不规则图形的体积
不规则几何体体积的求法
不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 12A1B1，A1N=2ND1，A1P= 34A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体积．分析：若用公式V= 13Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解．解：V A1-MNP =V A1—MNP = 13·S△A1MN ·h =13×12·A1M1·A1N·A1P=13×12×12a·23a·34a=124a3．评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2如图2，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF—A1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V=Sh．则三角形AEF的面积为14S．由于V AEF -A 1B 1C 1=13 ·h ·(s 4 +S+s 2 )= 712Sh , 则剩余不规则几何体的体积为V ′=V -V AEF -A 1B 1C 1=Sh -712 Sh = 512Sh ， 所以两部分的体积之比为V AEF -A 1B 1C 1：V ′=7：5.评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积. 解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．。
不规则图形体积计算公式
实用标准文案
a,b,c-半轴
梯 形 体
图形 正方形
长方形
三角形
平行四 边形
任意四 边形
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常用图形求面积公式
尺寸符号
面积（F） 表面积（S）
正多边 形
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菱形
梯形 圆形 椭圆形 扇形 弓形 圆环
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a·b-主轴
F= (π/4) a·b
部分圆 环
新月形
L d/10 P 0.40 抛物线 形
图形
立 方 体
长 方 体 ∧ 棱 柱 ∨
三 棱 柱
棱 锥
棱 台
圆 柱 和 空 心 圆 柱 ∧ 管
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多面体的体积和表面积
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斜 线 直 圆 柱
直 圆 锥
圆 台
球 球 扇 形 ∧ 球 楔 ∨
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球 缺
圆 环 体 ∧ 胎 ∨
球 带 体
桶 形
椭 球 体
交 叉 圆 柱 体
等多边 形
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2d/10 3d/10 4d/10 0.79 1.18 1.56
5d/10 6d/10 7d/10 1.91 2.25 2.55
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不规则的物体体积计算方法
不规则的物体体积计算方法计算不规则物体体积的方法有多种，以下将介绍其中常用的几种方法。
1.几何解法：这种方法适用于能将不规则物体转化为几何图形进行计算体积的情况，比如由平面图形堆叠而成的物体。
步骤如下：(1)将不规则物体分解为几何图形组合，如长方体、圆柱体、球体等；(2)分别计算每个几何图形的体积；(3)将所有几何图形的体积相加即可得到不规则物体的体积。
2.水位法：这种方法适用于能够被水完全浸泡的物体。
步骤如下：(1)准备一个能承装住整个物体的容器，并在其旁边放置一个容器来接水；(2)将接水容器放在底部，加入适量的水，记录接水容器中的水位；(3)将不规则物体完全浸入到容器中，水会溢出并流入到接水容器中，记录此刻接水容器中的水位；(4)用接水容器中的水位减去初始水位，即可得到不规则物体的体积。
3.位移法：这种方法适用于能够依靠称重获取物体的质量信息的情况。
步骤如下：(1)将空容器放在天平上，并记录容器的质量；(2)将不规则物体放入容器中，记录新的质量；(3)用新的质量减去初始质量，即可得到物体在空容器中的质量；(4)将物体浸入水中，并记录此时的质量；(5)利用物体在空气中的质量减去物体在水中的质量，即可得到物体的体积。
4.投影法：这种方法适用于能够通过物体的截面积及其高度计算体积的情况。
步骤如下：(1)将不规则物体放置在一块平面上，使其截面正对平面；(2)使用测量仪器，如卡尺、尺子等，测量物体截面的长度及宽度，并记录下来；(3)测量物体在垂直方向上的高度，并记录下来；(4)根据测得的截面长度、宽度和高度，计算物体的截面积；(5)将所有截面积相加，乘以高度，即可得到物体的体积。
以上介绍了几种计算不规则物体体积的常用方法，具体应根据不规则物体的特点选择合适的方法进行计算。
不规则多边形体积计算公式
不规则多边形体积计算公式
不规则多边形体积计算公式可以通过将多边形分解为三角形并计算各个
三角形的体积之和来求得。
在计算之前，我们需要先确定多边形的顶点坐标。
假设我们有一个不规则多边形，其中的顶点坐标分别为(x₁, y₁), (x₂,
y₂), (x₃, y₃), ..., (xₙ, yₙ)。
我们可以将其分解为由同一个顶点 (x₁, y₁) 和
相邻的两个顶点 (xᵢ, yᵢ)、(xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) 组成的三角形。
这样，不规则多边形
的体积就可以通过计算所有三角形的体积之和得到。
三角形的体积可以使用以下公式来计算：
V = (1/6) * |(x₁y₂ + x₂y₃ + ... + xₙy₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + ... + x₁yₙ)|
其中 "|" 表示取绝对值。
按照上述方法，我们可以将不规则多边形的体积计算公式总结为如下步骤：
1. 确定多边形的顶点坐标 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), ..., (xₙ, yₙ)。
2. 将多边形分解为由同一个顶点 (x₁, y₁) 和相邻的两个顶点 (xᵢ, yᵢ)、
(xᵢ₊₁, yᵢ₊₁) 组成的三角形。
3. 对于每个三角形，使用三角形的体积计算公式 V = (1/6) * |(x₁y₂ +
x₂y₃ + ... + xₙy₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + ... + x₁yₙ)| 计算其体积。
4. 将所有三角形的体积相加，得到不规则多边形的体积。
通过以上步骤，我们可以计算出不规则多边形的体积，无需使用任何网
址链接或涉及政治方面的内容。
不规则的物体体积计算方法
不规则的物体体积计算方法计算不规则物体的体积是一个挑战，因为它们不具备传统几何形状的简单属性。
然而，仍然有几种方法可以使用来估算这些物体的体积。
1.近似法：这是最简单的方法之一，适用于几何形状较简单的不规则物体。
通过将不规则物体分成一系列比较简单的几何形状，如三角形、矩形等，并计算每个形状的体积，然后将它们加起来。
这种方法适用于对体积的近似估算。
2.几何测量法：这种方法需要测量不规则物体的各个部分的几何属性，如长度、宽度和高度，然后将它们乘以一起得到体积。
这种方法需要使用测量工具，如尺子、角度测量器等。
3.容量测量法：对于不规则物体，可以使用容量测量法来计算其体积。
这种方法适用于可装满液体的物体。
首先，取一个适当大小的容器，并记录容器的初始重量：W1、然后，将容器放在一个容器架上，以防止接触地面，并记录容器和物体一起放入容器中的总重量：W2、接下来，将容器架和容器从容器中取出，并记录容器和物体的重量：W3、通过以下公式计算不规则物体的体积：Volume = (W3 - W1) / (W2 - W1) × Container Capacity这种方法利用液体的体积不受容器形状的影响这一性质，通过测量容器内液体的质量变化来计算物体的体积。
4.三角测量法：对于一些不规则的物体，可以使用三角测量法来计算其体积。
这种方法基于测量物体的多个截面所占据的面积，并使用积分或数值方法来计算体积。
这种方法需要使用特殊设备，如激光扫描仪或光学投影仪。
5.计算机建模和模拟：对于非常复杂的不规则物体，如人体器官或汽车引擎，可以使用计算机建模和模拟软件来估算其体积。
这种方法依赖于建立一个物理模型，并使用计算机算法来计算模型的体积。
然后，将模型的体积与实际物体进行比较，以获得体积估算。
总的来说，计算不规则物体的体积需要使用各种方法和工具，并且可能需要根据具体情况进行适当的逼近和估算。
选择适当的方法取决于物体的几何形状、可测量的属性以及可用的设备和工具。
不规则图形体积计算公式
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2d/10 3d/10 4d/10 0.79 1.18 1.56
5d/10 6d/10 7d/10 1.91 2.25 2.55
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图形
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长 方 体 ∧ 棱 柱 ∨
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圆 柱 和 空 心 圆 柱 ∧ 管
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斜 线 直 圆 柱
直 圆 锥
圆 台
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圆柱的体积——不规则图形的体积计算(附配套练习,另下载)
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7cm
8cm
18cm 7cm
8cm
18cm
例2——分割法
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖 拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度18cm。这个瓶子 的容积是多少？
瓶子容积 = 有水部分 +
有水部分：（8÷2）2×3.14×7 =50.24×7 =351.68（ml）
无水部分
无水部分
无水部分
18cm
=50.24×18 =904.32（ml）
有水部分
有水部分
瓶子容积：351.68+904.32=1256（ml）
7cm
7cm
答：瓶子的容积为1256 毫升。 8cm
8cm 图1
图2
18cm
无水部分：（8÷2）2×3.14×18
例2——分割法+拼补法
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖 拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度18cm。这个瓶子 的容积是多少？
圆柱的体积
———不规则图形的体积计算
WHJ
分割、拼补方法
图1
图2
不规则图形
规则图形
之分割、拼补法
例1——拼补法
如下图所示，张师傅用钢材做了一个零件，你能够计算 它的体积是多少立方厘米吗？
不规则图形 规则图形
想法1：从圆柱的顶端斜切 想法2：从圆柱的中间斜切 底面积×高 ÷2 6 2 ×3.14×50 ÷2 =157×18 =2826（cm3） 答：零件的体积为2826立方厘米。
无水部分
（8÷2）2×3.14×（7+18） =50.24×25 =1256（ml）
无水部分有水部分源自有水部分7cm7cm
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实用标准文案ຫໍສະໝຸດ 常用图形求面积公式尺寸符号
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梯形 圆形 椭圆
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分析:
教材在学生学习了圆柱的体积和容积，以及运用知识解决相关问题的基础上,安排“练习五”来对这部分知识进行强化的训练,目的是加深学生对圆柱体积和容积的认识,提高分析问题和解决问题的能力。
由于学生通过学习已经掌握了圆柱体体积和容积的计算方法，并且具有一定的分析问题和解决问题的能力,因此在练习过程中，教师可以在复习圆柱体积的计算方法后，放手让学生独立解决问题。
在学生解决问题后组织学生进行相互交流和评价，从而加深对圆柱体体积计算方法的认识，并提高学生分析问题和解决问题的能力。
课时作业:
一、解决问题
1.王大伯家定制了一个圆柱形储粮仓，底面直径是4米，高是５米。
如果每立方米稻谷重750千克,这个储粮仓可以存放稻谷多少吨?
2.一个圆柱形茶叶桶,从里面量底面直径是12厘米，高15厘米。
这个茶叶筒能装茶叶多少立方厘米？
３.东东家来了三位小客人，妈妈冲了1升果汁。
如果用底面半径是3厘米,高是１0厘米的杯子喝果汁,东东和客人每人一杯够吗？。