《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
泰勒公式及其应用
本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。
本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。
对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应⽤泰勒公式的应⽤内容摘要：泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及⾏列式的计算等⽅⾯有重要的应⽤。
本⽂着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯进⾏论述。
关键词：泰勒公式⽪亚诺余项级数拉格朗⽇余项未定式⽬录内容摘要 0关键词 01.引⾔ (2)2.泰勒公式 (2)2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式 (2)2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式 (2)2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2)2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3)3.泰勒公式的应⽤ (3)3.1利⽤泰勒公式求未定式的极限 (3)3.2利⽤泰勒公式判断敛散性 (6)3.3 利⽤泰勒公式证明中值问题 (11)3.4 利⽤泰勒公式证明不等式和等式 (13)4. 结束语 (19)参考⽂献 (20)1.引⾔泰勒公式是数学分析中⼀个⾮常重要的内容，微分学理论中最⼀般的情形是泰勒公式, 它建⽴了函数的增量,⾃变量增量与⼀阶及⾼阶导数的关系，将⼀些复杂的函数近似地表⽰为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有⼒杠杆。
我们可以使⽤泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定⽆穷⼩的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。
本⽂着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个⽅⾯的具体应⽤⽅法。
2.泰勒公式2.1具有拉格朗⽇余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个ξ使得：当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。
2.2带有⽪亚诺型余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有:2.3带有积分型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内具有n+1阶导数,令x ∈()0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间⾄少?⼀个t 使得:()()()()()()()()()dt t x t f n x x n x f x x x f x f x f n x x n n n -+-?+-+=?+010000'0!1!)(其中()()()dt t x t fn n x x n -?+01!1就是泰勒公式的积分型余项。
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《泰勒公式及其应用》的开题报告《泰勒公式的验证及其应用》的关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。
2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。
泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。
对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。
3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。
三、结论。
4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案：1.对泰勒公式的证明方法进行归纳；2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。
实行进度：研究时间为第8 学期，研究周期为9周。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用许文锋华南师范大学数学科学学院信息与计算科学专业 2007级6班指导老师：谢骊玲中文摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用.关键词：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用Taylor Formula and its ApplicationXu WenFeng（Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School ofMathematics,South China Normal University)Tutor:Xie LiLingAbstractThis paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation. And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some non—mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design.Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization, applications一、前言对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数f在0x 点可导，则)())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο，即在点x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x-的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论；第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。
泰勒公式及其应用论文)
泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。
在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则 '''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1.研究广义积分4dx +∞⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()f x =112233)(1)2x x=++--22223191131911())(1())22828o o x x x x x x =+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4dx +∞⎰.例2．讨论级数1n∞=∑的敛散性.注意到11ln ln(1)nn n+=+,若将其泰勒展开为1n的幂的形式,开二次方后恰与,会使判敛易进行.解：因为2341111111ln ln(1)234nn nn n n n n+=+=-+-+<,所以<所以nu=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>=-,所以332211)22nun n=-=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。
多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用江爱珍 B09010108 通信一班摘要：本文简单介绍了泰勒公式，并从六个方面来简要地介绍了其广泛的应用，分别是等式与不等式的证明、极限的计算、近似计算和误差估计，求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值，判断级数的敛散性.关键词：泰勒公式，极限，近似计算和误差估计，极值，展开式，行列式，敛散性引言：泰勒公式是高等数学极其重要的内容，是函数展开的重要工具它可以使较为复杂的函数用简单的多项式函数来表示，更简便的解决数学问题。
本文将用例题来说明泰勒公式的应用的几个方面，并对解题方法做出总结。
一、泰勒公式的介绍18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在其著作《正 的和反的增量方法》中，提出了著名定理——泰勒定理。
泰勒公式有如下两种定义：定义1]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n nfx x x o x x n +-+- （1）这里))((0nx x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnn x o xn fx f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n fR x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xnxxn en xxx eθ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nxo n xxxx x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxx o xn =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n nxo n xxxx x .)(1112nn x o x x x x+++++=- .二、 泰勒公式的应用1.应用泰勒公式证明例1．证明 e x i x ixsin cos += 证明：将cosx ，sinx 在x=0点泰勒展开有：cosx=∑∞=-02)!2()1(n nnn x sinx=∑∞=++-012)!12()1(n n nn x又cosx=∑∞=-02)!2()1(n n n n x =∑∞=022)!2(n n nn xi=∑∞=02)!2()(n nn ixisinx=∑∞=++-012)!12()1(n n n n ix=∑∞=++012)!12()(n n n ix所以 cosx+sinx=∑∞=02)!2()(n n n ix +∑∞=++012)!12()(n n n ix =∑∞=0!)(n nn ix =e ix ,证毕。
泰勒公式及应用论文
泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)带有积分型余项的泰勒公式 (2)带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)利用泰勒公式求极限 (3)利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。
关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用泰勒公式是微积分中的一个基础公式，用于将一个函数在某个点处展开成幂级数的形式。
泰勒公式在物理，工程和数学等领域中至关重要，因为它提供了一个计算一些复杂函数的函数值的便捷方法。
本文将介绍泰勒公式的基本原理及其在各个领域中的应用。
泰勒公式的基本原理在数学中，泰勒公式是利用函数在某一点的导数展开成无限级数的公式。
假设给定一个函数 $f(x)$，我们希望将其在 $x=a$ 处展开成幂级数的形式。
此时，根据泰勒公式，我们可以得到:$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
公式中展开成无限级数的所有$n$ 阶导数都被合并到一个系数中，即 $(x-a)^n$ 剩下的就是阶乘算法。
一般来说$=\frac{d^{n} f}{dx^{n}}$，就是将$f$求导$n$次例如，如果我们要将函数 $y=\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为幂级数的形式，我们可以使用泰勒公式:$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots $$这个级数的每一项都根据 $n$ 的变化而变化，这确定了它的无限和。
通过泰勒公式，我们得到了一个幂级数的形式，使我们能够计算不同的 $x$ 值的函数值。
泰勒公式的应用范围泰勒公式的应用范围非常广泛。
下面我们将重点介绍泰勒公式在物理，工程和数学等领域中的应用。
1. 物理学应用泰勒公式在物理学中的应用非常广泛。
例如，当我们研究两个物体之间的吸引力时，我们可以使用牛顿万有引力定律：$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$$其中，$F$ 是物体之间的引力，$m_1$ 和 $m_2$ 是两个物体的质量，$r$ 是两个物体之间的距离，$G$ 是宇宙引力常数。
【论文】泰勒公式及其应用开题报告
九、开题审查小组意见
开题审查小组组长签名：201年月日
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七、主要参考文献
[1]刘云,王阳,崔春红.浅谈泰勒公式的应用[J].和田师范专科学校学报，2008，（2）：196-197.
[2]邓晓燕,陈文霞.泰勒公式的推广及其应用[J].高等函授学报(自然科学版),2012,(1):61-63.
[3]张云艳.Taylor公式的应用补遗[J].洛阳师范学院学报,2007,(5):175-176.
在2002年—2012年十年为时间范围，以“泰勒公式”和“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章。
在这些文献中作者在不等式或者等式的证明或者计算时都充分利用了泰勒公式的定理和性质，但方法新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。泰勒公式的应用是非常广泛的，对于泰勒公式的研究还在进行中，我相信通过今后的不断努力研究，泰勒公式还能发挥出更多的作用。
四川大学数学学院陈丽教授在《关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会》一文中把当下最流行的明星模仿秀的概念引用到函数上来，把函数比喻成明星然后用其他的简单函数来模仿明星函数，通过认识其他简单函数来认识明星函数，将深奥难懂的数学知识与时代流行结合起来，这样学生对与函数的理解就深刻多了，对泰勒公式的应用也就轻松了。
第四阶段：2013年1月9日—3月初，提交毕业论文电子稿和纸质稿各一份交给指导老师审查，便于老师及时提出修改意见。
第五阶段：2013年3月初至4月初，修改论文，将毕业论文的修订稿交与指导老师审查，并最终确定论文的内容，并根据论文规范写作。最后提交论文，做论文答辩。
第六阶段：2013年4月6日—4月21日，论文答辩阶段，整理相关材料，做好毕业论文答辩准备工作。
泰勒公式及其应用论文
学士学位论文泰勒公式及其应用2012年5月18日毕业论文成绩评定表院（系）：数学与信息学院学号：独创声明本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．此声明的法律后果由本人承担．作者签名:二〇一二年五月十八日毕业论文使用授权声明本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定．本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．（保密论文在解密后遵守此规定）论文作者（签名）：二〇一二年五月十八日目录1.引言 (1)2. 泰勒公式及其应用 (1)2.1预备知识 (1)3 泰勒公式的应用 (3)3.1利用泰勒公式求极限 (3)3.2利用泰勒公式求不等式 (3)3.3利用泰勒级数判断级数的敛散性 (4)3.4利用泰勒公式证明根的唯一性 (5)3.5利用泰勒公式判断函数的极值 (5)3.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式 (6)3.7利用泰勒公式进行近似计算 (6)3.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 (7)3.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 (8)参考文献 (8)致谢 (8)泰勒公式及其应用（数学与信息学院 数学与应用数学 2008级数本2班20082112010）摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容 ，并介绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 拉格朗日余项 应用Taylor formula and it ’s application(20082112010 Class 2 Grade 2008 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information)Abstract:In the mathematical analysis Taylor formula is a important content. This paperdiscusses the definition of Taylor formula, content, and introduces the Taylor formula nine application and give an example. Use Taylor formula for inequality, please limit, folding proof scattered sex, theuniqueness of root, a series of Taylor function of application, make us more clearly know the importance of Taylor formula.Keywords: Taylor ’s formula The emaining of the Piano The remaining of the LagrangianApplication1.引言泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.2. 泰勒公式及其应用2.1 预备知识定义[]12.1 若函数f 在0t 存在n 阶导数,则有()()()()()()()()()()20000001!2!!n n nn n f t f t f t f t f t t t t t t t o t t n '''=+-+-++-+-（1）这里()()0no t t -为皮亚诺余项,称（1）f 在点0t 的泰勒公式.当0t =0时,（1）式变成()()()()()()200001!2!!n nn f f f f t f t t t o t n '''=+++++称此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2 若函数f 在0t 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则()()()()()()()()200000()1!2!!n nn n n f t f t f t f t f t t t t t t t R t n '''=+-+-++-+（2）这里R （n ）为拉格朗日余项()()()110()()1!n n f R n t t n α++=++,其中α在t 与0t 之间,称（2）为f 在0t 的泰勒公示.当0t =0时,（2）式变成()()()()()20000()1!2!!n nn f f f f t f t t t R t n '''=+++++称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.其中,常见函数的展开式:()()()()21135212224222311212!!(1)!sin (1)()3!5!21!cos (1)()2!4!2!ln 1(1)()231111n n a n n nn nnn n n n n n a a e e a a n n t t t t t o t n t t t t t o t n t t t x t o t n t t t t t++++++=++++++=-+++-++=-+-+-++=-+-+-++=+++++-定理[]12.1 （介值定理）设函数g 在闭区间],[21x x 上连续。
吴青青《泰勒公和其应用》
附件1：贵州师范学院毕业论文（设计）规范格式学科分类号本科毕业论文题目（中文）：泰勒公式及其使用（英文）：Taylor formula and its application姓名吴青青学号0906020630260院（系）数学和计算机科学学院专业、年级09级数学和使用数学指导教师黄黎明职称二0一二年六月泰勒公式及其使用吴青青摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是使用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其使用在数学领域上的几个使用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的使用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的使用做详细的介绍.关键词：泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点；展开式；近似计算AbstractThe Taylor formula is the important part of the theory of mathematical analysis, it has become an indispensable tool in the study of the limit of function and estimation error etc., embodies the essence of calculus " approach ", which is a generalization of the calculus mean value theorem, is also an important tool to be used in high order derivative function of the state, it is so widely used. Several applications in the field of mathematics, this paper introduces the application of Taylor formula are discussed . In this paper, in addition to the Taylor formula in the common approximate calculation, limit, inequality, extrapolation and the demand curve asymptote equation for solution is proved, in particular, the Taylor formula of convex function and turning point judgment, generalized integral convergence applications, bounded estimation and the uniqueness of the 4 applications in detail.Keywords：Taylor formula；the maximum；Convergence and divergence；convexity concavity；inflection point；expansion；approximation目录第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义 (1)1.2 章节安排 (1)第二章泰勒公式2.1 泰勒公式的背景 (3)2.2 泰勒公式 (3)2.3 常见函数的展开式 (4)第三章泰勒公式在高等数学学习中的使用3.1 利用泰勒公式求极限 (6)3.2 利用泰勒公式求近似值 (7)3.3 利用泰勒公式讨论级数和广义积分的敛散性 (8)3.4 利用泰勒公式证明不等式 (9)第四章泰勒公式在实际生活中的使用4.1 泰勒公式在地采金属矿山中的使用的发展 (11)4.2 泰勒公式的实例测算 (12)归纳总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第一章绪论1.1 研究《泰勒公式及其使用》现状、动机和意义泰勒公式是《数学分析》的重要组成部分，也是作为求极限，近似计算，讨论积分的敛散性，求高阶导数，求麦克劳林公式中最基础的知识和不可取代的重要部分，泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际使用中是一种重要的使用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.作为一个数学专业的数学生来说，这无疑是一个很大的诱惑，对其基础理论的探讨和研究，和其在对其他科目的作用和意义以及其在现实生活中的使用也是我对这个课题感兴趣的主要原因。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用【摘 要】：通过对数学分析的学习我们知道，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓.泰勒公式是用一个n 次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.本文首先介绍了泰勒公式的概念，以及泰勒公式的两种不同余项的类型；接着对泰勒公式的应用做了详细的论述，如“近似计算”、“求极限”、 “根的唯一存在性的证明”、 “在不等式证明中的应用”、“判断函数的极值”、“函数凹凸性及拐点判断”等做了详细的介绍,并得出相应的结论.【关键词】： 泰勒公式； 佩亚诺余项； 拉格朗日余项1 引言泰勒（ Taylor ）是18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一.泰勒公式是泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒从牛顿二项式展开定理得到启发，形式上得到下列展开式：,)()(432 +++++=+Dh Ch Bh Ah x f h x f但是他没有给出该展式的证明及其成立的条件.拉格朗日引进了导函数的概念，并证明了公式：,!)(!2)()()()()(2 +++''+'+=+n n h n x f h x f h x f x f h x f 并用余项讨论所展开的泰勒多项式的性质.泰勒公式在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 同时，泰勒公式在分析和研究数学问题中也有着重要作用,它可以应用于求极限、根的存在唯一性的证明、 不等式的证明、判断函数的极值、函数凹凸性及拐点判断等方面.因此，本文对泰勒公式及其应用做了详细论述.2 泰勒公式的基本内容2.1 泰勒公式的概念我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f 在点0x 可导，则有).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为)(0x x -的高阶无穷小量. 然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为))((0n x x -ο，其中n 为多项式的次数.为此，我们考察任一n 次多项式,)()()()(0202010n n n x x a x x a x x a a x P -++-+-+=逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到,!)(,,!2)(,)(,)(0)(201000n n n n n n a n x P a x P a x P a x P ==''='=即.!)(,,!2)(,!1)(),(0)(020100n x P a x P a x P a x P a n n n n n n =''='== 由此可见，多项式)(x P n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定. 定义1：对于一般函数f ，设它在点0x 存在n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T -++-''+-'+=称为函数f 在点0x 处的泰勒（Taylor ）多项式，)(x T n 的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k = 称为泰勒系数.由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的n 阶导数，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x f k n k ==定义2：若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则有 ))(()()(0n n x x x T x f -+=ο即).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 称上式为函数f 在点0x 处的泰勒公式注1： 泰勒公式由)(x f 的n 次泰勒多项式)(x P n 和余项])[()(0n n x x x R -=ο组成，当1=n 时，有))(()()(0001x x x f x f x P -'+=是)(x f y =的曲线在点))(,(00x f x 处的切线（方程），称为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的一次密切.显然，切线与曲线的差异是较大的.当2=n 时，有,)(!2)())(()()(2000002x x x f x x x f x f x P -''+-'+= 是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的“二次切线”，也称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.2.2泰勒公式的类型及其证明（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒（Taylor ）公式：若函数)(x f 在点0x 存在n 阶导数，则有).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=ο 证明：设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证0)()(lim 0=-x Q x R nn x x 由 n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n nn ， 并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)()1(x f n -.于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到 0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理1成立.注2：当00=x 时, 上式也称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即).(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式若函数f 在],[b a 上有n 阶连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意的],[,0b a x x ∈，必存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中.10),(00<<-+=θθξx x x 称 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ为拉格朗日型余项证明：作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G 则要证明,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 成立，即证 )!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得 )!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ.注3：当00=x 时, 上式也称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式,即1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ ).10(<<θ注4：泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有不同的特点.从定理的条件看，泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是)(x f 在点0x 存在n 阶导数；而拉格朗日型余项成立则要求函数)(x f 在点0x 的邻域内)()(x f n 连续，且存在)1(+n 阶导函数)()1(x f n +；后者所需条件比前者强.从余项形式看，佩亚诺型余项))((0n x x -ο是以高阶无穷小量的形式给出的，是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用)1(+n 阶导数形式给出的，利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计.从证明方法看，佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的.从应用方面看，佩亚诺型余项在求极限时用的较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用的较多（在后面的论述中可见）.（3）六个常用函数的麦克劳林(Maclaurin)公式 ),(!!212n nxx n x x x e ο+++++= );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο );,(,10+∞-∞∈<<x θ ),()1(32)1ln(132n n n x nx x x x x ο+-+++-=+- ;1,10-><<x θ ),(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+;1,10-><<x θ )(1112n n x x x x x ο+++++=-.1,10<<<x θ3 泰勒公式的应用3.1在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经有很多方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例 设函数)(x f 在]2,0[上二阶可导，且在]2,0[上1)(≤x f ，1)(≤''x f .证明在]2,0[上成立2)(≤'x f .证明：]2,0[∈∀x ，把)0(),2(f f 在点x 处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式，有x x f x x f x f f <<''+'-=1210,!2)()()()0(ξξ， 2,)2(!2)()2)(()()2(222<<-''+-'+=ξξx x f x x f x f f ， 上面两式相减后有.2)()2(2)()0()2()(22122x f x f f f x f ξξ''+-''--=' 再应用1)(≤x f ，1)(≤''x f ，可得2)2(2)(222x x x f -++≤' 1)1(22+-+=x,4≤于是有2)(≤'x f3.2判断函数的极值例 (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .(i)若0)(0''<x f ,则f 在0x 取得极大值.(ii) 若0)(0''>x f ,则f 在0x 取得极小值.证明：由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式 ))(()(!2)()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)(0'=x f ,因此 200''0))](1(2)([)()(x x o x f x f x f -+=- (*) 又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(210''x f 与)1()(210''o x f +同号.所以,当0)(0''<x f 时,(*)式取负值,从而对任意);('0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值.3.3 证明根的唯一存在性例 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值性定理证明.证明： 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调递减,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调递减.在a 点展开一阶泰勒公式有 ''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有-∞=∞→)(lim x f x ,从而必存在b a >,使得()0f b <,又因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值性定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.3.4判断函数凹凸性及拐点泰勒公式在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理1 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上具有一阶和二阶导数.若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的.证明：设c d <为[,]a b 内任意两点，且[,]c d 足够小.12x x <为[,]c d 中的任意两点，记012()/2x x x =+由定理条件的泰勒公式 22000000()()()()()()()2!f x x x f x f x f x x x o x x ''-'=+-++- 由此，2012001002010()()()2()()()()()()2!f x f x f x f x f x x x f x x x x x ''''+=+-+-+- 2220102020()()()()2!f x o x x x x o x x ''+-+-+- 因为余项为2()n x x -的高阶无穷小，且12[,]x x 足够小，所以泰勒公式22000()()()2!f x x x o x x ''-+-的符号与0()f x ''相同. 又因为 012()/2x x x =+，所以 010020()()()()0f x x x f x x x ''-+-=，由此可得： 2222201200101020()()()2()()()()()02!x x f x f x f x f x x x o x x o x x -''+-=-++-+-> 即 120()()2()0f x f x f x +->，从而 012()[()()]/2f x f x f x <+.由12,x x 的任意性，可得()f x 在足够小的区间[,]c d 上是凹的.再由,c d 的任意性，可得()f x 在[,]a b 内任意一个足够小的区间内部都是凹向的. 例 ,4判断（0）是否是 x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点.解： ()2sin ,x x x x ´-ƒ=e -e - (0)´ƒ0=()x x x ´´-ƒ=e -e -2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin ,x x x x ´´´-ƒ=e -e + (0)´´´ƒ=0(4)(),x x x -ƒ=e -e -2cosx (4)(0)ƒ=4≠0因为n =4时，(4)(0)ƒ=4≠0所以,4（0）不是x x -ƒ(x)=e +e +2cosx 的拐点. 3.5利用泰勒公式进行近似计算例1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001.解： 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)(1)()23nn n x x x Ln x x R x n-+=-+++-+, 其中11(1)()(1)(1)n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使 111(0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1)n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可.因此.0001.0R 1823.000006.000040.000267.002.02.02.15<=+-+-≈其误差Ln例2 计算lg11的值,准确到5-10.解: 111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+ 因为23ln(1)23x x x x +=-++……+1n n x n -(-1)n +(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ，1x 0<θ<1, >-， 要使 (1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+ 则 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故 11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139. 结论 1 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈+ + + + , 其误差是余项()n R x .当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.3.6利用泰勒公式求极限例1 求2240cos lim x x x e x -→-.分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较繁琐.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x e o -=+-+-+- 又244cos 1()2!4!x x x o x =-++ 所以 24442111cos ()()()2484x x e x o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故 2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x ex x -→∞→∞-+-==-.例2 求极限 )0(2lim 20>-+-→a xa a x x x 解：利用函数x a 带有佩亚诺型余项)(2x ο的麦克劳林展开有 )(!2ln ln |1222x x a x a a xο++⋅+=)(!2ln ln 1222x x a x a a x ο++⋅-=- 于是 a xx x a x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+⋅=-+→-→ο 结论2 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.参考文献:[1]华东师大数学系编.数学分析（上册，第三版）[M].北京：高等教育出版社.[2]吴良森等编著.数学分析学习指导书.上册/[M].北京：高等教育出版社.[3]裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社.[5]朱永生, 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报Taylor’s Formula and its ApplicationTeacher: ZhangChunXia student: WuQiaoLing(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou, 730070, China) Abstract: Through the analysis of the learning of mathematics we know, Taylor formula embodies the calculus "approximation" the essence. The Taylor formula is a polynomial approximation to function. The polynomial is simple in form, and easy to calculate and other advantages. This paper firstly introduces the concept of the Taylor formula, Taylor formula two different types of remainder; then Taylor formula application are discussed in detail, such as the "approximate", "limit", "the root of the only proof of existence", "Application in proving inequalities", "judging extremum of function", "convex function and turning point judgment." introduced in detail, and draws the corresponding conclusion. Keyword: Taylor formula, Peano remainder, Lagrange remainder。
泰勒公式及其应用论
本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目录一、泰勒公式 (1)（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)二、公式的应用 (3)（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)三、结论 (14)参考文献 (15)序 言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.[]1因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000'()''()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.[2]泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1[]3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n nn f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.证明 作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，所以要证明的式子即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且 0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F ， 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ， 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.（二）带Peano 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2[]3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())nf x Tn x o x x =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()nx x -高阶的无穷小量.证明 设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只需证0)()(lim0=-x Q x R nn x x .由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n .并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- ，因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当o0x U x ∈（）且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理2成立.当00x =时，得到泰勒公式)10(,)!1()(!)0(...!2)0('')0(')0()(1)1()(2<<++++++=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ，该式称为（带有Lagrange 余项的）麦克劳林公式. 当上式中00x =时有()2''(0)(0)()(0)'(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，它称为（带有Peano 余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x xn ≈++++[]4，其误差是余项()n R x . 例1[]5：计算e 的值，使其误差不超过610-.解 应用泰勒公式有11111...2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++，(01)θ<<，估3(1)!(1)!n e R n n θ=<++，当=9n 时，便有6331010!3628800n R -<=<， 从而略去9R 而求得e 的近似值为718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e . 例2[]5: 求21x edx -⎰的近似值，精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+，逐项积分，得2421111121(1)2!!nx nx x edx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰111111(1)32!5!2n 1n n =-+-+-++11111111310422161329936075600=-+-+-+-+，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤<，所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明： 例3[]6：求极限2240cos limx x x ex -→-.解 考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4n ）245cos 1()224x x x o x =-++ ，)(82154222x o x x ex ++-=-，)(12cos 5422x o x ex x +-=--，因而求得，245244001()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-. 例4[]7: 求极限 )3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x xx x x x e x x +--+---→.解 )(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+ )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-)(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+，原式=5505527()40lim 6()5x x o x x o x →++=169.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况. (2)分子或分母中有无穷小的差， 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. (3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明： 例5[]8: 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且()0f a >，'()0f a <，对(,)x a ∈+∞，''0f ≤证明 ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析： 这里()f x 是抽象函数，直接讨论()0f x =的根有困难，由题设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且()0f a >，'()0f a <，可考虑将()f x 在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明 因为''()0f x ≤，所以'()f x 单调减少，又'()0f a <，因此>x a 时，''()()0f x f a <<， 故()f x 在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<.由题设'()0f a <，'()0f ξ≤，于是有lim ()x f x →∞=-∞，从而必存在b a >，使得()0f b <，又因为()0f a >，在[,]a b 上应用连续函数的介值定理，存在0(,)x a b ∈，使0()0f x =，由()f x 的严格单调性知0x 唯一，因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.例6[]8： 设()f x 在(,)-∞+∞内有连续三阶导数，且满足方程，()()'(),01f x h f x hf x h θθ+=++<<. （1）试证：()f x 是一次或二次函数.证明 问题在于证明：''()0f x ≡或'''()0f x ≡.为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无 关.我们有'()'()''()f x h f x h hf x h θθθ+=+++， （2） 从而'()'()'()'()''()f x h f x f x f x h f x h hθθθ+-+-+=+.令0→h 取极限，得''()''()''()f x f x f x θθ-=，''()2''()f x f x θ=. 若21≠θ，由此知)(,0)(''x f x f ≡为一次函数；若21=θ，（2）式给出 111'()'()''()222f x h f x h hf x h +=+++，此式两端同时对h 求导，减去''()f x ，除以h ，然后令0→h 取极限，即得'''()0f x ≡，()f x 为 二次函数. 例7[]9： 已知函数)(x f 在区间(-1,1)内有二阶导数，且(0)'(0)0f f ==，''()()'()f x f x f x ≤+试证：0δ∃>，使得δδ-（，）内()0f x ≡. 证明 为了证明)(x f 在0=x 处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的)(x f ，)('x f 在0=x 处按公式展开.注意到(0)'(0)0f f ==.我们有22''()1()(0)'(0)''()22f f x f f x x f x ξξ=++=， '()'(0)''()''()f x f f x f x ηη=+=.从而21()|'()|''()''()2f x f x f x f x ξη+=+， 今限制11[,]44x ∈-，则()'()f x f x +在11[,]44-上连续有界，011[,]44x ∃∈-，使得 001144()'()max ()'().x f x f x f x f x M -≤≤+=+≡我们只要证明0M =即可.事实上20000001()'()''()''()2M f x f x f x f x ξη=+=+， ))('')(''(4100ηξf f +≤， ))()(')()('(410000ηηξξf f f f +++≤， 11242M M ≤⋅=. 即102M M ≤≤.所以0M =，在11[]44-，上()0f x ≡.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明： 例8[]9： 设)(x f 在],[b a 上三次可导，试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()'()()'''()()224a b f b f a f b a f c b a +=+-+-. 证明 设k 为使下式成立的实数：31()()'()()()0224a b f b f a f b a k b a +-----=， 这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =.令31()()()'()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +=-----=. 则0)()(==b g a g ，根据Rolle 定理，(,)a b ξ∃∈，使得,0)('=ξg 即：1'()'()''()()202228a a a f f f k a ξξξξξ++-----=. 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式： 21'()'()''()'''()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--=++=. （五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析. 例9[]9： 设)(x f 在[0，1]上有二阶导数，10≤≤x 时|()|1f x ≤，''()2f x <.试证：当10≤≤x时，|'()|3f x ≤.证明 21(1)()'()(1)''()(1)2f f x f x x f x ξ=+-+-， 21(0)()'()()''()()2f f x f x x f x η=+-+-， 所以2211(1)(0)'()''()(1)''()22f f f x f x f x ξη-=+--， 22)1(|)(''|21)(''21|)0(||)1(||)('|x f x f f f x f -+++≤ξη，222(1)213x x ≤+-+≤+=.例10[]10： 设)(x f 二次可微，(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，试证01max ''()16x f x ≤≤≤-.证明 因)(x f 在[0,1]上连续，有最大、最小值.又因01max ()2x f x ≤≤=，(0)(1)0f f ==，最大值在(0,1)内部达到.所以)1,0(0∈∃x 使得001()max ()x f x f x ≤≤=.于是)(0x f 为最大值.由Fermat 定理，有0'()0f x =，在0x x =处按泰勒公式展开，)1,0(,∈∃ηξ使得：22000110(0)()''()(0)2''()22f f x f x f x ξξ==+-=+， 22000110(1)()''()(1)2''()(1)22f f x f x f x ηη==+-=+-.因此22010044max ''()min{''(),''()}min{,}(1)x f x f f x x ξη≤≤≤=---. 而 01[,1]2x ∈时，222000444min{,}16(1)1x x x --=-≤---（）， 01[0,]2x ∈时，222000444min{,}16(1)x x x --=-≤--， 所以 01max ''()16x f x ≤≤≤-.由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.[]7例11[]11： 设)(x f 在],[b a 上二次可微，''()0f x <.试证：12...0,n i a x x x b k ∀≤<<<≤≥，11nii k==∑，有)()(11i ni i i ni i x f k x k f ∑∑==>.证明 取01ni ii x k x==∑，将)(i x f 在0x x =处按泰勒公式展开有：20000))((''21))((')()(x x f x x x f x f x f i i i i -+-+=ξ， ))((')(000x x x f x f i -+<， (1,2,3...,)i n = 以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑，11()0nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑，得)()()(101∑∑===<ni i i i ni ix k f x f x f k.例12[]11: 当0x ≥时，证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+，00x =，则 '''''''''(0)0(0)0(0)0()1cos (0)0f f f f x x f ====-≥，，，，.带入泰勒公式，其中=3n ，得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-. 由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn na1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p n b nn p nn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn pn11（0>p 中的p 值）.如 当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n ， 当1=p 时，此时∑∞=11n n发散，但是01lim =∞→na n n . 在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得lim 1n n p a t n→∞=且0t <<+∞，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性. 例13[]11:讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到11lnln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的形式，相呼应，会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<， 所以<从而0n u=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>==-， 所以332211)22nun n=-<-=.因为31212n n∞=∑收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14[]12:求211x x++的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xx x x-=++-36934679103467910(1)(1)1()222222222(1)[sin]3nnx x x x x x x x x x xx x x x x x xnxπ∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果()f x泰勒公式已知，其通项中的加项nxx)(-的系数正是)(!1)(xfnn，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15[]12: 求函数x exxf2)(=在1x=处的高阶导数(100)(1)f.解设=+1x u，则eeueuugxf uu⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(nn gf=，ue在=0u的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuue u++++++= ，从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ，而()g u 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ，从()g u 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 100(0)121()100!98!99!100!g e =++，100(0)10101g e =⋅,e gf 10101)0()1(100100==.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项nx x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n .在求导数时只需在系数上乘以!n 即可. 三、结 论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，《数学分析》（上），高等数学出版社，2008，134-141[2]裴礼文，《数学分析中的典型问题及方法》，高等教育出版社，2009，150-157[3]同济大学数学教研室主编，《高等数学》，人民教育出版社，2007，139-145[4]刘玉琏，《数学分析讲义》，人民教育出版社，2000，120-138[5]张利凯，《高等数学学习辅导》，科学技术文献出版社，2002，138-156[6]M.克莱因，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1988，165-168[7]W.盖勒特、H.奎斯特纳等，《简明数学全书Ⅱ.高等数学与现代数学》，上海科学技术出版社，1985，295-297[8]H.J.巴茨，《数学公式书册》，科学出版社，1987，439-440[9]闵祥伟，《高等数学学习指导与例题分析》，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-540[10]吴炯圻，陈跃辉等，《高等数学及其思想方法与实验》（上），厦门大学出版社，2008，122-127[11]上海财经大学应用数学系，《高等数学》，上海财经大学出版社，2004，66-71[12]蔡子华，《新编高等数学导学》，科学出版社，2002，336-337，369-376（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
泰勒公式及其应用论文.doc
泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数)(x f 在0x 处存在n 阶导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n +-++-''+-'+ , (1)])[()(0n n x x x R -=ο,)(0x x →,即)(x R n 是比n x x )(0-的高阶无穷小. (1)式称为)(x f 在0x 处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项])[()(0nn x x x R -=ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项])[(0n x x -ο只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项)(x R n 的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)()()(00)(2000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+= , (2) 1)1()()!1()()(0++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项,其中ξ在x 与0x 之间,称(2)式为)(x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式.当00=x 时, (2)式变成)(!)0(!2)0()0(')0()()(2x R x n f x f f f x f n nn ++++= ,1)!1()()()1(++=+n n x n f x R n ξ,其中ξ在0与x 之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (3))()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ,其中ξ在x 与0x 之间,称(3)式为)(x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时, (3)式变成)(!)0(!2)0()0()0()()0(2x R x n f x f x f f x f n n+++''+'+= ,1)1()1(!)()(++-=n n n n x n x f x R θθ,其中10<<θ,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (4)⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(,称(4)式为)(x f 在0x 带积分余项的泰勒公式.3.常见函数的展开式12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nx o n x x x x x ；24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+；)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x ； )(1112n n x o x x x x+++++=- ；+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算e 的值,使其误差不超过610-.解 x e x f =)(,由x n e x f=+)()1(,得到12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ,10,<<θ)(∞+-∞∈，x .有: )!1(!1!2111++++++=n e n e θ,故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有691036288003!103)1(-<=<R , 从而略去)1(9R 而求得的近似值为.718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e例2 2128x x ≈+-,[0,1]x ∈的绝对误差.解 设()f x =则因为1)0(=f ,21)1(21)('-+=x x f , 21)0('=f ,23)1(41)(''-+-=x x f , 41)0(''-=f ,.)1(83)('''25-+=x x f所以x x f +=1)(带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：2532)1(168211-++-+=+x x x x x θ,)10(<<θ.从而：161)1(16)(2532≤+=-x x x R θ ,]1,0[∈x . 2.利用泰勒公式求极限正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的00、∞∞型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求30)1(sin lim x x x x e x x --→的极限. 解 因为分母为3x ,故分子的泰勒展开式中取3=n .)(!3!21332x o x x x e x++++= , )(!3sin 43x o x x x +-=.30)1(sin lim x x x x e xx --→3433320)1()](!3)][(!3!21[lim x x x x o x x x o x x x x --+-++++=→324320)(!3lim x x x x o x x x x --+++=→3430)(!3limx x o xx +=→ 31=. 例4 设函数)(x ϕ在],0[+∞上二次连续可微,如果)(lim x x ϕ+∞→存在,且)(''x ϕ在],0[+∞上有界.求证：0)('lim =+∞→x x ϕ.证明 要证明0)('lim =+∞→x x ϕ,即要证明:0>∀ε,0>∆∃ ,当∆>x 时, εϕ<)('x .利用泰勒公式,2)(''21)(')()(,0h h x x h x h ξϕϕϕϕ++=+>∀, 即 2)(''21)]()([1)('h x h x h x ξϕϕϕϕ--+=, (5)记)(lim x A x ϕ+∞→=,因''ϕ有界,所以0>∃M ,使得)()(''a x M x ≥∀≤，ϕ,故由(5)知221))()((1)('Mh x A A h x h x +-+-+≤ϕϕϕ, (6) 对0>∀ε,首先可取0>h ,充分小,使得2212ε<Mh ,然后将h 固定. 因A x x =+∞→)(lim ϕ,所以0>∆∃,当∆>x 时2))()((1εϕϕ<-+-+x A A h x h , 从而由(6)式即得.22)('εεεϕ=+<x3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)('0=x f ,0)(''0≠x f .证明(i)若0)(''0<x f ,则f 在0x 取得极大值； (ii) 若0)(''0>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明 由条件,可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)('')(!1)(')()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)('0=x f ,因此2000))](1(2)(''[)()(x x o x f x f x f -+=-. (7) 又因0)(''0≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(''210x f 与)1()(''210o x f +同号. 所以,当0)(''0<x f 时, (7)式取负值,从而对任意)';(0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(''0>x f ,可得f 在0x 取得极小值.例6 判定)4,0(是否是x e e x f x x cos 2)(++=-的拐点？解 x e e x f x x sin 2)('--=-,0)0('=f ；''()2cos x x f x e e x -=+-,0)0(''=f ； '''()2sin x x f x e e x -=-+,0)0('''=f ； (4)()2cos x x fx e e x -=+-,(4)(0)40f =≠.因为4n =,所以)4,0(不是)(x f 的拐点.注： 用泰勒公式可证明：若)(x f 在某个),(0δx u 内n 阶可导,且满足0)()('')('0)1(00=+==-x f x f x f n ,且，0)(0)(≠x f n )2(>n ,若：（1）n 为奇数,则))(,(00x f x 为拐点； （2）n 为偶数,则))(,(00x f x 不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数)1111(22nn n a n n n ---=∑∑∞-∞-的敛散性. 解 由比较判别法可知：若11lim =∞→pnn n a ,+∞<<p 0,则正项级数∑∞-2n na和正项级数∑∞-21n pn同是收敛和发散.为了选取∑∞-21n pn中的p 的值,可以用泰勒公式研究通项0→n a ,)(∞→n 的阶.n n n a n 1111---=nnn n 1)1(11--⋅=n n n o n n n 11))1(()1(11[122--+++=n n n o n n n 11)1(1112/32/3--+++=)1(12/32/3n o n +=.因为当23=p 时11lim 23=∞→n a nn , 所以正项级数∑∞-21n pn收敛.故∑∞-2n na收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.)(x f 为正值函数,要判定dx x f a)(⎰+∞的收敛性.若能找到恰当的p xx g 1)(=,0>p 使l x g x f x =+∞→)()(lim ,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分dx x f a)(⎰+∞的收敛性.这里的问题也是如何选取0>p ,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究)(x f 的阶,就可以解决这类问题.例8 研究广义积分dx xx xx ⎰-1sin sin 的敛散性.解 因为sin sin x xx x =∞-,所以0=x 是瑕点.由比较判别法可以知道,)(l dx x f x q =+∞<<l 0,则1q <时,()1f x dx ⎰收敛；当1q ≥时,()1f x dx ⎰发散. 因为 )(!3)](!3[sin sin 4343x o x x x x o x x x x x x x +--+-=- )](1[6)](611[32x o xx o x ++-=.所以 0sin lim 6sin x x xx x x+→⋅=-.因为1q =,所以广义积分dx xx xx ⎰-10sin sin 发散. 6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果)(x f 泰勒公式已知,其通项中的加项)()(n a x -的系数是)(!10)(x f n n ,从而可求高阶导数数值)(0)(x f n ,而不必依次求导.例9 写出22()x f x e-=的麦克劳林公式,并求)0()98(f与)0()99(f .解 因)(!2122n nxx o n x x x e +++++= ， (8)用)2(2x -替换(8)中的x ,得)(!2)1(!22212224222n n nn x x o n x x x e+⋅-++⋅+-=- , 由泰勒公式系数的定义,在上述)(x f 的麦克劳林公式中,98x 与99x 的系数分别为!4921)1()0(!9814949)98(⋅⋅-=f ,0)0(!991)99(=f . 由此得到!492!98)1()0(4949)98(⋅⋅-=f ,0)0()99(=f . 例10 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++, 因此)!1001!992!981(!100)0(100++=e g ,10101)0(100⋅=e g , e g f 10101)0()1(100100==.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当0≥x 时,证明361sin x x x -≥.证明 取361sin )(x x x x f +-=,00=x ,则 0)0(=f ,0)0('=f ,0)0(''=f ,x x f cos 1)(''-=,0)0(''≥f .带入泰勒公式,其中3=n ,得3!3cos 1000)(x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故当0≥x 时,361sin x x x -≥. 例12 设)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,且0)(''≥x f ,则nn n nnn p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤++++2122121221)()()()(11，其中n p p p ,,21 均为正数；),(,,21b a x x x n ∈ .证明 记nnn p p p x p x p x p x ++++=2122101,则),(0b a x ∈.由于)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.20000)(!2)(''))((')()(x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,ξ在x 与0x 之间. 因为 0)(''≥x f ,),(b a x ∈,所以 0)(''≥ξf ，))((')()(000x x x f x f x f -+≥.分别取n x x x x ,,21 =,则有))((')()(0001x x x f x f x f -+≥； ))((')()(0002x x x f x f x f -+≥；).)((')()(000x x x f x f x f n -+≥以上各式分别乘以12,,,n p p p ,得))((')()(000111x x x f x f p x f p -+≥； ))((')()(000222x x x f x f p x f p -+≥；))((')()(000x x x f x f p x f p n n n -+≥.将上面n 个不等式相加得].)()[(')()()()()()(02122110002012211x p p p x p x p x p x f x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n n n n ++-+++++++≥+++因为nnn p p p x p x p x p x +++++=2122110,所以)()()()()()(002012211x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n +++≥+++ .即nn n p p p x f p x f p x f p x f +++++≤2122110)()()()(，从而nn n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤+++++212211212211)()()()(.即证.注： 利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数)(x f ,选一个展开点0x ,然后写出)(x f 在0x 处带有拉格朗日余项的泰勒公式； (2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对),(b a ∈ξ进行放缩. 设函数)(x f 在点0x 附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论： （a ）若0)(''≥x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≥； （b ）若0)(''≤x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≤.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导,且0)(>a f ,0)('<a f ,对),(+∞∈a x ,0)('<x f ,证明：0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根.分析：这里)(x f 是抽象函数,直接讨论)(x f =0的根有困难,由题设)(x f 在[,)a +∞上二阶可导且()0,'()0f a f a ><,可考虑将)(x f 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明 因为0)('≤x f ,所以)('x f 单调减少,又0)('<a f ,因此a x >时,0)(')('<<a f x f ,故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有)()(2)('))((')()(2x a a x f a x a f a f x f <<-+-+=ξξ.由题设0)('<a f ,0)('≤ξf ,于是有-∞=+∞→)(lim x f x ,从而必存在a b >,使得0)(<b f ,又因为0)(>a f ,在],[b a 上应用连续函数的介值定理,存在),(0b a x ∈,使0)(0=x f ,由)(x f 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在),(+∞a 内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作)(x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求n 阶行列式D =xz z z y xzzyy x zyy y x. (9)解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)('')(!1)(')()()(2--+-+-+= , (10)易知1)(0000000000--=-----=k ky z z y z y yz y y z y y z y y z D(11)由(11)得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有)()('1x nf x f n n -=,)()1()('2x f n x f n n --=,… ,)(2)('12x f x f =,1)('=x f n (因为x x f =)(1).于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21)()(|)(')('--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 31)()1()('|)('')(''--=--===n n z x n y z z n n z nf z fn z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--,12)1()()(⋅-= n n z f n n .把以上各导数代入(10)式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算⎰<<∈-++b a n n b a N n dx x b x)0(),(,)(12.解 设xx f 1)(=，则21)1()!1()1()(++++-=n n n x n x f ， dx x b x n dx xx b nn b a n ba n n )()1()!1()1()()1(12-+-=-+++⎰⎰ ])()1()(1)(111[!)!1()1(112321n n n n a b a a b a a b a a b n n --++---+-⋅+-=++ ba bn n n 11)1(1)1(++-⋅+-=. 注: 由带积分余项的泰勒公式可得以下引理.引理： 若函数)(x U ,)(x V 在闭区间],[b a 上存在连续的1+n 阶导数，则有b a ban n n n n x V x U x V x U x V x U dx x V x U ⎰-++-=-+)]()()1()()(')()([)()()()1()()1(⎰++-+ban n dx x V x U )()()1()1(1，)3,2,1( =n .11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx给出初值),,(000t y x . 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx(12) 求方程组(12)通过点),,(000t y x 的特解,其中已知).,,(000t y x 我们设想用一种逼近计算求出在下列各点kh t t h t t h t t h t t k +=+=+=+=0030201,,3,2, 处y x ,的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.现在,设在k t t =处,已求出y x ,的近似值,且表示为).(),(k k k k t y y t x x == 由泰勒公式可知：,!3)('''!2)('')(')()(32 ++++=+h t x h t x h t x t x h t x++++=+!3)('''!2)('')(')()(32h t y h t y h t y t y h t y . (13) 令k t t =,即可得出计算11++k k y x 值的公式 3,2,1,0=k,!3)('''!2)('')(')()(321++++=+=+h t x h t x h t x t x h t x x k k k k k k++++=+=+!3)('''!2)('')(')()(321h t y h t y h t y t y h t y y k k k k k k . (14)其中),,('t y x F dtdxx ==, ),,('k k t y x F x k k =, ),,('t y x G dtdy y == , ),,('k k t y x G y k k =,,''t F dt dy y G dt dx x F x ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,''t G dt dy y G dt dx x G y ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x F y y t y x F x x t y x F x k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x G y yt y x G x xt y x G y k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=……,),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n t t y x F x x t F xk k.),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n tt y x G y y t G yk k 当给定了初值条件),,(000t y x 时,由方程(14),令0=k ,则得出：,!3'''!2'''3020001 ++++=h x h x h x x x .!3'''!2'''3020001 ++++=h y h y h y y y其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度.当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dtdx的解,其初始条件为,0=t 处, 2=x ,0=y .解 首先,我们可选定步长1.0=h ,并依次计算 ,2.0,1.0=t 等处的近似值,由逐次求导得出)3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n x x x x x x t x x n n , )3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n y y y y y t y y n n .因此在0=t 处,有1,1,,1''',1''',0',2',0,200000000========nn y x y x y x y x ,令0=k ,则方程组(14)给出++++=6223012h h h x x=2052.20002.00050.02000.02=++++ .++++=6223012h h h y y2052.20002.00050.02000.02=++++= .接着在1.0=t 处,有2052.2,2052.211==y x ； 1052.2',1052.2'11==y x ；1052.1'',1052.1''11==y x ； 1052.1''',1052.1'''11==y x ；……令1=k ,由方程(14)：++++=!3'''!2'''3111122h x h x h x x x4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .++++=!3'''!2'''3111122h y h y h y y y4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁晓庆.工科数学分析[M].北京：科学出版社，2001：191-192.[3]孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法(上)[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：140-147. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2005：173-179. [5]邵剑，陈维新.大学数学考研专题复习[M].北京：科学出版社，2005:62-62. [6]丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,2003(13):56-58.[7]斯瑜.泰勒公式在计算中的应用[J].兰州理工大学学报,2005(10):13-16. [8]郑玉仙.泰勒定理的妙用[J].陕西省:高等数学研究，2006(01):46-47.[9]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（04）：24-25. [10]王三宝.泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报，2005:14-15.Application of Taylor formulaName:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli(Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000)Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation solution,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill.Keywords: Taylor formula；application；limit；inequality；convergence；the existence and uniqueness of the maximum root.。
泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)
摘要 (2)1 引言 (4)2 泰勒公式 (5)2.1 n次泰勒多项式 (5)2.2 泰勒公式 (6)2.3 泰勒公式的种类 (6)2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)2.33 特殊的泰勒公式 (7)3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)3.2 一些实例分析 (9)4 结论 (17)参考文献 (18)在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation1 引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的.2.1 n 错误!未找到引用源。
泰勒公式及其应用开题报告
二、国内外研究 现状分析： 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 泰勒公式的证明与应用方面
的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力， 许多研究者已在此领域 获得许多研究成果，例如：湖南科技学院数学系的唐仁献 在文章《泰勒 公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了 泰勒 公式； 洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、 陶容、 张永胜在所著的 文章《泰 勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、 等式及不等式证 明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题，于此 类似的研究成果还有湖北 师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的《定积分不 等式的几种典型证法》和潍坊高等 专科学校的陈晓萌所著的《泰勒公式 在不等式中的应用》等等。
实现途径：
一、对泰勒公式的证明方法进行归纳； 二、灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；
三、研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题 题的途径 。
3. 完成本课题所需工作条件（如工具书、计算机、实验、调研等）及解 决办法 ：
为了写好论文我到中国 期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查 找相关论文的发表日期、刊名、作者，接下来要到图书馆四楼过刊室查 找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊文献. 从图书馆借阅相关书 籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、 改正，争取做好毕业论文工作 . 具体采用了数学归纳法、分析法、反证 法、演绎法等方法.
毕 业设 计(论文) 开题报 告
开题报告浅谈泰勒公式及其应用5页word文档
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。论文（设计）题目
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。
本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。
关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。
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《泰勒公式及其应用》的开题报告
《泰勒公式的验证及其应用》的
关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告
1．本课题的目的及研究意义
目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。
如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。
对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。
2．本课题的研究现状
数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。
泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。
对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。
3．本课题的研究内容
对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极
限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
本课题将从以下几个方面展开研究：
一、介绍泰勒公式及其证明方法
二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。
三、结论。
4．本课题的实行方案、进度及预期效果
实行方案：
1.对泰勒公式的证明方法进行归纳；
2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题；
3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。
实行进度：
研究时间为第8 学期，研究周期为9周。
1．前期准备阶段：
收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。
2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月
3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日）
第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）。