轴对称及工程分析问题

e
3.2 三结点单元位移函数
参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称 问题的三结点三角形单元位移函数取为， u a1 a2 r a3 z (3-14) w a4 a5r a6 z
轴对称问题的三结点三角形单元是环状单元。
将结点坐标和结点位移代入（3-14）得到
ai a1 1 bi a 2 a 2 A c 3 i aj bj cj am ui bm u j u cm m
应力分量
r { } z zr
r 应变分量 { } z zr
u 位移分量 { f } w
将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到 节点上，
由于[B]中包含1/r，积分运算较为复杂。通常用三角 形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。 1 1 z z c ( zi z j z m ) r rc (ri rj rm ) 3 3
[ B ] Bi

Bj
Bm

0 0 ci bi 0 0 cm bm
{P} [ P 1r
P 1z
P2 r
P2 z ... Pnr
* * w2 ... un
Pnz ]T
* T wn ]
每个节点的虚位移
* * * { *} [u1 w1 u2
在单元中由虚位移引起的虚应变为， * e * e
{ } [ B]{ }
单元中的实际应力为，
{ }e [ D][ B]{ }e
单元面力的移置公式
{R}e 2 [ N ]T {P}rds
s
单元在mi边上受到均布压力q的作用，将载荷移 置到单元结点上。
p r q sin p z q cos
结点i的结点载荷
{ pi } 2
s
q sin Ni rds q cos
s

s
N i rds Li (ri Li r j L j rm Lm )ds
S 沿mi边进行积分时， L j 0 Lm l mi
l mi S Li l mi

s
N i rds
s
1 Li (ri Li rm Lm )ds (2ri rm ) 6
pir q sin (2ri rm )l mi p cos iz 3
bj a j b j c j zc 1 [B j ] rc 2A 0 cj 0 0 cj bj
bi ai 1 bi ci zc rc [ Bi ] 2A 0 ci bm am 1 bm cm zc rc [ Bm ] 2A 0 cm
• 选择合适的单元，设置单元属性。
单元的计算能力，剖分复杂形状几何实体的 能力。
• 定义材料参数。 • 建立几何模型。
4.1 建立有限元模型的要点（续）
• 控制单元密度，划分单元网格。 • 使用统一的物理单位。 力、长度、质量及派生量的单位要统一， 建议选用kg，N，m，sec；常采用kg，N， mm，sec。 • 正确地施加位移约束条件及外载荷。 • 指定分析类型，选择合适的求解器。
单元内的应力分量，
r [ D][ B] e z zr
（3-28）
单元刚度矩阵为，
[ K ]e 2 [ B]T [ D][ B]rdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为，
K rs 2
[ B]T r [ D] [ B]s rdrdz
用整体结点位移表示单元结点位移
{ * }e [T ]e { * }
{ *}T {P} { *}T (([T ]e )T [ K ]e [T ]e ){ }
e
整体刚度矩阵 方程组
[ K ] (([T ]e ) T [ K ]e [T ]e )
[ K ]{ } {P}
bi z j zm b j z m zi bm zi z j
ci rm rj c j ri rm cm rj ri
a j rm zi zi rm
am ri z j z j ri
用矩阵形式表示的单元位移，
ui w i 0 uj Nm w j um wm
径向位移分布
等效应力分布
4 ANSYS软件与工程问题分析
4.1 建立有限元模型的要点 4.2 计算结果的分析 4.3 h方法和p方法 4.4 单元网格划分的控制 4.5 参数化建模
4.1 建立有限元模型的要点
• 根据实际工程问题的特点确定有限元模 型，平衡计算精度与计算规模。
– 利用几何、载荷的对称性简化模型 – 建立等效模型
轴对称分析实例（续）
• 在安装大型设备时，直接拧紧螺栓上的螺母很 困难，通常要使用液压螺栓拉伸器。其工作原 理是：在内孔处用螺纹与螺栓连接；由内外两 层缸体构成液压腔，通入高压液体预拉伸螺栓； 然后拧紧螺母。
英国TENTEC液压螺栓拉伸器
某种结构的拉伸器及其轴对称模型。
内孔直径110mm，压力为190MPa时的拉伸器变形与內 力的分析。
u 1 ( f i ui f j u j f m u m ) r 2A w 1 (ci wi c j w j cm wm ) z 2 A u 1 (ci ui c j u j cmum ) z 2 A w 1 (bi wi b j w j bm wm ) r 2 A
由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，

{ *}T { }dxdydz { f *}T {F}dxdydz { f *}T { p}ds
s
n
离散后的单元组合体的虚功方程为，
{ *}T {P} ({ *}e )T [ B]T [ D][ B]{ }e dxdydz
0 { p} g
移置到结点i上的结点力为，
0 {Ri } 2 N i rdrdz g
Li N i
Lj N j
Lm N m
Li L j Lm 1
r ri Li r j L dz Li (ri Li r j L j rm Lm )drdz
单元刚度矩阵的近似表达式为：
[ K ]e 2rc [ B ]T [ D] [ B ]
K
rs
2rc [ B ]T r [ D] [ B ]s
E (1 )rc br bs f r f s A1 (br f s f r bs ) A2cr cs [ K ]rs 2(1 )(1 2 ) A A1 (cr bs cr f s ) A2br cs
例4.1、方板中心带有圆孔，长宽均为1m，厚度 为5cm，内孔的直径为0.2m 。左右两侧均受到 均布拉力q作用。材料参数及载荷为： E 2.1 105 Mpa
s 240Mpa 0.3
q 50Mpa
计算方板的内应力。
选择有限元模型
根据分析对象的几何与载荷分布的对称 性，采用简化的计算模型。
u Ni f w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
（3-19）
1 Ni (ai bi r ci z ) 2A 1 Nm (am bm r cm z ) 2A
1 Nj (a j b j r c j z ) 2A
3.3 三结点单元刚度矩阵
ai a 4 1 bi a5 a 2 A c 6 i
aj bj cj
am wi bm w j w cm m
1 A 1 rj 2 1 rm
1
ri
zi zj zm
ai rj zm zm rj
bi f 1 i [ Bi ] 2A 0 ci
切向应变分量 在单元中不为常量，其它三个 应变分量在单元中仍为常量。
由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，
1 E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) 1 0

1 1

1

1 0

1 0
1
0 0 1 2 2(1 ) 0
（4-25）
令

1
A1
1 2 A2 2(1 )
A1 1 A1 0 A1 A1 1 0 0 0 0 A2
1 A E (1 ) 1 [ D] (1 )(1 2 ) A1 0
ai czi f i bi r r
用几何矩阵表示单元的应变，
{ } [ B] { }e
[ B] [ Bi Bj Bm ]
0 b j f 0 [B ] 1 j j ci 2A 0 bi c j 0 bm f 0 1 [B ] m cj m 2A 0 bj cm 0 0 cm bm
A1 (br cs f r cs ) A2 cr bs cr cs A2br bs
3.4载荷移置
与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载 荷。单元体力{p}的移置，
{R}e 2 [ N ]T { p}rdrdz
假定对称轴垂直于地面，单元上仅受到重力作 用，将重力移置到单元结点上。
4.5 轴对称分析实例
封头作为压力容器中的重要受力部件，对其质 量、强度、安全性等有很高的要求。核电压力 容器要求采用带法兰的整体锻造封头，封头与 坯料的形状如图所示。坯料形状设计是成形工 艺设计的关键。