人教版八年级数学上册培优讲义 第二讲：全等三角形与轴对称

模型一：手拉手模型

第二讲：全等三角形与轴对称

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC

例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形∆ABD 与∆BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ∆ABE ≅ ∆DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60︒

（4） ∆AGB ≅ ∆DFB （5） ∆EGB ≅ ∆CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC

变式精练1：两个等腰三角形∆ABD 与∆BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α,

连结AE与CD，问：（1）∆ABE≅∆DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？

变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H

问：（1）∆ADG≅∆CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？

模型二：对角互补模型

（1）全等型——90°

条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②OC 平分∠AOB

结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S

四边形ODCE =S

∆OCD

+S

∆OCE

=

1

OC 2

2

辅助线之一：作垂直，证明∆CDM ≌∆CEN

辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明∆ODC≌∆FEC

结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S

∆OCE -S

∆OCD

=

1

OC 2

2

条件：① ∠AOB =∠DCE = 90︒②CD =CE

结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S

四边形ODCE =S

∆OCD

+S

∆OCE

=

1

OC 2

2

（2）全等型——120°

条件：① ∠AOB = 2∠DCE = 120︒②OC 平分∠AOB

结论：① CD =CE ；②OD +OE =OC ；③ S

四边形ODCE 模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明=S

∆OCD

+S

∆OCE

=

3

OC 2

4

辅助线之二：在OB 上取一点F，使OF=OC,证明△OCF 为等边三角形

（3）全等型——任意角α

条件：① ∠AOB = 2α,∠DCE = 180︒- 2α

结论：OC 平分∠AOB

②C D =CE

例：四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中∠A 和∠C 都是直角，另一条对角线AC 的长度为2 ，求四边形ABCD 的面积．

A

B D

C

变式精练1：已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．

（1）在图 1 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC =∠ADC = 90︒，求证：AB +AD =AC ；

（2）在图2 中，若∠MAN = 120︒，∠ABC +∠ADC = 180︒，则⑴中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;

变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，

⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）

⑵如果点M、N 分别在线段AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.

⑶如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．

模型三：角含半角模型

（1）角含半角模型90°-1

条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒

结论：① EF =DF +BE ；② ∆CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：

条件：①正方形ABCD ②EF =DF +BE

结论：① ∠EAF = 45︒；

口诀：角含半角要旋转

（2）角含半角模型90°-2

条件：①正方形ABCD ②∠EAF = 45︒

结论：① EF =DF -BE ；

辅助线：

（2）角含半角模型90°-3

条件：①等腰直角三角形ABC ②∠DAE = 45︒

结论：① BD2+CE2=DE2；（勾股定理知识）

辅助线：将△ACE 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABF，并连接DF.

若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，

结论BD2 +CE 2 =DE 2 仍然成立。

例：在正方形ABCD 中，已知E、F 分别是边CB、DC 延长线上的点，且满足∠EAF=45°，

求证：DF+EF=BE.

变式精练1：如图，∆ABC 为边长是1的等边三角形，∆BDC 为顶角(∠BDC) 是120︒的等腰三角

形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个

∆AMN ．求证：MN =BM +CN ．