(完整)高中数学必修一函数难题
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
高一上期中数学考试函数经典难题汇编(含解析)必修一(培优)
必修一函数经典难题汇编一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．46．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x28．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．810．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．811．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1618．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．720．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．822．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．12．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．13．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．14．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．15．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．16．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．17．（10分）函数f（x）=log a（a x+1）+mx是偶函数．（1）求m；（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．参考答案与解析一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，故选D．13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．故选：B．14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）=f（f2（x））==，…f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f2017（x）=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，此时方程的根有2个．x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．故选：C．20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；故②正确；g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）可能存在零点；故③错误；数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数故④正确；故答案为：②④．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，此时g（a）取较大的根，即g（a）==，∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．令ax2+4x﹣1=3，解得x=，此时g（a）取较小的根，即g（a）==，∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．得x+﹣1=0，∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），∴结合图象得：当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；。
(完整word版)高中数学必修一函数难题
高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||b f x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。
高中数学必修一函数大题(含详细解答)
高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
高一数学必修一第三章函数的应用练习题难题带答案
高一数学必修一函数的应用一．选择题（共30小题）1．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e）B．C．D．（0，1）2．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A．12辆B．11辆C．10辆D．9辆3．已知函数f（x）＝和g（x）＝a（a∈R且为常数）．有以下结论：①当a＝4时，存在实数m，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根；②存在m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根；③当x＞0时，若函数h（x）＝f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3＝1；④当m＝﹣4时，关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，若f（x）在[x，x4]上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝1．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）5．已知，方程有三个实根x1＜x2＜x3，若x3﹣x2＝2（x2﹣x1），则实数a＝（）A．B．C．a＝﹣1D．a＝16．已知函数，若方程f（x）＝ax有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1﹣x2的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少有多少个（）A．2B．3C．4D．58．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且函数f（x﹣1）为偶函数，当x＝[0，1]时，，若g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值集合是（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．11．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝212．已知f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．13．若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．D．14．已知函数f（x）＝函数g（x）＝kx．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．15．已知函数f（x）＝min{x|x﹣2a|，x2﹣6ax+8a2+4}（a＞1），其中min（p，q）＝，若方程f（x）＝恰好有3个不同解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2与x3的大小关系为（）A．x1+x2＞x3B．x1+x2＝x3C．x1+x2＜x3D．不能确定16．关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围（）A．B．C．D．17．已知函数，g（x）＝ax3﹣f（x）．若函数g（x）恰有两个非负零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．18．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．919．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．20．已知三次函数0）有两个零点，若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）22．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣23．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201824．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C．D．[2，+∞）25．已知函数f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a（a＞0），若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是（）A．B．（0，2+ln2）C．D．26．已知函数f（x）＝|x2﹣4x|，x∈R，若关于x的方程f（x）＝m|x+1|﹣2恰有4个互异的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（2，）D．（2，）27．已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A．6B．5C．4D．328．已知关于x的方程为＝3e x﹣2+（x2﹣3），则其实根的个数为（）A．2B．3C．4D．529．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣2）＝f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14，若函数g（x）＝f （x）﹣mx有三个零点，则正实数m的取值范围为（）A．（，18﹣4）B．（2，18﹣4）C．（2，3）D．（，3）30．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x）＝，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）31．已知关于x的方程xlnx﹣a（x2﹣1）＝0在（0，+∞）上有且只有一个实数根，则a的取值范围是．32．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为．33．若函数f（x）＝﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．34．已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣++…﹣，设F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）且F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是．35．已知函数，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f（x）＝0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的个数为．三．解答题（共5小题）36．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a＞0），设．（1）判断函数h（x）＝f（x）﹣g（x）零点的个数，并给出证明；（2）首项为m的数列{a n}满足：①a n+1+a n≠；②f（a n+1）＝g（a n）．其中0＜m＜．求证：对于任意的i，j∈N*，均有a i﹣a j＜﹣m．37．已知m＞0，函数f（x）＝e x﹣mx，直线l：y＝﹣m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y＝﹣m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．38．已知a∈R，函数f（x）＝x﹣ae x+1有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：e+e＞2．39．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个零点，求实数k的取值范围．40．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【解答】解：由题意，a＞0，令t＝，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）＝．当t＜0时，g（t）＝2ln（﹣t）﹣（t﹣）单调递减，且g（﹣1）＝0，又g（1）＝0，∴只需g（t）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则⇔＝，记h（t）＝（t＞0且t≠1），则h′（t）＝＝．令φ（t）＝，则φ′（t）＝＝＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t）＝在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h′（t）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0，则h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．故选：D．2．【解答】解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷（1.5+0.35）≈7.3，所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4＝1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4＝1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8＝12吨货箱，所剩货箱不超过13.5﹣12＝1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2＝11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B．3．【解答】解：①当x≤0时，f（x）＝﹣x2+mx＝﹣（x2﹣mx）＝﹣（x﹣）2+，当对称轴＜0且＞4，即m＜0且m2＞16，即m＜﹣4时，f（x）＝g（x）＝4有四个不同的实数根，故①正确，②若m＞0，则函数的对称轴＞0，此时当x≤0时，函数f（x）为增函数，且f（x）≤0，此时当m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）不可能有三个不同的实数根，故②错误③当x＞0时，设t＝f（x）＝|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c＝0有三个不同的根，则t2+bt+c＝0有两个不同的实根，其中t1＝0，t2＞0，当t1＝0时，对应一个根x1＝1，当t2＞0时，对应两个根x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，则|lnx2|＝|lnx3|，即﹣lnx2＝lnx3，则lnx2+lnx3＝0，即ln（x2x3）＝0，则x2x3＝1，即x1x2x3＝1，故③正确，④当m＝﹣4时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知x3x4＝1，x＜＜x3，即f（x）在[x，x4]上的最大值为f（x）＝|lnx|＝2|lnx3|＝﹣2lnx3＝ln4＝2ln2，得lnx3＝﹣ln2，得x3＝，则x4＝2，由对称性知，即x1+x2＝﹣4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝sin（﹣12++8）π＝sin（﹣4π+π）＝sinπ＝sin＝1，故④正确，故正确的是①③④，共3个，故选：C．4．【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0得[f（f（x））﹣1][f（f（x）﹣a]＝0，则f（f（x））＝1或f（f（x））＝a，作出f（x）的图象如图，则若f（x）＝1，则x＝0或x＝2，设t＝f（x），由f（f（x））＝1得f（t）＝1，此时t＝0或t＝2，当t＝0时，f（x）＝t＝0，有两个根，当t＝2时，f（x）＝t＝2，有1个根，则必须有f（f（x））＝a，（a≠1）有5个根，设t＝f（x），由f（f（x））＝a得f（t）＝a，若a＝0，由f（t）＝a＝0得t＝﹣1，或t＝1，f（x）＝﹣1有一个根，f（﹣x）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a＞1，由f（t）＝a得t＞2，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若a＜0，由f（t）＝a得﹣2＜t＜﹣1，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若0＜a＜1，由f（t）＝a得﹣1＜t1＜0，或0＜t2＜1或1＜t3＜2，当﹣1＜t1＜0时，f（x）＝t1，有一个根，当0＜t2＜1时，f（x）＝t2，有3个根，当1＜t3＜2时，f（x）＝t3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件．故0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1），故选：A．5．【解答】解：由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．得1﹣x2＝x2，即2x2＝1，x2＝，则x＝﹣，①当﹣1≤x≤﹣时，有f（x）≥2，原方程可化为f（x）+2+f（x）﹣2﹣2ax﹣4＝0，即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x＝﹣，由﹣1≤﹣≤﹣解得：0≤a≤2﹣2．②当﹣＜x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为4﹣2ax﹣4＝0，化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x＝﹣，又0≤a≤2﹣2，∴﹣＜﹣＜0．∴x1＝﹣，x2＝﹣，x3＝0．由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得＝2（+），解得a＝﹣（舍）或a＝．因此，所求实数a＝．故选：B．6．【解答】解：当y＝ax与y＝lnx相切时，设切点为（x0，lnx0），，∴，，由得再由图知方程f（x）＝ax的三个不同的实数根x1，x2，x3满足，1＜x2＜e＜x3因此，即x1﹣x2的取值范围是（）故选：B．7．【解答】解：∵f（x﹣1）是f（x）向右平移一个单位的图象，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以函数f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）为偶函数，因此当“f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）”是“|2020﹣x|＝|f（log2020|x|）|”充要条件时，此时方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解的个数最少，接下来讨论方程|2020﹣x|＝|log2020|x||的解的个数，因为|2020﹣x|＝|log2020|x||等价于或，①当时，方程的解的个数即函数y＝2020﹣x的图象和函数y＝log2020|x|的图象的交点个数，画出两函数图象如下图所示：易知两函数在x∈（0，+∞）上存在一个交点，故方程有1解；②当时，下面分两种情况进行讨论，若x＜0，等价于，令g（x）＝，易得函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又因为，，由零点存在定理可得函数g（x）在（﹣∞，0）上存在唯一零点，即方程在（﹣∞，0）上有且只有一个解；若x＞0时，等价于，下面我们证明当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，假设A点在指数函数y＝a x上，且指数函数过该点的切线斜率为﹣1，B点在对数函数y＝log a x上，且对数函数过该点的切线斜率也为﹣1，当A、B重合时，它们会有一个交点，此时就是一个界点．图象如下图所示，指数函数为y＝a x，求导y′＝a x lna，即指数函数切线的斜率，，∴，与指数函数y＝a x对应的反函数，对数函数为y＝log a x，求导，即对数函数斜率，，∴x B＝﹣log a e，A，B重合，即x A＝x B，∴log a（﹣log a e）＝﹣log a e，∴，即a＝，∴，即是一个分界点，结合指数函数数及对数函数的变化趋势可知，当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，又因为，所以，于是方程在（0，+∞）上有三个解，即方程在（0，+∞）上有三个解，综上所述方程|2020﹣x|＝|log2020|x||一共有5个解，于是方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少5个，故选：D．8．【解答】解：由已知得，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝f（﹣x﹣1），则f（x+1）＝﹣f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，关于原点对称，又f（x+2）＝f（（x+1）+1）＝﹣f（（x+1）﹣1）＝﹣f（x），进而有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以得函数f（x）是以4为周期得周期函数，由g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点可知，函数f（x）与函数y＝x+b得图象有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，由，即2x2+（2b﹣2）x+b2＝0，故方程2x2+（2b﹣2）x+b2＝0有两个相等得实根，由△＝0⇒（2b﹣2）2﹣4•2•b2＝0，解得b＝﹣1±，当x∈[0，1]时，f（x）＝，作出函数f（x）与函数y＝x+b的图象如图：由图知当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，b＝﹣1+，数形结合可得g（x）在[﹣2，2]上有三个零点时，实数b满足，再根据函数f（x）的周期为4，可得所求的实数b的范围为，k∈Z．故选：C．9．【解答】解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．【解答】解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f（﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．11．【解答】解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．12．【解答】解：由题意知f（0）＝0，∵f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，∴f（x）只有一个零点0．∵f（﹣x）＝sinπx+a（e﹣x﹣e x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故只考虑当x＞0时，函数f（x）无零点即可．当x＞0时，有πx＞sinπx，∴f（x）＝a（e x﹣e﹣x﹣sinπx）＞a（e x﹣e﹣x﹣）．令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣，x＞0，则g（0）＝0，∵g′（x）＝e x+e﹣x﹣，x＞0，g″（x）＝e x﹣e﹣x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（0）＝0，∴g′（x）＞g′（0）＝2﹣≥0，解得a≥．故选：B．13．【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．令f′（x）＝0，∴e x＝，解得x＝﹣lna．∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a×+（a﹣2）×+lna＝1﹣+lna＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．u′（a）＝+＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜a＜1．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴满足函数f（x）有两个零点．∴a的取值范围为（0，1），故选：A．14．【解答】解：作出函数g（x）和f（x）的图象如图：由图可知，当k≤0时，不满足题意，则k＞0；当直线y＝kx经过点B时，k＝＝，此时y＝x与函数f（x）图象有3个交点，满足；当y＝kx为y＝lnx的切线时，设切点（x0，lnx0），则k＝，故有lnx0＝•x0＝1，解得x0＝e，即有切点为A（e，1），此时g（x）＝x与f（x）有3个交点，满足题意；综上：当k∈[，]，故选：B．15．【解答】解：f（x）＝，易知f（a）＝a2（极大值）；f（2a）＝0（极小值）；（极大值）；f（3a）＝4﹣a2（极小值）．要使f（x）＝恰好有3个不同解，结合图象得：①当，即时，解得，不存在这样的实数a．②当，即时，解得；此时2a＜，又因为x2与x3关于x＝3a对称，∴x3﹣3a＝3a﹣x2＜a＜2a＜x1．∴x3＜4a＜x1+x2．③当，即时，解得a＞2．此时，x1，x2是方程﹣x2+2ax＝的两实根，所以x1+x2＝2a，而x3＞3a，所以x1+x2＜x3，故选：D．16．【解答】解：依题意可知，|x2﹣4x+1|＝t2+1，由方程有四个根，所以函数y＝t2+1与y＝|x2﹣4x+1|的图象有四个交点，由图可知，x1+x4＝4，x2+x3＝4，1≤t2+1＜3，解得t2∈（0，2），由x2﹣4x+1＝t2+1解得x1＝2﹣；由﹣（x2﹣4x+1）＝t2+1解得x2＝2﹣；所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＝8﹣2（x1+x2）＝2（+）设m＝t2∈（0，2），n＝+，n2＝m+4+2﹣m+2＝6+2∈（6，6+4），即m∈（，2+），所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（2，4+2）．故选：B．17．【解答】解：显然，x＝0满足g（x）＝0，因此，只需再让g（x）＝0有另外一个唯一正根即可．ax3﹣f（x）＝0，即为ax3＝f（x）．作出h（x）＝ax3，y＝f（x）图象如下：说明：射线与线段是y＝f（x）的部分图象，因为要分三种情况分析，故y＝h（x）的图象作了三个（只做出y轴右侧部分），分别对应①、②、③．（1）对于第一种情况：因为h′（0）＝0＜1，所以当y＝h（x）（如图象①）与y＝f（x）＝x在[0，1）上的图象有交点A时，只需h（1）＝a＞1即可；（2）对于第二种情况：y＝h（x）（图象②）与y＝f（x）＝x﹣1在[1，2）上的图象切于点B，设切点为（m，m﹣1），因为h′（x）＝3ax2，则，解得；（3）当y＝h（x）（图象③）与y＝x﹣1（1≤x＜2）相交于点C，且满足h（2）≤1，即时，只需x∈[2，3）时，g（x）≥0恒成立即可．所以ax3≥x﹣2，x∈[0，2]恒成立即可，且只能在x＝3处取等号，即，，在[2，3]上恒成立，故u（x）在[2，3]上递增，所以u（x）max＝u（3）＝，．故此时即为所求．综上可知，a的范围是．故选：C．18．【解答】解：f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3＝，令t＝3﹣，则，t∈[3﹣，+∞），⇒a﹣3＝⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴＞＝6，t1t2＝9．又∵t1+t2＝，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，＜3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴＞3，＜3，3﹣＜3．则可知＝t1，＝3﹣＝t2．∴＝．故选：A．19．【解答】解：不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，则x1+x2＝﹣a，x1x2＝b．则a2+ab＝（x1+x2）2﹣（x1+x2）•x1x2＝（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12，由1﹣x1＜0，x2∈R，所以（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12≤＝，可令g（x1）＝，g′（x1）＝，当x1∈[2，3]，g′（x1）＞0恒成立，所以g（x1）∈[g（2），g（3）]＝[4，]．则g（x1）的最大值为，此时x1＝3，还应满足x2＝﹣＝﹣，显然x1＝3，x2＝﹣时，a＝b＝﹣，a2+ab＝．故选：B．20．【解答】解：三次函数0）有两个零点，且由f′（x）＝x2+2ax﹣3a2＝0得x＝a或﹣3a．故必有．又若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则f（x）＝a或f（x）＝﹣3a共有四个根．①当前一组混合组成立时，做出图象（图①）可知，只需0＜a＜f（﹣3a）即可，即，解得②；②当后一组混合组成立时b＝﹣9a3，做出图象（图②）可知图②只需f（a）＜﹣3a＜0即可，即，解得③．取②③的并集可知，当时．方程f′[f（x）]＝0有四个根．故选：C．21．【解答】解：令t＝|a x﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．22．【解答】解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f（1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．23．【解答】解：因为f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为2，当x＞1时，g（x）＝，所以g′（x）＝，所以x∈（1，e），g′（x）＞0，函数是增函数，g（x）＞g（1）＝0，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函数是减函数，g（x）＞0，g（x）的最大值为1，f（x）与g（x）的图象如下：在区间[﹣1，1]内有一个根，在[1，2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以F（x）共有2017个零点．故选：C．24．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象知x1+x2＝﹣4，x3x4＝1，0＜b≤1，解不等式0＜﹣log2x≤1得：≤x3＜1，∴＝+，令t＝x32，则≤t＜1，令g（t）＝t+，则g（t）在[，1]上单调递减，g（1）＝2，g（）＝，∴g（1）＜g（t）≤g（），即2＜t+≤，故选：C．25．【解答】解：由f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a＞0，得lnx＞（a﹣1）x﹣a，作出函数y＝lnx与y＝（a﹣1）x﹣a的图象如图：直线y＝（a﹣1）x﹣a过定点（1，﹣1），当x＝2时，曲线y＝lnx上的点为（2，ln2），当x＝3时，曲线y＝lnx上的点为（3，ln3）．过点（1，﹣1）与（2，ln2）的直线的斜率k＝，过点（1，﹣1）与（3，ln3）的直线的斜率k＝．由a﹣1＝ln2+1，得a＝ln2+2，由a﹣1＝，得a＝．∴若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是．故选：C．26．【解答】解：作出f（x）＝|x2﹣4x|与f（x）＝m|x+1|﹣2的图象如图，由图可知，f（x）＝m|x+1|﹣2恒过（﹣1，﹣2），且为2条射线，斜率分别为m，﹣m，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）以及与抛物线相切时时临界情况，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）时，m＝＝2，当f（x）＝m|x+1|﹣2与y＝﹣x2+4x相切时，联立，得x2+（m﹣4）x+m﹣2＝0，则△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m＝6﹣2（6+2舍去），故m的取值范围为（2，6﹣2），故选：C．27．【解答】解：不妨设，，易知，f1（x）＜0在（﹣∞，0]上恒成立，且在（﹣∞，0]单调递增；，设，由当x→0+时，g（x）→﹣∞，g（1）＝e ﹣1＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上单增，故函数g（x）存在唯一零点x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即，则，故当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f2'（x）＜0，f2（x）单减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f2'（x）＞0，f2（x）单增，故＝0，故f2（x）≥0；令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣et＝0，当t≤0时，﹣e﹣t﹣et＝0，解得t＝﹣1，此时易知f（x）＝t＝﹣1有一个解；当t＞0时，te t﹣t﹣1﹣lnt﹣et＝0，即te t﹣t﹣1﹣lnt＝et，作函数f2（t）与函数y＝et如下图所示，由图可知，函数f2（t）与函数y＝et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1＞0，t2＞0，而由图观察易知，f（x）＝t1，f（x）＝t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为5．故选：B．28．【解答】解：x ＝不是方程＝3e x﹣2+（x2﹣3）的根，所以方程可变形为﹣＝，原问题等价于考查函数y ＝﹣与函数g（x ）＝的交点个数，令h（x ）＝，则h′（x ）＝，列表可得：x （﹣∞，﹣（﹣，﹣1）（﹣1，）（，3）（3，+∞））h′（x）++﹣﹣+h（x）单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数y ＝在有意义的区间内单调递增，故g（x）的单调性与函数h（x）的单调性一致，且g（x）的极值g（﹣1）＝g（3）＝﹣+2e，绘制函数图象如图所示，观察可得，y ＝﹣与函数g（x）恒有3个交点，即方程实数根的个数是3，故选：B．29．【解答】解：根据f（x﹣2）＝f（x），可知函数的一个周期为2，作出x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14的图象，再根据函数f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，利用周期性，可以作出函数f（x）的图象，函数g（x）＝f（x）﹣mx有三个零点，所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx有三个交点，由图可知，当直线位于直线l1与直线l2之间时可以满足题意．当直线l2与y＝f（x）的图象相切时，联立得，4x2+（m﹣18）x+14＝0，∴△＝（m﹣18）2﹣4×4×14＝0，解得m＝18﹣4，m＝19+4（舍去）∴＜m＜18﹣4．故选：A．30．【解答】解：方程|f（x）﹣g（x）|＝1⇔f（x）＝g（x）±1，y＝g（x）+1＝，y＝g（x）﹣1＝．分别画出y＝f（x），y＝g（x）+1的图象．由图象（1）可得：0＜x≤1时，两图象有一个交点；1＜x≤2时，两图象有一个交点；x＞2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f（x），y＝g（x）﹣1的图象．由图象（2）可知：x＞时，两图象有一个交点．综上可知：方程|f（x）﹣g（x）|＝1实数根的个数为4．故选：C．二．填空题（共5小题）31．【解答】解：当x＝1时，方程等价为ln1﹣a（1﹣1）＝0，即x＝1是方程的一个根，若当x＞0时，方程只有一个根，则由xlnx﹣a（x2﹣1）＝0得x＞0，且xlnx＝a（x2﹣1），即lnx＝a（x﹣），当x≠时，方程无解，即函数g（x）＝lnx与h（x）＝a（x﹣），在x≠1时无解，函数g（x）＝lnx为增函数，g′（x）＝，h′（x）＝a（1+），则当a＝0时，h（x）＝0，此时h（x）与函数g（x）只有一个交点（1，0），若a＜0，则h′（x）＜0，即h（x）为减函数，且h（1）＝0，此时两个函数图象只有一个交点（1，0）满足条件，若a＞0，要使g（x）与h（x）只有一个交点（1，0），则只需要h′（1）≥g′（1），即可则2a≥1，即a≥，综上a≥或a≤0，故答案为：a≥或a≤032．【解答】解：函数＝0，得|x+a|﹣﹣a＝3，设g（x）＝|x+a|﹣﹣a，h（x）＝3，则函数g（x）＝，不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x﹣＝3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6+﹣2a＝3，解得a＝，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x﹣﹣2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1+（舍去）或a＝﹣1﹣．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a＝，或﹣1﹣．33．【解答】解：由题意得，a＝﹣＝﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．34．【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+…﹣+，f′（x）＝1﹣x+x2﹣…+x2012＝＝＞0，此时函数单调递增，∵f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣﹣＜0，∴函数f（x）存在一个唯一的零点，设函数f（x）的零点为x1，∴根据根的存在性定理可知x1∈（﹣1，0）．∵g（x）＝1﹣x+﹣+…+﹣，g′（x）＝﹣1+x﹣x2﹣…﹣x2012＝＝﹣＜0，即函数单调递减，∵g（1）＝＞0，g（2）＝，设函数g（x）存在唯一的一个零点x2，∴根据根的存在性定理可知x2∈（1，2）．由F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）＝0，则f（x+3）＝0或g（x﹣4）＝0．由x+3∈（﹣1，0）．得﹣1＜x+3＜0，即﹣4＜x＜﹣3，∴函数f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）．由x﹣4∈（1，2）．，得1＜x﹣4＜2，即5＜x＜6，∴函数g（x﹣4）的零点在（5，6）．即函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4）的零点在（﹣4，﹣3）和（5，6）内，∵F（x）的零点均在区间[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b≥6，a≤﹣4，∴b﹣a≥10，即b﹣a的最小值是10．35．【解答】解：，是由和y＝﹣log2x，两个函数中，每个函数都是减函数，所以，函数为减函数．∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，∴不妨设0＜a＜b＜c∵f（a）f（b）f（c）＜0则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0 或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0综合以上两种可能，恒有f（c）＜0所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正确．故答案为：3．三．解答题（共5小题）36．【解答】解：（1）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点．证明如下：函数f（x）＝lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），由，可得函数g（x）的定义域为（﹣∞，），∴函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域为（0，）．h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax﹣ln（）+2﹣ax．h′（x）＝，当且仅当时等号成立，因此h（x）在上单调递增，又，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点；证明：（2）由（1）可知h（x）在上单调递增，且，故当时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．∵，∴f（a1）＜g（a1）＝f（a2），若，则由，且f（x）在上单调递减，知，即，这与矛盾，故，而当时，f（x）单调递增，故；同理可证，…，，故数列{a n}为单调递增数列且所有项均小于，因此对于任意的i，j∈N*，均有．37．【解答】解：（1）由題意，令g（x）＝e x﹣mx+m，（m＞0）则g'（x）＝e x﹣m，令g'（x）＞0，解得x＞lnm．所以g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜lnm，所以g（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，则当x＝lnm时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min＝g（lnm）＝m﹣mlnm+m＝m（2﹣lnm）①当m（2﹣lnm）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2﹣lnm）＝0，即m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2﹣lnm）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点；m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）＝g（lnm+x）﹣g（lnm﹣x）＝me x﹣me﹣x﹣2mx，（x＞0）φ′（x）＝m（e x+e﹣x﹣2）∵e x+e﹣x≥2＝2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0∴x＞0时，g（lnm+x）＞g（lnm﹣x）恒成立，又0＜x1＜lnm＜x2，∴lnm﹣x1＞0，∴g（lnm+lnm﹣x1）＞g（lnm﹣lnm+x1）即g（2lnm﹣x1）＞g（x1），又g（x1）＝g（x2）∴g（x2）＜g（2lnm﹣x1）∵2lnm﹣x2＞lnm，x2＞lnm，y＝g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，∴x2＜2lnm﹣x1即x1+x2＜2lnm．38．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣ae x，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，不合题意，舍去，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣lna；令f′（x）＜0，解得x＞﹣lna；故f（x）在（﹣∞，﹣lna）单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减，由函数y＝f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），其必要条件为：a＞0且f（﹣lna）＝﹣lna＞0，即0＜a＜1，此时，﹣1＜﹣lna＜2﹣2lna，且f（﹣1）＝﹣1﹣+1＝﹣＜0，令F（a）＝f（2﹣2lna）＝2﹣2lna﹣+1＝3﹣2lna﹣，（0＜a＜1），则F′（a）＝﹣+＝＞0，F（a）在（0，1）上单调递增，所以，F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（2﹣2lna）＜0，故a的取值范围是（0，1）．（Ⅱ）令f（x）＝0⇒a＝，令g（x）＝，g′（x）＝﹣xe﹣x，则g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a＜1，故有﹣1＜x1＜0＜x2，令h（x）＝g（﹣x）﹣g（x），（﹣1＜x＜0），h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，（﹣1＜x＜0），h′（x）＝﹣xe x+xe﹣x＝x（e﹣x﹣e x）＜0，所以，h（x）在（﹣1，0）单调递减，故h（x）＞h（0）＝0，故当﹣1＜x＜0时，g（﹣x）﹣g（x）＞0，所以g（﹣x1）＞g（x1），而g（x1）＝g（x2）＝a，故g（﹣x1）＞g（x2），又g（x）在（0，+∞）单调递减，﹣x1＞0，x2＞0，所以﹣x1＜x2，即x1+x2＞0，故e+e≥2＝2e＞2．39．【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）＝﹣x2．是增函数，且f（x）＜0＝f（0），故当x≥0时，f（x）为增函数，即f′（x）≥0恒成立，函数的导数f′（x）＝+2ax﹣2a＝+2a（x﹣1）＝（1﹣x）（﹣2a）≥0恒成立，当x≥1时，1﹣x≤0，此时相应﹣2a≤0恒成立，即2a≥恒成立，即2a≥（）max＝恒成立，当x≤1时，1﹣x≥0，此时相应﹣2a≥0恒成立，即2a≤恒成立，即2a≤（）min＝恒成立，则2a＝，即a＝．（2）若k≤0，则g（x）在R上是增函数，此时g（x）最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故k＞0，当x＜0时，g（x）＝﹣x2﹣kx有一个零点﹣k，g（0）＝f（0）﹣0＝0，故0也是故g（x）的一个零点，故当x＞0时，g（x）有且只有一个零点，即g（x）＝0有且只有一个解，即+﹣﹣kx＝0，得+﹣＝kx，（x＞0），则k＝+﹣，在x＞0时有且只有一个根，即y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，h′（x）＝﹣+，由h′（x）＞0得﹣+＞0，即＜得e x＞2e，得x＞ln2e＝1+ln2，此时函数递增，由h′（x）＜0得﹣+＜0，即＞得e x＜2e，得0＜x＜ln2e＝1+ln2，此时函数递减，即当x＝1+ln2时，函数取得极小值，此时极小值为h（1+ln2）＝+﹣＝++﹣＝++﹣＝，h（0）＝1+0﹣＝1﹣，作出h（x）的图象如图，要使y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，则k＝或k≥1﹣，即实数k的取值范围是{}∪[1﹣，+∞）．40．【解答】解：（1）a＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x＝4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）＝3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）＝3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）＝a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）＝a+1+1．联立，解得0＜a≤．可得a ∈．因此调节参数a 应控制在范围．第41页（共41页）。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解2、已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称，可得：f(-x)=log3[1-m(-x+2)/(-x-3)]=log3[1+m(x+2)/(x+3)]因为f(-x)=-f(x)，所以有：log3[1-m(x+2)/(x-3)]=-log3[1+m(x+2)/(x+3)]即：log3[(1-m(x+2)/(x-3))(1+m(x+2)/(x+3))]=-1化简得到：m=23、当x∈（3,4）时，有：f(x)=log3[1-m(x+2)/(x-3)]=log3[(x-3-m(x+2))/(x-3)]因为m=2，所以有：f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]因此，f(x)的值域为(-∞,log3(4/3))4、对于f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]，求导可得：f'(x)=1/(x-7)-1/(x-3)当x>7时，f'(x)<0，即f(x)单调递减；当30，即f(x)单调递增；因此，f(x)在定义域内为单调函数。
1.给定方程u(t) = (a-1)t^2 - 4/3at - 1 = 0，要求找出唯一的正根。
因为两个函数图像只有一个公共点，所以问题转化为寻找这个正根。
当a=1时，方程没有正根；当△=0时，a=3/4或a=-3，其中a=3/4时，t=-1/2，a=-3时，t=1/2.如果方程有一个正根和一个负根，那么(a-1)×u(0)。
1.综上所述，a=-3或a>1.2.给定方程f²(x) + bf(x) + c = 0，要求确定它有五个根的充要条件。
首先，我们分析函数f(x)的图像，发现当f(x)=1时，有三个对称的x值，除了x=2之外还有两个。
当f(x)≠1时，有两个对称的x值。
因此，满足f²(x) + bf(x) + c = 0的f(x)有两个，一个对应三个x值，另一个对应两个x值。
高一数学函数经典难题讲解
- 1 - 高一函数经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a -1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2；x<a 时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m 的值（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
完整版)高一数学函数经典习题及答案
完整版)高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-[(2x-1)+4-x^2]/[1/(x+1)+1/(x+3)-3]2、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x-2)的定义域为[-2,-1]；函数f(2x-1)的定义域为[(1/2,1)]。
3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-3/2,2]；函数f(2)的定义域为[1,4]。
4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1) if x≥5y = 5x^2+9x+4/2x-6 (x<5)⑸y = (x-3)/(x+2)⑹y = x-3+x+1⑺y = (x^2-x)/(2x-1)(x+2)⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = 2x+1/(x∈R)的值域为[1,3]，求a,b的值。
三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。
2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x，求f(x)的解析式。
3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4，则f(x) = (3x+4)/5.4、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x) =x/(1+x)，则f(x)在R上的解析式为f(x) = x/(1+x)-2/(1-x^2)。
5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = 3x，则f(x) = x，g(x) = 3x-x^3.四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴y = x+2/x+3⑵y = -x^2+2x+3⑶y = x-6/x-127、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
(word完整版)必修一函数压轴题
函数压轴题 一、函数的性质1.已知函数)1()(xx e e x x f -=，若f （x 1)<f （x 2），则（ ） A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0 C ．x 1<x 2 D ．2221x x <2。
f (x )是定义在（0,＋∞）上的单调增函数，满足f (xy ）＝f (x ）＋f （y ），f （3）＝1，若f (x ）＋f （x －8)≤2，则x 的取值范围为________．3。
要使函数22)(-+=x kx x f 与y ＝log 3(x －2)在(3,＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．4.已知函数f (x )是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f （x ）的图象关于x ＝1对称，当x ∈［0，1］时，f （x )＝2x －1，①求证：f （x ）是周期函数；②当x ∈［1，2］时，求f （x )的解析式;③计算f (0）＋f （1)＋f （2）＋…＋f （2 017）的值．5.已知f （x )是定义在R 上的偶函数，g （x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1),则f (2 013）＋f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x ＋2）＝－f (x ）．当x ∈［0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f （x ）是周期函数；（2)当x ∈[2，4]时，求f （x ）的解析式； (3）计算f （0）＋f （1)＋f （2)＋…＋f (2 014)．7.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f （x ＋2)为偶函数，且f （1）＝1，则f （8）＋f （9)＝( ）A ．－2B ．－1C ．0D ．18。
若函数)1ln()(2++=x x x x f 为偶函数，则a ＝________． 9.若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数,则a ＝________10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时,f (x )＝3x ＋m （m 为常数），则f (－log 35）的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－611.已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+,则a 的取值范围是( ）A ．［1，2］B 。
高一数学必修一函数必考题目
高一数学必修一函数必考题目在高中数学必修一中，函数是重要的概念之一，也是必考的内容。
以下是几道高一数学必修一函数必考题目，以及解题思路和注意点。
1. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1-x}{x-2}$，求满足$f(g(x))=1$ 的函数 $g(x)$。
解题思路：根据题意，我们有 $f(g(x))=\dfrac{1-g(x)}{g(x)-2}=1$，解得 $g(x)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}x$。
注意点：求解 $g(x)$ 的过程需要化简分式，以及最后需要将$g(x)$ 的式子简化为一般式。
2. 已知函数 $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x+2)$，求函数$g(x)=f(e^x)$ 的值域。
解题思路：首先将 $g(x)$ 变形为$g(x)=f(e^x)=\log_{\frac{1}{2}}((e^x)^2-2e^x+2)$。
然后分析函数 $y=x^2-2x+2$ 的值域为 $[1,+\infty)$，所以 $(e^x)^2-2e^x+2$ 的值域也是 $[1,+\infty)$。
因此$\log_{\frac{1}{2}}((e^x)^2-2e^x+2)$ 的值域为 $(-\infty,0]$。
注意点：需要注意向内函数的值域和向外函数的值域的关系。
3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}$，求函数$g(x)=\dfrac{2x+5}{x^2-2x+2}$ 的定义域。
解题思路：首先分析分母 $(x-1)$ 的值，当 $x\neq 1$ 时，$f(x)$ 有定义；然后分析分母 $(x^2-2x+2)$ 的值，得到 $x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，然后再排除使分母为 $0$ 的点，得到函数 $g(x)$ 的定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。
注意点：需要注意分母为 $0$ 的情况，且需要最终将函数$g(x)$ 的定义域写成集合形式。
(完整版)高一函数大题训练及答案解析
(完整版)高一函数大题训练及答案解析一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bx f x x->+对于()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由. 2．已知偶函数满足：当时，，当时，.(1)求当时，的表达式； (2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.3．已知有穷数列{}n a 、{}n b （1,2,,n k =⋅⋅⋅），函数1122()||||||k k f x a x b a x b a x b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）如果{}n a 是常数列，1n a =，n b n =，3k =，在直角坐标系中在画出函数()f x 的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当n n a n b ==，7k m =（m ∈*N ）时，判断函数()f x 在区间[5,51]m m +上的单调性，并说明理由；（3）当n a n =，1n b n=，100=k 时，求该函数的最小值. 4．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个零点分别为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，求λ的取值范围.5．已知2()2(1)3()=-++∈f ax x a x R a .（1）若函数()f x 在3[,3]2单调递减，求实数a 的取值范围；（2）令()()1=-f x h x x ，若存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立，求实数a 的取值范围.6．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.7．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.8．定义在D 上的函数()y f x =，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称函数()y f x =是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.已知函数1112()1,()2412x xx xm f x a g x m -⋅⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪+⋅⎝⎭⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()y f x =在(,0)-∞上的值域，并判断函数()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()y g x =在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的解析式.9．已知函数()22f x x x a =+--.（1）当0a =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <至少有一个负解，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()2xf x x R =∈，记()()()g x f x f x =--．⑴解不等式：()()26f x f x -≤；⑵设k 为实数，若存在实数(]01,2x ∈，使得()()20021g x k gx =⋅-成立，求k 的取值范围；⑶记()()()22h x f x a f x b =++⋅+(其中a ，b 均为实数)，若对于任意的[]0,1x ∈，均有()12h k ≤，求a ，b 的值． 11．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．12．已知函数()20182018,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，(1)分别求()()()()1,2018f f f f -的值: (2)讨论()()()f f x m m R =∈的解的个数:(3)若对任意给定的[)1,t ∈+∞,都存在唯一的x R ∈,满足()()222f f x a t at =-，求实数a的取值范围.13．记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数. （1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2xg x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.15．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”； （2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N*k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论； （2）假设存在实数b使得不等式()x bf x x->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bx f x x->+恒成立，即为ln x bx x->恒成立， ①当x ∈（0，1）时，ln x bx x-> ⇒b ＞x−x lnx ，令g （x ）＝x−x lnx ，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝1−ln 12x x x -＝2ln 12x x x-- 令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（0，1）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x ）＝()2h x x ＞0，∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可； ②当x ∈（1，2）时，ln x bx x-> ⇒b ＜x−x lnx ，令φ（x ）＝x−x lnx ，x ∈（1，2） 则φ′（x ）＝1−ln 12x x x -＝2ln 12x x x-- 令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（1，2）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x ）＝()2h x x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）()()(2)f x x a x =+--；（2）①23a <+时，34m =；②4a =时，1m =；③10473a +>时，23201216a a m -+=. 【解析】 【详解】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x 代替中的x 即可得到当时，的表达式; (2)零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或24a <<或或四种情况讨论求出m 的值．解：（1）设则，又偶函数所以， ………………………3分 （2）零点，与交点有4个且均匀分布（Ⅰ）时， 得，所以时， …………………………5分 （Ⅱ）24a <<且时 ， ，所以 时，……………………………7分（Ⅲ）时m=1时 符合题意………………… ……8分（IV ）时，，,m此时所以 （舍） 且时，时存在 ………10分综上： ①时，②时，③时，符合题意 ………12分3．（1）图象见解析；递减区间(],2-∞，递增区间[)2,+∞，最小值()22f =；（2）单调递增；理由见解析；（3）292071. 【解析】（1）根据条件采用零点分段的方法作出函数()f x 的图象，根据图象确定出()f x 的单调区间和最小值；（2）写出()f x 的解析式，根据[]5,51x m m ∈+分析函数()f x 的结构，从而判断出()f x 的单调性；（3）先根据条件证明出()f x 的单调性然后即可求解出()f x 的最小值. 【详解】 （1）如图所示，由图象可知：单调递减区间(],2-∞，单调递增区间[)2,+∞，最小值()22f =； （2）因为()112233...77f x x x x m x m =⋅-+-+-++-且[]5,51x m m ∈+, 所以()()()()()()()()()()12233...555151...77f x x x x m x m m m x m m x =-+-+-++-+++-++-， 所以()()()()()()()()()222222155517212...55152 (72)2m m m m m f x x m x m m m +⋅++⋅=-+++-++++++ ， 所以()()()()()()()222222222552425152...712 (52)m m m m f x x m m m m +--=++++++-+++，所以()()()()()()()2222222+35152...712 (52)m m f x x m m m m =++++++-+++且2302m m+>， 所以()f x 在[]5,51m m +上单调递增；（3）因为()12131...1001f x x x x x =-+-+-++-，显然当[)1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，当(],0x ∈-∞时，()f x 单调递减， 设存在一个值()1*t N t ∈，使得10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，此时最小值即为1f t ⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明1t存在：因为若要10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，则有12112100......t t t t t t t t t-+++++>+++，解得：71t ≥，且()1221100 (1111111)t t t t t t t t t t -++++<+++≠------，解得：171t -<， 所以7172t ≤<，所以71t =，所以存在1171t =满足条件，故假设成立，综上可知：()f x 在1,71⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+71⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， ()()()()()()()min 1112170721731100171f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭292041971x =+=【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，其中着重考查了函数单调性方面的内容，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较难. 4．（1）10a e<<（2）1λ≥ 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点,对()g x 进行求导，通过单调性画出()g x 的草图，由()g x 与y a =有两个交点进而得出a 的取值范围; （Ⅱ）分离参数得：121a x x λλ+>+,从而可得()1122lnx a x x x =-恒成立；再令()12,0,1x t t x =∈,从而可得不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，再令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 所以方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点.又()21ln xg x x -'=，即当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<, 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减.从而()()max 1g x g e e==. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →∞，在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下：可见，要想函数()ln x g x x =与函数y a =在图像()0,+∞上有两个不同交点，只需10a e<<. （Ⅱ）由（I ）可知12,x x 分别为方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+. 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+. 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln xx a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+. 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令()12,0,1x t t x =∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，则()()()()()()222111t t h t t t t t λλλλ--+=-=++'， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增，又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立，符合题意；当21λ<时，可见当()20,t λ∈时，()0h t '>；当()2,1t λ∈时，()0h t '<，所以()h t 在()20,t λ∈时单调递增，在()2,1t λ∈时单调递减.又()10h =，所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根12,x x 的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数t ，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.5．（1）12a ≤（2）4([,).5∈-∞⋃+∞a 【解析】【分析】（1）对a 讨论，0a =，0a >，0a <，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a 的范围；（2）由题意可得在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x 成立， 1()(1)21ah x a x x -=-+--，令11[,2]2=-∈t x ，则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈．对a 讨论，（i ）当0a ≤时，（ii ）当01a <<时，求出单调性和最值，即可得到a 的范围.【详解】（1）①当0a =时，()23f x x =-+，显然满足，②010123a a a a >⎧⎪⇒<<+⎨≥⎪⎩，③00132a a a a <⎧⎪⇒<+⎨≤⎪⎩， 综上实数a 的取值范围：12a ≤. （2）存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立即：在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x ，因为()1()(1)211-==-+---f x a h x a x x x ，令11[,2]2=-∈t x ， 则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈ （i ）当0a ≤时，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，所以max min 1()()2+-≥a g t g t ，等价于112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以0a ≤； （ii ）当01a <<时，1()()2-=+-aa g t a t t ，()g t在上单调递减，在)+∞上单调递增. ①12≤时，即451a ≤<，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增.由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以451a ≤<. ②2≥时，即105a <≤，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以105a <≤.③当122<<时，即1455a <<，min ()=g t g ，最大值则在(2)g 与1()2g 中取较大者，作差比较13(2)()322-=-g g a ，得到分类讨论标准：a .当1152<<a 时，13(2)()3022-=-<g g a ，此时max 1()()2=g t g ，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到211()32409022a g g a a a +-≥⇒-+≥⇒≥或a ≤，所以15<≤ab .当1425≤<a 时，13(2)()3022-=->g g a ，此时max ()(2)=g t g ，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到14(2)25+-≥⇒≥≥a g g a a ，此时无解，在此类讨论中，4[,1).5∈⋃a c .当1a ≥，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以1a ≥，综合以上三大类情况，4([,).5∈-∞⋃+∞a 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查运算能力，属于难题.6．（1）1a <；（2）2m ≥；（3）当1T =时，2k n π=，n ∈Z ；当1T =-时，(21)k n π=+，n ∈Z .【解析】 【分析】（1）由题意f （x +1）＞2f （x ）整理可求得a ＜x ﹣121x --，令x ﹣1＝t （t ≥2），由g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a 的取值范围；（2）由x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，可求得当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，利用f （x ）在[0，+∞）上单调递增，可得m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1），从而可求实数m 的取值范围；（3）f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立，即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立，分当k ＝0时，T ＝1；当k ≠0时，要使cos k（x+T）＝T cos kx恒成立，只有T＝±1，于是可得答案．【详解】（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，∵x≥3，∴a()22122111xx xx x----==--＜x﹣121x--，令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t2t-在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min＝g（2）＝1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），即m≥2．（3）由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1；当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是cos kx∈[﹣1，1]，又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cos k（x+T）＝T cos kx恒成立，只有T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝cos kx得到k＝2nπ，n∈Z且n≠0；当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣cos kx得到﹣k＝2nπ+π，即k＝（2n+1）π，n∈Z；综上可知：当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．7．（1）9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）0a>【解析】【分析】（1）当1a =时，函数()()22221x x f x =--，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】（1）当1a =时，()()224212221x x x x f x =⋅--=--， 令2x t =，[]3,0x ∈-，则1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故221921248y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）关于x 的方程()222210x x a --=有解，等价于方程2210ax x --=在()0,∞+上有解记()221g x ax x =--当0a =时，解为10x =-<，不成立； 当0a <时，开口向下，对称轴104x a=<，过点()0,1-，不成立； 当0a >时，开口向上，对称轴104x a=>，过点()0,1-，必有一个根为正， 所以，0a >. 【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．8．（1）见解析；（2）51a -≤≤；（3）1,01()12,12m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩.【解析】 【分析】（1）通过判断函数()y f x =的单调性，求出()y f x =的值域，进而可判断()y f x =在(,0)-∞上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数a 的取值范围；（3）通过分离常数法求()y g x =的值域，利用新定义进而求得()T m 的解析式． 【详解】（1）当1a =时，11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在(,0)-∞上递减，∴()(0)3,f x f >=∴函数()y f x =在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞，故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立，∴函数()y f x =在(,0)-∞上不是有界函数 （2）()y f x =在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，即|()|3f x ≤，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1131324xxa ⎛⎫⎛⎫-≤+⋅+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2313,01at t t -≤++≤<<由213at t ++≤得2(01)a t t t≤-<<， 令2()(01)h t t t t=-<<，()h t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h t h >= 由213at t ++≥-得4(01)a t t t ⎛⎫≥-+<< ⎪⎝⎭，令4()(01)h t t t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)5h t h <=-所以51a -≤≤；（3）122()1,0,01,()1221x x xm g x m x g x m m -⋅==->≤≤∴+⋅⋅+在[]0,1上递减， (1)()(0)g g x g ∴≤≤，即121()121m mg x m m--≤≤++， 当1121|2m m m m --≥++时，即当0m <≤1|()|1m g x m -≤+当1121|2m m m m --<++时，即当m >时，12|()|12m g x m -≤+∴1,01()12,12m m mT m m m m ⎧-<≤⎪+⎪=⎨-⎪>⎪+⎩. 【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想． 9．（1）±1；（2）924⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】（1）由()0f x =，有220x x +-=，即()()210x x +-=，即可求得函数的零点；（2）不等式()0f x <可化为2222x x a x -<-<-， 分别作出抛物线22y x =-在x 轴上方的部分和抛物线22y x =-在x 轴下方的部，结合图象求得两个临界位置，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =时，函数()22f x x x =+-，令()0f x =，有220x x +-=，即220x x +-=，则()()210x x +-=，解得1x =，即1x =±， 故函数()f x 的零点为1±； （2）不等式()0f x <可化为2222x x a x -<-<-， 如图所示，曲线段1C 和2C 分别是抛物线22y x =-在x 轴上方的部分和抛物线22y x =-在x 轴下方的部，因为不等式()0f x <至少有一个负解，由图象可知，直线y x a =-有两个临界位置，一个是与曲线段1C 相切，另一个是通过曲线段2C 和y 轴的交点，后者显然对应于2a =；前者由22x a x -=-可得到方程220x x a +--=，由()1420a ∆=++=，解得94a =-，因此当924a -<<时，不等式()0f x <至少有一个负解，故实数a 的取值范围是924⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用函数的图象求解不等式的有解问题，其中解答中熟记函数零点的概念，以及合理利用函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 10．(1) (]2,log 3-∞(2) 27119,2259k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(3)12a =-，172b = 【解析】 【分析】⑴函数()2xf x =，()()26f x f x -≤，即为22260x x --≤，即为()()22230x x +-≤，可得解集；⑵根据()()20021g x k gx =⋅-，利用换元法，求解最值，即可求解k 的取值范围；⑶根据()()()22h x f x a f x b =++⋅+(其中a ，b 均为实数)，[]0,1x ∈，均有()12h k ≤，建立关系即可求解a ，b 的值． 【详解】⑴函数()2xf x =，()()26f x f x -≤， 即为22260x x --≤，即为()()22230x x+-≤，即有23x ≤，解得2log 3x ≤， 即解集为(]2,log 3-∞；⑵存在实数(]01,2x ∈，使得()()20021g x k g x =⋅-成立，即为()000022212222x x x x k --+-=-， 设022x x t -=-，在(]1,2递增，可得31524t <≤， ()00002222222224x x x x t --+=++=+，即有21kt +，则21k t =+ 设21m t =，164,2259m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即有y m =，在164,2259m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭递增， 可得27119,2259y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 即有27119,2259k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ⑶()()()22h x f x a f x b =++⋅+ ()22222422x x xx a b a b +=+⋅+=+⋅+，令2x v =，[]0,1x ∈，[]1,2v ∴∈，()()24h x v v av b ϕ∴==++．若对于任意的[]0,1x ∈，均有()12h x ≤， 即对任意[]1,2v ∈，()2142v v av b ϕ=++≤．214211622161162a b a b b a ⎧⎪++≤⎪⎪∴++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩①②③，解得：12a =-，172b =． 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．11．（1）见解析；（2）[33a ∈+；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由()2ln 1af x x =∈+M 得到方程()22lnlnln 1211aa ax x =++++在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数()f x 满足()()()0011f x f x f +=+即可得到结论成立． 【详解】 （1）()21f x M x=+∉．理由如下： 假设()21f x M x=+∈， 则在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立， 即00221131x x +=+++， 整理得2003320x x ++=， ∵方程2003320x x ++=无实数解，∴假设不成立， ∴()21f x M x=+∉． （2）由题意得()2ln +1af x M x =∈， ()22lnlnln 1211aa ax x ∴=++++在定义域内有解， 即()222220a x ax a ---+=在实数集R 内有解，当2a =时，12x =-，满足题意；当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解得33a ≤2a ≠，综上33a ≤∴实数a的取值范围为33⎡⎣．（3）证明：∵()23x f x x =+，∴()()()()()000212000003113134232x x x f x f x f x x x +⎛⎫+-+=++---=+- ⎪⎝⎭，又函数3x y =的图象与函数32y x =-+的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则3302aa +-=， ∴003302xx +-=，其中0x a =， ∴ 存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立， ∴()f x M ∈． 【点睛】本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力． 12．(1)-1,0.(2) 0,0m <解: 0,2m =解: 01,4m <≤解: 1,3m >解. (3) ()1,1,2a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎭∈⎝.【解析】 【分析】（1）直接由分段函数求得()()1f f -，()()2018f f 的值；（2）求出函数()()y f f x =的解析式并作出图象，数形结合可得()()()f f x m m R =∈的解的个数；（3）由题意可得222a t at -的取值必须大于1，然后根据a 的范围分析关于t 的二次函数的值域，从而可得实数a 的取值范围． 【详解】（1）∵()112018f --=，∴()()11f f -=-．∵()20181f =，∴()()20180f f =．（2）()()()201820181log log 1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，，，画图()()y f f x =的图象如图，由图可知，当0m <时，方程()()f f x m =有0解； 当0m =时，方程()()f f x m =有2解； 当01m <≤时，方程()()f f x m =有4解； 当1m 时，方程()()f f x m =有3解．（3）要使对任意给定的[1t ∈+∞，），都存在唯一的x R ∈，满足()()222f f x a t at =-，则222a t at -的取值必须大于1；即当[1t ∈+∞，）时，222a t at -的值域包含于()1+∞，； 当0a =时，2220a t at -=，舍去；当1 14a ≤时，2211a a a ->⇒>，12a <-；当1 14a >时，2211120448a a a a ⎛⎫⋅-⋅=-< ⎪⎝⎭，舍去；综上所述1()(1)2a ∈-∞-⋃+∞，， 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把222a t at +当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于t 的函数求解，是难题． 13．(1) 是ψ函数(2)见解析(3) 函数()h x 为周期函数 【解析】 【详解】试题分析：()1求出()11f x x=-的定义域，()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立转化成()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立，解出20b a =-=，，使得()11f x x=-为ψ函数()2只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，化简求得1b t=，2log a t =，满足条件()3图象关于直线x m =对称，结合()()h a x h a x b -++=，整体换元得()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦，从而证明结论解析：（1）()11f x x=-是ψ函数 理由如下：()11f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x+-=-+，即()()2a x a x b a x a x ++-+=-+. 所以()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以()11f x x=-是ψ函数. （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b tt-++=++恒成立.所以()()2222a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++，化简得，()()()2212222a x a xabt b t t +--+=+-.所以10bt -=,()22220a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而()12x g x t=+是ψ函数. （3）函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称， 所以()()h m x h m x -=+ （1）， 又因为()()h a x h a x b -++= （2），所以当m a ≠时，()()222h x m a h m x m a ⎡⎤+-=++-⎣⎦ 由（1） ()()()22h m x m a h a x h a a x ⎡⎤⎡⎤=-+-=-=+-⎣⎦⎣⎦ 由（2） ()()b h a a x b h x ⎡⎤=---=-⎣⎦ （3）所以()()()44222222h x m a h x m a m a b h x m a ⎡⎤+-=+-+-=-+-⎣⎦ （取22t x m a =+-由（3）得）再利用（3）式，()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦. 所以()f x 为周期函数，其一个周期为44m a -.当m a =时，即()()h a x h a x -=+，又()()h a x b h a x -=-+， 所以()2bh a x +=为常数. 所以函数()h x 为常数函数， ()()12bh x h x +==，()h x 是一个周期函数. 综上，函数()h x 为周期函数点睛：本题主要考查知识点的是新定义函数，证明函数的特性，本题的解题关键是抓住新定义中的概念，可将问题迎刃而解．对于这类问题，我们要弄清问题的本质，在解题中适当的变形，已知条件的运用，函数周期性等的证明即可得证，本题有一定难度14．（1）函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”；（2）54-；（3）[1,1)-.【解析】 【详解】试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02x R π=∈满足00()()f x f x -=-(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2xt =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得m 取最小值54-(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33x x ππ-+=-+0x = 所以存在02x R π=∈满足00()()f x f x -=-所以函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”，（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2xt =∈则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增，在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数142y x x=-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+因为函数142y x x=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥-综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.15．（1）21()f x x =是“L 函数”. 2()f x 不是“L 函数”.（2）[1 1]-，（3）见解析 【解析】 【详解】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x 不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围 ；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k kk k k k f sf s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>，()()12,2N*k k x k -∈∈,则()112,2k k x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+ 及()111122k k f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x =1t s ==时，()()()2222f t f s f t s +==+，故()2f x =“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t tg t a -=-+->，即()()3130t t a -->对一切正数t 恒成立， 又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤． 由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>， 由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，． （3）由函数()f x 为“L 函数”， 可知对于任意正数,s t ， 都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+， 令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k kk k k k f sf s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅>，对任意()()12,2N*k k x k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212kk k k k f f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 22x x-．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.。
高一数学函数难题汇编(含解析)
高一数学函数难题汇编(含解析)一．选择题（共12小题）1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）3．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]4．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．46．函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）7．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+8．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）11．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．已知函数，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．二．填空题（共7小题）13．设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．14．若正数x，y满足=1，则的最小值为．15．已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x ﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．17．已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于．18．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．19．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为．三．解答题（共11小题）20．已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．23．已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．24．已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．25．已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．26．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．27．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．28．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．29．已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．30．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．2018高一数学必修一（难）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•渝中区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．【解答】解：由题意知，f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．若x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]，∵当x∈[﹣1，0]时，，∴当x∈[0，1]时，，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=，即f（x）=．∵函数，∴g（x）=，作出函数f（x）和g（x）的图象如图：当﹣1＜x＜0时，由=，则，由选项验证解得x=，即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为﹣1＜x＜，∵函数g（x）关于x=﹣1对称，∴不等式式f（x）＜g（x）的解为﹣1＜x＜或＜x＜﹣1，即不等式的解集为（，﹣1）∪（﹣1，），故选：D．2．（2016秋•通渭县期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f （x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x3，①∴当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，又f（x）为定义在R上的奇函数，∴﹣f（x）=﹣x3，∴f（x）=x3（x＜0），②综合①②知，f（x）=x3，x∈R．又f′（x）=3x2≥0，∴f（x）=x3为R上的增函数，∴不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立⇔﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立，即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，∴，解得：m＜﹣．故选：A．3．（2016秋•宜春期末）定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x ∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]【解答】解：当x∈[0，2）时，∈[﹣，0]∪[﹣1，﹣]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（）=﹣1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（）=﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（﹣）=﹣若x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，∴﹣≥恒成立．即≤0，则0＜t≤1，故选：C．4．（2016春•琅琊区校级期末）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f （x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）【解答】解：f（x）===2+，①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，设m=tanx，则m=tanx＞0，则函数f（x）等价为g（m）=2+，②若t﹣2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，则2＜f（a）＜2+t﹣2=t，同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得4≥t，解得2＜t≤4．③当t﹣2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥2，解得1≤t＜2．综上可得，1≤t≤4，故实数t的取值范围是[1，4]；故选：A5．（2015秋•菏泽期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f （x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0；∵f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x）；由，且得：，，，…；∴数列{a n}是以3为周期的周期数列；∴a2015=a671×3+2=a2=2，a2016=a671×3+3=a3=﹣1；∴f（a2015）+f（a2016）=f（2）+f（﹣1）=2（1+2）+（﹣1）（1+1）=4．故选：D．6．（2015秋•吉安期末）函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=，当4≤x≤8时，0≤x﹣4≤4，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，当8≤x≤12时，4≤x﹣4≤8，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（10）=，作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则m＞0，设g（x）=，则满足，即，即，即m≥3，故选：B．7．（2015秋•杭州校级期末）已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴不等式a（x+y）≥x+等价为a≥=，令，∴a≥，令u=，∴u′=令u′=0，∴t=﹣（负值舍去）∴函数在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减∴t=时，函数u=取得最大值为∴a≥∴实数a的最小值为故选：A8．（2016秋•沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．9．（2016春•重庆校级期末）已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g（x））=g（x），则函数g（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣，当﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣则由g2（x）=a（x+1）2得，当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）2=a（x+1）2，作出函数g（x）的图象如图：若方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则当a≤0时，不满足条件．则当a＞0时，方程等价为g（x）=±=|x+1|，则当x=﹣1时，方程g（x）=|x+1|恒成立，此时恒有一解，当直线y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=|x+1|有6个交点，不满足条件．当y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|有三个交点，此时直线方程为x+y+=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距离d=＞1，即＞1，即3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，故选：A10．（2016秋•荆门期末）已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，∴f（n）=sinnπ=0，f（）=sin=1，f（）===，f（）===，…；画出图形如图所示；当b∈（，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有6个交点；…；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．故选：D．11．（2015秋•汕头校级期末）已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．12．（2015秋•衡水校级期末）已知函数，其中m ＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则等价为f（x）=恰有5个根，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，），故选：A．二．填空题（共7小题）13．（2017春•杭州期末）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）14．（2016春•沙坪坝区校级期末）若正数x，y满足=1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+=1，∴=1﹣=，∴（y＞1），∴x﹣1=（x＞1）．则+=（y﹣1）+≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y ﹣1=时取等号．∴的最小值为2．故答案为：215．（2016秋•武昌区校级期末）已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x ﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（）∪（）．【解答】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+，则φ=+，k∈Z．验证φ=+，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣k﹣）π]+cos[（x﹣k﹣）π]=sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ=+，k∈Z．∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，∴满足|log aφ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．分别取k=0，1，2，3，得到φ=，，，，若0＜a＜1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个；若a＞1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．则a的取值范围为（）∪（）．故答案为：（）∪（）．16．（2016秋•清城区期末）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．17．（2016春•扬州期末）已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于2ln2﹣ln3．【解答】解：由f（x）=e x得：f（m+n）=f（m）f（n），∵f（m+n）=f（m）+f（n），∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，则f（m）、f（n）是x2﹣tx+t=0的解，∵△=t2﹣4t≥0，∴t≥4或t≤0（舍去）．又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），∴tf（p）=t+f（p），∴f（p）==1+（t≥4），显然t越大，f（p）越小，∴当t=4时，f（p）取最大值，又f（p）=e p，∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p max=ln=2ln2﹣ln3．故答案为：2ln2﹣ln3．18．（2016秋•江岸区校级期末）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f （x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．19．（2016春•盐城期末）已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为7．【解答】解：显然g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．当x＞1时，＞，∴k＜，设t=x﹣1（t＞0），则==2（t++2）≥8，∴k＜8∴k≤7．下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）⇔﹣ln（1﹣x）＞0．令ψ（x）=﹣ln（1﹣x）（0＜x＜1），则ψ′（x）=﹣+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，于是ψ（x）＞0．同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．综上所述，正整数k的最大值为7．故答案为：7．三．解答题（共11小题）20．（2016秋•惠来县校级期末）已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．【解答】解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log a+=0∴，解得：m=±1，当m=﹣1时，f（x）无意义，所以，故得m的值为1．（2）由（1）得，设2＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．（3）由（1）得，∴得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又∵，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）令f（x）=1，则=，解得：．所以：f（）=1当a＞1时，＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣2=，解得：a=5．所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．21．（2016秋•无锡期末）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．22．（2016秋•义乌市期末）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．【解答】解：（1）a=c＞0，f（1）=1，则a+b+a=1，b=1﹣2a，∴f（x））=ax2+（1﹣2a）x+a=a+，当1﹣≤﹣2，即0＜a≤时，g（a）=f（﹣2）+f（2）=10a；当﹣2＜1﹣≤0，即＜a≤时，g（a）=f（1﹣）+f（2）=a﹣+3，当a＞时，g（a）=f（1﹣）+f（﹣2）=9a﹣﹣1，综上所述，g（a）=；（2）函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点x1，x2，则x1+x2=﹣＜0，＞x1x2=＞0∴a＞16c，由根的分布可知f（﹣）=a﹣b+c＞0，即a+16c＞4b，∵a，b，c为正整数，∴a+16c≥4b+1f（0）=c＞0，△＞0，b，∴a+16c＞8+1，可得（）2＞1，∵a＞16c，∴＞1，∴，∴a＞25，∴a≥26，∴b≥，∴b≥11，c≥1．f（x）=26x2+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c的最小值为38．23．（2016秋•佛山期末）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足题意．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：3个．24．（2016秋•海安县校级期末）已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，∵f（x）＞1，即＞1，∴0＜2x＜1，解得x＜0．（2）y=2f（x）﹣f（2x）=，∴函数y=2f（x）﹣f（2x）的定义域为{x|x≠log2a，且x≠log2a}．令y=0得22x+1﹣2x﹣a=0，令t=2x（t＞0，且t≠a，t），方程为2t2﹣t﹣a=0，△=1+8a＞0，若a=1，t=1或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为0若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为2；（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即﹣≤1，∴22t+1﹣（3a+1）•2t+a2≥0，设x=2t（x＞0），则2x2﹣（3a+1）x+a2≥0，∴△≤0或，∴a≤﹣．25．（2016秋•西陵区校级期末）已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（2）=﹣3，∴log2（+a）=﹣3=log2，∴+a=，解得a=﹣（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥+4=，∴=≤=，∴实数a的取值范围是a≥26．（2016秋•徐汇区期末）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=，可知函数f（x）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（x）=，①当x≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是（1，）．27．（2016春•信阳期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，，所以，，在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=所以OM=所以：MN=ON﹣OM=所以y=即：y=3sinθcosθ﹣sin2θ，（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ﹣sin2θ=﹣=）﹣=∵θ∈（0，）∴∴sin（）∈∴，即时，y的最大值为．此时ON=cos==，则•=||•||cos=×=．（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥，则≥，即sin（）≥，则sin（）≥，∵∴≤≤，即≤θ≤，则对应的概率P==28．（2016春•苏州期末）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…（1分）当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…（5分）综上，x∈．…（6分）（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…（7分）当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…（9分）而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…（11分）令即，解得或，所以当时，；…（12分）当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…（13分）当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…（14分）所以，，…（16分）29．（2015秋•黄浦区校级期末）已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即log a=﹣log a，可得•=1，即p2﹣x2=4﹣x2，即p2=4，解得p=2（﹣2舍去），即有f（x）=log a，当a＞1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递减；当0＜a＜1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递增．（2）由（1）得f（x）=log a，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又≠1，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），令f（x）=1，则log a=1，解得x=．所以：f（）=1，当a＞1时，＞2，此时f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣3=，解得：a=3+2．所以：当x∈（r，a﹣3），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为3+2和2；（3）假设h（x）=﹣m（x+2）﹣2即h（x）=﹣m（x+2）﹣2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．由题意可知，方程=m（x+2）+2在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，令=t，则t≥0且t≠2，问题转化为关于t的方程mt2﹣t+2=0①，有非负且不等于2的实数根．若t=0，则①为2=0，显然不成立，故t≠0，方程①可变形为m=﹣2（）2+，问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，所以m=﹣2（）2+∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．30．（2015秋•无锡校级期末）已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2，则k=m++2在m∈[1，3]上递增，则当m=1时，k=1+1+2=4，当m=3时，k=3++2=，∴4≤m++2≤，即4≤k≤，即实数k的取值范围是4≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．。
高中数学必修1函数难题突破(含解析)
1必修I 重点、难点突破----------函数的性质、图象、思想的综合应用一、函数综合问题概述必修I 第一章我们学习了函数的基本性质：单调性与奇偶性，第二章我们学习了三个基本初等函数，第三章我们学习了函数零点以及函数模型。
将以上知识综合起来命题，这样的题目叫做函数综合题。
综合题的特点：1、解决一道题需要掌握多个知识点；2、解决一道题需要找到多个知识的联系点。
3、运算往往较复杂。
5、这类问题一般以初等函数（尤其是指数对数）为载体，运用函数思想、方程思想、转化思想结合函数性质配以图象解决。
二、函数综合问题举例例1、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【解析】：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c .例2、若函数为奇函数,则使不等式成立的 的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】： 函数为奇函数,,即,不等式,即不等式,在上单调递减, , , 故选B．例3、已知函数的图象关于原点对称,其中为常数．求的值；当时,恒成立,求实数的取值范围；若关于的方程在上有解,求的取值范围．【解析】：函数的图象关于原点对称,函数为奇函数,,即在定义域内恒成立,所以,即在定义域内恒成立, 所以,解得：或舍,所以,当时,,时,恒成立,；由得：,即,即,即在上有解,在上单调递减,,则的值域是,．即k的取值范围为．例4、已知定义域为R的函数,是奇函数．2Ⅰ求a,b的值；Ⅱ若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围．【解析】：Ⅰ因为是奇函数,所以,即,, 又由知．所以,．经检验,时,是奇函数．Ⅱ由Ⅰ知,易知在上为减函数．又因为是奇函数,所以等价于,因为为减函数,由上式可得：．即对一切有：,从而判别式．所以k的取值范围是．例5、已知函数为R上的偶函数,为R上的奇函数,且．求,的解析式；若函数在R上只有一个零点,求实数a的取值范围．【解析】：：因为,,,由得,．由．得：,令,则,即方程只有一个大于0的根, 当时,,满足条件；当方程有一正一负两根时,满足条件,则,,3当方程有两个相等的且为正的实根时,则,,舍时,,综上：或．例6、设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为A. B.C. D.【解析】：函数的图象如图,关于x的方程恰好有六个不同的实数解,令,则有两个在的不同的解,所以,解得．故选A．三、函数综合问题训练41.已知函数满足,若函数与图象的交点为,,,,则( )A. 0B. mC. 2mD. 4m【解析】：函数满足,即为,可得关于点对称,函数,即的图象关于点对称,即有为交点,即有也为交点,为交点,即有也为交点, 则有．故选B．2.已知函数则函数的零点个数为( )A. 1B. 3C. 4D. 6【解析】：令,当时,,解得,,当时,,解得,综上解得,,,令,作出图象如图所示：由图象可得当无解,有3个解,有1个解,56综上所述函数 的零点个数为4,故选C ．3. 已知函数 是定义域为R 的偶函数,当 时,,若关于x 的方程 ,有且只有7个不同实数根,则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.【解析】：由题意, 在 和 上是减函数,在 和 上是增函数, 时,函数取极大值1, 时,取极小值,时, ,关于x 的方程 、 有且只有7个不同实数根, 设 ,则方程 必有两个根 , ,其中 ,,,则． 故选A ．已知函数,函数 ,其中 ,若函数 恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A.B.C.D.【解析】： ,,由 ,得 , 设 , 若 ,则 , ,则,若,则,,则,若,,,则即,作出函数的图象如图：当时,,当时,,故当时,,有两个交点,当时,,有无数个交点,由图象知要使函数恰有4个零点,即恰有4个根,则满足,故选D．4.已知函数且在上的最大值与最小值之和为20,记．求a的值；证明；求的值．【解析】：函数且在上的最大值与最小值之和为20,而函数且在上单调递增或单调递减,,得,或舍去,证明：,由知,,, ,7．5.函数当时求该函数的值域；若对于恒成立,求m的取值范围．【解析】：解, 令,时,,此时,当时,y取最小值,当时,y取最大值1,即函数的值域为：；若对于恒成立,令,即对恒成立,对恒成立,易知在上单调递增,,．6.已知,函数．当时,解不等式；若关于x的方程的解集中恰有一个元素,求a的值；设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围．【答案】解：当时,不等式化为：,,化为：,解得,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：．方程即,,化为：,若,化为,解得,经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．8若,令,解得,解得经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．综上可得：或．,对任意,函数在区间上单调递减,,,化为：,,,在上单调递减,时,取得最大值,．．的取值范围是．9。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32. 综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,+∞)B ．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.5、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D8、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元，所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ，下列说法正确的是（ ） A ．f(f(0))=3B ．函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C ．函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D ．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是[−2,2]答案：ABD解析：作出函数f(x)的图象，先计算f(0)，然后计算f(f(0))，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．画出函数f(x)图象.如图，A 项，f(0)=2，f(f(0))=f(2)=3，B 项，由图象易知，值域为[2,+∞)C 项，有图象易知，[0,+∞)区间内函数不单调D 项，当x ≥1时，x +2x ≥|x 2+a|恒成立，所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立，由基本不等式可得x 2+2x ≥2，当且仅当x =2时等号成立，3x 2+2x ≥2√3，当且仅当x =2√33时等号成立， 所以−2√3≤a ≤2.当x <1时，|x |+2≥|x 2+a|恒成立，所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立，即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立 令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ，当x ≤0时，g (x )≥2，当0<x <1时，2<g (x )<32，故g (x )min =2；令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ，当x ≤0时，ℎ(x )≤−2，当0<x <1时，−72<ℎ(x )<−2，故ℎ(x )max =−2； 所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时，有−2≤a ≤2. 故选：ABD ．小提示：关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是（ ） A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(−∞,4]C ．若f (x )=2，则x 的值是−√2D ．f (x )<1的解集为(−1,1)答案：BC分析：求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞)，故A 错误； 当−2≤x <1时，f (x )=x 2，值域为[0,4]，当x ≥1时，f (x )=−x +2，值域为(−∞,1]，故f (x )的值域为(−∞,4]，故B 正确；当x ≥1时，令f (x )=−x +2=2，无解，当−2≤x <1时，令f (x )=x 2=2，得到x =−√2，故C 正确； 当−2≤x <1时，令f (x )=x 2<1，解得x ∈(−1,1)，当x ≥1时，令f (x )=−x +2<1，解得x ∈(1,+∞)，故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误．故选：BC．填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。
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高中函数大题专练
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；
（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||2
12)(x x x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x
⎧-⎪=⎨⎪⎩
0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.
（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.
（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.
（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.
5．已知函数()(0)||
b f x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是
[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。
6、设bx ax x f +=
2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；
（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数)0(1)(≠+=x x
x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .
（1）求函数)(x g y =的解析式；
（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.
9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ⋅=+-；
②(2)0f =；
③当1>x 时，总有()1f x <.
（1）求)21()1(f f 及的值；
（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.
10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，321)(x tx x f -
=（t 为常数）。
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)
(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。
11.记函数()2
72++-=x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ：
（2）若B A ⊆，求a 、b 的取值范围
12、设()()1,011≠>-+=a a a
a x f x x 。
（1）求()x f 的反函数()x f 1-：
（2）讨论()x f 1-在()∞+.1上的单调性，并加以证明：
（3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞⊂,1,时，
()x f 1-在[]n m ,上的值域是
()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：
(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞；
(2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；
(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥，及21()46()(0)2
x f x x =-⋅≥是否属于集合A ？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，
是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论． 14、设函数f(x)=ax 2
+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎩
⎨⎧<->)0()()0()(x x f x x f （1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。
（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=b
ax x +(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。