分部积分法word版

4.3 分部积分法

前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的．

现在我们介绍另一种求不定积分的方法——分部积分法，用于求两种不同类型函数乘积的不定积分，这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法．

设函数)(x u u =，)(x v v =具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为 v u v u uv '+'=')( 或 v u uv v u '-'=')( 于是，对上式两边求不定积分，得

⎰⎰⎰'-'='vdx u dx uv dx v u )(

即 ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u

（4.3.1）

或

⎰⎰-=vdu uv udv (4.3.2)

上述公式叫做分部积分公式． 例如：

C e xe dx e xe de x dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰

【注】：（1）分部积分法主要用于解决被积函数是两类不同类型函数的乘积的不定积分。如

dx xe x ⎰，dx x x ⎰sin ，dx x x ⎰ln ，dx x e x ⎰sin 等等。

（2）关键是选择合适的u 和dv ，选取原则：

（a ）v 要容易求出。（b ）

du v ⎰比dv u ⎰容易求出。

例如：

x x x x de x e x x d e dx xe ⎰⎰⎰

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212

1

21 不合适。

（3）步骤：运用分部积分公式求不定积分⎰dx x f )(的主要步骤是把被积函数)(x f 分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作ｕ，另一部分因式看作v '，而后套用公式，这样就把求不定积分⎰'dx v u 的问题转化为求不定积分⎰'vdx u 的问题．

()dx x f ⎰

()()dx x v x u ⎰'= 确定()x u 和()

x v '

()()x dv x u ⎰= 凑微分

()()()()x du x v x v x u ⎰-= 使用分部积分公式 ()()()()dx x u x v x v x u ⎰'-= 求微分

()()()C x F x v x u +-= 求积分

【例1】求下列不定积分 （1）dx x x ⎰cos （2）dx xe x ⎰2 （3）()

dx x x ⎰+sin 12

解： （1）C x x x dx x x x x d x dx x x ++=-==⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos

（2）

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛-===

⎰⎰⎰⎰dx e xe de x x d xe dx xe x

x x x x 222222121221 ()C e xe x d e xe x x x x +-=-=⎰22224

1

2124121 （3）()()()()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-=+-=+⎰⎰⎰1cos cos 1cos 1sin 12222x d x x x x d x dx x x

(

)

()()

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-=++-=++-=⎰⎰⎰dx x x x x x d x x dx x x x x sin sin 21sin 21cos 2cos 1222

(

)

C x x x x +-++-=cos 2sin 212

【注】：

【练习】 （1）dx x

x ⎰

3

cos （2）dx e x x ⎰2

解： （1）

C x x x dx x x x x d x x dx x x +-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-==⎰⎰⎰

3sin 93cos 33cos 3cos 333cos 33cos

（2）

x

x x x x x x x

de x e x dx xe e x dx e e x de x dx e x ⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-==22222222

C e xe e x dx e xe e x x

x x x x x +--=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎰2222

【例2】求下列不定积分 （1）dx x x ⎰

ln （2）dx x x ⎰arctan （3）dx x ⎰arcsin

解： （1）

dx x x x x d x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==

2

1ln 21ln ln 21ln 21ln 2222 C x x x +-=

224

1

ln 21 （2）

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-==

⎰⎰⎰

x d x x x dx x dx x x arctan arctan 21arctan 21arctan 2

22 ⎰+-=dx x x x x 2

22121arctan 21dx x x x ⎰⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

+--

=2211121arctan 21 C x x x x ++-=

arctan 2

1

21arctan 212 （3）

⎰

⎰⎰--=-=dx x

x x x x d x x x dx x 2

1arcsin arcsin arcsin arcsin

()

C x x x x d x

x x +-+=--+

=⎰

222

1arcsin 11121

arcsin

【注】

【练习】 （）

()(

)

(

)(

)

dx x x x x x d x x x dx x

⎰⎰

⎰+-+=+-+=+2

2

2

2

2

2

121ln 1ln 1ln 1ln

()()

⎰+--+=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

+--+=C x x x x dx x x x arctan 221ln 11121ln 222