廊坊八中文科数学向量导学案

第一节 向量的概念及线性运算【复习目标】1.了解平面向量的实际背景，理解其概念，掌握向量加法、减法、数乘运算及几何意义，提高利用平面图形性质解决向量问题的能力；2.独立思考，合作学习，探究两个向量共线（平行）的充要条件，掌握共线向量基本定理的应用；3.激情投入，培养“数形结合”的数学思想。

一、知识要点1. 平面向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量；向量的基本要素：大小和方向. （2）向量的表示：①几何表示法；用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向；②字母表示：a 或AB . (3) 向量的长度（模）：即向量的大小，记作||a 或||AB .(4) 特殊的向量：零向量：0||0=⇔=a a ；单位向量：a 为单位向量⇔1||=a .(5) 相等的向量：大小相等，方向相同的向量. (6) 相反向量：b a -=⇔a b -=⇔0=+b a .(7) 平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行(共线)向量，记作a ∥b . 2. 向量的线性运算运算运算法则运算性质向量加法b a +是一个向量，平行四边形法则AC BC AB =+ a b b a +=+三角形法则()()a b c a b c ++=++向量减法b a -是一个向量，三角形法则AB OA OB =-()a b a b -=+-AB BA =-数乘向量 a λ是一个向量, 满足||||||a a λλ=，0>λ时, a a λ与同向；0<λ时, a a λ与异向； 0=λ时, 0a λ=.()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+3.重要定理、公式（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量a ，有且仅有一对实数1λ，2λ，使2211e e a λλ+=. 其中不共线的向量1e ，2e 称为基底.（2）向量共线定理：向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得a b λ=，即a ∥b ⇔)0(≠=a a b λ. 二、自主体验：1．下列给出的命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量；B ．平面内的单位向量有且仅有一个4 ()B 3 ()C 2 ()D 13BC BD =，则AD = （ ） = 边长为1的正方形ABCD 中，,AB a AD b c ==，则|a b c -+ 。

2,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若,A),||||AB AB AC +外心 ()B 内心ABC 中，O 是ABC ∆,AD CB =，则四边形ABCD 年全国Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为 （C ）三条中线的交点，若OB a =2006年安徽文）在中，,,AB a AD b AN ==_______。

（用a b 、表示）1,BC CN =b 表示,,OM ON MN 。

,,B C D 四点坐标依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1)- ()B 矩形 ()C 菱形 ()D 平行四边形已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且有CM 。

共同探究：．已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且//a b ，则 ） ABC 中，已知(2,3),4)A ，点(2,G 共线的充要条件是（ 空间任一向量，向量e e λλ+不一定在平面对平面内任一向量a ，使e e λλ=+的实数λ C. 0,0(13322>>=-y x y x (5,4),(3,2)a b =，则与b 平行的单位(3,1),(1,2),(1,7)b c -=-=a b c =++，并以第三节平面向量的数量积及其应用教学目标：⑴掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。

⑶能用所学知识解决有关综合问题。

教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用一、复习：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。

3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。

4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ；2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|。

特别的a⋅a = |a|2或aaa⋅=||4︒cosθ =||||baba⋅；5︒|a⋅b| ≤|a||b|5．平面向量数量积的运算律交换律：a⋅b = b⋅a数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a⋅b) = a⋅(λb)分配律：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c6平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa=，),(22yxb=，试用a和b的坐标表示ba⋅。

设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么jyi xa11+=，jyixb22+=所以))((2211jyixjyi xba++=⋅2211221221jyyji yxjiyxixx+⋅+⋅+=又1=⋅ii，1=⋅jj，0=⋅=⋅ijji所以ba⋅2121yyxx+=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

即ba⋅2121yyxx+=7.平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa=，则222||yxa+=或22||yxa+=。

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(||yyxxa-+-=(平面内两点间的距离公式)8.向量垂直的判定设),(11yxa=，),(22yxb=，C则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x 9.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二 基础训练：1.下列命题中是正确的有①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-=，则||||a b =； ②||||||a b a b ⋅=⋅； ③a b a c ⋅=⋅，则b c =； ④若()a b c ⊥-，则a b a c ⋅=⋅ 2．已知,,a b c 为非零的平面向量. 甲：,:,a b a c b c ⋅=⋅=乙则 （ ）()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 ()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 ()C 甲是乙的充要条件()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为 ()A 323()B 233 ()C 2 ()D 25-4．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ⋅=，则向量b =___ __ ____. 5．已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600，则a +b 在a 上的投影为 。

6．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-=，则|3|a b += 。

7．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ____。

8．已知向量a 和b的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ⋅-)2(= 。

三 共同探究：优化方案：P67——68平面向量的数量积及其应用基础训练31.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ）A.13B .513C.565 D.652.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310C.λ＜310D.λ≤3103.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23B .223C.323D.4234.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 7.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.9.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.。