20.2 单缝的夫琅禾费衍射

S
第20章光的衍射
双缝干涉条纹
讨论
(1)若白光入射，中央明纹为白光，其他各级为彩色条纹， 若白光入射，中央明纹为白光，其他各级为彩色条纹， 若白光入射 且内紫外红。 且内紫外红。 fλ (2)条纹宽度 条纹宽度
∆x = xk +1 − xk =
a
若将装置放在水中，则条纹变密。 若将装置放在水中，则条纹变密。 一定， 若λ一定，单缝宽度 变小，则条纹变宽； 一定 单缝宽度a 变小，则条纹变宽； 单缝宽度a 变大，则条纹变密； 单缝宽度 变大，则条纹变密； 大到一定程度， 当a大到一定程度，衍射现象不存在，光沿直线传播。 大到一定程度 衍射现象不存在，光沿直线传播。 (3)单缝向上或向下微小平移，条纹位置、宽度均不变。 单缝向上或向下微小平移，条纹位置、宽度均不变。 单缝向上或向下微小平移 (4)若入射平行光与透镜光轴间有一定夹角，则整个条纹随之 若入射平行光与透镜光轴间有一定夹角， 若入射平行光与透镜光轴间有一定夹角 上移或下移。 上移或下移。
5
第20章光的衍射
4.设 的取值满足 4.设φ的取值满足
δ = a sinϕ = 3⋅
λ
2
P 点为一级亮纹
B
ϕ
B
ϕ
asin ϕ
A
5. 设φ的取值满足 的取值满足 以此类推: 以此类推:
asin ϕ
A
δ = a sinϕ = 4⋅ λ
2
P 点为二级暗纹
暗纹 2k ⋅ (λ / 2) δ = AC = a sinϕ = k = ±1, ±2,L (ϕ ≠ 0) (2k +1)(λ / 2) 明纹
17 第20章光的衍射
如图， 例: 如图，设有一波长为 λ 的单色平面波沿着与缝平面 的法线成 λ 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。 求 各级暗条纹对应的衍射角 ϕ 所满足的条件。 所满足的条件。 在狭缝两个边缘处， 解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 ϕ 的两光的光程差为
δ = a(sin φ − sin θ)
B
1. 设φ＝0 时 ＝
δ = a sinϕ = 0
2. 设φ的取值满足 的取值满足
——中央明纹 中央明纹
A
B
ϕ
δ = a sinϕ =
λ
2
A
a sinϕ = λ / 2
二边缘光线在P 点干涉相消， 二边缘光线在 点干涉相消， 点仍具有一定亮度。 但P 点仍具有一定亮度。
4
第20章光的衍射
3. 设φ的取值满足 的取值满足
§20.2 单缝的夫琅禾费衍射
一、实验装置 二、 用半波带法分析条纹的形成 三、用旋矢法求解强度分布 四、条纹分析 五、其他衍射现象 六、光学仪器的分辨本领
1
第20章光的衍射
2
第20章光的衍射
一、实验装置
P
O
*
f′
ϕ
B
ϕ
A
·x
0
正一级 中央亮纹 负一级
C
f
( 单缝夫琅和费衍射 )
单缝处波面看作无穷多个相干波源 P点是 (无穷)多光束干涉的结果 点是 无穷)
六、光学仪器的分辨本领
1. 圆孔的夫琅禾费衍射 L 衍射屏 相对光强曲线
λ
ϕ0
中央亮斑 (爱里斑 爱里斑) 爱里斑
f 孔径为D 孔径为 经圆孔衍射后,一个点光源对应一个爱里斑 经圆孔衍射后 一个点光源对应一个爱里斑
爱里斑的半角宽度为 2. 透镜的分辨本领 一一对应 几何光学 波动光学
21
ϕ0 ≈1.22
δϕ = ϕ0 ≈ 1.22(λ / D)
22 第20章光的衍射
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间
人眼瞳孔直径为5.0 人眼瞳孔直径为 mm ，入射光波为 550 nm。 。
求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解 设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯。 恰能分辨这两盏灯。
7 第20章光的衍射
•
明纹条件
dI = 0 dα
y
tanα =α
y = tanα
• •
−2π
y =α
−π
•
π
2π
0
α
•
•
Baidu Nhomakorabea
α = ±1.43π， 2.46π，3.47π， ± ± … 解得 asin ϕ = ±1.43 , ± 2.46λ , ± 3.47λ ,… λ 相应地 半波带法得到的明纹位置 asin ϕ = (2k +1)λ 2
D = 5.0 mm λ = 550 nm λ 眼睛的最小分辨角为 δ ϕ = 1.22 取 d ≈ S ⋅δ ϕ
由题意有
d = 120 cm
D
Dd 5.0×10−3 ×1.20 S≈ = = δϕ 1.22λ 1.22×550×10−9 d
δϕ
观察者
23
= 8.94 ×103 m
d =120 cm
B
A C
·P
0
f
AC = a sinϕ = (2k +1)
(3) OP间有几条暗纹？ 间有几条暗纹？ 间有几条暗纹
λ
2 0 1 1 2
= 2.5λ
∴ k =2
2
两条暗纹
单缝可分成几个半波带？ (4) 单缝可分成几个半波带？
5个半波带
点为第二级暗纹，则缝可分成几个半波带？ (5) 若P点为第二级暗纹，则缝可分成几个半波带？ 缝可分成4 AC = a sinϕ = 2k ⋅ = 4⋅ 缝可分成4个半波带 2 2
AC a sinϕ N= = λ2 λ2
分成的各半波带的面积一样大； (2) 同一确定的φ，分成的各半波带的面积一样大； 分成的各半波带的面积不一样大； 不同的φ，分成的各半波带的面积不一样大； 而半波带的面积与衍射条纹中明纹的亮度成正比。 而半波带的面积与衍射条纹中明纹的亮度成正比。 明纹亮度由一个半波带的子波源发出的光波在P点 (3) 明纹亮度由一个半波带的子波源发出的光波在 点 干涉叠加的结果决定。 干涉叠加的结果决定。 的增大而减小。 明纹的亮度随φ的增大而减小。
λ
D
物点 一一对应 物点
第20章光的衍射
像点 像斑
ϕ1
可分辨
ϕ1 > δϕ
ϕ2
刚可分辨
ϕ2 = δϕ
ϕ3 < δϕ
ϕ3
不可分辨
瑞利判据: 对于两个等光强的非相干物点,如果一个像斑中心 瑞利判据 对于两个等光强的非相干物点 如果一个像斑中心 恰好落在另一像斑的边缘(第一暗纹处 第一暗纹处),则此两像被认为是刚 恰好落在另一像斑的边缘 第一暗纹处 则此两像被认为是刚 好能分辨。 好能分辨。此时两像斑中心角距离为最小分辨角
对于暗纹有 则:
asinθ
A
δ = ±kλ
φ
θ B
a(sinφ − sinθ ) = ±kλ
kλ sinφ = ± + sinθ a
(k = 1,2,3,L )
asinφ
18
第20章光的衍射
五、其他衍射现象
圆孔的夫琅禾费衍射 爱里斑
θ
ρ
λ
D
角半径
f
一阶贝塞尔函数 第一级极小
sin θ = 1.22
14 第20章光的衍射
条纹的角宽度（条纹位置的另一种表示） 3. 条纹的角宽度（条纹位置的另一种表示） 角宽度——相邻两条纹中心对应的衍射角之差。 角宽度 相邻两条纹中心对应的衍射角之差。 相邻两条纹中心对应的衍射角之差 观测屏 透镜
x2 x1
ϕ明 = (2k +1)
λ
2a
λ
∆ϕ0
衍射屏
∆ϕ1
ϕ1
ρ = f ⋅ tanθ = 1.22
19
λ
D
f 线半径
应用： 应用：星光板 针孔滤波
第20章光的衍射
I
圆孔衍射 光强分布
1.116
l
R
爱里斑
0
0.610
sinφ
l
R
1.619
l
R
由第一暗环围成的光斑 占整个入射光束总光强的84% 整个入射光束总光强的 称为爱里斑 称为爱里斑
20 第20章光的衍射
思考：若将缝 思考： 向上平移， 向上平移，如 图衍射花样怎 么分布？ 么分布？
对于衍射角为φ的一束衍射光，两条边缘光线 对于衍射角为 的一束衍射光，两条边缘光线AP 的一束衍射光 间的光程差： 和BP 间的光程差：
δ = AC = a sinϕ
3
( a 指单缝宽度 )
第20章光的衍射
二、用半波带法分析条纹的形成
12 第20章光的衍射
λ
λ
四、条纹分析
P
δ = AC = a sinϕ
x ≈ a tanϕ = a f
B
ϕ ϕ
·x
0
A C
f
λ 2k 暗纹 2k ⋅ 2 x k = ±1, ±2,L δ =a = λ f (2k +1) 明纹 2
1. 明暗纹位置
fλ x明 = (2k +1) 2a
λ
a
0
λ
a
πa sin θ = kπ λ
11
sin α = 0
2λ a
sin θ
边缘光线 的光程差
暗纹
asinθ = kλ
第20章光的衍射
( k = ±1, ±2L)
例: 单色光垂直入射单缝 AB，在屏上形成衍射条纹。 ，在屏上形成衍射条纹。 若AP 和BP 的光程差 AC＝ ＝ 2.5λ。问： 。 点是明是暗？ (1) P点是明是暗？ 明纹 点是明是暗 点是明是第几级明纹？ (2) P点是明是第几级明纹？ 点是明是第几级明纹
是较好的近似
8 第20章光的衍射
三、用旋矢法求解强度分布
P 主焦点处 中央亮纹
f
θ =0 δ =0
θ
A0
A(θ )
任一衍射角处的强度： 可以用中央亮纹强度来表示 任一衍射角处的强度：
a
9
θ
o
R
f
第20章光的衍射
l = A0
θ
A(θ )
a
=
θ
o
a sin θ
π a sin θ
R
f
2π
边缘光线的相位差
第20章光的衍射
k fλ x暗 = a
k = ±1, ±2,L
13
2. 条纹宽度 中央明纹宽度： 点二侧 中央明纹宽度：O点二侧 第一级暗纹的间距
2fλ ∆x = x1 − x−1 = a
任一明纹宽度： 任一明纹宽度：相邻两 暗纹的间距
fλ ∆x = xk +1 − xk = a
中央明纹宽度是其他明纹宽度的2 ∴ 中央明纹宽度是其他明纹宽度的2倍。
l = A0
圆心角是 Nδ
λ
sin π
A(θ ) = A0
10
λ
λ
a sin θ
第20章光的衍射
A(θ ) = A0
sin π
π
λ
a sin θ
λ
a sin θ
α = a sin θ λ
π
A (θ ) = A0
sin α
α
2
θ = 0 I = I0
2λ − a
I
−
I (θ ) =
sin 2 α
α
I0
B
ϕ
•
1
δ = a sinϕ = 2⋅
点并非亮纹。 但P 点并非亮纹。
λ
2
半波带
1′
D
A
2
2′
半波带
二边缘光线在P 点干涉加强， 二边缘光线在P 点干涉加强，
asin ϕ
二半波带中光线两两对应，干涉相消， 二半波带中光线两两对应，干涉相消， 因此P 点恒为干涉相消点， 因此 点恒为干涉相消点，呈暗纹
o
x−1
kλ ϕ暗 = a
∆ϕ =
2λ ∆ϕ0 = a
f
λ
δ = a sinϕ ≈ aϕ
15
a λ 暗纹 2k ⋅ 2 k = ±1 ±2,L , = (2k +1) λ 明纹 2
第20章光的衍射
能总结出两者的差别吗？ 能总结出两者的差别吗？
单缝衍射条纹
16 第20章光的衍射
6 第20章光的衍射
λ 暗纹 讨论 2k ⋅ 2 δ = AC = a sinϕ = k = ±1, ±2,L (2k +1) λ 明纹 (ϕ ≠ 0) 2
(1) 缝可分为几个半波带？ 由衍射角定 （由P点位置定） 缝可分为几个半波带？ 点位置定） 设半波带数为N 设半波带数为N，则