指数与指数幂的运算备课教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）

第一课时 根式

教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解

教学方法：学导式

教学过程：

（I ）复习回顾

引例：填空

*)n a

a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)；_____=；

（II ）讲授新课

1.引入：

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n

a a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n

b a )(可看作

m

n

a a -⋅，所以n n

n b

a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分

数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：

分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有：

2.n 次方根的定义：（板书）

问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？

分析过程：

解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。

结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =

解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：当n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n 次方根有两个

且互为相反数，负数没有n 次方根。此时正数a 的n 次方根可表示为：

)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

解：因为不论n 为奇数，还是偶数，都有0n =0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质：

3 n 次方根的性质：（板书）

*)(2,12,N k k

n a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中 叫根式，n 叫根指数，a 叫被

开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

n a

①

a a n

n

=）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

由所得结果，可有：（板书）

②

⎩⎨⎧=为偶数

为奇数；n a n a a n

n

|,|,

性质的推导如下：

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）例题讲解

注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值

（IV）课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业

1、书面作业：

a.求下列各式的值

b.书P82习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时分数指数幂

教学目标：

(一)教学知识点

1.分数指数幂的概念.

2.有理指数幂的运算性质.

( 二)能力训练要求

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

(三)德育渗透目标

培养学生用联系观点看问题.

教学重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：

对分数指数幂概念的理解.

1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

教学过程：

（Ⅰ）.复习回顾

［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.

整数指数幂运算性质

(1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z ) 根式运算性质

(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )

⎩

⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a n

n

,,

(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z )

［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a ＞0，m ，n 是分数时也成立.

(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a ＞0，m ,n 是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)

［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数a n 的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性.

接下来，我们来看几个例子.

例子：当a ＞0时