函数解析式的几种求法

函数解析式的几种求法

函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。

一、解析式的表达形式

解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：b kx y += )0(≠k

二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x

k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k

2、分段式

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。

例1、（2001上海）设函数(]()

⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。

解：当(]1,∞-∈x 时，由4

12=

-x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4

1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。

例2、已知3)(,12)(2

+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2

2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222

++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法

根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

1待定系数法

若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式：

① 一般式：)0()(2≠++=a c

bx ax x f ② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2≠++=

③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0)

)(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f 解法1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则

由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ①

∴ 1)(2++=bx ax x f

由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②

由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ，

即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--a

a b

. 整理得： 2284a a b =- ③

由②③得： 2,21==b a , ∴ 122

1)(2++=x x x f . 解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a k x a x f ；以下从略。

解法3：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ；由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ；

易知函数与x 轴的两交点为()()

0,22,0,22+---，所以设)0()

22)(22()(≠-+++=a x x a x f ，以下从略。 2、换元法

例4、已知：11)11(2-=+x

x f ，求)(x f 。

解：设x t 11+=，则1≠t ，1

1-=t x ，代入已知得 t t t t t f 21)1(1111

)(222-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

∴ )1(2)(2≠-=x x x x f

注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。

3、配凑法

例5、已知：221)1(x

x x x f +=+

，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或

注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；

2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

4、赋值（式）法

例6、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。

(1)求)0(f 的值；

(2)求)(x f 的解析式。

解：（1） 取0,1==y x ，则有

1)101()0()01(++=--f f

⇒2202)1()0(-=-=-=f f

（2）取0=y ，则有x x f x f )10()0()0(++=--.

整理得：2)(2++=x x x f

5、方程法

例7、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫

⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。 解：已知：,31)(2x x f x f =⎪⎭⎫

⎝⎛+①

用

x 1去代换①中的x 得 :x

x f x f 3)()1(2=+ ② 由①×2－②得：)0(12)(≠-=x x x x f . 跟踪练习

1、（2003新课标）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0

,0,12

)(21x x x x f x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围

是（ ）

A ．()1,1-

B ．()+∞-,1

C ．()()+∞⋃-∞-,02,

D ．()()∞+⋃-∞-，11,

2、（1998上海）函数⎪⎩

⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=1,510,30,32x x x x x x y 的最大值是 。

3、已知：x x x f 2)1(2+=+，求)(x f 。

4、已知：)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 。 参考答案：1、D 2、4 3、12-x 4、122--x x