《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例

典型例题一

例1 讨论

19252

2=-+-k

y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9

解：（1）当9-k ，09>-k ，

所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．

（2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，

k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）25

说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

典型例题二

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭

⎫

⎝⎛-5316，

Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．

（3）与双曲线14

162

2=-

y x 有相同焦点，且经过点()

223， 解：（1）设双曲线方程为12

2=+

n

y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1

259256116225

9n

m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m

∴所求双曲线方程为19

162

2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，

∴设所求双曲线方程为：162

2

=--

λ

λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164

25

=--

λ

λ

∴5=λ或30=λ（舍去）

∴所求双曲线方程是15

22

=-y x

说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

（3）设所求双曲线方程为：

()16014162

2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()

223，

，∴144

1618=++-λ

λ ∴4=λ或14-=λ（舍）

∴所求双曲线方程为18

122

2=-

y x 说明：（1）注意到了与双曲线

14

162

2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162

2=+--λ

λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

典型例题三

例 3 已知双曲线116

92

2=-

y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F

∠的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．

解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF

∴362212

22

1=-+PF PF PF PF ∴1002

2

2

1=+PF PF ∵()

100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F

说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化． （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．

典型例题四

例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足

9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．

分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．

解：∵P 为双曲线14

22

=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．

∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F

∴在21F PF Rt ∆中，202

212221==+F F PF PF ∵()162212

22

12

21=-+=-PF PF PF PF PF PF

∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴12

1

2121=⋅=

∆PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．

典型例题五

例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a

∴16435222222==-=-=a c b

∴所求方程116

92

2=-

y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．

（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．

典型例题六

例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21

sin sin =-，求点A 的轨迹．

分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？

解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．

设()y x A ，，由A B C sin 2

1

sin sin =-及正弦定理可得：

121

==-BC AC AB

∵2=BC

∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

()00122

22>>=-b a b

y a x ， ∴12=a ，22=c ∴2

1

=

a ，1=c