第13讲 “一线三等角型相似”问题

第13讲 “一线三等角相似”问题

二、方法剖析与提炼

例1.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF ＝60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD ＝1，FC ＝3时，求BE

【解析】主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到∠BED=∠FDC 是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．

【解答】（1）要证明△BDE 与△CFD 相似，已知条件是∠B ＝∠C ，还缺少一个角或一组对应边成比例；

（2）△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝60°∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°，∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠B ＋∠BED ，∠BED ＝∠FDC 。充分利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和这一性质；

（3）根据∠BED ＝∠FDC ，∠B ＝∠C ；容易得出△BDE ∽△CFD ； （4）因为△BDE ∽△CFD ，可以得出

BE CD

BD FC

BD ＝1，FC ＝3，CD ＝5 所以BE ＝3

5

【说明】（1）本题属于典型的一线三等角相似，由题意可得∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°再用外角可证∠BED ＝∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似，根据相似比便可求得线段BE 的长度

（2）根据一线三等角的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

例2. （2015•泰安）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ． （1）求证：AC•CD=CP•BP；

（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．

【解答】（1）根据题意可证得∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，所以△ABP ∽△PCD 。 由相似三角形的性质可以得出

BP AB

CD CP

=

,有因为AB=AC ，所以AC •CD=CP •BP （2）因为PD ∥AB ，所以∠APD=∠BAP ．又因为∠APD=∠C ，所以∠BAP=∠C ． 根据∠B=∠B ，∠BAP=∠C ，可以得出△BAP ∽△BCA ，所以BA BP

BC BA

=

,把AB=10，BC=12代入就可以求出BP=

253

【说明】（1）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到=，

即AB•CD=CP•BP，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP；

（2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．

例3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8，点P 为BC 边上一动点（不与点

B 、

C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM ＝∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；

（2）设BP ＝x ，CM ＝y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域．

（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．

【解析】相似三角形的判定及性质定理和等腰三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理解答此题的关键．注重运用分类讨论的思想方法． 【解答】（1）第1小题中，还是有∠APM 等于等腰三角形一个底角（∠B ）这个条件，所以还是符合“一线三等角相似”，所以比较容易证得△ABP ∽△PCM （2）第2小题就是在例2中的已知条件改成未知数x ，y ，把求值改成探究x ，y 的函数关系，提高了思维含量；因为BP ＝x ，CM ＝y ，CP ＝8－x ，根据相似比

MC BP PC AB =

，把值代入比例式就可以得出y x x =-85，x x y 5

8

512+-=)80(<

P

A

B

C

P

M A

B

C P

M

（3）当AP ＝PM 时，∵

AB PC

PA PM =

∴PC ＝AB ＝5， ∴BP ＝3 当AP ＝AM

时，∵∠APM ＝∠B ＝∠C ∴∠PAM ＝∠BAC 即点

P 与点B 重合 ∴BP ＝0

当MP ＝AM 时∴∠MAP ＝∠MPA ∴△MAP ∽△ABC ∴85==BC AB AP MP ∴85

==AB PC PA PM

即8558=

-x ∴BP ＝8

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【说明】（1）第（1）（2）小题都是用常规的一线三等角相似的方法。对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论。 （2）等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，一线三等角相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△

PCM 中简化运算。

三、能力训练与拓展

1.如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．

A

B

C

D

E