期末复习题一

期末复习题一一、填空题1.整数a ，b 互质的充分必要条件是：存在两整数s 、t 满足条件_______。

2.[391，187]= _______，（391，187）=_______。

3.[482，168]= _______，（482，168）=_______。

4.15！的标准质因数分解式为_______。

5.20！的标准质因数分解式为_______。

6.若自然数N 的标准质因数分解式为nn p p p N ααα2121=，则N 的约数个数T （N ）= _______。

7.数10725的标准质因数分解式为_______。

二、计算题1.求28！的标准质因数分解式。

2.求24！的标准质因数分解式。

3.求3468与24871的最小公倍数。

4.已知两个数的最大公约数为8，最小公倍数为64 ，求这两个数。

三、判断及叙述题 判断如下命题：1.若一个大于1的整数a 不能被小于等于a 的任一质数整除，则a 是质数。

（ ）2.形如4k -1的质数只有有限个。

（ ）3.设q 为正整数，b a ,为整数，bq a q ab q 或可推出则由。

（ ）4.任给的n +1个整数中，至少有两个数之差能被n 整除。

（ ）5.两个整数的和、差、积中至少有一个是3的倍数。

（ ）6.若（a ，b ）=（a ，c ），则（a ，b ，c ）=（a ，b ）。

（ ）7.若d |a ，)(|22b a d +，则d | b 。

（ ） 叙述如下定义或定理： 1.带余数除法（定理） 2.算术基本定理 3.质数四、证明题1.设n b a ,,为正整数，证明：),(),(b a n bn an =。

2.设n , k 为正整数，12+n 证明：是质数的必要条件是kn 2=。

3.设k 为正整数，若有一个有理数的k 次方是整数，试证：这个有理数一定是整数。

4.证明：)12)(1(|6--n n n ，其中n 为整数。

5.设,1)!1(,1+->m m m 证明：m 是质数。

6.证明：形如14-k 的质数有无穷多个。

7.设()()n nn b a b a n b a ,,,,,=证明为正整数。

8.证明：对任意不被2整除的整数n ，有 )1(|82-n 。

9.设m ，n 为正整数，m 为奇数，证明： 1)12,12(=+-nm 。

10.证明：对任意不被2整除的整数n ，有 )1(|242-n n 。

11.设n 为正整数，证明：（21n +4，14n +3）=1。

【参考答案】一、填空题1.as +bt =12.4301，173.40488，24.1311753223611⨯⨯⨯⨯⨯5.19171311753224818⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6.)1(1+∏=ni iα7.1311532⨯⨯⨯ 二、计算题 1.28!=2319171311753222461325⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2.24!=231917131175322341022⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3.由辗转相除法得：（3468，24871）=17，所以 507368417248713468]24871,3468[=⨯=4.设这两个数为a ，b ，由于（a ，b ）=8，故 a =8x ，b =8y ，其中（x ，y ）=1； 因为 ab =（a ，b ）[a ，b ]，所以 64xy = 512，即 xy =8；而（x ，y ）=1，故x =1，y =8；或x =8，y =1；所求两数为：a =8，b =64 三、判断及叙述题 判断如下命题：1.对2.错3.错4.对5.对6.对7.错 叙述如下定义或定理： 1.带余数除法（定理）：设a ,b 是两个给定的整数，0≠a ，那么一定存在唯一的一对整数q 与r ，满足b =qa +r , ||0a r <≤。

此外，a |b 的充要条件是r =0。

2.算术基本定理：设a >1，则必有s p p p a 21=（*）,其中)1(s j p j ≤≤是质数， 且在不计次序的意义下，a 的表示式（*）是唯一的。

3.质数：设整数1,0±≠p 。

如果它除了显然约数p ±±,1外没有其他的约数，那么，p 就称为是质数（或素数）。

四、证明题1.设(a ,b ) = d ，则a = sd , b = td , 且(s , t ) = 1， 所以(na , nb ) = (nsd , ntd ) = nd = n (a , b )。

2.若k n 2≠，则n = am , 2 | m > 1，1)2(12+=+m a n ]1)2()2)[(12(21++-+=-- m a m a a 这与12+n 是质数矛盾。

3.不妨设这个有理数是;1),(,1,=≥b a a a b若ca b k=⎪⎭⎫ ⎝⎛是整数，则kkbca=，所以kb a |；由于 (a ,b )=1，所以 a |b ，故 1= (a ,b ) = a 。

4.因为)12)(1(|2--n n n （1）（两个连续整数中必有一个为偶数）。

则n =3a +b , 其中a ,b 为整数，且 31≤≤b （2）当b =1时，a n 31=-，所以)1(|3-n ； 当b =2时，3612+=-a n ，所以)12(|3-n ； 当b =3时，33+=a n ，所以 n |3；故)12)(1(|3--n n n （3） 而 (2,3)=1,由（1），（3）式知：)12)(1(|6--n n n 。

5.假设m 不是质数,则存在整数d ,1<d<m ，使得m d 。

又1)!1(,1)!1(+-+-m d m m 故。

由1<d<m 知)!1(-m d 。

因此,)!1(1)!1(--+-m m d 即1|d ，与1>d 矛盾。

所以m 为质数。

6.假设形如14-k 的质数只有有限个，且设为14 ,,,2121-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅t t p p p N p p p 。

令由算术基本定理知N 可表成质数之积，即(,,,2,1 21s i p q q q q N j i s =≠⋅⋅⋅=。

易见),,,2,1t j =否则由,11411--⋅⋅⋅=⋅⋅⋅i t s q p p q q 知某个矛盾。

若s q q q ,,21均为14+k 形，由14+k 形整数之积仍为14+k 形，知N 为14+k 形，与141-=t p p N 矛盾。

所以形如14-k 的质数有无穷多个。

7.()()()()1,,,,1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn b a b b a a b a b b a a 故由于。

因此()()()()n n n n n nb a b a bb a a b a ,,,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

即()()nnnb a b a ,,=。

（也可用算术基本定理证明）。

8.因为n 为奇数，设 n =2m +1，其中m 为整数；1)12(122-+=-m n = 4m (m +1)，又2|m (m +1)，故 8|4m (m +1)， 即 )1(|82-n 。

9.m 为奇数，+-+=+--21)2()2)[(12(12m n m n nmn],1+)12(|)12( ++∴mnn， 又+-=--1)2)[(12(12n mmmn],12(2)++- n m)12(|)12(--∴mnm ，从而]2)12[(|)12(+-+q mn ， 其中q 为整数，即1)12,12(=+-nm或2，显然只能为1。

10.)1)(1()1(2+-=-n n n n n 是三个连续整数乘积，从而其中必有一个是3的倍数，故)1(|32-n n ；又由于n 为奇数，设n =2m +1，则)1(|8),1(4122-∴+=-n m m n ；而（3，8）=1，故 )1(|242-n n 。

11.设a = 21n +4，b =14n +3，只要证存在整数x ，y ，使得ax + by = 1即可， 由于1)842(94223=+-+=-n n a b ，所以(a ，b )=1，即（21n +4，14n +3）=1。

期末复习题二一、填空题1.不定方程ax + by + cz = d （其中a , b , c , d 为整数，abc ≠0）有解的充分必要条件是_______。

2.不定方程x 2 + y 2 = z 2的既约正整数解（本原解）x ，y ，z 必满足条件：_______。

3.设c a a ,,21是正整数，当_______时，不定方程c y a x a =+21一定有解。

4.设00,y y x x ==是不定方程ax +by = c 的一个整数解，则该方程的通解是_______。

5.设k 为整数，且2520≤≤k ，则当k =_______时，不定方程kx + ky + 92z = 100无整数解。

二、计算题1.求不定方程17x +8y =158的整数解。

2.求不定方程7x +3y =123的全部正解。

3.求不定方程5x +3y =52的全部正解。

4.求不定方程777x +240y =15的整数解。

5.求不定方程6322=-y x 的正整数解。

6.求不定方程7734422=--y xy x 的正整数解。

7.求不定方程 6x +14y +32z =80的整数解。

8.求不定方程 3x +4y =23的非负整数解。

9.求不定方程 4112=-y x 的整数解。

三、判断及叙述题 判断如下命题：1.不定方程244z y x =+有正整数解。

2.不定方程6x +15y +21z +9w =31有整数解。

3.不定方程18x +21y +6z =9有整数解。

叙述如下定义或定理： 1.勾股数 2.费马定理期末复习题二答案一、填空题1.()d c b a ,,2.(x ,y ) = (y , z ) = (z , x ) =1 , x 与y 一奇一偶3.()c a a 21,4.at y y bt x x -=+=00,，其中t 为任意整数5.21二、计算题1.x = 6+8t , y =t 177-，t Z ∈。

2.7x +3y =123的一般解x = 3 t , y =t 741-，t Z ∈。

由3t >0,41-7t>0得0<t ≤5。

因此不定方程7x+3y=123的全部正解为3，34；6，27；9，20；12，13；15，6。

3.x =8,y =4是一组特解，全部解为：x =8+3t ,y =4-5t , t Z ∈。

由01541382≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-t 得三组正解： x =8，y =4； x =5，y =9； x =2，y =14。

4.x = -105+80t , y =340-259t , t Z ∈。