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解三角形与等差数列阶段测试

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解三角形和数列

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数列和解三角形大题专练1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a，并证明数列是等差数列；1(2)若，求正整数k的所有取值．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n(b≠0)的一条线段．已知{a n}由定义．(1)用b表示a1，a2；(2)若b=2，记T n=a1+2a2+⋯+na n，求证：．7．(2023•邵阳二模)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1=S n+4a n-3，记b n=log2(a n-1)+3．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)已知，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a2及数列{a n}的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．118．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题(共20小题)1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．【解答】解：(1)证明：∵na n+1=2S n+n，+n-1，n≥2，∴(n-1)a n=2S n-1两式相减得：na n+1-(n-1)a n=2a n+1，∴na n+1=(n+1)a n+1，+1)=(n+1)(a n+1)，∴n(a n+1∴，(n≥2)，又a2=2S1+1=2a1+1=3，∴，上式也成立，∴数列为常数列；(2)由(1)得，∴a n=2n-1，∴=，∴，两式相减得=，∴．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．【解答】解：(1)a2=7，对任意的自然数n，恒有，可得n=1时，a1=2a1-3，解得a1=3；n=2时，2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6，解得a1=3；n=3时，3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9，解得a3=11．当n≥2时，na n=2S n-3n变为(n-1)a n-1=2S n-1-3(n-1)，两式相减可得(n-2)a n=(n-1)a n-1-3，当n≥3时，上式变为(n-3)a n-1=(n-2)a n-2-3，上面两式相减可得a n+a n-2=2a n-1，且a1+a3=2a2，所以数列{a n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a n=3+4(n-1)=4n-1；(2)集合A={x|x=4n-1，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，集合A∪B中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是{b n}中前102项中的元素，且是A∩B中的元素，所以T102=(a1+a2+a3+...+a100)+9+81=×100×(3+400-1)+90=20190．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．【解答】解：(1)T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=，可得n≥2时，==，即为=，两边取3为底的对数，可得(n-1)log3a n=n log3a n-1，即为==...==1，所以log3a n=n，则a n=3n，对n=1也成立，所以a n=3n，n∈N*；(2)b n===1-，数列{b n}的前n项和为S n=n-(++...+)>n-2(++...+)=n-1+，所以S2023>2023-1+=2022+>2022，又S2023=2023-(+...+)<2023，所以[S2023]=2022．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a1，并证明数列是等差数列；(2)若，求正整数k的所有取值．【解答】解：(1)证明：∵①，∴当n=1时，S1+2=2a1+1，解得a1=1，当n≥2时，S n-1+2n-1=2a n-1+1②，由①-②得a n+2n-1=2a n-2a n-1，即a n-2a n-1=2n-1，∴-=，又，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；(2)由(1)得=+(n-1)=n，即a n=n•2n-1，∴S n=1+2×2+3×22+...+n•2n-1③，2S n=2+2×22+3×23+...+n•2n④，由③-④得-S n=1+2+22+...+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)2n-1，∴S n=(n-1)•2n+1，则S2k=(2k-1)•22k+1，2=k2•22k-1，∵，∴k2•22k-1<(2k-1)•22k+1，即k2-4k+2-<0，令f(x)=x2-4x+2-，∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递减，y=-在(2，+∞)上单调递减，∴f(x)=x2-4x+2-在(2，+∞)上单调递减，又f(1)=1-4+2-=-<0，f(2)=4-8+2-=-<0，f(3)=9-12+2-=-<0，f(4)=2->0，要使，即f(x)<0，故正整数k的所有取值为1，2，3．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．【解答】解：(1)∵，∴n≥2时，S1+2S2+⋯+(n-1)S n-1=(n-1)3，相减可得：nS n=n3-(n-1)3，可得S n=3n-3+，n=1时，a1=S1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-3+-[3(n-1)-3+]=3+-，n=1时，上式不满足，∴a n=．(2)证明：n=1时，b1=1，n≥2时，b n=na n=3n+1-=3n-，当n≥3时，数列{b n}的前n项和为T n=1+6-1+3×(3+4+⋯+n)-(++⋯+)=6+3×-(++⋯+)=-3-(++⋯+)，要证明当n≥3时，，即证明当n≥3时，1≤++⋯++，令f(n)=++⋯++-1，n=3时，f(3)=0成立，而f(n)单调递增，因此当n≥3时，1≤++⋯++成立，即当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)函数y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n (b ≠0)的一条线段．已知数列{a n }由定义．(1)用b 表示a 1，a 2；(2)若b =2，记T n =a 1+2a 2+⋯+na n ，求证：．【解答】解：(1)由题意可得，，，解得：，；证明：(2)当b =2时，由，得，∴，则，∴T n =a 1+2a 2+⋯+na n =(1+2+...+n )-()=()，令P n =，则，∴==，∴，则>．7．(2023•邵阳二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n +1=S n +4a n -3，记b n =log 2(a n -1)+3．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：．【解答】解：(1)由S n +1=S n +4a n -3，可得S n +1-S n =4a n -3，即a n +1=4a n -3，即有a n +1-1=4(a n -1)，可得a n -1=(a 1-1)•4n -1=4n -1，则b n =log 2(a n -1)+3=log 24n -1，+3=2n +1；(2)证明：=(-1)n +1•=(-1)n +1•(+)，当n为偶数时，T n=(+)-(+)+...-(+)=(-)，由{-}在n∈N*上递增，可得T n≥T2=(-)=；当nn为奇数时，T n=(+)-(+)+...+(+)=(+)，由>0，可得T n>>．所以．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．【解答】解：(1)∵a i=n2，b i=()n2+n，∴n≥2时，a n=n2-(n-1)2=2n-1，b n===3n．n=1时，a1=1，b1=3，满足上式，∴a n=2n-1，b n=3n．(2)a n b n=(2n-1)3n．∴a i b i=T n=3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)3n，3T n=32+3×33+⋯+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，相减可得：-2T n=3+2(32+33+⋯+3n)-(2n-1)3n+1=3+2×-(2n-1)3n+1，化为：T n=(n-1)3n+1+3，即a i b i=(n-1)3n+1+3．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：(1)因为a n+1=S n+1-S n，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即：．当n≥2时，，a1=1也适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．(2)由(1)知，，所以，因为b n>0，所以T n随着n的增大而增大，所以，又显然，所以，即T n的取值范围为．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a及数列{a n}的通项公式；2(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，当n=2时，S2+2=2a2，即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，当n≥2时，由S n+2=2a n，可得S n-1+2=2a n-1，两式相减，可得a n=2a n-2a n-1，整理，得a n=2a n-1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2•2n-1=2n，n∈N*．(2)由(1)可得，，，在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，则有a n+1-a n=(n+1)d n，∴，∴，∴T n=++•••+=+++•••+，，两式相减，可得T n=+++•••+-=1+-=-，∴T n=3-．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．【解答】解：(1)S n=2a n-n+1⋯①，则S n+1=2a n+1-(n+1)+1⋯②，②-①，得a n+1=2a n+1-2a n-1，即a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即，令S n=2a n-n+1中n=1，得S1=a1=2a1-1+1，解得a1=0，则a1+1=1，∴{a n+1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，则，∴，且，∴当n为偶数时，，即，∴b1+b2+⋯+b14=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b12+b13)+b14=1+21-1+23-1+⋯+211-1+212-1=．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．【解答】解：(1)∵2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，∴由正弦定理得2sin C sin A cos B+2sin B sin A cos C=3sin A，∵sin A>0，∴sin C cos B+sin B cos C=，∴sin(B+C)=，∵A+B+C=π，∴sin A=，∵c>a，∴；(2)∵，则，b=2，BC边上中线AD=，故，解得，∴．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．【解答】解：(1)∵sin2A=sin B sin C，∴在锐角△ABC中，由正弦定理得a2=bc，∴，∵0<A≤，故角A的最大值为；(2)由(1)得，则C=-B，则=，在锐角△ABC中，<B<，∴B+∈(，)，∴sin(B+)∈(，)，故2cos B+cos C的取值范围为(，)．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．【解答】解：(1)因为=1，∴b cos C+b sin C-a-c=0，根据正弦定理可得：sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0又A+B+C=π，∴sin B cos C+sin B sin C-sin(B+C)-sin C=0，∴sin B sin C-cos B sin C-sin C=0，又C∈(0，π)，∴sin C>0，∴，∴，又B∈(0，π)，∴，∴，∴；(2)∵△ABC内切圆的面积为π，所以内切圆半径r=1．由于，∴，①由余弦定理得，b2=(a+c)2-3ac，∴b2=48-3ac，②联立①②可得，即，解得或(舍去)，∴．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．【解答】解：(1)△ABC中，，所以+=，由正弦定理得，=，因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，所以=；又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B=cos B，即tan B=，又因为B∈(0，π)，所以B=．(2)因为D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，所以∠BDC=2θ，AD=BD=3，DC=1，AC=4，在△ABC中，由正弦定理得，=，所以BC==8sinθ，在△BDC中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD•CD cos2θ=10-6cos2θ，所以64sin2θ=10-6cos2θ，所以52sin2θ=4，解得sin2θ=，又因为θ∈(0，)，所以sinθ=．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．【解答】解：(1)由，得2sin B sin(A+)=sin A+sin C=sin A+sin A cos B+ cos A sin B，∴sin A sin B+sin B cos A=sin A+sin A cos B+cos A sin B，∴sin B-cos B=2sin(B-)=1，又B∈(0，π)，∴B-=，∴B=，∵，∴∠ADB=，在△ABD中，由正弦定理得=，∴=，解得AD=；(2)设CD=t，则BD=2t，又S△ABC=3，∴×2×3t×=3，解得t=2，∴BC=3t=6，又AC===2，在△ABD中，由正弦定理可得=，∴sin∠BAD=2sin∠ADB，在△ACD中，由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC，∴==2．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．1【解答】解：(1)∵BC⊥CD，∴，，，，，∴sin∠ADC=sin(∠BDC+∠ADB)=sin∠BDC cos∠ADB+cos∠BDC sin∠ADB=；(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，∴，∴，∴①，==，当且仅当，时取最大值，综上，，的最大值是．18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．【解答】证明：(1)∵a，∴，∴a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b，∴由正弦定理可得，sin A(1+cos C)+sin C(1+cos A)=3sin B，∴sin A+sin A cos C+sin C+sin C cos A=3sin B，∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，∵A+B+C=π，∴sin A+sin C+sin B=3sin B，∴sin A+sin C=2sin B；(2)∵sin A+sin C=2sin B，∴a+c=2b，∵b=2，∴a+c=4①，∵，∴bc cos A=3，∴a2=b2+c2-2bc•cos A，即a2=4+c2-6，∴c2-a2=2，即(c-a)(c+a)=2，∴c-a=②，联立①②解得，a=，c=，∴，∴sin A=，∴S△ABC===．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．【解答】解：(1)左边=，右边=，由题意得⇒sin(B+C)+cos(B +C)=0⇒tan(B+C)=-1，即tan A=1，又因为0<A<π，所以；(2)由，由余弦定理得，，，当且仅当b=c 时取“等号”，而，故．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．【解答】证明：(1)∵c-2b cos A=b，∴由正弦定理可得，sin C-2sin B cos A=sin B，∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sin C，∴sin(A+B)-2sin B cos A=sin A cos B+cos A sin B-2sin B cos A=sin B，∴sin(A-B)=sin B，∵△ABC为锐角三角形，∴A∈(0，)，B∈(0，)，∴A-B∈，∵y=sin x在(-，)上单调递增，∴A-B=B，即A=2B；(2)解：∵A=2B，∴在△ABD中，∠ABC=∠BAD，由正弦定理可得，=，∴AD=BD=，∴=，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴△ABD面积的取值范围为()．。

2020届 人教A版解三角形-单元测试

2020届 人教A版解三角形-单元测试
2
则 c = 7 3．
故选 D．
【点睛】
本题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．在 ABC 中，已知 AB= 2 AC，∠B=30°，则∠A= ( )
A．45°
B．15°
C．45°或 135°
D．15°或 105°
【答案】D
【解析】
试题分析：由正弦定理可解得 sinC，结合范围 C∈（0，180°），可得 C，利用三角形
A.30 2海里
B.30 3海里
C.45 3海里
D.45 2海里
【答案】B
【解析】略
3．在△
ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
a
=
5，π
3
<
C
<
π，若 b
2 a−b
=
sin 2C ，
sin A−sin 2C
则 c 等于
A． 5 B． 3 C．3 D．5 【答案】D
【解析】
【分析】
由π < C < π，故利用正弦定理将条件 b = sin 2C 中边化成角，然后变形可得 sinB = sin2C，
试 题 分 析 ：∵ 在 △ABC 中 ， a 2，A 45 ， 且 此 三 角形 有 两 解 ， ∴ 由 正 弦 定 理 a b 2 2 ，∴ b 2 2 sin A ，B C 180 45 135 ，由 B 有两个值，
sin A sin B 得到这两个值互补，若 B 45 ，则和 B 互补的角大于等于135 ，这样 A B 180 ，
∵AD1∥BC1，∴∠AD1P 为 D1P 与 BC1 所在的直线所成的角，在ΔAD1P 中，

高二数学 解三角形与等差数列阶段练习一 新人教A版

高二数学 解三角形与等差数列阶段练习一 新人教A版

高二年级阶段练习一：解三角形与等差数列一．填空题(每小题5分，共70分；答案写在题后的表格中) 姓名：___________学号： ____ 1、已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于_______________2、在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =__________3、数列{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{n b }是首项为-2，公差为4的等差数列。

若n n a b =，则n 的值____________4、在△ABC 中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a cb +-=，则角B 的值为__________ 5、关于等差数列，有下列四个命题（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数 （2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{n a }是等差数列，则数列{n ka }也是等差数列 （4）若数列{n a }是等差数列，则数列{2n a }也是等差数列,其中是真命题的个数为_________________6、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =______7、在等差数列{n a }中,,m n a n a m ==,则m n a +的值为_____________8、在等差数列{a n }中，若14725839,33a a a a a a ++=++=,则369a a a ++的值为_________ 9、在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为10、一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为________11、一个凸n 边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n 的值为__________ 12、已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为_______ 13、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S=_____14、若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有 项1．___________________ 2．___________________ 3．___________________ 4．___________________ 5．___________________ 6．___________________ 7．___________________ 8．___________________ 9．___________________ 10．__________________ 11．__________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________15、在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．16、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若5CB CA 2⋅=，且9a b +=，求c ．17、如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。

高一数学解三角形试题

高一数学解三角形试题

高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【答案】【解析】根据题意,因为是最大角,所以角只能是,所以是钝角三角形．【考点】特殊函数值;三角形的判断．3.两地相距，且地在地的正东方。

一人在地测得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地测得建筑在北偏东，建筑在北偏西，则两建筑和之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABD中又∴点A、B、C、D四点共园，圆心是BC的中点(在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等) ，同理在Rt△ABC中，在Rt△BCD中【考点】解三角形4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.在某次测量中，A在B的北偏东，则B在A的方向.【答案】南偏东【解析】根据题意，由于在某次测量中，A在B的北偏东，则可知B在A的南偏东方向.可知答案为南偏东【考点】方位角点评：主要是考查了方位角的求解，属于基础题。

6.对于,有如下命题：①一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；则其中正确命题的序号是 . (把所有正确的命题序号都填上)【答案】①②③【解析】根据题意，由于①结合投影的定义可知，一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；利用解三角形方程可成立③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；利用解三角形可知成立，故可知答案为①②③【考点】解三角形点评：考查了解三角形的运用，属于基础题。

7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。

解三角形与数列测试题(含答案)

解三角形与数列测试题(含答案)

阶段性检测模拟数 学 试 题一一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分.每小题有且只有一个正确答案.）1、已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ).A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°3、等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( ).A.3B.5C.7D.94、等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 125、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( ).A.3B.4C.5D.66、如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定 7、已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ). A. 24 B. 26 C. 27 D. 288、在∆ABC 中，AB=3，13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）. A ．322 B 33 C ．32D ．339、已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）.A.21B.20C.19D. 1810、等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n－1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于( ).A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n11、已知两线段2a =，22b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.A ．(,)63ππB ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π12、对正整数m 的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若3m 的“分裂”中最小的数是211, 则m 的值是（ ）.A.13B.15C.17D.19二、填空题：（共4小题，每小题4分，满分16分，请将正确答案填写在答题纸上.） 13、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． 14、在△AB C 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且C ab B ca A bc c cos cos cos 2++=, 则△ABC 的形状为____________.15、三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长 分别是________．16、已知数列{}n a 满足233313221na a a a n n =+⋅⋅⋅+++-，则=n a ． 三、解答题：（共6小题，满分74分，要求写出必要的文字说明、推演步骤或证明过程.） 17、（本小题12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =5c =，求b ．18、（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且角B ，A ，C 成等差数列.（Ⅰ）若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； （Ⅱ） 若a ＝3，b+c=3，求△ABC 的面积．19、（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和2322+1n S n n =-+，（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式．（Ⅱ）求数列{|n a |}的前n 项和n T .20、（12分）如图，某海轮以60 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．21、（本小题12分）设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n na ab -=+ .221+=+n n b b（Ⅰ）求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比), （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.22、（14分）已知等比数列{n a }的首项为l ，公比q ≠1，n S 为其前n 项和，a l ，a 2，a 3分别为某等差数列的第一、第二、第四项． (I)求n a 和n S ；(Ⅱ)设21n n b log a +=，数列{21n n b b +}的前n 项和为T n ，求证：34n T <.【参考答案】 一、选择题1C 2D 3A 4C 5B 6A 7B 8B 9B 10D 11D 12B 二、填空 13.1514.直角三角形 15.5和316. 1123n -⋅三、简答题17.（1）（2）18.（Ⅰ）（Ⅱ）19.20.21. （Ⅰ）（Ⅱ）22.。

(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)(2)

(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．62．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣ B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==，B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ） A ．22B ．2C ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．49．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．65 11．在ABC 中，若2a =，23b =，30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒12．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<二、填空题13．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.14．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.17．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =DC 的长度； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若32b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 23．在ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为a b c 、、，且,,a b c 满足5cos 44cos 5sin sin cos a B b cB A BC -=+.（1）求cos A ；（2）若3a =，求b c +的最大值.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =.（1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为232+S .25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．2．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin 222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin AC BCB A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a bA B=， 即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠， 设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=， 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=， 因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 28ABC S AC AB BAC =⋅∠=，【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.14．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值.【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形， 所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BD CBD BCD=∠∠， 所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()13sin sin 60sin 2θθθθ=-=-，即7sin 2θθ=，sin tan cos θθθ==.【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-， 整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=， 即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==． 再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B=，根据正弦定理：sin sinb cB C=，∴=c，根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-，又222a b=，故可联立方程：222222cos2ca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A=..【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB∠与BAC∠，求出ABC∠的度数，根据sin ACB∠，sin ABC∠，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．【详解】解：在ABC∆中，50AC m=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，则由正弦定理sin sinAB ACACB ABC=∠∠，得：50sin21sin2AC ACBABABC∠===∠．故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解AB BC⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为3-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b a ab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=，即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠；sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-， 因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， ∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）7；（2 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度； （2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==， ∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去； 当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意． ∴5BD =． 在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==， ∴12BC =或3BC =-（舍）．∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠=【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.22．（1）π4A =；（2）a =3AD =． 【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos A C A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos A A A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =． （2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.23．（1）45-；（2 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得4cos 5A =-，根据余弦定理，可得25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，根据基本不等式，即可求得b c +的最大值.【详解】（1）由题意得5cos cos 4cos 4cos 5sin sin a C B b C c B c A B -=+， 正弦定理边化角得：5sin cos cos 4sin cos 4sin cos 5sin sin sin A C B B C C B C A B -=+，所以5sin (cos cos sin sin )4(sin cos sin cos )A C B C B C B B C -=+，所以5sin cos()4sin()A B C B C +=+，又A B C π++=，所以sin()sin()sin ,cos()cos()cos B C A A B C A A ππ+=-=+=-=-，所以5sin cos 4sin A A A -=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠， 所以4cos 5A =-. （2）由（1）可得4cos 5A =-， 由余弦定理得2222()294cos 225b c a b c bc A bc bc +-+--===-， 所以25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦， 由基本不等式可得22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以225()922b c b c +⎛⎫⎡⎤+-≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得b c +≤ 当且仅当b c =时等号成立，所以b c +【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到2sin sin sin B A C =，再变成2b ac =，运用基本不等式可证明解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式2b ac =，再用基本不等式求解即可. （2）用余弦定理求出3cos 4B =，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由已知及正弦定理，得cos cos 1sin sin sin A C A C B += 因为cos cos cos sin cos sin sin()sin sin sin sin sin sin sin sin sin +++===A C A C C A A C B A C A C A c A c所以sin 1sin sin sin =B A c B，2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =，即4ac =.4a c +≥=. 解法二：由已知及余弦定理，得222221222+-+-+=b c a a b c abc abc ，得24==ac b ，所以4a c +≥=.（2）因为ABC 的周长为2+a c +=因为22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅又因为4ac =，所以3cos 4B =得sin B =.所以1sin 2sin 2===ABC S ac B B 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

解三角形、等差数列测试题

解三角形、等差数列测试题

高一理科第二次模块测试数学试题一、选择题 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列}{n a 中，21=a ，2=d ，则=10a （ ） A ． 16 B ． 18 C ． 20 D ．22 2．︒︒︒︒-105sin 15sin 105cos 15cos = ( ) A ．23-B ．21-C ．0D ．13．已知数列1，3，5，7，…，12-n ，… 则21是这个数列的（ ） A ．第10 项 B ．第11 项 C ．第12 项 D ．第21 项4．已知2tan =α，则ααα2cos )cos (sin 2+的值为（ ）A ．4-B ． 4C ． 3D ．3- 5．在数列}{n a 中，满足21+=+n n a a ，11=a ，则=5S ( ) A ． 9 B ． 11 C ． 25 D ．36 6．在∆ABC 中，若︒=60A ，2434==AC BC ，，则=B （ ）A ．︒135B ．︒45C ． ︒︒45135或D ．︒75 7．已知数列满足121-=+n n a a ，且31=a ，则=4a （ ）A ．8B ．15C ．16D ．178．在等差数列}{n a 中，1201210864=++++a a a a a ，则=15S （ ） A ． 300 B ． 360 C ． 375 D ．600 9．在∆ABC 中，B A B A tan tan 33tan tan =++，则C 等于（ ）A ．3π B ． 32π C ．6π D ．4π10．在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cc a B 22c o s 2+=，则∆ABC的形状为（ ）A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 11．在等差数列}{n a 中，若156=n S ，305=-n a ，9911=S ，则=n （ ）A ． 8B ． 9C ． 10D ．1112．在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其外接圆半径为6，)cos 1(312B b -=， 则B cos = ( )A ．121或B ． 23C ． 1D ．21二、填空题 本大题共4小题，每小题5分．13．=-+︒︒︒︒23tan 22tan 123tan 22tan 14．已知数列}{n a 的前n 项和122++=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式为 15．在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A c a sin 23=，且2π<C ，则cba +的最大值为 16．已知等差数列}{n a ，对于函数35)(x x x f +=，满足6)2(2=-a f ，6)4(2012-=-a f ，n S 是}{n a 的前n 项和，则2013S = 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．(本题12分)已知53sin -=α ，且α在第三象限，求ααtan ,cos 的值18．(本题12分)在等差数列}{n a 中， n S 为该数列的前n 项和。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．4532+ 2．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km C ． 3 km D ． 2 km3．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B 415C 215D ．56．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．)3,27．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,2sin 3BAC ∠=,32AB =3BD =, 则cos C ( ) A ．63B ．33C ．23D ．138．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，23BC =ABC 的面积为 A ．3B ．4C ．23D 310．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．2312．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④36cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A ．103mB ．12mC ．122mD ．123m二、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．16．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222b a c ac +-=，3sin B =，则C =__________． 17．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．18．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)2cos cos b a C c A -=．（1）求角C 的大小； （2）若2a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．22．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求tan DAC ∠的值． 24．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,7a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.25．在①2222b ac a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，2b =ABC 的面积.26．已知,,A B C 为ABC 的三内角，且其对边分别为,,a b c ，若()cos 2cos 0a C c b A ++=.（1）求A ；（2）若3a =4b c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABCS SS=+可化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+2113||||sin ||222OA OB AB θ=⋅+⨯⨯()221321sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅ 3sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯ 53sin 3cos θθ=-+532sin 3πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为53853244++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 2．A解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.3．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC 中，由正弦定理得162sin 231sin 22CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.4．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈， 所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：AB =所以A 与B的距离3AB =. 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．6．A解析：A 【分析】 由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围. 【详解】由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 662A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 23A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin A C +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos 3BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin 3ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒3cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，4sin B=，所以sin 1B =， 所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.10．D解析：D【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即222312233h h =+-⋅，解得123h =选①②③④，则3AB h =，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形 13【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.3cos cos S a B b A =+31sin cos cos 2ab C a B b A =+， 31sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=， 即sin 23b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故13a =. 13 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.14．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．15．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力 解析：(3,23)【分析】利用正弦定理得到sin 23A =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 123B A <=<，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.16．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=，整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=，故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.17．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ． 【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒=设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--，CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠，整理得249255BD BD =+-， 解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒， 所以45BDC ∠=︒， 由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin1203BD BC ⋅︒==︒.故答案为：3【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可. 【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴cos 2C =． ∵()0,πC ∈，∴π4C =． （2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--= 化简，得222a b =．又∵a =∴1b =．∴ABC的面积111sin 12222ABC ab C S ==⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．（1）3π；（2） 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】 （1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB ∠＝sin3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠23sin3π4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝3（32cos θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3． 【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.23．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 322222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =52=，得5sin C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，25cos 1sin 5C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 55ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=， 由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， 5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故25sin 25DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 24．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.25．条件选择见解析；ABC【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 2a c b B ac +-===因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以11sin 22ABC S ab C ===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△.（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积． 26．（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2sin cos 0B B A +=，由于sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合()0,A π∈，可求A 的值.（2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵()cos 2cos 0a C c b A ++=，∴由正弦定理可得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ++=， 整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=， 即：()sin 2sin cos 0A C B A ++=， 所以sin 2sin cos 0B B A +=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∵()0,A π∈，∴23A π=.（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∴2212()22cos 3b c bc bc π=+--，即有1216bc =-， ∴4bc =，∴ABC 的面积为112sin 4sin223S bc A π==⨯⨯= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：22()22cos a b c bc bc A =+--、()sin sin A C B +=、()cos cos A C B +=-.。

高一数学周末练习(解三角形和等差数列)3.23答案

高一数学周末练习(解三角形和等差数列)3.23答案

高一数学练习（解三角形和等差数列）201901一、填空题：（本小题共14小题,共70分）1．由a 1＝1，d ＝3确定的等差数列{a n }，当a n ＝298时，n 等于 ．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a ＝ ． 3．已知若a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则△ABC 的面积为 ．4．若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 6的值为 ．5．在△ABC 中，1sin 3A =，cos B =a ＝1，则b ＝ ． 6．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则cos C 的值为 ．7．已知等差数列{a n }的前三项为a ﹣1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项公式为 ．8．在△ABC 中，B ＝45°，c ＝，b ，那么A ＝ ． 9．数列{a n }前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣1（n ∈N *），则a 10＝ ．10．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝ °．11．设等比数列{a n }的公比q ，前n 项和为S n ．若S 3，S 2，S 4成等差数列，则实数q 的值为 ．12，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1＋a m ＋1﹣a m 2＝0，S 2m ﹣1＝38，则m 等于 ． 14．在锐角△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，则边长c 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分）15．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程的两个根，且2cos （A ＋B ）＝1．求：（1）角C 的度数； （2）边AB 的长．16．在等比数列{}n a 中，已知19165a ,a ,,,8324n n S q n ===求．17．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为S n．（Ⅰ）设S k＝2550，求a和k的值；（Ⅱ）设b n＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n﹣1的值．19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮（要的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．画图）（1）A处与D处之间的距离；（2）灯塔C与D处之间的距离．20．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n＝1821，求n的值．高一数学周末练习参考答案201901一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卷对应的位置上） 1．由a 1＝1，d ＝3确定的等差数列{a n }，当a n ＝298时，n 等于 ． 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式，求出a n ＝3n ﹣2，由此能求出结果． 【解答】解：∵由a 1＝1，d ＝3确定等差数列{a n }， ∴a n ＝1＋（n ﹣1）×3＝3n ﹣2，∵a n ＝298，∴3n ﹣2＝98，解得n ＝100． 故答案为：100．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a ＝ ． 【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理求得sin C 的值，进而求得C ，进而求得A 推断a ＝c ，答案可得． 【解答】解：由正弦定理，∴故答案为3．已知若a ＝1，c ＝2，B ＝60°，则△ABC 的面积为 ． 【考点】正弦定理．【分析】由面积正弦定理公式，得S ＝ac sin B ，再代入题中数据，即可得到所求三角形面积． 【解答】解：∵a ＝1，c ＝2，B ＝60°，∴由面积正弦定理公式，得△ABC 的面积为 S ＝ac sin B ＝×1×2×sin 60°＝故答案为：4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1﹣a n ＝2，则a 51的值为 ． 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由a 1＝1，a n ＋1﹣a n ＝2，知数列{a n }是等差数列，由此能求出a 51． 【解答】解：∵a 1＝1，a n ＋1﹣a n ＝2， ∴a 51＝1＋50×2＝101． 故答案为101．【变式题】16232n na a a +=⇒=5．在△ABC 中，，，a ＝1，则b ＝ ．【考点】正弦定理．【分析】利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．【解答】解：∵，B ∈（0，π），∴sin B ＝＝．由正弦定理可得： ＝解得b ＝．故答案为：．6．在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则cos C 的值为 ． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k ，3k ，4k ，再由余弦定理求得cos C 的值． 【解答】解：在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，由正弦定理可得， 可设其三边分别为2k ，3k ，4k ，由余弦定理可得 16k 2＝4k 2＋9k 2﹣12k 2cos C ，解方程可得cos C ＝，故答案为：．7．已知等差数列{a n }的前三项为a ﹣1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项公式为 ． 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a ，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：由题意可得，2（a ＋1）＝（a ﹣1）＋（2a ＋3）， 解得：a ＝0．∴等差数列{a n }的前三项为﹣1，1，3． 则a 1＝﹣1，d ＝2．∴a n ＝﹣1＋2（n ﹣1）＝2n ﹣3． 故答案为：a n ＝2n ﹣3．8．在△ABC 中，B ＝45°，c ＝2，b ＝，那么A ＝ ．【考点】正弦定理．【分析】△ABC 中，由余弦定理求得a 的值，再利用正弦定理求得sin A 的值，可得A 的值．【解答】解：△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝＝a 2＋8﹣4a •cos 45°，求得a ＝2＋，或a＝2﹣．当a ＝2＋，由正弦定理可得 ＝，求得sin A ＝，∴56412A πππ=+=．当a ＝2﹣，由正弦定理可得＝，求得sin A ＝，∴4612A πππ=-=，故答案为：12π或512π．9．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝ ．【考点】等差数列的性质．【分析】先通过等差数列的等差中项根据a 4＋a 7＋a 10＝17，求出a 7；根据a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 14＝77求出a 9，进而求出公差d ．再根据a 9与a k 的关系a 9＋（k ﹣9）•d ＝a k ，求出k ． 【解答】解：∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝又∵a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 14＝77，即a 4＋a 14＋a 5＋a 13…＋a 9＝77 ∴11a 9＝77，即a 9＝7∴数列{a n }的公差d ＝＝∴a 9＋（k ﹣9）•d ＝13， ∴k ＝18故答案为：18．【变式题】1011012512a a -=⋅=10．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝ °． 【考点】余弦定理．【分析】先根据a 2＝b 2＋bc ＋c 2，求得bc ＝﹣（b 2＋c 2﹣a 2）代入余弦定理中可求得cos A ，进而求得A ．【解答】解：根据余弦定理可知cos A ＝∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴bc ＝﹣（b 2＋c 2﹣a 2）∴cos A ＝﹣∴A ＝120° 故答案为120°11．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于 ． 【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据B 为三角形的内角，得到sin B 不为0，在等式两边同时除以sin B ，得到sin A 的值，然后再由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A 的度数．【解答】解：根据正弦定理＝，化简b ＝2a sin B 得：sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0，在等式两边同时除以sin B 得sin A ＝，又A 为三角形的内角， 则A ＝30°或150°．故答案为：30°或150°【变式题】2q =-12．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 ． 【考点】正弦定理．【分析】此三角形必为钝角三角形，已知∠D ＝90°，∠DBC ＝60°，利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：此三角形必为钝角三角形， ∵∠D ＝90°，∠DBC ＝60°，∴∠BCD ＝30°，BD ＝，∴BC ＝2．故答案为：．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1＋a m ＋1﹣a m 2＝0，S 2m ﹣1＝38，则m 等于 ．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的性质可知，a m ﹣1＋a m ＋1＝2a m ，代入a m ﹣1＋a m ＋1﹣＝0中，即可求出a m ，然后利用等差数列的前n 项和的公式表示出前2m ﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m 项的关系式，把第m 项的值代入即可求出m 的值【解答】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1＋a m ＋1＝2a m ，∵a m ﹣1＋a m ＋1﹣＝0，∴∴a m ＝0或a m ＝2若a m ＝0，显然S 2m ﹣1＝（2m ﹣1）a m 不成立 ∴a m ＝2∴＝（2m ﹣1）a m ＝38，解得m ＝10． 故答案为：1014．在锐角△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，则边长c 的取值范围是 ． 【考点】余弦定理的应用．【分析】要使的三角形是一个锐角三角形，只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果． 【解答】解：∵a ＝2，b ＝3要使△ABC 是一个锐角三角形 ∴要满足32＋22＞c 2，22＋c 2＞32， ∴5＜c 2＜13∴故答案为：二、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程的两个根，且2cos （A ＋B ）＝1．求：（1）角C 的度数；（2）边AB 的长．【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【分析】（1）根据三角形内角和可知cos C ＝cos [π﹣（A ＋B ）]进而根据题设条件求得cos C ，则C 可求．（2）根据韦达定理可知a ＋b 和ab 的值，进而利用余弦定理求得A B ．【解答】解：（1）∴C ＝120°（2）由题设：∴AB 2＝AC 2＋BC 2﹣2AC •BC cos C ＝a 2＋b 2﹣2ab cos 120°＝∴16．已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3•a 7＝﹣12，a 4＋a 6＝﹣4，求它的前20项的和S 20． 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和．【分析】由公差是正数的等差数列的性质及已知a 3•a 7＝﹣12，a 4＋a 6＝﹣4求出a 3＝﹣6，a 7＝2，进一步求出首项和公差，代入前n 项和公式得答案．【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，∴a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝﹣4， 又a 3•a 7＝﹣12，联立解得：a 3＝﹣6，a 7＝2或a 3＝2，a 7＝﹣6． ∵等差数列{a n }的公差是正数，∴a 3＝﹣6，a 7＝2．则d ＝，a 1＝a 3﹣2d ＝﹣6﹣2×2＝﹣10．∴S 20＝．【变式题】2,43q n ==17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且，（1）求角B 的大小；（2）若，求△ABC 的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a＋c及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，将上式代入已知，即2sin A cos B＋sin C cos B＋cos C sin B＝0，即2sin A cos B＋sin（B＋C）＝0，∵A＋B＋C＝π，∴sin（B＋C）＝sin A，∴2sin A cos B＋sin A＝0，即sin A（2cos B＋1）＝0，∵sin A≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2＝a2＋c2﹣2ac cos B得：b2＝（a＋c）2﹣2ac﹣2ac cos B，即，∴ac＝3，∴．18．已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为S n．（Ⅰ）设S k＝2550，求a和k的值；（Ⅱ）设b n＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n﹣1的值．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n项和公式算出S n，进一步得S k＝2550，解出k的值（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{b n}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1＝a﹣1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴（a﹣1）＋2a＝8，即a＝3．∴a1＝2，公差d＝a2﹣a1＝2．由S k＝ka1＋，得2k＋×2＝2550即k2＋k﹣2550＝0．解得k＝50或k＝﹣51（舍去）．∴a＝3，k＝50．（Ⅱ）由S n＝na1＋，得S n＝2n＋×2＝n2＋n∴b n＝＝n＋1∴{b n}是等差数列．则b3＋b7＋b11＋…＋b4n﹣1＝（3＋1）＋（7＋1）＋（11＋1）＋…＋（4n﹣1＋1）＝（3＋7＋11＋…＋4n﹣1）＋n＝＝＋n∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n﹣1＝2n2＋2n19．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东120°．（要画图）（1）A处与D处之间的距离；（2）灯塔C与D处之间的距离．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入求出AD的长，即可确定出货船的航行速度；（2）在三角形ACD中，利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算即可求出CD的长．【解答】解：（1）在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理，得，即AD＝＝＝24（海里），（2）在△ACD中，∵AC＝8，∠CAD＝30°，∴由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2﹣2AD•AC cos∠CAD＝242＋（8）2﹣2×24×8cos30°＝192，解得：CD＝8≈14（海里），则灯塔C与D之间的距离约为14海里．20.（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）0t =或2t =；已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若1a ，2a ，5a 是数列{}n b 的前3项，且416S =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列41{}n n S a t-+为等差数列，求实数t ； （3）构造数列1a ，1b ，2a ，1b ，2b ，3a ，1b ，2b ，3b ，⋯，k a ，1b ，2b ，⋯，k b ，⋯，若该数列前n 项和1821n T =，求n 的值．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式【专题】32：分类讨论；34：方程思想；4R ：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）设{}n a 的公差0d ≠．由1a ，2a ，5a 是数列{}n b 的前3项，且416S =．可得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+，1434162a d ⨯+=，解得1a ，d ，即可得出． （2）2(121)2n n n S n +-==．可得2414121n n S n a t n t --=+-+．根据数列41{}n n S a t -+为等差数列，可得24213352315t t t⨯-⨯=++++，220t t -=． 解得t ．（3）由（1）可得：2n S n =，数列{}n b 的前n 项和311(31)312n nn A -==--．数列{}n A 的前n 项和113(31)1331231242n n n U n n +--=⨯-=--．数列1a ，1b ，2a ，1b ，2b ，3a ，1b ，2b ，3b ，⋯，k a ，1b ，2b ，⋯，k b ，⋯，可得：该数列前(1)(1)22k k k k k -++=项和2331(1)42k k k -=+--，根据732187=，836561=．进而得出．【解答】解：（1）设{}n a 的公差0d ≠．1a ，2a ，5a 是数列{}n b 的前3项，且416S =．∴2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+，1434162a d ⨯+=， 解得11a =，2d =， 1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-． 11b ∴=，23b =，公比3q =．13n n b -∴=．（2）2(121)2n n n S n +-==．∴2414121n nS n a t n t --=+-+． 数列41{}n n S a t-+为等差数列， ∴24213352315t t t⨯-⨯=++++，220t t -=． 解得2t =或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：2n S n =，数列{}n b 的前n 项和311(31)312n nn A -==--．数列{}n A 的前n 项和113(31)1331231242n n n U n n +--=⨯-=--．数列1a ，1b ，2a ，1b ，2b ，3a ，1b ，2b ，3b ，4a ，⋯，1k b -，k a ，1b ，2b ，⋯，k b ，⋯，∴该数列的最后一项为k a 时，2331(1)42k n T k k -=+--，732187=，836561=．∴取8k =，可得前1(11)[01(12)222k k k k k ⨯-⨯--+++++⋯⋯+++⋯⋯+-=+++⋯⋯+2221118(81)(281)18(81)(12)(12)892222622k k k ⨯+⨯⨯+⨯+=+++⋯⋯+-⨯++⋯⋯+=+⨯-⨯=．因此前92项的和为：8233187170042-+-⨯=，令118211700(31)2m n T ==+-，解得5m =．92597n ∴=+=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

解三角形、数列与等差数列试题2套汇编

解三角形、数列与等差数列试题2套汇编

必修5第1章 解三角形测试题（高二1部2013国庆数学作业） 姓名 班级 效果一．选择题1. 在△ABC 中，B=45°，C=60°，AB=1，则最短边的边长是﹝﹞A.B.C.12D.2. 在△ABC 中，若B=60°，a= b= ，则A 的大小为﹝﹞A. 45°B.30°C.135°D. 45°或135°3. 在△ABC 中，若B=30°，c=b=2，则角C 的大小为﹝﹞A. 60°B.120°C.30°D. 60°或120°4. 在△ABC 中，a=7，b=8，13cos 14c =，则最大内角的余弦值是﹝﹞A. 15-B. 16-C. 17-D. 18-5. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 ﹝﹞A.90°B. 120°C.135°D.150°6. 在△ABC 中,A ：B ：C=1：2：3，则a ：b ：c= ﹝﹞A. 1：2：3B. 2：3：4C. 3：4：5D. 12 7. 在△ABC 中, 222a c b ab -+=，则角C 为 ﹝﹞A.30°B.60°C.150°D.120°8. 在△ABC 中，acosB=bcosA,则三角形ABC 的形状为 ﹝﹞A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9. 在△ABC 中，A=60°，a=2bcosc ，则三角形ABC 的形状为﹝﹞A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10. 在△ABC 中，若b=2asinB ，则A= ﹝﹞A.30°B.60°C.30°或150°D. 60°或120°.11.在△ABC 中，已知，AC=1，B=30°，则△ABC 的面积等于 ﹝﹞A.2 B. 4 C. 2 D. 2或412. 在△ABC 中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4，则cosB= ﹝﹞A.4 B. 34 C. 16 D. 1116二．填空题：13．在Rt △ABC 中090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

解三角形等差数列测试

解三角形等差数列测试

解三角形和等差数列测试1．【湖北省孝感市普通高中联考协作体2018-2019学年高一下学期期中】在ABC ∆中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，AC =BC =（ ）A ．B ．C ．D 【答案】B2．【江西省赣州市2019-2020学年高二上学期期中】在△ABC 中，若a ＝2bsinA ，则角B 等于（ ）A ．30°或150°B ．45°或60°C ．60°或120°D ．30°或60° 【答案】A3．【甘肃省会宁县第一中学2019届高三上学期第二次月考】ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos c A b <，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】B4．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA ＝，b ＝sinB ，则a = A ．3 B ． C ． D ．【答案】D5．【湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末】ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222a c b ab -+=，则C =（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120° 【答案】B6．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝3π，当△ABC 的面积等于2时，sin C 等于( )A B ．12C D【答案】B7．在ABC 中，若22a b -=，sin C B =，则A 等于（）．A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30 【答案】D8．【广东省广州市培正中学2017-2018学年度高二第一学期测试二】在ABC ∆中，若三内角满足222sin sin sin sin A B B C C =+，则A ∠=（ （A ．30°B ．150°C ．60°D ．120° 【答案】A9．已知数列{a n }是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=（ ）A ．36B ．30C ．24D ．18 【答案】B10．【江苏省南通市南通中学2019-2020学年高二上学期期中】已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ）A ．64B ．31C ．30D ．15 【答案】D11．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C12．【江苏省如皋市2018-2019学年度高一年级下学期教学质量调研】在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于()A ．2B ．18C ．4D ．9【答案】D13．【黑龙江省安达市田家炳高级中学2017-2018学年高一下学期期末】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.【答案】 4514．已知数列{}n a 中，11n n a a +=+，12a =，则2018a 等于（ ）【答案】201915．【江西省高安中学2018-2019学年高一下学期期末】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若::3:5:7a b c =,则此三角形的最大内角的度数等于________．【答案】12016．【云南省昆明第一中学2018-2019下学期期中】在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，则ABC ∆的面积为__________【答案】17．在ABC △中，已知10c =，45A =︒，30C =︒，求a ．b 和B ．【答案】105B =︒;a =b =18．【嵩明四中2009——2010学年高三年级第二次月考】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=（4cos ,5A b == （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.【答案】（1）sin C =(2) S =. 19．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求 cos sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）6B π=；（Ⅱ）32）. 20．【河北省武邑中学2018-2019学年高二12月月考】ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin cos c A C =．（1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =a ． 【答案】⑴3C π= (2) 3a =21．【福建省八县（市)一中2018-2019学年高二上学期期末】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin cos A bcosC c B +（1）求A ；（2）若A 为锐角，5a =，ABC △，求ABC △的周长． 【答案】（1）3π或23π； （2）5+22．【安徽省巢湖市柘皋中学2017-2018学年高一下学期第一次月考】已知数列{}n a 满足()*112112n n n n n a a a n N b a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）21n a n =+20．【浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中】已知数列{a n }中，a 7=6，a 10=−3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和.（1）求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；（2）求|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 19|+|a 20|.【答案】（1）a n =−3n +27；(S n )max =108（2）306。

等差数列及解三角形试卷

等差数列及解三角形试卷

数列基础练习题（一） 姓名1、根据下列各数列的前5项，写出下列各数列的一个通项公式： (1) 1,3，6，10，15,… (2) 1，3，7，13，21,…(3) 1，3，7，15，31,… (4) 1，2，5，14，41,…(5) 3，4，3，4，3,… (6) 2，0，2，0，2,…(7) 9，99，999，9999，99999…(8) 5，55，555，5555，… (9) 21211,,,,,3253 (10)14916321,2,3,4,525101726(11)1234,,,,2345--(12)2481625,,,,133********-⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯--2、（1）在等差数列｛a n ｝中，若a 1+a 9=10,则a 5= ;前9项和为 ; （2）已知等差数列{a n }中，a 3 + a 8=15，则其前10项和S 10＝ (3) 等差数列｛a n ｝中,S 6=2,S 9=15,则S 15=3、等差数列｛a n ｝中，a 1=1,a 3+a 5=14,其n 项和S n =100,则n=4、123456{}2,13,n a a a a a a a =+=++在等差数列中，则等于_____5、—39是等差数列17，15，13，…的第 项6、已知等差数列{a n }中，a 7 =2，则S 13＝7、24{}2,18,10n a a a ===10已知等差数列中，则前项的和S _______8、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为___ 9、等差数列2，5，8，… 的一个通项公式为10、已知等差数列{a n }中，a 5 =19, a 9=11,则这个数列的首项为 11、已知{a n }的通项公式为a n ＝3n -2, 则其前n 项和公式为： 12、已知数列{a n }的前n 项公式为：S n =2n 2+3n,则{a n }的通项公式为 13、已知数列{a n }的前n 项公式为：S n =－3n 2－4n +6,则{a n }的通项公式为14、数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式为 15、在数列{a n }中，a 1=1,且当n ≥2时，a 1a 2…a n =n 2，则a 3+a 5= 16、71347S S 2,___________S n n a a n a ==设是等差数列｛｝的前项和，若则17、471}37,0,S }S n n n n a a a a a n n =>在等差数列｛中，且是数列｛的前项和，则当取最大值时，的值为_______18、在数列｛a n ｝中，a 2=2,a 7=1,且数列｛11n a +｝是等差数列，则a 11等于19、已知{a n }的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，则这个数列的前20项和为20、*1112}2,(,2),2n n n n a a a a n N n a --==∈≥+已知数列｛满足：则这个数列的一个通项公式为____________21、在数列{}n a 中，已知111,(2)n n a a a n n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式.22、数列{}n a 满足：各项不等于0，1112,2n n n n a a a a a ++=-=且.求数列{}n a 的通项公式.23、数列{}n a 满足：11,a =11(1)n n a a n n +=++.求数列{}n a 的通项公式.24、在数列{}n a 中，1112,(1)n n a a a ln n+==++，求数列{}n a 的通项公式.解三角形检测题。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km 2C 3 kmD 2 km2．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12π C ．12π D ．3π3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，1b =，则23a c -的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．3-5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2aB c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 17．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABCS =2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．3B C D ．10．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则AEF 的周长的最小值为（ ）A ．36sin 20︒B ．C ．12D ．11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．2C ．32D 二、填空题13．已知ABC 的面积为4，2tan 3B =，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若AM =，则BC =___________.14．在ABC 中，3B π=，2AC =，则4AB BC +的最大值为_______． 15．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.16．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________.17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________． 20．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，AB 边上的高为CD ，且2CD AB =，则a bb a+的取值范围是___________. 三、解答题21．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ， ∠BAD =34π，2AB =BD =4.（1）求cos ∠ADB ； （2）若BC 22CD .22．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若272,cos b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积． 条件①：7cos cos 14a B b A ac +=；条件②：72cos 27b C ac =-． 23．如图所示，某镇有一块空地OAB ，其中3km,60,90OA OAM AOB =∠=∠=.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN△地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网.设AOM θ∠=.（1）当3km 2AM =时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；（2）若=15θ，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？24．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ()3cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan 3tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,10a b c =+=ABC 的面积. 25．已知ABC 中，632AB BC ==225AC AB +=． （1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠． 26．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.5323338h h h h =+-⨯⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⨯⎪，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,2R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =．∵212cos sin sin (2cos )sin 222A ABC A --=+=，易知2cos 0A -≠， ∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴2sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin 3cos 0b A a B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin 3cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 30B B ∴=，tan 3B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．B解析：B 【分析】由三角形的面积公式可得，4c =，再由余弦定理可得a =，最后由正弦定理可得结果. 【详解】11c sin60=424︒=⋅⋅⋅=∴=ABCSc c由余弦定理可得：22212cos 1612413,2=+-=+-⨯⨯=∴=a b c bc A a由正弦定理可得：2sin sin sin 2sin sin 3++=====++a b c a b c sinA B C A B C 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题目. 10．D解析：D 【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，1AA ∴==，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．11．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】 根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式建立关于的方程再分别求根据余弦定理求结合条件求得的值【详解】得：解得：①中利用余弦定理②由①②可得解得：或即当时得此时不成立当时得此时成立故故答案为：4【点解析：4 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式，建立关于,a c 的方程，再分别求,a c ，根据余弦定理求b ，结合条件AB AC >，求得BC 的值. 【详解】2tan 3B =，得：sin B =，cos B =11sin 42213ABCSac B ac ==⋅=，解得：ac =① ABM中，利用余弦定理222252cos 542413a a a c c B c ac =+-⋅⋅=+-= ②由①②可得22174ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， AB AC >，即c b >当2a c ==时，2222cos 32b a c ac B =+-=，得b =c b <，不成立，当4,a c == 2222cos 5b a c ac B =+-=，得b =c b >，成立，故4BC a ==. 故答案为：4 【点睛】易错点点睛：本题的易错点是求得,a c 后，还需满足条件AB AC >这个条件，否则会增根.14．【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为：【点睛】求三角形有关代数式的取值范围【分析】利用正弦定理可将4AB BC +表示关于角A 的三角函数，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得4AB BC +的最大值. 【详解】由正弦定理可得21sin sin sin sin 3BC AB ACA CB π====，则sin BC A =，sin AB C =，3B π=，203A π∴<<，则()14sin 4sin sin 4sin sin 4sin 2AB BC C A A B A A A A+=+=++=++()9sin 2A A A ϕ=+=+， 其中ϕ为锐角，且tan ϕ=，23A πϕϕϕ∴<+<+， 所以，当2A πϕ+=时，4AB BC +取【点睛】求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.15．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系再利用余弦定理求解出角A 的值再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值【详解】因为所以根据正弦定理得:化简可得:即(A 为【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-， 化简可得:222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正解析：3【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】利用三角形三边大小关系余弦定理即可得出【详解】因为三角形两边之和大于第三边故解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边大小关系余弦定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：【分析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．22224cos 0224c C +-=<⨯⨯，解得c >c ∴∈．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：2,⎡⎣【分析】由余弦定理得出2222cos a b c ab C =++，由三角形的面积公式得出22sin c ab C =，进而可得出4b a C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得a bb a +的取值范围. 【详解】 如下图所示：由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c ab C ∴+=+，1122CD AB c ==，由三角形的面积公式得11sin 222ABC c S ab C c ==⋅△，得22sin c ab C =，()222sin cos 22sin 4a b ab C C ab C π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，则22224b a a b C a b ab π+⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 0C π<<，5444C πππ∴<+<，当42C ππ+=时，即当4C π时，b aa b+取得最大值2由基本不等式可得2b a b a a b a b+≥⋅=，当且仅当a b =时，等号成立， 因此，a bb a+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2,22⎡⎣.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）14cos 4ADB ∠=；（2）32CD =【分析】（1）ABD △中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而得出答案； （2）BCD △中，利用余弦定理可得CD ． 【详解】（1）ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin 2ADB =∠，解得sin 4ADB ∠=，故cos 4ADB ∠=； （2）sin cos ADB CDB ∠==∠ BCD △中，222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅，即2224424CD CD+-=⋅⋅，化简得(0CD CD -+=，解得CD =22．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解； 选用条件②：由正弦定理求得cos 14B =，得出sin 14B =，再由cos 7C =，求得得sin 7C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos a B b A +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C +=，可得sin sin C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos C =，由余弦定理得2222a b c ab +-=， 将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==． 选用条件②：因为2cos 27b C a =-，由正弦定理得2sin cos 2sin B C A C =2sin()B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin 0B C C =， 又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin 14B =，又由cos 7C =，可得221sin 1cos 7C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.23．（1）9km ；（23）15θ=︒时，OMN 的面积最小，最小面积为(2272km 4.【分析】（1）利用余弦定理求得 OM ，结合勾股定理求得θ，判断出OAN 是等边三角形，由此求得防护网的总长度. （2）结合正弦定理求得MNAM，由此求得人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的倍数.（3）求得,OM ON ，由此求得三角形OMN 面积的表达式，结合三角函数最值的求法，求得当15θ=︒时，OMN 的面积最小为(2272km 4.【详解】（1）在三角形OAM中，由余弦定理得OM ==所以222279944OM AM OA +=+==，所以三角形OAM 是直角三角形，所以90,30OMA θ∠=︒=︒.由于30MON ∠=，所以60AON A ∠=∠=︒，所以OAN 是等边三角形，周长为339⨯=，也即防护网的总长度为9km . （2）15θ=︒时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin 60sin 60sin15sin15OM AM AM OM ⋅︒=⇒=︒︒︒，在三角形OMN 中，180********ONA ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin 30sin 60sin 30sin 30sin 75sin 75sin 75sin15MN OM OM AM MN ⋅︒⋅︒⋅︒=⇒==︒︒︒︒︒.所以sin 60sin 30sin 60sin 30sin 60sin 302sin 601sin 75sin15cos15sin15sin 302MN AM ︒⋅︒︒⋅︒︒⋅︒====︒=︒︒︒︒︒以O 为顶点时，OMN 和OAM △的高相同，所以3OMN OMNOAMOAMS MNS SSAM===，即人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △.（3）在三角形OAN 中，180603090ONA θθ∠=︒-︒-︒-=︒-，由正弦定理得()333sin 60sin 60sin 90cos cos ON ON θθθ⋅︒==⇒==︒︒-.在三角形OAM 中，18060OMA θ∠=︒-︒-，由正弦定理得()()()()333sin 60sin 60sin 18060sin 60sin 602sin 60OM OM θθθθ⋅︒==⇒==︒︒-︒-+︒+︒+︒.所以()()11271sin 30242cos 2sin 6016sin 60cos OMNSOM ON θθθθ=⋅⋅⋅︒=⋅⋅=⋅+︒+︒⋅ ()27116sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅27271616==2727168==272784==.由于()0,60AOM θ∠=∈︒︒，所以当26090,15θθ+︒=︒=︒时，OMN S △最小值为(22722727km 444-==.【点睛】求面积最值的实际问题，可转化为三角函数求最值来求解.24．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=；方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c 的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A = 又()0,A π∈， 所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈， 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A = 所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 2ABC S bc A ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.25．（1）4ABC π∠=；（2）tan PBA ∠=． 【分析】（1）由已知求得25AC =-cos 2ABC ∠=，即可求得ABC ∠；（2）由题可得PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简即可求出. 【详解】解：（1）由AB BC ==，知AB BC ==，由225AC AB +=，知2525AC AB =-=-在ABC 中，由余弦定理得：222cos22BC AB AC ABC AB BC +-∠===⨯，0ABC π<∠<，4ABC π∴∠=； （2）,44PBA PBC PCB PBC BPC πππ∠+∠=∠+∠=-∠=， PBA PCB ∴∠=∠，设PBA α∠=，则在PBC 中，由正弦定理得,2sin 3sin sin 4PB BC PB απα=∴=， 在APB △中，由正弦定理得：,56sin sin 66PBAB PB παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，化简可得：tan α=，故tan PBA ∠=. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 26．2S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b是方程220x -+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b cC abab -⨯-+--+-====⨯，解得c =所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯=。

解三角形及等差数列习题练

解三角形及等差数列习题练

【解三角形】一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060， 则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150二、填空题7．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

8．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

9.在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200________。

10．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

11．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题12.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形 形状是什么？13.在△ABC 中，求证：)cos cos (aAb Bc a b b a -=-14.在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

高三数学解三角形试题

高三数学解三角形试题

高三数学解三角形试题1.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．2.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【答案】（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝＝×1×1×sinθ＝sinθ，【解析】解：(1)S△ABD＝BD2．因为△BDC是正三角形，则S△BDC由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，由0<θ<π，得－<θ－<，故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶8，则△ABC一定为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】已知得a∶b∶c＝4∶5∶8，所以cosC＝－<0，选D项．4.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S ＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，则absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又因为cos C＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，即tan C＝＝＝－5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2.(1)求函数f(A)的最大值；(2)若f(A)＝0，C＝，a＝，求b的值．【答案】（1）（2）3【解析】(1)f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2＝sin A－cos A＝sin.因为0<A<π，所以－<A－<.当A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，且最大值为.(2)由题意知f(A)＝sin＝0，所以sin＝0.又知－<A－<，则A－＝0，∴A＝.因为C＝，所以A＋B＝，则B＝.由，得ab＝＝36.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.△ABC7.设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】由题意根据正弦定理得，再由余弦定理得，即的最小值为4.【考点】解三角形.8.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.9.在中，分别为角所对的三边，，(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，角等于，周长为，求函数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据题目条件，容易联想到余弦定理，求出角； (Ⅱ)求函数的取值范围，这是一个函数的值域问题，需先找出函数关系式，因此要先把各边长求出来，或用表示出来，方法是利用正弦定理来沟通三角形的边角关系，求出函数关系式后，不要忘记求函数的定义域，根据函数定义域去求函数的值域，这显然又是一个三角函数的值域问题，可化为的类型求解.试题解析：(Ⅰ)由，得，3分又， 6分(Ⅱ)同理： 9分故，，. 12分【考点】正弦定理、余弦定理、三角函数的值域.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a+b=2，且c=，求A.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用余弦定理和面积公式将进行化简求解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化角，然后利用两角差的正弦公式展开进行合并求解.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理知c2－a2－b2＝－2abcosC，又△ABC的面积S＝absinC＝ (c2－a2－b2)，所以absinC＝ (－2abcosC)，得tanC＝－．因为0＜C＜π，所以C＝． 6分（Ⅱ）由正弦定理可知＝＝＝2，所以有a＋b＝2sinA＋2sinB＝2，sinA＋sin(－A)＝1，展开整理得，sin(＋A)＝1，且＜＋A＜，所以A＝． 12分【考点】1.正弦定理和余弦定理；2.三角化简.11.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.12.已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，则的值等于．【答案】【解析】根据余弦定理得：.∵是三角形的内角，∴.在中，.∴.根据正弦定理和已知得：.∴.∴.【考点】解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.13.设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知有， 1分得，则， 3分. 4分又，故. 5分（2）（法一）由正弦定理得, ,则. 7分而. 9分则.又，所以. 10分所以当且仅当，即时，取得最大值，11分故. 12分（法二）由余弦定理得，即， 7分则，又则 10分 10分得，故，当且仅当时，. 12分【考点】正弦定理点评：主要是考查了正弦定理和解三角形中余弦定理的运用，属于基础题。

高一数学解三角形试题答案及解析

高一数学解三角形试题答案及解析

高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:由图可知，在中，,则；在中，,则，；即甲、乙两楼的高分别是.【考点】解直角三角形.3.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.4.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.5.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.6.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，，解得.【考点】解三角形.7.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.8.中，若，则的面积为（）．A．B．C．1D．【答案】A【解析】根据三角形面积公式可得面积为．【考点】三角形面积公式的选择和计算．9.如图，从高为的气球上测量铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则该桥的长可表示为A．B．C．D．【答案】A【解析】过A作垂线AD交CB于D，则在Rt△ADB中，∠ABD=α，AB＝．又在中，∠C=β，∠BAC=α-β，由正弦定理，得∴BC＝即桥梁BC的长度为，故选A．【考点】解三角形的实际应用．10.两地相距，且地在地的正东方。

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解三角形与等差数列阶段测试题
2014.8.8
一、选择题：（每小题5分，共计50分）
1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）
A ．310+
B ．()
1310- C ．13+ D ．310
2. 在△ABC 中，b=c=3，B=300，则a 等于（ ）
A B ． C D ．2
3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）
A ．a=7，b=14，A=300有两解
B ．a=30，b=25，A=1500有一解
C ．a=6，b=9， A=450有两解
D ．a=9， c=10，B=600无解
4. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB BC ∙的值为( )
A ．79
B ．69
C ．5
D ．-5 5. .在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6. 已知等差数列5724,7
43…，则使得n S 取得最大值的n 值是（ ） A. 15 B. 7 C. 8和9 D. 7和8
7. 已知数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15796
log ()
a a a ++的值是( )
A ．-2
B ．12-
C ．2
D ．12
8. 已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，则有（ ）
A 、11010a a +>
B 、11010a a +<
C 、11010a a +=
D 、5151a =
9. 在等差数列中，若是9641272=++a a a ，则1532a a +等于( )
A. 12
B. 96
C. 24
D. 48
10. 等差数列{ a n }的前n 项的和记为S n ，已知a 1 > 0，S 7 = S 13，则当S n 的值
最大时，n =（ ）
A. 8
B.9
C.10
D.11
二、填空题（每小题5分，共计25分）
11. 在ABC ∆中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ∆的面积是__________.
12. 在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A =__________.
13. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .
14．如果数列}{n a 满足：11113,5,()n n
a n N a a *+==+∈，则__________n a =. 15. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是
__________.
三、解答题（16—19题各12分，20题13分，21题14分，共75分）
16．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝
3
3b ，解此三角形．
17. 在△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，
(1)求∠B 的大小；
(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
18. 等差数列{}n a的前n项和记为n s，已知1030,
a=
2050.
a=
（1）求{}n a的通项公式
（2）若242,
n
s=求n.
19.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
20.等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==
（1）求数列{}n a 的通项公式.
（2）设1,n n b na =求数列{}n b 的前n 项和n s .
21. 设等差数列{}n a 满足，35,a =109,a =-
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n s 及使得n s 最大的序号n 得值.。

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