1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围． 【解析】（1）设双曲线C 的渐近线方程为y ＝k x ，即k x －y ＝0．∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=．设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴1,2222==a a ．∴双曲线C 的方程为122=-y x ．（2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|＝|OF 1|； 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|＝|QF 1|．根据双曲线的定义，|TF 2|＝2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ． ①由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,），则22 2.2T TT T x x x x y y y y ⎧=⎪⎧=+⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩即， 代入①并整理，得点N 的轨迹方程为221(x y x +=≠． （3）由22221(1)2201y mx m x mx x y =+⎧---=⎨-=⎩，得，．令22)1()(22---=mx x m x f ，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根，因此22020 1120.1m m m m ⎧⎪∆>⎪⎪<<<⎨-⎪⎪->⎪-⎩，，解得． 又AB 的中点为)11,1(22m m m --，∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y ．令x ＝0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ．∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ． ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞．26．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知2)1x ()x (f -=，)1x (10)x (g -=，数列{}n a 满足2a 1=，0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 1)a )(2n (109b n n -+=． （1）求证：数列{}1a n -是等比数列；（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（3）若1m 1m m m b t b t ++<对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（1）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，2n n )1a ()a (f -=，)1a (10)a (g n n -=，∴01)-(a 1)-10(a)a a (2n nn 1n =+-+，即01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+．又2a 1=，可知对任何*N n ∈，01≠-n a ，所以101a 109a n 1n +=+．∵1091a 1101a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+，∴{}1a n -是以11a 1=-为首项，公比为109的等比数列．（2）由（I ），可知1a n -＝1n )109(-（*N n ∈）． ∴nn n )109)(2n ()1a )(2n (109b +=-+=，)2n 11(109)109)(2n ()109)(3n (b b n 1n n1n ++=++=++．当n ＝7时，1b b 78=，78b b =；当n<7时，1b b n 1n >+，n 1n b b >+；当n>7时，1b b n1n <+，n 1n b b <+．∴当n ＝7或n ＝8时，n b 取最大值，最大值为7887109b b ==．（3）由1m 1m m m b t b t ++<，得0])3m (910t 2m 1[t m<+-+． （*） 依题意，（*）式对任意*N m ∈恒成立，①当t ＝0时，（*）式显然不成立，因此t ＝0不合题意． ②当t<0时，由0)3m (910t 2m 1>+-+，可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m>，因此t<0不合题意．③当t>0时，由0tm>（*N m ∈），∴0)3m (910t 2m 1<+-+，∴)2m (10)3m (9t ++>（*N m ∈）．设)2m (10)3m (9)m (h ++=（*N m ∈），∵)2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++=-+ ＝0)3m )(2m (1109<++⋅-， ∴h(1)h(2)h(m 1)h(m)>>>->>L L ． ∴m)(h 的最大值为56)1(h =．所以实数t 的取值范围是56t >． 27．（命题人：如东中学葛张勇，审题人：刘卫东）在△ABC 中，已知A （0，1），B （0，－1），AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于E 、F 两点，且OF OE ·＝4． （1）求点C 的轨迹方程； （2）若CF BC 8-=，①试确定点F 的坐标；②设P 是点C 的轨迹上的动点，猜想△PBF 的周长最大时点P 的位置，并证明你的猜想．【解析】（1）如图，设点C （x ，y ）（x≠0），E （x E ，0），F （x F ，0），由A ，C ，F 三点共线，0)1()1(·=---⇒E x y x AE AC ，x E ＝yx-1．同理，由B 、C 、F 三点共线可得x F ＝yx+1． 化简，得点C 的轨迹方程为x 2＋4y 2－4（x ≠0）．∵OF OE ·＝4，∴x E ·x F ＝yxy x +-1·1＝4． （2）若CF BC 8-=， ①设F （x F ，0），C （x C ，y C ），∴8-=⇒（x c ，y c ＋1）＝－8（x F －x c ，y c ）． ∴x c ＝F x 78，y C ＝71．代入x 2＋4y 2＝4， 得x F ＝±3．∴F （±3，0），即F 为椭圆的焦点．②猜想：取F （3，0），设F 1（－3，0）是左焦点，则当P 点位于直线BF 1与椭圆的交点处时，△PBF 周长最大，最大值为8． 证明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF 1|＋|PB|≤4＋|BF 1|， ∴△PBF 的周长≤4＋|BF 1|＋|BF|≤8．28．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华）已知三角形ABC 的两顶点A 、B 分别是曲线2255x y +=的左右焦点，且内角满足sin sin A B =． （1）求顶点C 的轨迹方程E ；（2）若x 轴上有两点(2 0)(10)M N ，，，，过N 的直线与曲线E 的交点是D 、E ．求DM EM k k +的值．【解析】由sin sin A B =，得sin B A C =，1||||||||2AC BC AB AB -==， 所以顶点C 的轨迹E 的方程为222(1)x y x -=>．（2）设l ：(1)y k x =-（斜率不存在时不合题意），1122(,),(,)D x y E x y 由222,(1),x y y k x ⎧-=⎨=-⎩得2222(1)220k x k x k -+--=，则0∆>时，有2212122222,11k k x x x x k k ++=⋅=--． 1221121212121[(1)(1)2(2)22(2)(2)DM EM y y k k kx x kx x k x x x x x x +=+=-+--+-----33121222121211246[23()4](4)0(2)(2)(2)(2)11k k k kx x k x x k k x x x x k k +=-++=-+=------．29．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：薛钧）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2020，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2020行．（1）求证：第1行至第2020行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列12,a a 也称等差数列）；（2）各行的公差组成数列{}(1,2,3,,2006)i d i =L ．求通项公式i d ； （3）各行的第一个数组成数列{}(1,2,3,,2006)j a j =L ，求通项公式j a ； （4）求2020行的这个数．【解析】（1）记i j a ⋅表示第i 行第j 列的项．由已知知第1行是等差数列；2(1)21(1)1(2)11(1)1(2)1()2k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第2行数列是等差数列．3(1)32(1)2(2)22(1)2(2)2()4k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第3行数列是等差数列．同理可证，第4，5，…，都是等差数列．（2）1(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)2i i k i k i k i k i k i k i k i k i d a a a a a a a a d ++⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=-=+--=-=，12i id d +∴=，则{}i d 是等差数列，11122i i i d d --=⋅=．（3）11222j j j j j j j j a a a a a d a -+⋅=+=++=+，111224j j j ja a ++∴=+． ∴数列{}2j ja 是等差数列，1(1)24jja j =-，所以21(1)2(1)24j j j a j j -=⋅-⋅=-⋅． （4）2005200720062a =⋅．30．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：刘建华） 已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈． （1）求A ；（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +∈，均有n S A ∈，求a 的取值范围． 【解析】（1）由2|1|,,x a a x a R +≤+∈得2210,10,(1)0;(1)0.a a x a x a x a x a +≥+<⎧⎧⎨⎨-+++++⎩⎩≤≤ 当1a >时，1x a ≤≤．当1a -1≤≤时， 1a x ≤≤，当1a <-时，1x a --≤≤．综上，1a >当时，{|1}A x x a =≤≤；1a ∴≤≤当-1时，{|1}A x a x =≤≤；当1a <-时， {|1}A x x a =-≤≤-．（2）当1a ≥时，{|1}A x x a =≤≤．而22S a a A =+∉，故1a ≥时，不存在满足条件的a ；当01a <<时，{1}A a x =≤≤，而(1)1n n a a S a -=-是关于n 的增函数，所以n S 随n 的增大而增大，当1n a S a <-且无限接近1a a-时，对任意的n N +∈，n S A ∈，只须a 满足01,1.1a aa<<⎧⎪⎨⎪-⎩≤ 解得102a <≤． 当1a <-时，{|1}A x x a =-≤≤-． 显然1S a A =∉，故不存在实数a 满足条件．当1a =-时，{|11}A x x =-≤≤．2121,0n n S S -=-=，适合．当10a -<<时，{|1}A x a x =≤≤．22122121221212121(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++-+---=++=++=++>， 2122212222122222(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++++++=++=++=++<，2121222,n n n n S S S S -++∴<<，且2211.S S a S =+>故1352122242n n n S S S S S S S S S +-<<<<<<<<<<<L L L ．故只需21,,S A S A ∈⎧⎨∈⎩ 即21,10.a a a ⎧+≤⎨-<<⎩解得10a -<<．综上所述，a 的取值范围是1{|010}2a a a <≤-≤<或． 31．（命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i ρ、j ρ，坐标平面上点n A 、n B )(*N n ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =u u u r r 且1+n n A ＝i ＋j ；②i OB 31=且1+n n B B ＝2()33n i ⨯r．（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*N n ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*N n ∈都有n a ＜M成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．【解析】（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r L (1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-r r r r r．1121n n n OB OB B B B B -=+++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L 1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯r r r r L21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-r ． （2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯．（3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯．∴ 120a a -<，230a a -<，340a a -<．450a a -=， 560a a ->，670a a ->，等等． 即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数6M =，对一切*n N ∈，都有n a ＜M 成立．32．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）函数()326f x x x =-的定义域为[]2,t -，设()()2,f m f t n -==．（1）求证：n m ≥ ；（2）确定t 的范围使函数()f x 在[]2,t -上是单调函数； （3）求证：对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+；并确定这样的0x 的个数．【解析】（1）设()h t n m =-，则()h t =223)4)(2(326-+=+-t t t t 0≥，所以（2）()2312f x x '=-，令()0f x '=，得120,4x x ==． 当()2,0t ∈-时，[]2,x t ∈-时，()'0f x >，()f x 是递增函数； 当0t =时，显然()f x 在[]2,0-也是递增函数．∵0x =是()f x 的一个极值点，∴当0t >时，函数()f x 在[]2,t -上不是单调函数． ∴当(]2,0t ∈-时，函数()f x 在[]2,t -上是单调函数． （3）由（1），知2(2)(4)n m t t -=+-，∴()242n m t t -=-+． 又∵()'2312f x x =-， 我们只要证明方程()*()2231240x x t ---=在()2,t -内有解即可．记()()223124g x x x t =---，则()()()()22364210g t t t -=--=-+-，()()()()223124224g t t t t t t =---=+-， ()()()()22223640,31240g t g t t t t -=-->=--->，∴()()()()()2222410g g t t t t -⋅=-+--．①当()()2,410,t ∈-⋃+∞时，()()()()()22224100g g t t t t -⋅=-+--<， 方程()*在()2,t -内有且只有一解；②当()4,10t ∈时，()()()22100g t t -=-+->，()()()2240g t t t =+->， 又()()221240g t =---<，∴方程()*在()()2,2,2,t -内分别各有一解，方程()*在()2,t -内两解；③当4t =时，方程()23120g x x x =-=在()2,4-内有且只有一解0x =；④当10t =时，方程()()()2312363260g x x x x x =--=+-=在()2,10-内有且只有一综上，对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+． 当(][)2,410,t ∈-⋃+∞时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 有且只有一个； 当()4,10t ∈时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 恰有两个． 33．（命题人：南通一中朱柏华）两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人，且两人同时被录用的概率为191． （1）求参加应聘的人数；（2）求两人中至少有一人被录用的概率．【解析】（1）设参加应聘的人数为x ，则191532=-XX C C ，得x ＝20．（2）设两人中至少有一人被录用的概率为1P ，则1P ＝1－520518C C ＝3817．34．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设椭圆22a x ＋22by ＝1，a ＞b ＞0的左焦点为F 1，上顶点为A ，过点A 与AF 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为λ． （1）当λ∈（1，2）时，探求椭圆离心率（e1－e ）2的取值范围； （2）当λ＝58时，过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆的方程．【解析】（1）设Q （x 0，0），F 1（－c ，0），A （0，b ），∵P 分向量所成的比为λ，∴P （λλ+10x ，λ+1b ），∴（λλ+10x ）221a ＋（λ+1b）221b＝1． ① 而F 1＝（c ，b ），AQ ＝（x 0，－b ），A F 1·AQ ＝0，∴cx 0－b 2＝0． ②由①、②消去x 0，得（λλ+12b ）2221ac ＋（λ+11）2＝1，即λ2224ac b＝（1＋λ）2－1，即（e 1－e ）2＝1＋λ2∈（2，3（2）当λ＝58时，e －e 1＝－23，∴e ＝21，a ＝2c ． 又∵△AF 1Q 是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，∴圆心为（2)(2c c b -+，0）＝（c cc a 2222--，0）＝（c ，0），半径为r ＝22c cb +＝ca 22＝a ． 由圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，得2|3|+c ＝a ，∴a ＝2，b ＝3． ∴椭圆方程为42x ＋32y ＝1．35．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设一动点M 在x 轴正半轴上，过动点M 与定点)2,1(P 的直线交y ＝x （x>0）于点Q ，动点M 在什么位置时，11PM PQ+有最大值，并求出这个最大值． 【解析】 设:(2)1l y k x =-+，要它与(0)y x x =>相交，则10k k ><或．令10(2,0)y M k =-，得，令x y =，得2121(,)11k k Q k k ----． ∴MP PQ ==∴0) 111).kuPM PQk< =+==>，于是222222(12)(4)4101ku u k k uk-=⇒-++-=+．由220(5)0u u∆-≥，得≤，∴205u u∴≤≤，而当l的方程为x＝2时，u＝2，∴maxu=k＝－2，进而求得5( 0)2M，．。
2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b ab cosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb k x x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v ，可得()()222222222222212cos 13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v 是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略. 11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v分别表示出,BD AG u u u v u u u v，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。
江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析
2020届高三阶段性检测试题数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343V R =π球，球的表面积公式24S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.【答案】{3} 【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}．2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【答案】102【解析】 【分析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:102. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】 【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点),令2p=即可求出p 的值.【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为0.4．【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.故答案为:4π.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且a ⋅()8ab -=则k 的值为_______.【答案】67- 【解析】 【分析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=,进而可求k 的值.【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=. 解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++=所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-= EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12 【解析】 【分析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.【详解】解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC =.9BC CD >=，12BC ∴=故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】 【分析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()()222121m t m t ++≥+,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =± 时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】 【分析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为:31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量()()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）求a b ⋅的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】 【分析】(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值.【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=因为||||a b =,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+311sin 2cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =.在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程.【答案】(1)22143x y +=0y --=0y +-=.【解析】 【分析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=,从而可求出k =进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=.又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k .又以PQ 为直径的圆过原点,所以OPOQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.【解析】 【分析】 (1)由14BEC ABCD S S ∆=可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCDS=,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCDS S ∆=.于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以sin 20102ABCDSAB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=.由1sin1202EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF =当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =,此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可. (2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数xy e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合(*)式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i n b b b b b b b b b b +==++++=--++∑,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥.当2n ≥时,112311111ni inb b b b b ==++++∑ 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】【解析】 【详解】设则即此直线即为则..22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=+ ()()1211127a b c ≤++++++=33，当且仅当==，即3a =，2b =，1c =时取等号，33，得证；【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25.设4124k k S a a a =+++（*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值；（2）求()3m 关于k 的表达式，并化简．【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】分析】 （1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=． （2）依题意，数列124,,,k a a a 中有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++．同理，得()1594344441k k k k km C C C C -=++++． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-，所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k km m C C C C C ---+=+++++=， 所以()4221324k k m --==【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题解析版
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2． 【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____． 【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣． 故答案为：1﹣． 【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________． 【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π． 【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝ 【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝ ．故答案为：3x ±＝． 【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____． 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】 因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____． 【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,， 设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣． 所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ． （2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜ 由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116． 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小． 【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝ 符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． 【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。
【数学】2020南通二模参考答案与评分建议
2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}UA =，则集合A =_________.【答案】{3,5}. 【解析】直接求根据{1,2,4}UA =求出集合A 即可.【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}UA =，则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=，故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。
【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18．【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的(π23x -()π4f =4sin 42π=.故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxyx y，则实数x的最小值为______. 1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xyx y，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足xy xyx y， 化为()2210xy x y x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得1x ≥．因此实数x 1．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19AAEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c 满足0a b c ++=且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，则a c ⋅的值为___________. 【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin C =，由正弦定理可得2sin135︒==，即有21025,55c a ==，则4||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==． 故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220x g x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和向量(1,cos cos )n A B =是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c . 【答案】(1) 3C π=(2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=得：2()18AC AB BC AC ⋅+==，进而利用ABC ∆的面积为，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+和(1,cos cos )n A B =是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >， 从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=，18()AC AB CB ∴=⋅-2||AC AC AC =⋅=则||18AC =AC =因为ABC 的面积为，所以1sin 2CA CB C ⋅=即1sin 23π⨯=解得CB =在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅22122=+-⨯54=，所以AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD． (7)分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD． (2)分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD． (5)分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． (10)分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点6⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P .（i ）求证：OP OM ⋅为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得2231212a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n ＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n na a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（）可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+②①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===， 41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③，由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x =，列表分析min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e'=-=-，①若1a e ≤-则()ln 0af x x x'=-≥， 故()f x 在22(,)e e -内没有极值点； ②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； ③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->，因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点； 综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点； 当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1(*)x x >-， 所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(2A ，AB k =故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x -=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=. 【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=（R λ∈），且向量PC 与BD .（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出,PC ，BD 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，根据n PC n DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，进而得到00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n PC n DC ，从而求出n ，向量PB 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos ,n PB <>，从而得PB 和平面PCD 所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-，则由15cos ,PC BD =，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0⋅=n PC ，0⋅=n PD ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =，又易得(1,0,2)PB =-，故10cos ,=⋅=PB n PB n ，所以直线PB 与平面PCD 10考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为15155n n n a ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n N ∈，记1212n n n S C a C a =++…n n n C a +.（1）求1,S 2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除.【答案】(1) 11S =；23S =； (2) {}*|3,n n k k N =∈ 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n n S S S ++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+21215155n n C C ⎡⎛++⎢ =⋅+⎢⎝⎭⎝⎣…212151515222n n n n n C C C ⎫⎛⎛⎛⎪ +⋅-⋅+⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦ 1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=+-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即有1S1==；2S33==；（2）3322nnS n⎡⎤⎛⎛⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2332222nS n n+⎡⎤⎛⎛+-=+-+⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n n ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥-⋅--⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦13n nS S+=-，即213n n nS S S++=-，*n N∈，因此2nS+除以8的余数，完全由1,n nS S+除以8的余数确定，因为11,a=21a=，所以11111S C a==，12221223S C a C a=+=，3213918S S S=-=-=，432324321,S S S=-=-=543363855S S S=-=-=，654316521144,S S S=-=-=7535643255377S S=-=-=，87631131144987,S S S=-=-=987329613772584S S S=-=-=由以上计算及213n n nS S S++=-可知，数列{}n S各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而nS除以8的余数等价于n除以3的余数，所以3,n k=*k N∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
2020届江苏省南通市高三年级第三次高考数学试题(附答案解析)
5. (本小题满分 5 分) 【答案】12
6. (本小题满分 5 分)
【答案】3
7. (本小题满分 5 分) 【答案】 x2 y2 1
5 20
8. (本小题满分 5 分)
【答案】 2 3 3
【解析】对于椭圆，显然 b 1, c a
3 2
，所以椭圆方程为
x2 4
y2
1 ，设
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) A sin(x ) (A＞0，0＜ ＜ )的最小值是﹣2，其图象经过点 M( ， 3
1)．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）已知 ， (0， )，且 f ( ) 8 ， f ( ) 24 ，求 f ( ) 的值．
2
5
13
16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AD＝2BC，AB⊥PA． （1）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （2）若 E 为 PD 的中点，求证：CE //平面 PAB．
2
17．（本小题满分 14 分）
有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 2 百米的 D 点有
2
(2
4
)
sin(2
) 4
1 3
。
解析二：f(x)＝cosx(sin x＋cosx)－12＝sin xcosx＋cos2x－12＝12sin 2x＋1＋c2os 2x－12＝12sin 2x＋12
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)(2月份)
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）（2月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A＝{2, 4, a2−4a+6}，B＝{2, a}，A∩B＝B，则实数a的取值的集合为________．2. 若复数z满足z＝i(2−z)（i是虚数单位），则|z|＝________．3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1500，1200，900，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为________．4. 如图所示的程序框图，输出的结果是________．5. 己知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−x2，则f(−1)＝________．6. 等比数列{a n}中，a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=4，则a10+a11+a12=________．7. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1:S2=________．8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点，直线y=b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90∘，则该椭圆的离心率是________．9. 已知b2是4a与4的等差中项，则12b+16a的最小值为________．10. 命题“∀x∈R，使得不等式mx2+mx+1≥0”是真命题，则m的取值范围是________．11. 已知圆O:x2+y2=1，直线l:x−y−2=0，动点P为l上一点，圆O存在一点Q，使得∠QPO=30∘，则点P横坐标的取值范围是________．12. 已知a→,b→是单位向量，且夹角为60∘，|c→|=√3，则(a→−12c→)⋅(b→−12c→)的取值范围是________．13. 已知奇函数f(x)满足f(−1+x)＝f(−1−x)，且当−1<x<0时，f(x)＝e2−e ax，若3f(ln3)+2e2＝0，则实数a的值为________．14. 已知函数f(x)＝(x−2)e x−k2x2+kx（k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间(0, 2)内存在两个极值点，则实数k的取值范围是________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x．（1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于x的方程f(x)−m＝2在x∈[π4,π2]上有解，求实数m的取值范围．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：PB // 平面EAC ；（2）求证：CD ⊥AE ．某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD ，∠ABC ＝90∘，AB // CD ，AB ＝800m ，BC ＝1600m ，CD ＝4000m ，在点P 处有一灯塔（如图），且点P 到BC ，CD 的距离都是1200m ，现拟将养殖区ACD 分成两块，经过灯塔P 增加一道分隔网EF ，在△AEF 内试验养殖一种新的水产品，当△AEF 的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE ＝d ．（1）若P 是EF 的中点，求d 的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d 的值，并求△AEF 面积的最小值．如图，已知椭圆C1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(2, 0)，且离心率e =√22，圆C 2以椭圆C 1的短轴为直径．过点P 作互相垂直的直线l 1，l 2，且直线l 1交椭圆C 1于另一点D ，直线l 2交圆C 2于A ，B 两点（1）求椭圆C 1和圆C 2的标准方程；（2）求△ABD 面积的最大值．已知函数f(x)＝ax ln x −x 22+(1−a)x +a −12(a ∈R)．（1）当a ＝1时，求函数f(x)在x ＝1处的切线方程；（2）当a ≤0时，证明：函数f(x)只有一个零点；（3）若函数f(x)的极大值等于0，求实数a 的取值范围．设数列{a n }的通项公式为a n ＝pn +q(n ∈N ∗, P >0)．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． (Ⅰ)若p =12,q =−13，求b 3；(Ⅱ)若p ＝2，q ＝−1，求数列{b m }的前2m 项和公式；(Ⅲ)是否存在p 和q ，使得b m ＝3m +2(m ∈N ∗)？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M =[2ab1]，其中a ，b 均为实数，若点A(3, −1)在矩阵M 的变换作用下得到点B(3, 5)，求矩阵M 的特征值．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点P(2√2, π2)，圆C 的方程为ρ＝2√2cos θ，求过点P 且与圆C 相切的直线的极坐标方程． 【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）某同学在上学路上要经过A ，B ，C 三个带有红绿灯的路口，已知他在A ，B ，C 三个路口遇到红灯的概率依次是13,14,34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的． （1）求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X ，求X 的概率分布与期望E(X)．设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集．（1）若M ＝{a 1, a 2}，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(A, B)的个数；（2）若M＝{a1, a2, a3, ..., a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A, B)的个数．参考答案与试题解析2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）（2月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.【答案】{3, 4}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】当a＝4时，a2−4a+6＝6，符合；当a2−4a+6＝a时，解得a＝2，a＝3，由集合的互异性，a＝2舍去．故a＝4或a＝3．∴实数a的取值的集合为{3, 4}．2.【答案】√2【考点】复数的模复数的运算【解析】由题意可得(1+i)z＝2i，可得z=2i1+i，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|．【解答】∵复数z满足z＝i(2−z)（i是虚数单位），∴z＝2i−iz，即(1+i)z＝2i，∴z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，故|z|=√2，3.【答案】30【考点】分层抽样方法【解析】先求出高二学生数所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．【解答】因为高二学生数所占的比例为12001500+1200+900=13，故应从高二学生中抽取的人数为13×90=30，4.【答案】15【考点】程序框图【解析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】模拟执行程序框图，可得a＝1，b＝1满足条件a≤3，b＝3，a＝2满足条件a≤3，b＝7，a＝3满足条件a≤3，b＝15，a＝4不满足条件a≤3，退出循环，输出b的值为15．5.【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】故答案为：−1．6.【答案】16【考点】等比数列的性质【解析】由题意和整体思想可得q3=2，代入a10+a11+a12=(a4+a5+a6)q6，计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=4，∴公比q满足q3=a4+a5+a6a1+a2+a3=2，∴a10+a11+a12=(a4+a5+a6)q6=16.故答案为：16.7.【答案】3:2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球的表面积和体积【解析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1:S2=3:2．故答案为：3:2．8.【答案】√63【考点】椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题直线的斜率【解析】设右焦点F(c, 0)，将y=b2代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F(c, 0)，将y=b2代入椭圆方程可得x=±√32a，可得B(−√32a, b2)，C(√32a, b2)，由∠BFC=90∘，可得k BF⋅k CF=−1，即有b2−√32a−cb2√32a−c=−1，化简为b2=3a2−4c2，由b2=a2−c2，即有3c2=2a2，由e=ca ，可得e2=c2a2=23，可得e=√63.故答案为：√63．9.【答案】12【考点】基本不等式及其应用【解析】由题意可得，4a+4＝b，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意可得，4a+4＝b，则12b+16a≥2√2−b⋅24a=2√24a−b=12．当且仅当2−b＝24a且4a+4＝b即a=−12，b＝2时取等号，10.【答案】[0, 4]【考点】全称量词与存在量词全称命题与特称命题【解析】由题意可得mx2+mx+1≥0恒成立，结合m的范围及二次不等式的恒成立即可求解．【解答】由题意可得，mx2+mx+1≥0恒成立，当m＝0时，1≥0恒成立，满足题意，当m≠0时，可得{m>0△=m2−4m≤0，解可得0<m≤4，综上可得，m的范围[0, 4]．11.【答案】[0, 2]【考点】直线和圆的方程的应用两点间的距离公式【解析】由题意画出图形，把问题转化为在直线上找到一点P，使它到点O的距离为2求解．【解答】解：如图，|OQ|=1，∠QPO=30∘，当PQ为圆O:x2+y2=1的切线时，∠OPQ最大，故问题转化为在直线上找到一点P，使它到点O的距离为2．设P(x0, x0−2)，则x02+(x0−2)2=4，解得：x0=0或2．∴ 满足条件的点P 横坐标的取值范围是[0, 2]． 故答案为：[0,2]. 12. 【答案】[−1,11] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意即可设a →=(12,√32),b→=(1,0),c →=√3(cos θ,sin θ)，然后即可得出a →−12c →,b →−12c →的坐标，进行向量坐标的数量积运算即可得出(a →−12c →)⋅(b →−12c →)=54−32sin (θ+π3)，从而可得出(a →−12c →)⋅(b →−12c →)的取值范围．【解答】 据题意，设a →=(12,√32),b →=(1,0),c →=√3(cos θ,sin θ)，∴ a →−12c →=(12−√32cos θ,√32−√32sin θ)，b →−12c →=(1−√32cos θ,−√32sin θ)，∴ (a →−12c →)⋅(b →−12c →)=12+34cos 2θ−3√34cos θ−34sin θ+34sin 2θ=54−34(√3cos θ+sin θ)=54−32sin (θ+π3)， ∵ −1≤sin (θ+π3)≤1，∴ −14≤54−32sin (θ+π3)≤114， ∴ (a →−12c →)⋅(b →−12c →)的取值范围是[−14,114]． 13.【答案】 −1【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据题意，由3f(ln 3)+2e 2＝0变形可得f(ln 3)=−2e 23，结合函数的奇偶性可得f(−ln 3)的值，又由f(−1+x)＝f(−1−x)，可得f(−ln 3)＝f(−2+ln 3)，据此结合函数的解析式可得f(−2+ln 3)＝e 2−e ax ＝e 2−e a （−2+ln 3）=2e 23，解可得a 的值，即可得答案．【解答】根据题意，若3f(ln 3)+2e 2＝0，则f(ln 3)=−2e 23，又由f(x)为奇函数，则f(−ln 3)＝−f(ln 3)=2e 23，又由函数f(x)满足f(−1+x)＝f(−1−x)，则f(−ln 3)＝f(−2+ln 3) 而1<ln 3<2，则−1<−2+ln 3<0， 故f(−2+ln 3)＝e 2−e ax ＝e 2−e a （−2+ln 3）=2e 23，则有ea （−2+ln 3）=e 23=e 2−ln 3，分析可得：a ＝−1， 14.【答案】(1, e)∪(e, e 2) 【考点】利用导数研究函数的极值【解析】 求出函数的导数，问题转化为k ＝e x 在(0, 2)的交点问题，求出k 的范围即可．【解答】 f′(x)＝(x −1)e x −k(x −1)＝(x −1)(e x −k)，若f(x)在(0, 2)内存在两个极值点， 则f′(x)＝0在(0, 2)有2个解，令f′(x)＝0，解得：x ＝1或k ＝e x ， 而y ＝e x (0<x <2)的值域是(1, e 2)， 故k ∈(1, e)∪(e, e 2)， 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 【答案】f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos 2x =1−cos (π+2x)−√3cos 2x=1+sin 2x −√3cos 2x =2sin (2x −π3)+1，周期T =π;2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，解得f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)．x ∈[π4,π2]，所以2x −π3∈[π6,2π3]，sin (2x −π3)∈[12,1]，所以f(x)的值域为[2, 3]．而f(x)＝m +2，所以m +2∈[2, 3]，即m ∈[0, 1]．【考点】正弦函数的单调性 【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，通过正弦函数的单调递增区间求解即可．（2）利用三角函数的最值转化求解实数m 的取值范围． 【解答】f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos 2x=1−cos (π2+2x)−√3cos 2x=1+sin 2x −√3cos 2x =2sin (2x −π3)+1，周期T =π;2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，解得f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)． x ∈[π4,π2]，所以2x −π3∈[π6,2π3]，sin (2x −π3)∈[12,1]，所以f(x)的值域为[2, 3]．而f(x)＝m +2，所以m +2∈[2, 3]，即m ∈[0, 1]． 【答案】如图所示，连接BD ，与AC 相交于点O ，连接OE ． 则点O 为BD 的中点，又点E 是PD 的中点．∴ OE // PB ，而PB ⊄平面EAC ；OE ⊂平面EAC ； ∴ PB // 平面EAC ．∵ 侧棱PA ⊥底面ABCD ， ∴ PA ⊥CD ，∵ 底面ABCD 是正方形，∴ CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ． ∴ CD ⊥平面PAD ， ∴ CD ⊥AE ．【考点】直线与平面垂直 直线与平面平行【解析】（1）如图所示，连接BD ，与AC 相交于点O ，连接OE ．利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明结论．（2）利用正方形的性质、线面垂直的判定定理性质定理即可结论．【解答】如图所示，连接BD ，与AC 相交于点O ，连接OE ． 则点O 为BD 的中点，又点E 是PD 的中点．∴ OE // PB ，而PB ⊄平面EAC ；OE ⊂平面EAC ； ∴ PB // 平面EAC ．∵ 侧棱PA ⊥底面ABCD ， ∴ PA ⊥CD ，∵ 底面ABCD 是正方形，∴ CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ． ∴ CD ⊥平面PAD ， ∴ CD ⊥AE ．【答案】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C(800, 1600)，B(800, 0)，P(−400, 400)，D(−3200, 1600)． AC 所在直线方程为y ＝2x ，AD 所在直线方程为y =−12x ．设E(−2m, m)，F(n, 2n)，m >0，>0．∵ P 是EF 的中点，∴ {−2m +n =−800m +2n =800 ，解得{m =480n =160 ，∴ E(−960, 480)，∴ d ＝|AE|=√9602+4802=480√5．∵ EF 经过点P ，∴ k PE ＝k PF ， 即m−400−2m+400=2n−400n+400，化简得80m +240n ＝mn ．由基本不等式得：mn ＝80m +240n ≥160√3mn ， 即mn ≥76800，当且仅当m ＝3n ＝480时等号成立． ∵ k AC ⋅k AD ＝−1，∴ AC ⊥AD ，∴ S △AEF =12AE ⋅AF =12⋅√5m ⋅√5n =52mn ≥52×76800＝192000，此时E(−960, 480)，d ＝AE ＝480√5．故对原有水产品养殖的影响最小时，d ＝480√5．△AEF 面积的最小值为192000 m 2．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出E点坐标，从而可计算d；（2）根据基本不等式得出AE⋅AF的最小值，进而求出△AEF的面积最小值．【解答】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(800, 1600)，B(800, 0)，P(−400, 400)，D(−3200, 1600)．AC所在直线方程为y＝2x，AD所在直线方程为y=−12x．设E(−2m, m)，F(n, 2n)，m>0，>0．∵P是EF的中点，∴{−2m+n=−800m+2n=800，解得{m=480n=160，∴E(−960, 480)，∴d＝|AE|=√9602+4802=480√5．∵EF经过点P，∴k PE＝k PF，即m−400−2m+400=2n−400n+400，化简得80m+240n＝mn．由基本不等式得：mn＝80m+240n≥160√3mn，即mn≥76800，当且仅当m＝3n＝480时等号成立．∵k AC⋅k AD＝−1，∴AC⊥AD，∴S△AEF=12AE⋅AF=12⋅√5m⋅√5n=52mn≥52×76800＝192000，此时E(−960, 480)，d＝AE＝480√5．故对原有水产品养殖的影响最小时，d＝480√5．△AEF面积的最小值为192000 m2．【答案】由题意知a＝2，ca=√22，b2＝a2−c2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C1的标准方程：x24+y22=1，圆C2的方程为：x2+y2＝2；因为过点P作互相垂直的直线l1，l2，设l1的直线方程：x＝my+2，l2的方程为：y＝−m(x−2)，所以圆心O到直线的距离d=√1+m2，∴|AB|＝2√2−d2=2√2−(√1+m2)2=2√2(1−m2)1+m2，∵直线l2与圆有两个交点，∴d=√1+m2<√2，所以0<m2<1，由于{x=my+2x24+y22=1整理得：(2+m2)y2+4my＝0，可得y D=−4m2+m2，∴|PD|=√1+m2|y D|=4√m2(1+m2)2+m2，所以S△ABD=12|AB|⋅|PD|=12⋅2√2(1−m2)1+m2⋅4√m2(1+m2)2+m2=4√2⋅√m2(1−m2)2+m2，令t＝2+m2，∵m2<1，则t∈(2, 3)，S△ABD＝4√2⋅√(t−2)(3−t)t=4√2√−6t+5t−1，当t=125，即m=±√25时S△ABD有最大值2√33．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意知a，与离心率的值及a，b，c之间的关系求出椭圆与圆的标准方程；（2）设椭圆过P的直线l1，l2，先求l2与圆的相交弦长|AB|，由判别式大于0求出参数的取值范围，再由l1与椭圆联立求出D的坐标，再求PD的值进而求出面积的表达式，由参数的范围求出面积的最大值．【解答】由题意知a＝2，ca=√22，b2＝a2−c2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C1的标准方程：x24+y22=1，圆C2的方程为：x2+y2＝2；因为过点P作互相垂直的直线l1，l2，设l1的直线方程：x＝my+2，l2的方程为：y＝−m(x−2)，所以圆心O到直线的距离d=√1+m2，∴|AB|＝2√2−d2=2√2−(√1+m2)2=2√2(1−m2)1+m2，∵直线l2与圆有两个交点，∴d=2<√2，所以0<m2<1，由于{x=my+2x24+y22=1整理得：(2+m2)y2+4my＝0，可得y D=−4m2+m2，∴|PD|=√1+m2|y D|=4√m2(1+m2)2+m2，所以S△ABD=12|AB|⋅|PD|=12⋅2√2(1−m2)1+m2⋅4√m2(1+m2)2+m2=4√2⋅√m2(1−m2)2+m2，令t＝2+m2，∵m2<1，则t∈(2, 3)，S△ABD＝4√2⋅√(t−2)(3−t)t2=4√2√−6t2+5t−1，当t=125，即m=±√25时S△ABD有最大值2√33．【答案】当a＝1时，f(x)＝ln x−x 22+12，∴k＝f′(1)＝0，f(1)＝0，∴切线方程为y＝0．∵f′(x)＝a ln x−x+1，令g(x)＝a ln x−x+1，则g′(x)=a−xx(x>0)，当a≤0时，g′(x)=a−xx<0，g(x)在(0, +∞)上单调递减，∵g(1)＝f′(1)＝0，所以当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝0，故函数f(x)只有一个零点．由（2）可知，当a≤0时，f(x)的极大值为0，符合题意，①当a∈(0, 1)时，若0<x<1，g′(x)>0，g(x)单调递增，若x>a，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(1)＝0，g(e−1a)=−e−1a<0，因为0<a<1，则−1a <−1，e−1a<1e<1，所以，当a<x<1时，g(x)单调递减，g(x)>g(1)＝0，又g(e−1a)=−e−1a<0，所以e−1a∉(a,1)即e−1a<a，故存在x1∈(e−1a，a)，满足f′(x1)＝0，当x∈(0, x1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x1, a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，又x∈(a, 1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故x＝1是函数f(x)唯一极大值点，且f(1)＝0符合题意；②当a＝1时，x∈(0, 1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(1, +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(1)＝0，故g(x)≤0，从而f(x)在(0, +∞)上单调递减，没有极值；不符合题意；③当a>1时，x∈(0, a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(a, +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且g(1)＝0，g(e a)＝1−e a+a2，令w(a)＝1−e a+a2，则w′(a)=−(a−1)2e a<0，故w(a)在(1, +∞)上单调递减，从而有w(a)<w(1)<1，所以1+a2<e a即g(e a)<0，因为a<1+a2<e a，故存在x0∈(a,e a)满足f′(x0)＝0，当x∈(a, x0)时，函数f(x)单调递增，当x∈(x0,e a)，函数f(x)单调递减，故x＝1是函数唯一极小值点，x＝x0是函数f(x)唯一极大值点，f(x0)>f(1)＝0，不符合题意，综上可得，a<1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】（1）根据导数的几何意义即可求解，（2）先对函数求导，f′(x)＝a ln x−x+1，结合单调性即可求解，（3）结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．【解答】当a＝1时，f(x)＝ln x−x22+12，∴k＝f′(1)＝0，f(1)＝0，∴切线方程为y＝0．∵f′(x)＝a ln x−x+1，令g(x)＝a ln x−x+1，则g′(x)=a−xx(x>0)，当a≤0时，g′(x)=a−xx<0，g(x)在(0, +∞)上单调递减，∵g(1)＝f′(1)＝0，所以当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝0，故函数f(x)只有一个零点．由（2）可知，当a≤0时，f(x)的极大值为0，符合题意，①当a∈(0, 1)时，若0<x<1，g′(x)>0，g(x)单调递增，若x>a，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(1)＝0，g(e−1a)=−e−1a<0，因为0<a<1，则−1a<−1，e−1a<1e<1，所以，当a<x<1时，g(x)单调递减，g(x)>g(1)＝0，又g(e−1a)=−e−1a<0，所以e −1a ∉(a,1)即e −1a <a ，故存在x 1∈(e −1a，a)，满足f′(x 1)＝0，当x ∈(0, x 1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(x 1, a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 又x ∈(a, 1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x ∈(1, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 故x ＝1是函数f(x)唯一极大值点，且f(1)＝0符合题意；②当a ＝1时，x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x ∈(1, +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 又g(1)＝0，故g(x)≤0，从而f(x)在(0, +∞)上 单调递减，没有极值；不符合题意；③当a >1时，x ∈(0, a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，x ∈(a, +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝0，g(e a )＝1−e a +a 2， 令w(a)＝1−e a +a 2，则w′(a)=−(a−1)2e a<0，故w(a)在(1, +∞)上单调递减，从而有w(a)<w(1)<1， 所以1+a 2<e a 即g(e a )<0，因为a <1+a 2<e a ，故存在x 0∈(a,e a )满足f′(x 0)＝0，当x ∈(a, x 0)时，函数f(x)单调递增，当x ∈(x 0,e a )，函数f(x)单调递减， 故x ＝1是函数唯一极小值点，x ＝x 0是函数f(x)唯一极大值点， f(x 0)>f(1)＝0，不符合题意， 综上可得，a <1． 【答案】（1）由题意，得a n =12n −13， 解12n −13≥3，得n ≥203．∴ 12n −13≥3成立的所有n 中的最小正整数为7，即b 3＝7． （2）由题意，得a n ＝2n −1， 对于正整数m ，由a n ≥m ，得n ≥m+12．根据b m 的定义可知当m ＝2k −1时，b m ＝k(k ∈N ∗)； 当m ＝2k 时，b m ＝k +1(k ∈N ∗)．∴ b 1+b 2+...+b 2m ＝(b 1+b 3+...+b 2m−1)+(b 2+b 4+...+b 2m )＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m +1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m 2+2m ．(Ⅲ)假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn +q ≥m 及p >0得n ≥m−q p．∵ b m ＝3m +2(m ∈N ∗)，根据b m 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m +1<m−q p≤3m +2，即−2p −q ≤(3p −1)m <−p −q 对任意的正整数m 都成立．当3p −1>0（或3p −1<0）时，得m <−p+q 3p−1（或m ≤−2p+q3p−1），这与上述结论矛盾！ 当3p −1＝0，即p =13时，得−23−q ≤0<−13−q ，解得−23≤q <−13．（经检验符合题意）∴ 存在p 和q ，使得b m ＝3m +2(m ∈N ∗)；p 和q 的取值范围分别是p =13，−23≤q <−13． 【考点】 数列的应用 【解析】(Ⅰ)先得出a n ，再解关于n 的不等式，利用正整数的条件得出具体结果； (Ⅱ)先得出a n ，再解关于n 的不等式，根据{b n }的定义求得b n 再求得S 2m ； (Ⅲ)根据b m 的定义转化关于m 的不等式恒成立问题． 【解答】（1）由题意，得a n =12n −13， 解12n −13≥3，得n ≥203．∴ 12n −13≥3成立的所有n 中的最小正整数为7，即b 3＝7． （2）由题意，得a n ＝2n −1， 对于正整数m ，由a n ≥m ，得n ≥m+12．根据b m 的定义可知当m ＝2k −1时，b m ＝k(k ∈N ∗)； 当m ＝2k 时，b m ＝k +1(k ∈N ∗)．∴ b 1+b 2+...+b 2m ＝(b 1+b 3+...+b 2m−1)+(b 2+b 4+...+b 2m )＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m +1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m 2+2m ．(Ⅲ)假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn +q ≥m 及p >0得n ≥m−q p．∵ b m ＝3m +2(m ∈N ∗)，根据b m 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m +1<m−q p≤3m +2，即−2p −q ≤(3p −1)m <−p −q 对任意的正整数m 都成立．当3p −1>0（或3p −1<0）时，得m <−p+q 3p−1（或m ≤−2p+q3p−1），这与上述结论矛盾！ 当3p −1＝0，即p =13时，得−23−q ≤0<−13−q ，解得−23≤q <−13．（经检验符合题意）∴ 存在p 和q ，使得b m ＝3m +2(m ∈N ∗)；p 和q 的取值范围分别是p =13，−23≤q <−13．【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 【答案】由题意得{6−a =33b −1=5解得{a =3b =2，所以M =[2321]．令f(λ)＝(λ−2)(λ−1)−6＝0， 解得λ＝−1或λ＝4，所以矩阵M 的特征值为−1和4．． 【考点】几种特殊的矩阵变换 【解析】由题意得{6−a =33b −1=5 ，求出M =[2321]，由此能求出矩阵M 的特征值．【解答】由题意得{6−a =33b −1=5解得{a =3b =2 ，所以M =[2321]．令f(λ)＝(λ−2)(λ−1)−6＝0， 解得λ＝−1或λ＝4，所以矩阵M 的特征值为−1和4．．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）【答案】以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 则点P(2√2, π2)的直角坐标为P(0, 2√2)，圆C 的方程ρ＝2√2cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2， 当过点P 的直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝0时，满足与圆C 相切， 当过点P 且与圆C 相切的直线斜率存在时，设斜率为k ， 则直线方程为y ＝kx +2√2，即kx −y +2√2=0， 因为直线与圆相切，所以√2k+2√2|√k 2+1=√2，解得k =−34，所以此时所求的直线方程为3x +4y −8√2=0，所以过点P 且于圆C 相切的直线的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R)和3ρcos θ+4ρsin θ−8√2=0，【考点】圆的极坐标方程 【解析】先建立平面直角坐标系，把点P 的极坐标化为直角坐标，再把圆C 的方程化为直角坐标方程，对切线斜率分存在和不存在两种情况，分别求出切线方程，再化为极坐标方程即可． 【解答】以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 则点P(2√2, π2)的直角坐标为P(0, 2√2)，圆C 的方程ρ＝2√2cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2， 当过点P 的直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝0时，满足与圆C 相切， 当过点P 且与圆C 相切的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx +2√2，即kx −y +2√2=0， 因为直线与圆相切，所以√2k+2√2|√k 2+1=√2，解得k =−34，所以此时所求的直线方程为3x +4y −8√2=0，所以过点P 且于圆C 相切的直线的极坐标方程为θ=π2(ρ∈R)和3ρcos θ+4ρsin θ−8√2=0，【必做题】（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 【答案】设事件A 表示“这名同学上学路上在第一个路口遇到红灯”， 事件B 表示“这名同学上学路上在第二个路口遇到红灯”， 事件C 表示“这名同学上学路上在第三个路口遇到红灯”， 则P(A)=13，P(B)=14，P(C)=34，∴ 这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率： P(A ¯B ¯C)＝P(A ¯)P(B ¯)P(C) =23×34×34=38；记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X ， 则X 的可能取值为0，20，40，60，80，100，120，140， P(X ＝0)=23×34×14=648， P(X ＝20)=23×14×14=248，P(X ＝40)=13×34×14=348， P(X ＝60)=13×14×14=148， P(X ＝80)=23×34×34=1848，P(X ＝100)=23×14×34=648， P(X ＝120)=13×34×34=948，P(X ＝140)13×14×34=348， X 的概率分布列为：期望E(X)=0×648+20×248+40×348+60×148+80×1848+100×648+120×948+140×348=2353．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）设事件A 表示“这名同学上学路上在第一个路口遇到红灯”，事件B 表示“这名同学上学路上在第二个路口遇到红灯”，事件C 表示“这名同学上学路上在第三个路口遇到红灯”，则P(A)=13，P(B)=14，P(C)=34，这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率：P(A ¯B ¯C)＝P(A ¯)P(B ¯)P(C)，由此能求出结果． （2）记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X ，则X 的可能取值为0，20，40，60，80，100，120，140，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望E(X)． 【解答】设事件A 表示“这名同学上学路上在第一个路口遇到红灯”， 事件B 表示“这名同学上学路上在第二个路口遇到红灯”， 事件C 表示“这名同学上学路上在第三个路口遇到红灯”， 则P(A)=13，P(B)=14，P(C)=34，∴ 这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率： P(A ¯B ¯C)＝P(A ¯)P(B ¯)P(C) =23×34×34=38；记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X ， 则X 的可能取值为0，20，40，60，80，100，120，140， P(X ＝0)=23×34×14=648，P(X ＝20)=23×14×14=248， P(X ＝40)=13×34×14=348，P(X ＝60)=13×14×14=148， P(X ＝80)=23×34×34=1848， P(X ＝100)=23×14×34=648，P(X ＝120)=13×34×34=948， P(X ＝140)13×14×34=348，X 的概率分布列为：期望E(X)=0×648+20×248+40×348+60×148+80×1848+100×648+120×948+140×348=2353．【答案】若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1, a 2}， 则A ＝⌀，{a 1}，{a 2}，则(A, B)的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 21种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝⌀，此时(A, B)的个数为C 21×1＝2． 综上，(A, B)的个数为5．集合M 有2n 个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A, B)的个数为2n (2n −1)． 若A 的元素个数与B 的元素个数一样多， 则不同的有序集合对(A, B)的个数为： C n 0(C n 0−1)+C n 1(C n 1−1)+C n 2(C n 2−1)+⋯+C n n (C n n −1)=(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2−(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n )，又(x +1)n (x +1)n 的展开式中x n 的系数为(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2，且(x +1)n (x +1)n ＝(x +1)2n 的展开式中x n 的系数为C 2n n，所以=(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2=C 2n n ，因为C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n=2n ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A, B)的个数为C 2n n−2n ．所以当A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A, B)的个数为：2n (2n −1)−(C 2nn −2n )2=22n −C 2nn2．【考点】 子集与真子集 【解析】（1）若集合B 含有2个元素，则(A, B)的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 21种，(A, B)的个数为C 21×1＝2．由此能求出(A, B)的个数．（2）集合M 有2n 个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A, B)的个数为2n (2n −1)．若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A, B)的个数为(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2−(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n )，由此能求出当A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A, B)的个数． 【解答】若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1, a 2}， 则A ＝⌀，{a 1}，{a 2}，则(A, B)的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 21种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝⌀，此时(A, B)的个数为C 21×1＝2． 综上，(A, B)的个数为5．集合M 有2n 个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A, B)的个数为2n (2n −1)． 若A 的元素个数与B 的元素个数一样多， 则不同的有序集合对(A, B)的个数为： C n 0(C n 0−1)+C n 1(C n 1−1)+C n 2(C n 2−1)+⋯+C n n (C n n −1)=(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2−(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n )，又(x +1)n (x +1)n 的展开式中x n 的系数为(C n 0)2+(C n 1)2+(C n 2)2+⋯+(C n n )2，且(x +1)n (x +1)n ＝(x +1)2n 的展开式中x n 的系数为C 2n n，所以=(C n0)2+(C n1)2+(C n2)2+⋯+(C n n)2=C2n n，因为C n0+C n1+C n2+⋯+C n n=2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A, B)的个数为C2n n−2n．所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A, B)的个数为：2n(2n−1)−(C2n n−2n)2=22n−C2n n2．。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1．已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =I _________. 【答案】{3}【解析】由交集的定义{3}A B ⋂=，应填答案{3}． 2．已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.【解析】由已知得21i z i+=-,将其整理成1322z i =+,即可求出模.【详解】 解:由题意知, ()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+所以2z ==.故答案为: 2. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.3．某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】 解:平均数()112810119105=⨯++++=. 故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错.4．如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.【答案】4【解析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求. 【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块. 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】2【解析】求出双曲线的右焦点)2,0,令22p=即可求出p 的值. 【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为)2,0.即抛物线()220y px p =>的焦点为)2,0所以2p=,解得p =.故答案为: . 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可． 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球． 从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝25C ＝10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝2232C C +＝4，∴这2只球颜色相同的概率为p ＝410m n ==0.4． 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．7．现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π【解析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得34433r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积. 【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2141433ππ⨯⨯⨯=.设球的半径为r 则34433r π=π,解得1r =.所以表面积为244r ππ=. 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4【解析】由639S S =可得()33319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.【详解】解:()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S =Q ()33319S q S ∴+= 解得,2q =.所以2314a a q ==.故答案为:4. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9．已知1e u r ，2e u u r 是夹角为60o的两个单位向量，1232a e e =+r u r u u r ，122b e ke =-r u r u u r()k R ∈，且a ⋅r ()8a b -=r r则k 的值为_______.【答案】67-【解析】由题意知()()()121212323228a a b e e e e e ke ⋅-=+⋅+-+=r r r r r r r r r ,进而可求k 的值. 【详解】解:()()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ⋅-=+⋅+-+=+⋅++⎡⎤⎣⎦r r r r r r r r r r r r r()()()()221122733822+338cos60221182e k e e k e k k k =++⋅+=++++=+=o r r r r.解得67k =-. 故答案为:67-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ∆的周长为_______. 【答案】5【解析】由题意得()1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知EA EDCB CD=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长. 【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则()1,0A .圆()2222:2819C x y x x y ++-=++= 所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-EA Q 与CB 平行 EA ED CB CD ∴= 即 EA r CEr r-=EA CE r ∴+= 则AEC ∆的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11．如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6tan 13CAD ∠=，则,B C 间的距离_______m .【答案】12【解析】由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠==∠+∠,可得613156611315BC BC BC +=-⨯,进而可求,B C 间的距离.解:由题意知()tan tan 6BC BCBAD DAC BAC AB CD ∠===∠+∠-6tan tan 1315661tan tan 11315BCBC DAC BACBCDAC BAC +∠+∠==-∠⨯∠-⨯,整理得 22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152BC = .9BC CD >=Q ，12BC ∴= 故答案为:12. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12．设曲线()0+1my m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.【解析】求出切线方程为()2120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出来,结合基本不等式即可求解. 【详解】 解:()2'1my x =-+ ()21l mk t ∴=-+ 则切线方程为()()211m m y x t t t -=--++ 整理得()2120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离()()()()()242224222212121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++()()222121m t m t ++≥+Q ,当且仅当()()22211m t t +=+即1t =±时等号成立2112d ∴≤+=即d ≤故答案为.本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理.13．已知函数3cos()2y x ππ=+，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是_______. 【答案】31326t <≤或52t > 【解析】由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】 解:3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 令m x π=.则由55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭可得5,6m t ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则5sin ,,6y m m t ππ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为12 则31326t πππ<≤,解得31326t <≤ 若最大值为1,则52t ππ>,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52t >. 故答案为: 31326t <≤或52t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14．已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______.【答案】{3,5}【解析】由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求. 【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,4()1111f x x =----,5()11111f x x =-----.则其函数图像为由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}. 【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折.二、解答题15．在平面直角坐标系xOy 中，设向量)()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈rr .（1）若a b =r r，求x 的值；（2）求a b ⋅r r的最大值及取得最大值时x 的值.【答案】(1)6π或56π;(2)最大值32,3x π=. 【解析】(1)求出||,||a b r r ,由||||a b =r r 可得1|sin |2x =,结合[0,]x π∈可求出所求.(2) 1sin 262a b x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭r r ,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时x 的值. 【详解】解:(1)因为3,sin ),(cos ,sin )a x x b x x ==r r所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=r r因为||||a b =r r ,所以1|sin |2x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =于是6x π=或56π. (2)23sin cos sin a b x x x ⋅=+r r311sin 2cos 2222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,于是113sin 22622x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭. 所以当226x ππ-=,即3x π=时,a b ⋅r r 取最大值32. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行. (2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直. 【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点 取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,112OF BB =. 在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ⊄平面1EDB ,EF ⊂平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ⊂平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 为正方形 所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.又1B B ⊂平面1B BD ,BD ⊂平面1B BD ,1B B BD B ⋂=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ⊂平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD . 【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22221,0x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点，且7AB =，右准线l 的方程为4x =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.【答案】(1)22143x y +=330x y --=330x y +-=.【解析】(1)由右准线l 的方程为4x =以及AB =可列出方程组22224a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩解得即可求出椭圆的方程.(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭;联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,从而可求出k =,进而可求直线的方程. 【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.由题意得22224a c a b c⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎩,解得224,3a b ==. 所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-联立22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 得()2222431616120k x k x k +-+-=. 又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则228643P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点2228612,4343k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.联立(2)4y k x x =-⎧⎨=⎩,所以(4,2)Q k . 又以PQ 为直径的圆过原点,所以OP OQ ⊥.则222228612824420434343k k k OP OQ k k k k ---⋅=⋅+⋅==+++u u u r u u u r ,解得23k =,所以k =. 所以直线PQ0y --=0y +-=. 【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直. 18．下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=o .拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：m ）.（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)2222525010100001001020x x x y x x x ⎧-+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为3【解析】(1)由14BEC ABCD S S ∆=Y 可知1124EB h AB h ⋅=⋅,从而证明E 是AB 的中点.(2)求出平行四边形的面积为1003ABCD S =Y ,进而可求253EBF S ∆=从而用x 可将BF 表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,14BEC ABCD S S ∆=Y . 于是1124EB h AB h ⋅=⋅,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得12EB AB =,即点E 是AB 的中点.(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ︒==∠=所以3sin 201010032ABCD S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=Y 由1sin1202532EBF S x BF ︒∆=⋅⋅=,100BF x=.所以EBF ∆中,由余弦定理得y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,由1()10sin 602EBCF S x CF ︒=+⨯⨯=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时,EF = 当BE CF <时,EF =化简均为y EF ==综上,0101020x y x ⎧≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时,y ==于是当52x =时,min y =此时15102CF x =-=. 当1020x ≤≤时,y =≥=当且仅当22100=00x x，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF最短，其长度为【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19．已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.（1）判断函数xy e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.【答案】(1)xy e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.【解析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ∀∈⋅≥即可.(2) ①求出1()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x'==++-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取值范围.【详解】解:(1)对于函数x y e =,定义域为R ,显然000e e ⋅≥不成立,所以xy e =不是“L 型函数”;对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.所以(0,)x ∀∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x+'==+-=++-∈+∞ 所以22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数; 当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ∀∈+∞-=-+--≥(). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x < 所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ∀∈+∞,适合()式.(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1()10g a a=+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ∃∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数所以当()01,x x ∈时,()0<g x ,所以()f x 在()01,x 上为减函数又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合()式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤. 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20．已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .（1）求2a ,3a 的值;（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111ni ib =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n na a S a a ++=-得1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得111(2)n n nb b n b +-=-≥,则当2n ≥时,12111231111111nn n i i nb b b b b b b b b b +==++++=--++∑L ,通过放缩即可证明; 当1n =时,111b ≥.从而可证.【详解】解:(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =.(2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥. 当2n ≥时,112311111ni i nb b b b b ==++++∑L 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-L 12111n n b b b b b +=--++1≥1=,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立. 综上得,111ni ib=≥∑.【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出111(2)n n nb b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 进行求解.21．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ．【答案】【解析】【详解】 设则即此直线即为则..22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，13sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 360x y -+=，圆C 上点P 到直线l 2225(3)1+=+.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++… 【答案】证明见解析【解析】根据柯西不等式()()()2222222112233123123x y x y x y x x x yy y ++≤++++，将原式进行配凑并结合已知条件6a b c ++=加以计算，即可得证； 【详解】证明：因为a,b,c 为正实数，6a b c ++=，所以)22111=++()()1211127a b c ≤++++++===，即3a =，2b =，1c =时取等号，，得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X . 【答案】（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”,所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且()()240125P X p ==-=,()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.25．设4124k k S a a a =+++L （*N k ∈），其中{}0,1i a ∈（1,2,,4i k =L ）．当4k S 除以4的余数是b （0,1,2,3b =）时，数列124,,,k a a a L 的个数记为()m b ． （1）当2k =时，求()1m 的值； （2）求()3m 关于k 的表达式，并化简． 【答案】（1）64；（2）()2134k m -=【解析】（1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而158864m C C =+=；（2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或()41k -个1 ，其余为0，()37114144443k k k k k m C C C C -=++++L ，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当2k =时，数列123,,,,n a a a a L 中有1个1或5个1，其余为0，所以158864m C C =+=．（2）依题意，数列124,,,k a a a L 中有3个1，或7个1，或11个1，…， 或()41k -个1 ，其余为0，所以()37114144443k k k k k m C C C C -=++++L ．第 21 页 共 21 页 同理，得()1594344441k k k k k m C C C C -=++++L ． 因为()4443,7,11,,41i k i k k C C i k -==-L ， 所以()()13m m =．又()()13943414144444132k k k k k k k k m m C C C C C ---+=+++++=L ， 所以()4221324k k m --==【点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题.。
南通中学高三数学练习2020.2.29 - 附加题
高三数学周末卷 2020.2.29数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做， 则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设点(12)，在矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换作用下得到点(26)，． （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（2）若曲线C 在矩阵1-M 对应变换作用下得到曲线22C y x '=：，求曲线C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， 直线l 的极坐标方程为()π2cos 106ρθ++=，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c d ，，，都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）“股市有风险，入市需谨慎.”某股民新入市，经过初步分析相中A ，B ，C ，D 四只股票．已知 该股民购买A 股票的概率为23，购买B ，C ，D 三支股票的概率都是12，且他是否购买四只股 票相互独立.（1）求该股民至多购买一只股票的概率；（2）用随机变量X 表示该股民购买股票的种数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，23a =，满足2211(1)(1)n n n n a n n a n a +--=+--，(2*)n n ∈N ≥，．（1）令1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）试用数学归纳法证明：对于一切2*n n ∈N ≥，3n >．。
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高三数学周末卷 2020.2.29数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A ={024}，，，B ={20}-，，则集合A ∪B = ▲ ．【答案】 {-2，0，2，4}2． 已知复数z 满足(34i)5z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 ▲ ．【答案】353． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比为2: 1: 3．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的产品有18件，则样本容量n 的值为 ▲ ． 【答案】 544． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值是18，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】 65. 函数2ln(2)y x x =+-的定义域是 ▲ ．【答案】(12)-，6. 从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中不含红球的概率是 ▲ ．【答案】3107. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的两条渐近线和一条准线围成的三角形的面积为 ▲ ． 【答案】858． 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为2，△DEF 为过各侧棱中点的截面，O 为上底面A 1B 1C 1内一点，则多面体O -DEF -ABC 的体积为 ▲ ． 【答案】439. 若函数()π()sin 3f x x ω=+(03)ω<<图象的一条对称轴为π3x =，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ． 【答案】4πRead xIf 4x ≤ Then2y x ←+ Else3y x ← End if Print y（第4题）10．若直线20(00)ax by a b -+=>>，和函数log (2)1(01)c y x c c =++>≠且的图象均恒过同一个定点，则4ab a b +的最大值为 ▲ ．【答案】2911．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq 的值是 ▲ ．【答案】212. 如图放置的正三角形ABC ，AB =4，A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴 上滑动，则OA OC ⋅的最大值是 ▲ ． 【答案】1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程：22(1)4x y +-=.过点()00P x x ，存在直线l 被圆C截得的弦长为，则实数0x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】0001x x ≤或≥14. 已知函数30()|2|0⎧>=⎨++<⎩x x f x ax x x ，，，，若函数(1)(1)=-+-y f x f x 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(2)+∞，二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）如图，四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VC ⊥平面BDE ， E 是棱VC 的中点.（1）求证：VA ∥平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDV .【解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，（第15题）ACDOVEx又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE . ……………………3分 又因为OE平面BDE ，VA平面BDE ，所以VA ∥平面BDE ． ……………………6分 （2）因为VC ⊥平面BDE ，又BD ⊂平面BDE ，所以VC ⊥BD ． ……………………8分 因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． ……………………10分 又VO ∩AC =O ，VO ，AC平面VAC ，所以BD ⊥平面VAC . ……………………12分 又因为BD平面BDV ，所以平面VAC ⊥平面BDV . ……………………14分16． （本小题满分14分）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0002A ωϕπ>><，，≤）的图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()2f α=，()3744ππα∈，，求sin α的值． 【解】（1）由图象，3A =且周期()7ππ2444T π=+=，即2π4πω=，所以12ω=，所以()1()3sin 2f x x ϕ=+． …………………… 3分因为()f x 的图象经过点()334π，，所以()3π3sin 38ϕ+=，所以()3πsin 18ϕ+=，又因为02ϕπ<≤，则3319888πππϕ+<≤，所以382ππϕ+=，则8πϕ=，所以()1π()3sin 28f x x =+． ……………………6分（2）由()2f α=，得()1π3sin 228α+=，（第15题）即()1π2sin 283α+=．因为()3744ππα∈，,则1π228παπ<+<, 所以()1πcos 28α+==． ……………………8分因为()()()2111cos cos 212sin 428289πππααα⎡⎤+=+=-+=⎢⎥⎣⎦， ……………………10分()()()()111sin sin 22sin cos 4282828ππππαααα⎡⎤+=+=++=⎢⎥⎣⎦．………12分又因为()()()sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα=+-=+-+=， 所以sin α的值为 ……………………14分【备注】（1）此题源于【苏教版必修4】P 51第15题的改编；（2）第一问中求ϕ时，未交待π4ϕ+的范围扣1分，求错或有增根未舍不得分；（3）第二问中未写公式，每个扣2分.17. (本小题满分14分)如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积 最小，并求出最小面积．【解】（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33， ∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74． ……………………6分（2）设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3．在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA sin ∠OMA ，得OM ＝332sin(θ＋π3)．在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．……………………8分所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43 ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3． ……………………12分当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2………14分18．（本小题满分16分）如图，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M (x 1，0)， 直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2)． （1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程； （3）求12x x⋅的值．【解】（1得21c a a c c⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1a c ⎧=⎨=⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=． ……………………4分 （2）由（1）知(01)C ，，设00()D x y ，， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -，N（第18题）所以l的方程为：1y =+或1y x =+． ……………………8分（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(01)C ，，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，，解得132142x x x =+，2132122x y x -=+．由0)B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ②联立①②得212x x =，从而12x x =2． ……………………16分19. （本小题满分16分）已知函数()()e =-x f x x a （其中R ∈a ，e 为自然对数的底数）． （1）若1=a ，求曲线()=y f x 在1=x 处的切线方程； （2）设函数()()=f xg x x的定义域为(0)+∞，，且()g x 既有极大值又有极小值． ① 求实数a 的取值范围；② 求证：曲线()=y g x 与直线2e =-y 有唯一公共点． 【解】（1）当1=a 时，()(1)e =-x f x x ，所以()e '=x f x x ， 所以1=x 处的切线斜率为(1)e '==k f ，切点为(10)，，所以切线方程为e(1)=-y x ，即e e 0--=x y ． …………4分（2）①因为()e ()-=x x a g x x，所以222(1)e ()e ()e -+⋅---+'==x x xx a x x a x ax a g x x x ， 因为()g x 在(0)+∞，上既有极大值又有极小值， 所以方程()0'=g x 在(0)+∞，上有两个互异实根，所以20-+=x ax a 在(0)+∞，上有两个互异实根． …………6分 记2()=-+h x x ax a ，0>x ，所以24002(0)0⎧=->⎪⎪>⎨⎪=>⎪⎩a a a h a ，，，解得4>a ．经检验，此时()g x 既有极大值又有极小值．所以实数a 的取值范围为(4)+∞，． …………8分 ②当4>a 时，记方程20-+=x ax a 的两根为1212()<x x x x ，，2()()e ϕ=+x g x ． 所以曲线()=y g x 与直线2e =-y 的公共点个数即函数()ϕx 的零点个数． 因为122()()()()e ϕ--''==xx x x x x g x x， …………10分 当10<<x x 时，()0ϕ'>x ；当12<<x x x 时，()0ϕ'<x ；当2>x x 时，()0ϕ'>x ， 所以()ϕx 在1(0)x ，上为增函数；在12()x x ，上为减函数；在2()+∞x ，上为增函数， 所以12111()e ()()e ϕϕ-==+x x a x x x 极大值， …………12分又1212+==x x a x x a ，，所以1211=-x x x ，2111=-x a x ，由21224>+=>x x x a ，得22>x ，所以12121=>-x x x ，所以112<<x ． 所以11211221111()e 1e ()e e 1ϕ--=+=-+-x x x x x x x x ，112<<x ． …………14分 记2e ()e 1φ=-+-xx x ，12<<x ，所以2(2)e ()0(1)φ-=>-xx x x ，即()φx 在(12)，上为增函数，所以()(2)0φφ<=x ，即1()()0ϕϕ=<x x 极大值．结合()ϕx 的单调性易知，()0ϕ<x 在2(0)x ，上恒成立． 又22()()e e 0ϕ=+=>a g a ，由零点存在性定理，知()ϕx 在2()+∞x ，上有唯一零点． 所以曲线()=y g x 与直线2e =-y 有唯一公共点． …………16分 【注】解答中1x 的范围如果写成1112>≠x x 且也可证出结论，亦不扣分．20. （本小题满分16分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k ∈N ，21k a -,2k a ,21k a +成等差数列，其公差为2k ．（1）证明：4a ，5a ，6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记2222323n n n T a a a =++⋯+．证明：3222n n T <-≤(2)n ≥．【解】（1）由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=， 54412a a =+=，65618a a =+=.从而655432a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列. ……………………3分 （2）由题设可得*21214,k k a a k k +--=∈N所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++⨯()*21,k k k =+∈N . 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 ……………………8分（3）证明：由（2）可知()2121k a k k +=+，222k a k =， 以下分两种情况进行讨论： ①当n 为偶数时，设n =2m ()*m ∈N 若1m =，则2222nk kk n a =-=∑，若2m ≥，则()()()22222112211112212214441221nmm m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()11312211222m m n m n⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭. 所以223122nk k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,8,....2nk kk n n a =<-<=∑ ……………………12分②当n 为奇数时，设()*21n m m =+∈N()()()22222222121213142221nm k k k km m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121m n m n =+-=---+ 所以2231221nk kk n a n =-=++∑，从而22322,3,5,7,....2nk kk n n a =<-<=∑综合①和②可知，对任意*2,,n n ≥∈N 有3222n n T <-≤. ……………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．．若多做， 则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设点(12)，在矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换作用下得到点(26)，． （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（2）若曲线C 在矩阵1-M 对应变换作用下得到曲线22C y x '=：，求曲线C 的方程． 【解】（1）因为0120226a a b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以a =2，b =3． …………………… 2分 所以2003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，det()6=M ，所以1310062120036-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ． …………………… 5分 （2）设曲线C 上任意一点()x y ，在矩阵1-M 对应变换作用下得到点()x y ''，， 则102103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以1213x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，． …………………… 7分 又点()x y ''，在曲线C '上，所以2()2y x ''=，即29y x =．所以曲线C 的方程为29y x =． ……………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， 直线l 的极坐标方程为()π2cos 106ρθ++=，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线l10y -+= …………………… 4分所以圆心到直线的距离为12d = …………………… 6分所以AB == …………………… 10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c d ，，，都是正实数，且1a b c d +++=，求证:2222111115a b c d a b c d +++++++≥． 【证明】因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d =+++=，…………………………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++++++≥． …………………………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）“股市有风险，入市需谨慎.”某股民新入市，经过初步分析相中A ，B ，C ，D 四只股票．已知 该股民购买A 股票的概率为23，购买B ，C ，D 三支股票的概率都是12，且他是否购买四只股 票相互独立.（1）求该股民至多购买一只股票的概率；（2）用随机变量X 表示该股民购买股票的种数，求X 的概率分布和数学期望()E X ． 【解】（1）记“该股民购买i 只股票”为事件i A ，0,1i =，则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=， 所以该股民至多购买一只股票的概率为()()0115124244P A P A +=+=．……………………4分 （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， ……………………8分所以X 的概率分布为故()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………10分 23.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，23a =，满足2211(1)(1)n n n n a n n a n a +--=+--，(2*)n n ∈N ≥，． （1）令1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）试用数学归纳法证明：对于一切2*n n ∈N ≥，3n >．【解】（1）当2n ≥时，2211(1)(1)n n n n a n n a n a +--=+--， 整理得211(1)()()n n n n n a a n a a +---=-， 即21(1)n n n b n b --=，所以1(2)1n n b bn n n n -=⋅≥- 令nn b c n=，11b =，11c =，1(2)n n c nc n -=≥ 当2n ≥时，12121(1)1!n n n n c c c n n n c c c ---⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅=，即!n c n =． 当1n =时，11c =，符合，所以!n c n =，所以!n b n n =⋅． ……………………4分（2）由（1）得1!n n n b a a n n +=-=⋅， 所以11(1)!!1!1n n a n a n a +-+=-==-=，所以{!}n a n -是常数列，即!1n a n =+.3n>，即证!3n n n n >.下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，11!3>显然成立.（2）假设(*)n k k N =∈时成立，即!3kk k k >，当1n k =+时，11(1)3(1)!(1)!(1)33(1)k k kk k k k k k k k k k k ++++=+⋅>+⋅=⋅+，即证(1)3k k k k +<⋅即可，即证1(1)3(*)k k N k +<∈.因为1221111(1)1k k k k k k C C C k k k k+=+⋅+⋅++⋅2211111r kk k kr kC C C k k k =++⋅++⋅+⋅， 因为当r ≥3时，1(1)(1)1!r k r r k k k r C k r k--+⋅=⋅1111!(1)212r r r r -<=<-⋅， 所以原式11111112482r -<++++++1121()32r -=+-<，得证. ……………………10分。