3.3 垂径定理(第2课时)浙江嘉兴市南溪中学 房桂平
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已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D=B⌒D （A⌒C=B⌒C） 求证：CD平分AB，A⌒C=B⌒C（A⌒D=B⌒D），CD⊥AB
注意
定理的逆定理
• 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直 线来说，如果在下列五个条件中:
①⑤A⌒CDD=是B⌒直D.径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
例题
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的 半径(精确到0.01m).
你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗？
船能过拱桥吗
• 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
试一试
挑战自我填一填
• 1.判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
• ⑶圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
（5）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
C
CD过圆心 CD⊥AB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
O
A
B
D
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对D
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C. 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧
• 相信自己能独立 完成解答.
判断
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（2）平分弦的直线，必定过圆心.
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
源自文库
(2) D
•O
A
B
(3) D
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论
定理及逆定理
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O
A
EB
D (6)
挑战自我定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试
挑战自我画一画
• 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为点E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : AE=BE,CF=FD,OM=ON.
图中相等的劣弧有: AE = BE，AC = BD，CM = DM.，
CN = DN，AN = BN，AD = BC
B M
3.3 垂径定理 （第2课时）
知识回顾
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
•
弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C=B⌒C,
⌒⌒
AD=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
规律探索
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
E D
A OF
C N
试一试
挑战自我画一画
• 3.如图,圆O与矩形ABCD交于点E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
O
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线.
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
注意
定理的逆定理
• 如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直 线来说，如果在下列五个条件中:
①⑤A⌒CDD=是B⌒直D.径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
例题
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的 半径(精确到0.01m).
你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗？
船能过拱桥吗
• 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
试一试
挑战自我填一填
• 1.判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
• ⑶圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
（5）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
C
CD过圆心 CD⊥AB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
O
A
B
D
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对D
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C. 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧
• 相信自己能独立 完成解答.
判断
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（2）平分弦的直线，必定过圆心.
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
源自文库
(2) D
•O
A
B
(3) D
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
定理及逆定理
C
A M└
B
●O
条件 结论
定理及逆定理
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O
A
EB
D (6)
挑战自我定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
• 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试
挑战自我画一画
• 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为点E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : AE=BE,CF=FD,OM=ON.
图中相等的劣弧有: AE = BE，AC = BD，CM = DM.，
CN = DN，AN = BN，AD = BC
B M
3.3 垂径定理 （第2课时）
知识回顾
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
•
弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C=B⌒C,
⌒⌒
AD=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
规律探索
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
E D
A OF
C N
试一试
挑战自我画一画
• 3.如图,圆O与矩形ABCD交于点E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
O
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线.
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.