全等三角形的构造技巧(2020版)

全等三角形的构造技巧

一、利用角平分线，构造全等三角形

【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，

故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：

（1）在角的两边截取两条相等的线段；

（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；

（3）延长角平分线的垂线.

（一）在角两边截取相等线段

例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.

证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，

∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，

在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，

∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.

∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.

∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.

在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，

∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.

∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.

练习：

1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，

AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。

（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线

例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三

角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.

图1 图2

分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不

难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P B

A E F O P G A

B C E D

A B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。

如图2,因为OP 是角平分线，则∠AOP ＝∠BOP ，所以本题还可以在OF 上截取OG ，使OG ＝OE ，利用SAS 可以证明△POE ≌△POG ，所以PE ＝PG ，只要再证明△PGF 是等腰△就可以得到PE ＝PF 。

练习：

1.如图1，CD 平分∠ACB,AD=DB,求证：AC=BC.

分析：利用角平分线DC 和相等线段AD=DB,过点D 作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,则△ABE ≌△BDF ，这样，角平分线DC 和AD=DB 就建立了联系。

图1 图2 图2

2.如图2，BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=1800，求证:DC=DA.

分析：利用角平分BD 和要证明的相等线段AD=DC,过点D 作DE 垂直BA 的延长线于E,作DF ⊥BC 于F,则△ADE ≌△CFD ，这样，∠A 与∠C 就建立了联系。

3.如图3，AD ∥BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．

解：AB ＝AD ＋BC.

理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE.

∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，AD ∥BC ，∴EF ＝DE ，DC ⊥BC.

∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF.∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF ＝BC.

同理可证：AF ＝AD.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.

（三）延长角平分线的垂线

例1.如图，AC=BC, ∠C=900

,AD 是∠CAB 的平分线交BC 于D,作BE ⊥AD 的延长线于E, 求证:AD=2BE. 分析：延长∠CAB 的平分线AD 的垂线BE,交AC 的延长线于F, 则△ABD ≌△AFE ，这样，证明AD=2BE 就转化为证明AD=BF ，同时

也勾通了AC=BC 与∠C=900的联系。 练习：

1.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠C ＝300，BE ⊥AD 于点E . 求证：AC －AB ＝2BE .

证明：延长BE 交AC 于点M .∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝900

.

∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM .

A

B C E

F

D

A B C E F D

G F E D C A B 图3H F E D C A

B ∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE .∵∠AB

C ＝900，∠C ＝300，∴∠BAC ＝600 .

∵AB ＝AM ，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，

∴∠5＝∠C ，∴CM ＝BM ，∴AC －AB ＝CM ＝BM ＝2BE .

二、利用相等的线段，构造全等三角形

【方法剖析】全等三角形的四种判定方法有一个共同的特征，就是至少有一组边相等，利用线段相等可以构造全等三角形。

例1.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°,AB ＝AC, D 为AC 中点，AE ⊥BD 于点E ，延长AE 交BC 于点F,

求证：∠ADB ＝∠CDF 分析：欲证∠ADB ＝∠CDF ，首先应考虑证∠ADB 与∠CDF 所在的两个三角形全等，观察图形易知，∠CDF 所在的△CDF 不可能和∠ADB 所在的△ADE 或△ADB 全等，此时，应构造全等三角形解题。

题目中出现两组相等的线段，即AB ＝AC ，AD ＝CD ，

证法1：若以CD 、AD 为基础来构造，可以△CDF 为标准，去寻找一个包含AD 、∠ADB 的三角形与之全等，此时不难发现该三角形中应有一个45°的角，因此可作∠BAC 的平分线与BD 相交于G ，下面只须先证明△ABG ≌△CAF 得到AG ＝CF ，再证明△ADG ≌△CDF 即可。 证法2：如图3，若以AB 、AC 为基础来构造，可 以△ADB 为标准，去寻找一个与之全等的以AC 为

直角边的直角三角形，此时可过C 点作CH ⊥AC 交 AF 的延长线于H 。下面通过证明△BAD ≌△ACH ，从

而把∠ADB 转移到∠H ，把AD 转移到CH ，再证明 △CFD ≌△CFH 可证明结论。 练习：

1.如图1，△ABC 中，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且DF=EF,连接DE 交BC 于F,求证：BD=CE.

分析：以DF=FE 为依托，过D 点作DG ∥AE 交BC 于G,则△CEF ≌△GDF,这样就把BD=CE 联系起来了，实际上是把CE 转移到了DG 的位置。当然，也可以过点E 作AB 的平行线构造全等三角形，道理是一样的。以要证明的相等线段为依托也可以构造全等三角形。

图1 图2

2.如图2，AD ∥BC,AE 、BE 分别是∠DAB 、∠ABC 的平分线，求证：DE=CE.

分析：以要证明的线段DE=CE 为依托，即假设DE=CE,因为AD ∥BC （不必再作平行线）,所以延长AE 、BC 相交于G （也可以延长AE 后，在AE 上截取AE=EG ）,则可构造△ADE ≌△GCE ，从而把AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC 联系起来了。依托相等线段构造全等三角形可以经过相等线段的一端作平行线，也可截取相等线段来构造.

三、利用中点、中线，“倍长中线法”构造全等三角形

A

B C

E F D

G A

B C E D G