§3.3 两平面的相关位置

§3.3 两平面的相关位置

一、位置关系

1.两平面的位置关系有：相交，平行，重合三种.

2.设两平面πi：A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1,2) , 则π1, π2的法矢量为

＝{A1, B1 ,C1}, ＝{A2, B2, C2}.

(1)π1, π2相交的充要条件是: A1:B1:C1 ≠A2:B2:C2（与不平行）.

(2)π1, π2平行的充要条件是: ＝＝≠ (∥).

(3)π1, π2重合的充要条件是: ＝＝＝ (∥).

二、夹角

1.

如图3-5, 在{O;,,}下，两平面的夹角为：∠(π1, π2)＝θ或 (π－θ)，其中θ＝∠(,), (i＝1, 2)是平面πi的法矢量，从而

cos∠(π1, π2)＝±cosθ＝±＝±.

2. 两平面π1与π2相互垂直的充要条件是：⊥即

A1A2＋B1B2＋C1C2＝0.

例 1. 由cos∠(π1, π2)＝±，证明π1//π2的充要条件

是＝＝.

证明：因为π1//π2 （∠(π1, π2)＝0或π）, 所以 cos∠(π1, π2)＝±1,

所以

±＝±1,

平方得 (A1A2+B1B2+C1C2)2＝(A21+B12+C21)(A22+B22+C22),

A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2

＝A21A22+B12B22+C21C22+A21B22+A21C22+A22B12+A22C21+B12C22+B22C21,

整理得

(A1B2－A2B1)2＋(B1C2－B2C1)2＋(C1A2－C2A1)2＝0,

所以A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0,

从而.

例2. 求过一点P0(x0, y0, z0)且垂直于两相交平面

A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0

的平面方程.

解：由于已知两平面相交, 所以它们的法矢量＝{A1, B1 ,C1},＝{A2, B2, C2}不共线，从而可作为所求平面的方位矢量，由平面的点位式方程就有

＝0.

例3. 设三平行平面

πi：Ax+By+Cz+D i＝0 (i=1, 2, 3),

L, M, N是分别属于平面π1,π2, π3的任意点，求△LMN的重心的轨迹.

解：设点L, M, N的坐标分别为(x i, y i, z i)(i=1, 2, 3), 则△LMN的重心坐标为

x＝(x1＋x2＋x3), y＝(y1＋y2＋y3), z＝(z1＋z2＋z3),

因为L, M, N分别属于π1,π2, π3，

所以Ax i+By i+Cz i+D i＝0 (i=1, 2, 3).

两边对i求和得

A(x1+x2+x3)+B(y1+y2+y3)+C(z1+z2+z3)+(D1+D2+D3)＝0

或 3Ax+3By+3Cz+(D1+D2+D3)＝0,

所以所求轨迹为

Ax+By+Cz+(D1+D2+D3)＝0.

它是平行于πi (i=1, 2, 3)的一个平面.

例4. 证明两平行平面Ax+By+Cz+D i＝0 (i＝1, 2) 间的距离为

d＝.

证明：设P(x0, y0, z0)是Ax+By+Cz+D1＝0上一点，即Ax0+By0+Cz0+

D1＝0，则两平面间距离就是P到平面Ax+By+Cz+D2＝0的距离，所以

d＝＝.

作业题：

1. 判别下列各对平面的相关位置：

（1）x+3y+6z+2＝0与x+y+2z+1＝0，

（2）2x－2y+z－5＝0与x－y + z－1＝0.

2. 求两平面x + y－10＝0与x+1＝0的夹角.

3. 求两平行平面3x+6y－2z+7＝0与3x+6y－2z+14＝0间的距离.

4. 证明从原点到三平面－x＋y＋z＝a, x－y＋z＝a, x＋y－z＝a(a>0)的距离相等.