2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(三十七) 二元一次不等式(组)主简单的线性规划问题

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2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(四十一) 数学归纳法

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(四十一) 数学归纳法1．如果命题p(n)对n ＝k(k ∈N*)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p(n)对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对所有正整数n 都成立B ．p(n)对所有正偶数n 都成立C ．p(n)对所有正奇数n 都成立D ．p(n)对所有自然数n 都成立2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N*)成立，其初始值最小应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 3．(2013·海南三亚二模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N*)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时，应得到( ) A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1 B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1 C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1 D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－14．凸n 多边形有f(n)条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f(n ＋1)为( ) A ．f(n)＋n ＋1 B ．f(n)＋n C ．f(n)＋n －1 D ．f(n)＋n －2 5．在数列{an}中，a1＝13，且Sn ＝n(2n －1)an ，通过求a2，a3，a4，猜想an 的表达式为( )A.1n－1n ＋1B.12n 2n ＋1C.12n －12n ＋1D.12n ＋12n ＋26．下列代数式(其中k ∈N*)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k) 7．(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn ＋yn 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N*)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．8．(2012·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋ n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．9．设数列{an}的前n 项和为Sn ，且对任意的自然数n 都有：(Sn －1)2＝anSn ，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn ＝________.10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n(4n2－1)．11．已知点Pn(an ，bn)满足an ＋1＝an·bn ＋1，bn ＋1＝bn1－4a2n (n ∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N*，点Pn 都在(1)中的直线l 上．12．设数列{an}的前n 项和为Sn ，且方程x2－anx －an ＝0有一根为Sn －1，n ＝1,2,3……. (1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．1．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N*”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋12．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5，33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m ∈N*)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．3．已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n ∈N*. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 4._________ 5._________ 6._________答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(四十一) A 级1．选B 由题意n ＝k 成立，则n ＝k ＋2也成立，又n ＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．2．选B 可逐个验证，n ＝8成立．3．选D 由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1.4．选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．5．选C 由a1＝13，Sn ＝n(2n －1)an 求得a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝163＝17×9.猜想an ＝12n －12n ＋1.6．选D (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n(n ∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N*都成立．7．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．答案：2k ＋18．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k2，则当n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2 9．解析：由(S1－1)2＝S21得：S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝34. 猜想Sn ＝nn ＋1.答案：nn ＋110．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝ 13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N*)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k(4k2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k(4k2－1)＋(2k ＋1)2＝13k(4k2－1)＋4k2＋4k ＋1＝13k[4(k ＋1)2－1]－13k·4(2k ＋1)＋4k2＋4k ＋1 ＝13k[4(k ＋1)2－1]＋13(12k2＋12k ＋3－8k2－4k) ＝13k[4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1) [4(k ＋1)2－1]．即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N*，等式都成立． 11．解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1， b2＝－11－4×1＝13，a2＝1×13＝13，∴P2⎝⎛⎭⎫13，13.∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)①当n ＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N*)时，2ak ＋bk ＝1成立．则2ak ＋1＋bk ＋1＝2ak·bk ＋1＋bk ＋1＝bk1－4a2k ·(2ak ＋1)＝bk1－2ak ＝1－2ak 1－2ak＝1，∴当n ＝k ＋1时，2ak ＋1＋bk ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N*，都有2an ＋bn ＝1，即点Pn 在直线l 上． 12．解：(1)当n ＝1时，x2－a1x －a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.当n ＝2时，x2－a2x －a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是⎝⎛⎭⎫a2－122－a2⎝⎛⎭⎫a2－12－a2＝0，解得a2＝16.(2)由题设(Sn －1)2－an(Sn －1)－an ＝0，即S2n －2Sn ＋1－anSn ＝0. 当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1，代入上式得Sn －1Sn －2Sn ＋1＝0.① 由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34.由此猜想Sn ＝nn ＋1，n ＝1,2,3….下面用数学归纳法证明这个结论．(ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N*)时结论成立，即Sk ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得Sk ＋1＝12－Sk ，即Sk ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．B 级1．选B 当n ＝k(k ∈N*)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k)·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．2．解析：∵依题意得 n2＝10×1＋192＝100, ∴n ＝10. 易知 m3＝21m ＋m m －12×2, 整理得(m －5)(m ＋4)＝0, 又 m ∈N*, 所以 m ＝5, 所以m ＋n ＝15.答案：153．解：(1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N*)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k3＜32－12k2，那么，当n ＝k ＋1时， f(k ＋1)＝f(k)＋1k ＋13＜32－12k2＋1k ＋13，因为12k ＋12－⎣⎡⎦⎤12k2－1k ＋13＝k ＋32k ＋13－12k2＝－3k －12k ＋13k2＜0，所以f(k ＋1)＜32－12k ＋12＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．。

2014高考数学一轮：一课双测A+B精练----函数的图象

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(八) 函数的图象 1．函数f(x)＝2x3的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x<0，2x －1，x≥0的图象大致是( )3．(2012·北京海淀二模)为了得到函数y ＝12log2(x －1)的图象，可将函数y ＝log2x的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度4．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x ＋2)＝f(x)，则y ＝f(x)的图象可能是( )5．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝1ln x ＋1－x ，则y ＝f(x)的图象大致为( )6．(2011·天津高考)对实数a 和b ，定义运算“?”：a?b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x2－2)?(x －x2)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A.(]－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.(]－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞log 2f(x)的定7.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝义域是________．8．函数f(x)＝x ＋1x图象的对称中心为________．9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f(x)有最值．11．若直线y ＝2a 与函数y ＝|ax －1|(a ＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x ＋1x ＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax ，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．1.(2013·威海质检)函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)； ②函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(－x)； ③函数y ＝f(x)满足f(－x)＝f(x)； ④函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)． A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④2．若函数f(x)的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与函数f(x)的值域相同，则称变换T 是函数f(x)的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中变换T 不属于函数f(x)的同值变换的是( )A ．f(x)＝(x －1)2，变换T 将函数f(x)的图象关于y 轴对称B ．f(x)＝2x －1－1，变换T 将函数f(x)的图象关于x 轴对称C ．f(x)＝2x ＋3，变换T 将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，变换T 将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称3．已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f(2＋x)＝f(2－x)． (1)证明：函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x ∈[0,2]时，f(x)＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f(x)的表达式．[答题栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7. __________ 8. __________ 9. __________答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(八) A 级1．D 2.B 3.A 4.B5．选 B 函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图象为B. 6．选B由题意可知 f(x)＝＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，－1≤x≤32，x －x2，x<－1或x>32作出图象，由图象可知y ＝f(x)与y ＝c 有两个交点时，c≤－2或－1<c<－34，即函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点时实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34.7．解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log 2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x ∈(2,8]．答案：(2,8]8．解析：f(x)＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象．由y ＝1x 的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)9．解析：当－1≤x≤0时，设解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1.当x>0时，设解析式为y ＝a(x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a ＝14.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，14x －22－1，x>010．解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f(x)min ＝f(2)＝－1，当x ＝0时，f(x)max ＝f(0)＝3.11．解：当0＜a ＜1时，y ＝|ax －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|ax －1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈∅.综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.12．解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x ，y)，∵点(x ，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f(x)＝x ＋1x.(2)由题意g(x)＝x ＋a ＋1x ，且g(x)＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]， ∴a ＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x －1.令q(x)＝－x2＋6x －1，x ∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x －1＝－(x －3)2＋8， ∴x ∈(0,2]时，q(x)max ＝q(2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)． B 级1．选C 由图象可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x ＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x ＋1)]＝f[1－(x ＋1)]，即f(x ＋2)＝f(－x)．故①②正确． 2．选B 对于A ，与f(x)＝(x －1)2的图象关于y 轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，易知两者的值域都为[0，＋∞)；对于B ，函数f(x)＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，与函数f(x)的图象关于x 轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝－2x －1＋1，其值域为(－∞，1)；对于C ，与f(x)＝2x ＋3的图象关于点(－1,1)对称的图象对应的函数解析式为2－g(x)＝2(－2－x)＋3，即g(x)＝2x ＋3，易知值域相同；对于D ，与f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象关于点(－1,0)对称的图象对应的函数解析式为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2，其值域为[－1,1]，易知两函数的值域相同．3．解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数y ＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f(2＋(2－x0))＝f(2－(2－x0))＝f(x0)＝y0，所以P′也在y ＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．(2)因为当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x －1. 又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x ＋7. 而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0]. 2020-2-8。

2014高考数学一轮一课双测A B精练(三十三)数列的综合应用文

2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(三十三) 数列的综合应用1．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}中连续的三项，则数列{b n}的公比为( )A. 2 B．4C．2 D.1 22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{b n}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )A．±4 2 B．－4 2C．4 2 D．无法确定3．已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1且a n，a n＋1是函数f(x)＝x2－b n x＋2n的两个零点，则b10等于( )A．24 B．32C．48 D．644.列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．45．(2011·上海高考)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是( )A ．5B ．6C ．7D ．87．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．8．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．9．(2012·安徽模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②已知数列{a n }是等方差数列，则数列{a 2n }是等方差数列． ③{(－1)n}是等方差数列；④若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列；其中正确命题的序号为________．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4＝8.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n .11．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．12．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．1．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．(2012·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．3．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？[答题栏]答案2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十三)A 级1．C 2.A 3.D 4.B5．选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．6．选C 由递推式变形得 3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，则a n －1＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，所以|S n－n －6|＝|a 1－1＋a 2－1＋…＋a n－1－6|⎪⎪⎪⎪⎪⎪8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n1＋13－6＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1125，即3n －1>250，所以满足条件的最小整数n 是7. 7．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，故q ＝13.答案：138．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案：2 0009．解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a 2n }是公差为p 的等差数列，故①正确．对于②，取a n ＝n ，则数列{a n }是等方差数列，但数列{a 2n }不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n ]2－[(－1)n －1]2＝0(n ≥2，n ∈N *)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *)，则a 2kn －a 2k n －1＝(a 2kn －a 2kn －1)＋(a 2kn －1－a 2kn －2)＋…＋(a 2kn －k ＋1－a 2k n －1)＝kp 为常数，故④正确．答案：①③④10．解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式，故a n ＝2n －1(n ∈N *)．又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n－1.T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝21－2n1－2－n .所以T n ＝2n ＋1－2－n .11．解：(1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0. 又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1.所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m2，所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m <1＋62. 又n ∈N *，且m >1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，b m ，b n 成等比数列． 12．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n.(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．B 级1．选C 由题意得a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.2．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1003．解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )>0，故有－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 又n ∈N *，故从第三年开始获利． (2)①平均利润为f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n ＝6.②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128，当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．。

2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(五) 函数的定义域和值域

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(五) 函数的定义域和值域1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，232．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f(x)＝1－x2＋x2－1x 的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为() A ．4B ．6C ．8D ．16 3．下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝x2－2x ＋1B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x2＋2x ＋1(x ∈N) D ．y ＝1|x ＋1| 5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x|x>0}C ．{x|0<x<5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x<5 6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋x －10lg 2－x 的定义域是________． 8．函数y ＝x －x(x ≥0)的最大值为________．9．(2012·太原模考)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f(x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x 2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x. 11．若函数f(x)＝12x2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a 、b 的值．12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g(x)＝x ＋1, h(x)＝1x ＋3，x ∈(－3，a]，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f(x)的值域．1．函数y ＝2－－x2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2]2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝|log 12x|的定义域为[a ，b]，值域为[0,2]，则区间[a ，b]的长度的最大值与最小值的差为________．3．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(五)A 级1．C 2.C 3.C 4.D5．选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x>0，10－2x>0，即0<x<5. 6．选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)，∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2. 7．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x －1≠0，2－x>0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－1，x ≠1，x<2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ≠1，所以定义域是{x|－1≤x<1，或1<x<2}．答案：{x|－1≤x<1，或1<x<2}8．解析：y ＝x －x ＝－(x)2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，即ymax ＝14. 答案：149．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f(x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f(x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2]10．解：(1)y ＝1－x 2x ＋5＝－122x ＋5＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12，所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g(t)＝2·13－t24－1－t ＝－12t2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g(t)≤g(0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f(x)＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 11．解：∵f(x)＝12(x －1)2＋a －12， ∴其对称轴为x ＝1.即[1，b]为f(x)的单调递增区间．∴f(x)min ＝f(1)＝a －12＝1① f(x)max ＝f(b)＝12b2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.12．解：(1)f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2)函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f(x)＝F(t)＝t t2－2t ＋4＝1t ＋4t －2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t单调递减， F(t)单调递增，F(t)∈⎣⎡⎦⎤13，613.即函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.B 级1．选C －x2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x2＋4x ≤2，－2≤－－x2＋4x ≤0，0≤2－－x2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．解析：由函数f(x)＝|log 12x|的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以区间[a ，b]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34. 所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3.答案：33．解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。

2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(六十二) 古典概型

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(六十二) 古典概型1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.252．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( ) A.34 B.310C.25D ．以上都不对3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( ) A.112 B.118 C.136D.71084．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( ) A.25 B.35 C.23D.675．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x)＝x3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( ) A.12B.58C.1116D.346．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( ) A.115 B.35 C.815D.14157．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．8．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 9．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．10．箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式： (1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回．求取出的3个全是正品的概率． 11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋bi. (1)若集合A ＝{z|z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a2＋(b －6)2≤9”的概率． 12．(2012·福州模拟)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z)中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z)的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29D.192．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y2＝1相交的概率为________．3．某中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(六十二)A 级1．选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C49C410＝35.5．选C 因为f(x)＝x3＋ax －b ，所以f ′(x)＝3x2＋a.因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7．解析：三位同学每人选择三项中的两项有C23C23C23＝3×3×3＝27(种)选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C23C13C12＝3×3×2＝18(种)选法．故所求概率为P ＝1827＝23.答案：238．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A33A34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A33A34A66＝15.答案：159．解析：由题意得an ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35. 答案：3510．解：(1)法一：若把不放回抽样3次看做有顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有A3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A3a 种方法，所以抽出3个正品的概率P ＝A3aA3a ＋b. 法二：若不放回抽样3次看做无顺序，则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有C3a ＋b 种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C3a 种方法，所以取出3个正品的概率P ＝C3a C3a ＋b ＝A3a A3a ＋b .(2)从a ＋b 个产品中有放回地抽取3次，每次都有a ＋b 种方法，所以共有(a ＋b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a3种，所以3个全是正品的概率P ＝a3a ＋b 3＝⎝⎛⎭⎫a a ＋b 3.11．解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b)满足a2＋(b －6)2≤9”的事件为B. 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a2＋(b －6)2≤9；当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a2＋(b －6)2≤9；当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a2＋(b －6)2≤9；当a ＝3时，b ＝6满足a2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12．解：(1)数组(x ，y ，z)的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件Ai(i ＝3,4,5,6)，易知，事件A3包含有1个基本事件，事件A4包含有3个基本事件，事件A5包含有3个基本事件，事件A6包含有1个基本事件，所以，P(A3)＝18，P(A4)＝38，P(A5)＝38，P(A6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大． B 级1．选D 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C15C14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C15C15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C15×1＝5个．于是，所求概率为545＝19.2．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n)所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m|m2＋n2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y2＝1相交的概率为536. 答案：5363．解：(1)男同学人数为30×550＝3，女同学人数为20×550＝2.即应抽取男同学3名，女同学2名．(2)先从5人中选1名同学发言，再从剩下的同学中选1名同学发言有A15·A14＝20种方法，其中恰有1名女同学的选法有A13·A12＋A12·A13＝12种．故所求的概率P ＝1220＝35.。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.23．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）C5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）．C D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB ．C D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与．C D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=_________．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为_________．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是_________．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.23．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）解：∵|+，|﹣，分别平方得+2+=10，•+••4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）C的面积是，S=acsinB=，﹣，=，．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）．C D．=．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）M=，9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（），解得，即10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB ．C D．p=），，得，∴11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与．C D．AO=AN=MB====12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）±，=k，最小为|m| m±，且=k+|m|＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．•=120aa=故答案为：14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．）∵+，公比为=，即；，时，＜=时，时，+1+…=＜．时，+＜．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．，∠DM=，．=（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．==∴===0.5，=﹣=4.3的线性回归方程为代入20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．的斜率为y=）的斜率为，，=a﹣，．，即，代入得21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．的情况下分别计算2即知，当．时，由，得时，有请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．是的中点，【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．]x+2∴，，即，，六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．=|x+|+|3|+|x x+|=|a+≥=|3+＜，求得，菁优网 ©2010-2014 菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz ；maths ；静定禅心；qiss ；sllwyn ；刘长柏；任老师；sxs123；尹伟云（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。

2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(七十) 算法初步

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(七十) 算法初步1．(2012·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．81题图 2题图 2．(2012·广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( ) A ．105 B ．16 C ．15 D ．13．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是( ) A ．21 B ．286 C ．30 D ．553题图 4题图 4．(2013·长春模拟)阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为( ) A ．0 B.32 C. 3D ．－325．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是( ) A ．(30,42] B ．(42,56]C ．(56,72]D ．(30,72)5题图 6题图6．(2012·山东潍坊)运行如图所示的程序框图，若输出的结果为137，则判断框中应该填的条件是( )A ．k≤5？B ．k≤6?C ．k≤7?D ．k≤8? 7．(2013·深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f(x)＝3x 、f(x)＝sin x 、f(x)＝x3、f(x)＝x ＋1x ，那么输出的函数f(x)为( ) A ．3x B ．sin x C ．x3 D ．x ＋1x7题图 8题图8．如图，在程序框图中，若输入x 为－5，则输出的值是( ) A.13B.12C ．1D ．2 9．(2012·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________．9题图 10题图10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值为________． 11．(2012·浙江高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．11题图 12题图 12．(2012·湖南高考)如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝________.1．(2012·河南模拟)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为( ) A ．1 B.12 C.14D.181题图2题图2．(2012·山西模拟)执行如图所示的程序框图，输入N的值为2 012，则输出S的值是() A．2 011 B．2 012C．2 010 D．2 0093．(2012·郑州模拟)给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i2 4．(2012·湖北模拟)右图是某同学为求1 006个偶数：2,4,6，…，012的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是()A．i＞1 006？，x＝x1 006B．i≥1 006？，x＝x 2 012C．i＜1 006？，x＝x1 006D．i≤1 006？，x＝x2 0125．下列程序执行后输出的结果是________．i＝11S＝1DOS＝S*ii＝i－1LOOP UNTIL i<9PRINT SEND5题图6题图6．如图所示的程序框图，当x1＝3，x2＝5，x3＝－1时，输出的p值为________．3.______4.___答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(七十) A 级1．选B 第一次进入循环体有x ＝2，y ＝2；第二次进入循环体有x ＝4，y ＝3；第三次进入循环体有x ＝8，y ＝4，跳出循环．故输出的结果是4.2．选C 按照程序过程，通过反复判断循环条件执行程序．执行过程为 s ＝1×1＝1，i ＝3；s ＝1×3＝3，i ＝5；s ＝3×5＝15，i ＝7≥6，跳出循环．故输出s 的值为15.3．选C 依题意，注意到1＋22＋32＝14＜20＜12＋22＋32＋42＝30，因此输出的p 的值是30.4．选C 依题意知，题中的框图最后输出的S 值是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin nπ3的前2 012项的和．注意到数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin nπ3是以6为周期的数列，且sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＝0,2 012＝6×335＋2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin nπ3的前2 012项的和为335×0＋sin π3＋sin 2π3＝3，所以输出的结果S 的值为 3.5．选B 由题知，k ＝1，S ＝0，第一次循环，S ＝2，k ＝2；第二次循环，S ＝2＋2×2＝6，k ＝3；…；第六次循环，S ＝30＋2×6＝42，k ＝6＋1＝7；第七次循环，S ＝42＋2×7＝56，k ＝7＋1＝8，此时应输出k 的值，从而易知m 的取值范围是(42,56]． 6．选B 第一次运行S ＝1＋11×2，k ＝2；第二次运行S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；…；第n 次运行S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝137，k ＝n ＋1，此时结束循环，得n ＝6，故判断框中应该填入“k≤6？”．7．选C 依题意得，输出的函数应满足：f(－x)＝－f(x)(x ∈R)，即函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋m)＞f(x)，其中m ＞0，即函数f(x)是定义在R 上的增函数．对于A ，函数f(x)＝3x 不是奇函数；对于B ，函数f(x)＝sin x 不是定义在R 上的增函数；对于C ，函数f(x)＝x3既是奇函数又是定义在R 上的增函数；对于D ，函数f(x)＝x ＋1x 的定义域不是实数集．综上所述，选C.8．选A 依题意得，当输入x ＝－5时，注意到－5＋2×3＝1≤1，且－5＋2×4＝3＞1，故运行此程序后输出的y 值为3－1＝13.9．解析：当k ＝1时，1＜4，则执行循环体得：s ＝1，k ＝2；当k ＝2时，2＜4，则执行循环体得：s ＝0，k ＝3；当k ＝3时，3＜4，则执行循环体得：s ＝－3，k ＝4；当k ＝4时不满足条件，则输出s ＝－3. 答案：－310．解析：依题意，得依次运行的结果是S ＝2×1，k ＝2；S ＝2＋2×2＝6，k ＝3；S ＝6＋2×3＝12，k ＝4；S ＝12＋2×4＝20，k ＝5＞4.故输出的S 的值为20. 答案：2011．解析：运行程序后，i ＝1，T ＝1；i ＝2，T ＝12；i ＝3，T ＝16；i ＝4，T ＝124；i ＝5，T ＝1120；i ＝6＞5，循环结束．则输出的值为1120. 答案：112012．解析：逐次运算的结果是S ＝6×(－1)＋3＝－3，i ＝1；S ＝(－3)×(－1)＋2＝5，i ＝0；S ＝－5＋1＝－4，i ＝－1，结束循环，故输出的S ＝－4. 答案：－4 B 级1．选A 依题意得，运行程序后输出的是数列{an}的第2 013项，其中数列{an}满足：a1＝1，an ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2an ，an ＜1，18an ，an≥1.注意到a2＝18，a3＝14，a4＝12，a5＝1，a6＝18，…，该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2 013＝4×503＋1，因此a2 013＝a1＝1，运行程序后输出的S 的值为1.2．选A 依题意得，题中的程序框图最后输出的S 的值是数列{an}的第2 012项，其中数列{an}满足：a1＝1，且an ＋1＝an ＋2－an ＋1n ，即nan ＋1－(n －1)an ＝2n －1，记(n －1)an ＝bn ，则有b1＝0，bn ＋1－bn ＝2n －1，于是由累加法得b2 012＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b2 012－b2 011)＝0＋1＋3＋…＋(2×2 011－1)＝2 011 1＋2×2 011－12＝2 011×2011，即有2 011a2 012＝2 011×2 011，a2 012＝2 011，题中的程序框图最后输出的S 的值是2 011.3．选D 依题意，结合题中的框图可知，判断框①处应当填入“i≤30？”；判断框②处应当填入“p ＝p ＋i”(注意到这30个数依次排列的规律是第i ＋1(i ∈N*)个数等于第i 个数加上i)． 4．选A 因为要求的是1 006个偶数的和，且满足判断条件时输出结果，故判断框中应填入i ＞1 006？；因为要求的是2,4,6，…，2 012的平均数，而满足条件的x 的和除以1 006即为所求平均数，故处理框中应填入x ＝x1 006. 5．解析：程序反映出的算法过程为 i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9退出循环，执行PRINT S. 故S ＝990. 答案：9906．解析：依题意得，当x1＝3，x2＝5，x3＝－1时，|x1－x2|＜|x2－x3|，p ＝x1＋x22＝4，因此输出的p 值是4. 答案：4。

2014一模理科数学试题参考答案及评分标准2

乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 BBDCACADADAA1.选B .【解析】∵{}11A x x =-≤≤，{}0B x x =>R ð，∴(){}01A B x x =<≤R I ð. 2.选B .【解析】∵()()()2121111i i ii i i i +==-+--+，∴21i i -的实部为1-. 3.选D .【解析】∵()5151311311,1164a q S a a a q-===-， ∴53314S a =.4.选C .【解析】由函数奇偶性定义得3,tan y x y x ==是奇函数，2xy =是偶函数，∵lg y x =的定义域为()0,+∞，∴lg y x =既不是奇函数，又不是偶函数. 5.选A .【解析】由图可知，min 3234m z m +=⨯+=，解得3m =.6.选C .【解析】该几何体的直观图，如图所示可知，,,PAB PBC PAD ∆∆∆是直角三角形，∵2229PC PA AC =+=，2228PD PA AD =+=，25CD =，222PD PC CD ≠+，PCD ∆不是直角三角形.7.选A .【解析】∵图象经过点()()121,0,0,1P P -， ∴()sin 0sin 1ωϕϕ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1222k k ωϕππϕπ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩，由0,2πωϕ>≤及函数在区间[]0,1上是单调函数，可得2πωϕ==，∴4T =8.选D .【解析】由题意知，()()5333558811125C P P C P P -=-，即()221125P P -=，解得54P =（舍），或56P =.9.选A .【解析】执行第一次运算时：12014,,12013a b i ==-= 执行第二次运算时：12013,,220132014a b i =-== 执行第三次运算时：2013,2014,32014a b i ===∴输出3i =10.选D .【解析】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为0l ，分别过点,A B 作直线0l 的垂线，垂足分别为,M N ，由抛物线定义，得AB AF BF AM BN =+=+=22A B p px x +++A B x x p =++28C x p =+=.(C 是AB 的中点) 11.选A .【解析】设,AB AC 中点分别为,M N ，则()1122OM AM AO AB s AB t AC s AB t AC ⎛⎫=-=-⋅+⋅=-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()1122ON AN AO AC s AB t AC t AC s AB ⎛⎫=-=-⋅+⋅=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由外心O 的定义知，,OM AB ON AC ⊥⊥u u u u r u u u r u u u r u u u r，因此，0OM AB ⋅=u u u u r u u u r ，0ON AC ⋅=u u u r u u u r 102s AB t AC AB ⎡⎤⎛⎫--⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，∴2102s AB t AC AB ⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r …①同理：2102t AC s AC AB ⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r …②∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，∴()22222BC AC ABAC AC AB AB =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴222122AC AB BC AC AB +-⋅==-u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r …③把③代入①②得120480s t s t -+=⎧⎨+-=⎩，解得43,55s t ==.12.选A .【解析】易知，()()()ln 10xf x e x =->为增函数，∴若0a b <≤，则有()()f a f b ≤，又223a b b ≤<，∴()()23f a a f b b +<+，即()()23f a a f b b +≠+成立，∴它的逆否命题：若()()23f a a f b b +=+，则a b >成立；()()ln 12x g x e x =--在()0,ln 2递增，在()ln 2,+∞递减，()()max ln 22ln 2g x g ==-；()(],2ln 2g x ∈-∞-()()ln 13x x e x ϕ=--在30,ln 2⎛⎫⎪⎝⎭递增，在3ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，()max 3ln 2ln 23ln 32x ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()(],2ln 23ln3x ϕ∈-∞-；当02ln 23ln 3y <-时，方程()0g x y =有两解14,x x ，不妨设14x x <；方程()0x y ϕ=也有两解23,x x ，不妨设23x x <；又当0x >时，()()g x x ϕ>，∴1234x x x x <<<，这样当()()023f a a f b b y -=-=时，就有a b <，或a b >，故，C . D .不正确. 二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分. 13.填135.【解析】此二项式的展开式的通项为()3666216633rr rr r r r T Cx C xx ---+== ⎪⎝⎭，令3602r -=，4r =，∴常数项为42563135T C ==. 14.填5.【解析】根据题意得，此双曲线的渐近线方程为12y x =±，∴2ba =，∴5e =. 15.填1.【解析】 ∵11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，∴()1111111n n n a a =+-⨯=--， ∴111n n a n n +=+=，∴()1lg lg lg 1lg n n a n n n+==+-∴数列{}lg n a 的前9项和为()()()9lg2lg1lg3lg2lg10lg91S =-+-++-=L .16.填33,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】如图，设P ABCD -的外接球的球心为G ，∵,,,A B C D 在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O上，点P 也在球上，∴GP GA R == ∵棱长为1，∴22OA =，设11,O P x O G y ==，则1OG y =-，在1Rt GO P ∆中，有222R x y =+…①，在Rt GOA ∆中，()22221R y ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭…②，将①代入②，得2322x y =-， ∵20x ≤≤，∴1324y ≤≤，∴()22222319321,22164R x y y y y ⎡⎤=+=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦，于是33,4R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.三、解答题17.（12分）（Ⅰ）∵222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab +-=<，∴2C ππ<<，故22C ππ<< 由1sin 222C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1cos 22C =-，∴423C π=，即23C π=； …6分（Ⅱ）13sin sin sin cos sin sin 3222sin 3sin 3A A A Aa b A B c C ππ⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭===sin 33A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由23C π=，知03A π<<，故2333A πππ<+<，∴3sin 123A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ ∴3233a b c +⋅<≤，即2133a b c +<≤ …12分 18.（12分）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ，()()11,0,0,2,0,2E B（Ⅰ）()()11,0,2,1,2,0B E ED =--=-u u u r u u u r，设平面1B ED 的法向量(),,a b c =1n ，则11100B E ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，即2020a c a b +=⎧⎨-=⎩，取2a =，则1,1b c ==-，()2,1,1=-1n 设()2,,2P λλ-，则()0,,2PB λλ=--u u u r∵PB ⊄平面1B ED ，∴当且仅当1PB ⊥u u u r n ，即10PB ⋅=u u u rn 时，PB ∥平面1B ED∴()20λλ---=，1λ=，∴()2,1,1P ，即P 是1B C 的中点时，PB ∥平面1B ED ； …6分（Ⅱ）()()11,0,2,1,2,0B E EC =--=u u u r u u u r，设平面1B EC 的法向量(),,x y z =2n由21200B E EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，得，2020x z x y +=⎧⎨+=⎩，取2x =，则1y z ==-，()2,1,1=--2n 设二面角1D B E C --的平面角为θ，易知02πθ<<，∴12122cos 3θ⋅==n n n n ．…12分 19.（12分）（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000,5000,7000,9000,11000，x 取这些值的概率依次为0.15,0.3,0.4,0.1,0.05，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0,1500,3500,5500,7500（元），按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元），15003%045⨯-=（元）， 350010%105245⨯-=（元）， 550020%555545⨯-=（元）， 750020%555945⨯-=（元）； ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为()68450.32450.45450.19450.0510 2.132510⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯（元）； …6分（Ⅱ）这5组居民月可支配额y 取的值分别是12345,,,,y y y y y13000y =（元）；25000454955y =-=（元）； 370002456755y =-=（元）； 490005458455y =-=（元）； 51100094510055y =-=（元）；∴y 的分布列为：y 30004955 6755 8455 10055P 0.150.3 0.4 0.1 0.05∴该市居民月可支配额的数学期望为：30000.1549550.367550.484550.1100550.05Ey =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5986.75=（元） …12分20.（12分）（Ⅰ）已知直线直线10x y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴端点()0,b和右焦点(),0F c ，可得1b c ==，∴2222a b c =+=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； …5分（Ⅱ）由椭圆C 的方程可得右焦点为()1,0F ，因为直线AB 的斜率为k ，且直线经过右焦点F ，所以直线AB 的方程为()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，则点D 的坐标为()11,x y -⑴当0k ≠时，因为点,B D 在椭圆C 上，∴()222221211,122x x y y +=+-= …① ∴()2222121202x x y y --+-=，依题意知12x x ≠ ∴直线BD 的斜率()2112211212BD y y x x k x x y y --+==-- 则直线BD 的方程为()12221212x x y y x x y y +-=-- …②由①②得()()12122112122x x x x x y y y y y ++-=-+ …③把直线AB 的方程代入椭圆C 的方程得()22112x k x +-=⎡⎤⎣⎦，即()2222124220k x k x k +-+-=…④∵12,x x 是方程④的两个实数解，∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+…⑤ 又()()11221,1y k x y k x =-=-，∴()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦…⑥把⑤代入⑥得，2222122222241121212k k k y y k k k k ⎡⎤--=-+=⎢⎥+++⎣⎦…⑦ 把⑤⑦代入③得，()222212224221112212212k x k k y y y k k k --⋅+-=⋅-++++ 即()222122241212k k x y y y k k+-=++，令0y =，解得2x = 此时，直线BD 过定点()2,0⑵当0k =时，点,A B 为椭圆C 的长轴端点，故点D 与点A 重合，此时直线BD 即为x 轴，而x 轴过点()2,0，则直线BD 也过点()2,0综上所述，直线直线BD 过定点()2,0. …12分21.（12分）（Ⅰ）令()()()32,03x g x f x x x =--≥则()()2222xxg x f x x e ex -''=--=+--，()()2g x f x x ''=-，∵()()22xxg x f x e e-''''=-=+-当0x ≥时，0,0x xe e->>，∴2x x e e -+≥=…①∴()0g x '''≥，∴函数()()0y g x x ''=≥为增函数， ∴()()00g x g ''''≥=，即()20f x x -≥…②∴函数()()0y g x x '=≥为增函数， ∴()()00g x g ''≥=，即22xxe ex -+≥+…③∴函数()()0y g x x =≥为增函数，∴()()00g x g ≥=，即当0x ≥时，()323x f x x ≥+成立； …6分（Ⅱ）⑴当2a ≤时，∵()()H x f x ax =-∴()()20xxH x f x a e ea a a -''=-=+-≥=-≥∴函数()()y H x x =∈R 为增函数，当0x >时，()()00H x H >=，当0x <时，()()00H x H <=， ∴当2a ≤时，函数()y H x =的零点为0x =，其零点个数为1个 ⑵当2a >时，∵对x ∀∈R ，()()H x H x -=- ∴函数()y H x =为奇函数，且()00H = …④ 下面讨论函数()y H x =在0x >时的零点个数：由（Ⅰ）知，当00x >时，002xx e e -+>，令00x x a e e -=+∴()()()()000xx H x f x e ex x -=-+>则()()()00xx H x f x e e-''=-+，()()xx H x f x ee -''''==-当0x >时，1,01x xe e-><<，∴0x x e e -->，∴()0H x ''>∴函数()()0y H x x '=>为增函数∴当00x x <≤时，()()00H x H x ''≤=；当0x x >时，()()00H x H x ''≥= ∴函数()()0y H x x =>的减区间为(]00,x ，增区间为()0,x +∞ ∴当00x x <<时，()()00H x H <=…⑤ 即对(]000,x x ∀∈时，()0H x < …⑥又由（Ⅰ）知，()()()()00323x x x x x H x f x e ex x e e x --=-+≥+-+()00223x x x x e e -⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦当00x >时，由③知00220223x x x e ex -+>+>+，∴()00032x x e e x -+->故，当()00320x x x e e->+->时，()002203x x x e e --+->∴()002203x xx x e e -⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()0H x > …⑦由函数()()0y H x x x =≥为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯一实数 ()(000,32x x x x e e -*⎤∈+-⎥⎦使得()0H x *=，又函数(),y H x x =∈R 为奇函数 ∴函数(),y H x x =∈R ，有且仅有三个零点． …12分22.（10分）（Ⅰ）∵CDE ODB OBD ∠=∠=∠又∵AC 与O e 切于点A ，AD 是弦，∴DAE OBD ∠=∠ ∴CDE DAE ∠=∠； …5分（Ⅱ）∵CDE CAD ∠=∠，C C ∠=∠，∴CDE ∆∽CAD ∆ ∴CD DE AC AD =，∴DECD AC AD=⋅ …① 而ADE ∆∽BAE ∆，∴DE AEAD AB =…② 由①②得AECD AC AB=⋅又∵AC AB =，∴AE CD =． …10分23.（10分）（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y则2cos 2cos 122sin sin 2x y θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，即()()22112x y x -+=≠； …5分（Ⅱ）设()cos 1,sin M θθ+，则12ME MF===. …10分24.（10分）（Ⅰ）设函数34y x x =-+-，则()()()723134274x x y x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，画出其图象，可知min 1y =，要使不等式34x x m -+-<的解集不是空集，需且只需1m >∴m 的取值范围的集合()1,M =+∞； …5分（Ⅱ）∵,a b M ∈，∴1,1a b >>∵()()()()()1111a b ab a ab b a b +-+=-+-=--∵10,10a b ->-<，∴()()110a b --<， ∴1a b ab +<+. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M 到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣2014．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C 的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得数列，设公差为d．可得λ=a n+2到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，（a n+2﹣a n）=λa n+1∴a n+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，+2∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b ＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．选修4-5：不等式选讲24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．。

2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(六十一) 随机事件的概率

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(六十一) 随机事件的概率1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 2．(2013·温州模拟)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.153．第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115 B.25 C.35D.14154．(2012·大同一模)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.310 B.15 C.110D.1125．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.45 B ．0.67 C ．0.64 D ．0.32 6．(2012·安徽六校联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n)与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518B.512C.12D.7127．(2012·北京西城二模)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y)，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________． 8．(2013·宁波模拟)已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是______，他至多参加2个小组的概率为________． 10．某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？ 11．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n ∈N)的函数解析式；(2)花店记录了①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 12.(2011·陕西高考)如图，A 地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．1．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.13 B.59 C.23D.792．2011年深圳大运会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．则这组志愿者的人数为________． 3.(2012·琼海模拟)某观赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼，为了估计池中两种鱼数量情况，养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各1 000条，并给每条鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池内，经过一段时间后，再从池中随机捕出1 000条鱼，分别记录下其中有记号的鱼数目，再放回池中，这样的记录作了10次，将记录数据制成如图所示的茎叶图． (1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数，并估计池塘中两种鱼的数量． (2)随机从池塘中逐条有放回地捕出3条鱼，求恰好是1条金鱼2条红鲫鱼的概率． ______ 6._________答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(六十一) A 级1．选C ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件． 2．选A 送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年片送给同一人的情况有两种，所以概率为12.3．选C 设至少有一名A 大学志愿者为事件A ，则P(A)＝1－C24C26＝35.4．选A 从五个小球中任取两个共有10种，而1＋2＝3,2＋4＝6,1＋5＝6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为310. 5．选D 摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P ＝1－0.45－0.23＝0.32.6．选B cos 〈a ，b 〉＝mm2＋n2，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴22＜m m2＋n2＜1，∴n ＜m ，又满足n ＜m 的骰子的点数有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个．故所求概率为P ＝1536＝512.7．解析：从集合{－1,1,3}中取一个数为x 有3种取法，同理y 有2种取法，满足a ⊥b 的有一种取法(x ＝1，y ＝3)，故所求的概率P ＝13×2＝16. 答案：168．解析：从中取出2粒棋子，“都是黑棋子”记为事件A ，“都是白棋子”记为事件B ，则A 、B 为互斥事件．所求概率为P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.答案：17359．解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P(A)＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P(B)＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P(A)＋P(B)＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P(B)＝1－215＝1315.答案：35 131510．解：(1)记中靶为事件A ，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有 P(A )＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B ，命中9环为事件C ，命中8环为事件D ，至少8环为事件E ，不够9环为事件F.由B 、C 、D 互斥，E ＝B ∪C ∪D ，F ＝B ∪C ，根据概率的基本性质，有P(E)＝P(B ∪C ∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P(F)＝P(B ∪C )＝1－P(B ∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52. 所以至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52. 11．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n<17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n<17，85，n ≥17 (n ∈N)． (2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.12．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，则用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2. B 级1．选D 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b|>1”，又|a －b|＝2包含2个基本事件，所以P(B)＝29，所以P(A)＝1－29＝79.2．解析：设通晓中文和英语的人数为x ，通晓中文和日语的人数为y ，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N*，则⎩⎨⎧x x ＋y ＋z＝12，yx ＋y ＋z ＝310，0＜z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.答案：103．解：(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为20(条)；有记号的金鱼数目的平均数为20(条)．由于有记号的两种鱼数目的平均数均为20(条)，故可认为池中两种鱼的数目相同，设池中两种鱼的总数目为x 条，则有401 000＝2 000x，解得x ＝50 000，因此可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为25 000条．(2)由于是用随机逐条有放回地捕出3条鱼，每一条鱼被捕到的概率相同，用x 表示捕到的是红鲫鱼，y 表示捕到的是金鱼，基本事件总数有8种(x ，x ，x)，(x ，x ，y)，(x ，y ，x)，(y ，x ，x)，(x ，y ，y)，(y ，x ，y)，(y ，y ，x)，(y ，y ，y)，恰好是1条金鱼，2条红鲫鱼的基本事件有3个，故所求概率为P ＝38.。

2014高考数学一轮一课双测A B精练(三十一)等比数列及其前n项和文

2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十一) 等比数列及其前n 项和1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12B ．1C ．－12或1D.142．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152 B.154 C ．4D ．23．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．74．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．166．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.8．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.9．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．12．(2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [答题栏]答案2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(三十一)A 级1．C 2.A 3.B 4.A5．选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1－q51－q＝1－－53＝11.答案：119．解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n10．解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2－4n 1－4＝n－3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋n－3＝22n ＋1＋13. 11．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列． 12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋－2d ＝105，a 1＋9d ＝a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1－q m1－q＝－49m 1－49＝2m－48＝72m ＋1－748. B 级1．选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得 2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)． ∵q >0，∴q ＝32.答案：323．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.。

2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(一) 集合

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(一) 集合1．(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{x|x2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅2．(2012·山西四校联考)已知集合M ＝{0,1}，则满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．83．设集合P ＝{3，log2a}，Q ＝{a ，b}，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( )A ．{3,0}B ．{3,0,1}C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}4．(2012·辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}5．(2013·合肥质检)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，集合B ＝{x ∈Z||x|≤a}，则满足A B 的实数a 的一个值为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|3≤x<7}，B ＝{x|x2－7x ＋10<0}，则∁U(A ∩B)＝( )A ．(－∞，3)∪(5，＋∞)B ．(－∞，3]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)7．(2012·大纲全国卷)已知集合A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或38．设S ＝{x|x<－1，或x>5}，T ＝{x|a<x<a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．[－3，－1]C ．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)9．若集合U ＝R ，A ＝{x|x ＋2>0}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩(∁UB)＝________.10．(2012·武汉适应性训练)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁UB)∩A ＝{1}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,4}，则B ∩(∁UA)＝________.11．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y|y ＝x －1}，则N ∩(∁RM)＝________. 12．(2012·吉林模拟)已知U ＝R ，集合A ＝{x|x2－x －2＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，B ∩(∁UA)＝∅，则m ＝________.13．(2012·苏北四市调研)已知集合A ＝{x|x2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R}，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．14．(2012·安徽名校模拟)设集合Sn ＝{1,2,3，…，n}，若X ⊆Sn ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为Sn 的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．1．(2012·杭州十四中月考)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝lg x ，110≤x ≤10，B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁UA)∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁UA)∩B ＝[－2,2]2．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x ＋a ≥0}，N ＝{x|log2(x －1)<1}，若M ∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x ≥3}，那么( )A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥14．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n|n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．5．已知集合A ＝{x|x2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁RB ，求实数m 的取值范围．6．(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x|(x ＋3)2≤0}，N ＝{x|x2＋x －6＝0}．(1)求(∁IM)∩N ；(2)记集合A ＝(∁IM)∩N ，已知集合B ＝{x|a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(一)A 级1．B 2.C 3.B 4.B5．选D 当a ＝0时，B ＝{0}；当a ＝1时，B ＝{－1,0,1}；当a ＝2时，B ＝{－2，－1,0,1,2}；当a ＝3时，B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a ＝3时满足条件．6．选C x2－7x ＋10<0⇔(x －2)·(x －5)<0⇒2<x<5，A ∩B ＝{x|3≤x<5}，故∁U(A ∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．选B 法一：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A.又A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，∴m ＝3或m ＝m. 由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m ＝0或m ＝3.法二：∵B ＝{1，m}，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D.又当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故选B.8．选A 在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a<－1，a ＋8>5，解得－3<a<－1. 9．解析：由题意得∁UB ＝(－∞，1)，又因为A ＝{x|x ＋2>0}＝{x|x>－2}，于是A ∩(∁UB)＝(－2,1)．答案：(－2,1)10．解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁UA)＝{5,6}．答案：{5,6}11．解析：M ＝{x|x<0，或x>2}，所以∁RM ＝[0,2]，又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁RM)＝[0,2]．答案：[0,2]12．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1213．解析：不等式x2＋a ≤(a ＋1)x 可化为(x －a)(x －1)≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x ≤a}．A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为7×1＋72＝28，所以7≤a<8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)14．解析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7B 级1．选A ∵x ∈⎣⎡⎦⎤110，10，∴y ∈[－1,1]， ∴A ∩B ＝{－1,1}．2．选C 由36－x2>0，解得－6<x<6.又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k2与k 都不属于集合M.显然k ＝0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不同时在集合M 中，才能成为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M ＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M 共有5个．3．选A 由题意得M ＝{x|x ≥－a}，N ＝{x|1<x<3}，所以∁UN ＝{x|x ≤1，或x ≥3}，又M ∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x ≥3}，因此－a ＝1，a ＝－1.4．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n1，n2∈A ，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z ，则n1＋n2∈A ，n1－n2∈A ，所以②正确；③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．解：A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁RB ＝{x|x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁RB ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．解：(1)∵M ＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x|x2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁IM ＝{x|x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁IM)∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁IM)∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a>3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a|a ≥3}．。

(完整版)2014年新课标I卷高考理科数学试卷(带详解)

2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)一、选择题1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x |223x x －－≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) B.[－1，1] D.[1，2) 【测量目标】集合的交集.【考查方式】给出集合A 、集合B ，求A ∩B. 【参考答案】A.【试题解析】集合A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2，－1]. 【难易程度】容易题2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]32(1i)(1i)+-＝( )A.1＋iB.1－IC.－1＋iD.－1－i 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】对给出的复数进行化简. 【参考答案】D【试题解析】 32(1i)(1i)+-＝22(1i)(1i)(1i)++-＝2i(1i)2i+-＝－1－i.【难易程度】容易题3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|g (x )是奇函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数【测量目标】函数奇偶性【考查方式】判断复合函数的奇偶性. 【参考答案】C.【试题解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 【难易程度】容易题.4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：223x my m －=(m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )B.3 D.3m【测量目标】双曲线及点到直线的距离.【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离. 【参考答案】A【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为x ＝0.根据双曲线方程得2=3a m ，23b =，所以c双曲线的右焦点坐标为0).【难易程度】容易题 5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78【测量目标】概率计算【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率【参考答案】D【试题解析】每位同学有2种选法，基本事件的总数为4216=，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为27 1.168 -=【难易程度】容易题6. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为()A(ZX056) B(ZX057) C(ZX058) D(ZX059)【测量目标】函数图像【考查方式】根据题意判断函数图像【参考答案】C【试题解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为12|sin x cos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin x cos x|＝12|sin 2x|，且当x＝π2时上述关系也成立，故函数f(x)的图像为选项C中的图像.【难易程度】容易题7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝()第7题图(ZX035)A.203B.165C.72D.158【测量目标】程序框图【考查方式】给出程序框图求输出结果【参考答案】D【试题解析】逐次计算，依次可得：M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；M＝83，a＝32，b＝83，n＝3；M＝158，a＝83，b＝158，n＝4.此时输出M，故输出的是158.【难易程度】容易题8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，且tan α＝1sincosββ+，则()A.3α－β＝π2B.3α＋β＝π2C.2α－β＝π2D.2α＋β＝π2【测量目标】三角恒等变换【考查方式】给出,αβ的范围利用三角恒等变换求解.【参考答案】C【试题解析】tan α＝1sincosββ+＝222cos sin22cos sin22ββββ⎛⎫+⎪⎝⎭-＝cos sin22cos sin22ββββ+-＝1tan21tan2ββ+-＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，因为β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以π4＋2β∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭且tan α＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，所以α＝π42β+，即2α－β＝π2.【难易程度】中等题9. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组124x yx y+⎧⎨-⎩的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2;p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2;p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3;p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A.23p p， B.12p p，14p p， D.13p p，【测量目标】考查线性规划中目标函数的最值、全称命题与特称命题【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误【参考答案】B【试题解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且minz＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题12p p，为真，命题34p p，为假.第9题图(ZX060)【难易程度】中等题10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：28y x=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点.若FPFQ＝4，则|QF|＝()A.72B.3C.52D.2【测量目标】抛物线定义与性质【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度【参考答案】B【试题解析】由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (00x y ，)，则FP ＝(－4，t )，FQ ＝(002x y －，)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(0x －2)，解得0x ＝1，根据抛物线定义得|QF |＝0x ＋2＝3. 【难易程度】中等题11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝3231ax x －＋，若f (x )存在唯一的零点0x ，且0x >0，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1) 【测量目标】利用导函数求零点【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值范围【参考答案】C【试题解析】当a ＝0时，f (x )＝231x －＋，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.由()2360f x ax x '-==，得x ＝0或x ＝2a .若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且()f x 极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a，且()f x 极小值＝f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝224a a -，此时只需224a a ->0，即可解得a <－2；若a >0，则()f x 极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2).【难易程度】中等题 12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )第12题图(ZX061)A.62 B.6 C.4 2 D.4【测量目标】三视图【考查方式】根据三视图求棱长【参考答案】B【试题解析】该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥11-E CC D (其中E 为1BB 的中点)，其中最长的棱为1D E ＝22(42)2+＝6.第12题图(ZX062)【难易程度】容易题二、填空题13.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]8()()x y x y －＋的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 【测量目标】二项式定理【考查方式】利用二项式定理求某项的系数. 【参考答案】－20【试题解析】8()x y ＋的展开式中7xy 的系数为78C =8，26x y 的系数为68C 28=，故8()()x y x y －＋的展开式中28x y 的系数为8－28＝－20.【难易程度】容易题 14.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.【测量目标】考查逻辑思维能力【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力【参考答案】A【试题解析】由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市. 【难易程度】容易题15.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝12(AB ＋AC )，则AC 与AB 的夹角为________.【测量目标】圆的性质与向量运算.【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角【参考答案】.90°【试题解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.【难易程度】容易题 16.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________. 【测量目标】考查正弦定理与余弦定理及基本不等式.【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积【试题解析】根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得222b c a bc ＋－=，根据余弦定理得cos A ＝2222b c a bc +-＝12，所以A ＝π3.根据及222b c a bc ＋－=基本不等式得22bcbc a －，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=【难易程度】中等题三、解答题17. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，n a ≠0，1n n a a ＋＝1n S λ－，其中λ为常数.(1)证明：2.n n a a λ＋-=(2)是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【测量目标】考查等差数列【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ【试题解析】(1)证明：由题设，11n n n a a S λ＋=－，1211n n n a a S λ＋＋＋=－，两式相减得121()n n n n a a a a λ＋＋＋－=.因为10n a ≠＋，所以2n n a a λ＋－=.(2)由题设，1a ＝1，12a a ＝11S λ－，可得2a ＝λ－1，由(1)知，3a ＝λ＋1.若{}n a 为等差数列，则2132a a a =＋，解得λ＝4，故24n n a a ＋-=.由此可得21{}n a －是首项为1，公差为4的等差数列，21n a －＝4n －3；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =－.所以n a ＝2n －1，1n n a a ＋－＝2.因此存在λ＝4，使得数列{}n a 为等差数列.【难易程度】中等题18. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：第18题图(ZX063)(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (2)μσ，，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .15012.2.若Z ～N (μ，2σ)，则p (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，p (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【测量目标】考查平均数和方差及正态分布【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.2s ＝2(30)-×0.02＋2(20)-×0.09＋2(10)-×0.22＋0×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z ～N (200，150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26. 【难易程度】中等题19. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]三棱柱111-ABC A B C 中，底面11BB C C 为菱形，AB ⊥1B C . (1)证明：AC ＝1AB ；(2)若AC ⊥1AB ，∠1CBB ＝60°，AB ＝BC ，求二面角111--A A B C 的余弦值.第19题图(ZX064)【测量目标】立体几何直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系【考查方式】给出立体几何求证直线与直线相等及二面角的余弦值【试题解析】(1)证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ，且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O ＝CO ，故AC ＝1AB .(2)因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，又AB ＝BC ，则A 30,0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B (1，0，0)，B 130,,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C 30,,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.1B A ＝330,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB ＝31,0,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BC ＝31,03⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设n ＝(x ，y ，z )是平面11AA B 的法向量，则即33030.3y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以可取n ＝(1，3，3).设m 是平面111A B C 的法向量，则同理可取m ＝(1，－3，3).则cos 〈n ，m 〉＝||||n m n m ⋅＝17.所以结合图形知二面角111--A A B C 的余弦值为17.第19题图(ZX065)【难易程度】中等题20.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：2222=1x y a b+ (a >b >0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程. 【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程【试题解析】(1)设F (c ，0)，由条件知，23c =，得c.又2c a =，所以a ＝2，2221b a c =－=.故E 的方程为2214x y +=.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，11()P x y ，，22()Q x y ，.将y ＝kx －2代入得22(14)16120k x kx ＋－＋=，当216(43)0k ∆>=－，即234k >从而12|||PQ x x =-＝241k +.又点O 到直线l 的距离d.所以△OPQ 的面积OPQ S △＝12d ·|PQ |＝.241k +t ，则t >0，OPQS △＝244.44t t t t=++因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝时等号成立，满足∆>0，所以，当OPQ △的面积最大时，k ＝，l 的方程为yx －2或yx －2. 【难易程度】较难题21.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝1ln x xbe ae x x-+，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【测量目标】考查导数的应用【考查方式】给出函数及切线方程求参数a ,b;完成证明【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，-1-12()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x '=+-+，由题意可得f (1)＝2，()1f '＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝-12ln xx e x e x +，从而f (x )>1等价于-2ln .x x x xe e>-设函数g (x )＝x ln x ，则()g x '＝1＋ln x ，所以当x ∈10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x ' <0；当x ∈1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()g x ' >0.故g (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－1e .设函数h (x )＝2xxe e--，则()e (1)x h x x '－＝－，所以当x ∈(0，1)时，()0h x '>；当x ∈(1，＋∞)时，()0h x '<.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 因为min max 1()(1)()g x g h h x e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 【难易程度】较难题22.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE . (1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.第22题图(ZX040)【测量目标】圆的性质【考查方式】根据圆的性质证明【试题解析】(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ，所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形. 【难易程度】容易题第22题图(ZX041)23.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：22=149x y +，直线l 222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【测量目标】考查参数方程【考查方式】考查参数方程与普通方程的转换，并求|P A |的最大值与最小值【试题解析】(1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离d θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝sin 30d ＝θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5. 【难易程度】中等题24.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且11a b+=(1)求33a b ＋的最小值.(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由. 【测量目标】不等式的运用【考察方法】利用不等式求最值，求满足条件的参数的值【试题解析】(1)＝1a ＋1b ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立.故33a b ＋≥≥，当且仅当a ＝b 时等号成立.所以33a b ＋的最小值为.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥由于，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6. 【难易程度】中等题。

(考黄金)高考数学一轮检测第17讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精讲精析新人教A版

（考黄金）2014届高考数学一轮检测第17讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题精讲精析新人教A版2013年考题1.（2013安徽高考）若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值是（）（A）73（B）37（C）43（D）34【解析】选A。

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434x yx y+=⎧⎨+=⎩得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）∴S△ABC=144(4)1233-⨯=，设43y kx=+与34x y+=的交点为D，则由1223BCDS S ABC∆=∆=知12Dx=，∴52Dy=∴5147,2233k k=⨯+=。

2.（2013安徽高考）不等式组所表示的平面区域的面积等于（）A. B. C. D.【解析】选 C. 不等式组表示的平面区域如图所示，由340340x yx y+-=⎧⎨+-=⎩得交点A的坐标为(1,1)C，又B、C两点的坐标为（0，4），（0，43）故A144(4-)1=.233BCS∆=⨯.3.（2013福建高考）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 3 【解析】选 D.如图可得三线封闭区域即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.4.（2013海南宁夏高考）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（）（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值（C ）有最大值3，无最小值（D ）既无最小值，也无最大值【解析】选B. 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min2z =，但无最大值。

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高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(三十七) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 2．已知实数对(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 4．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a 确定的平面区域中，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2012·石家庄质检)已知点Q(5,4)，动点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，则|PQ|的最小值为( ) A ．5 B.43 C ．2D ．76．(2013·山东烟台模拟)已知A(3，3)，O 是坐标原点，点P(x ，y)的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z 为OA 在OP上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3,3]C ．[－3，3]D ．[－3， 3 ] 7．(2013·成都月考)若点P(m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.8．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x2＋y2的最大值为________．9．(2012·上海高考)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________． 10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 12．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x2＋y2，求z 的取值范围．1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，2x －y ≥0，a ＞0x ≤a表示的平面区域的面积为5，直线mx －y ＋m ＝0过该平面区域，则m 的最大值是________．2．(2012·济南质检)已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．－3 3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．__________ 8. __________ 9. __________答案高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(三十六) A 级1．选B 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l0：y ＝－2x ，作与l0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y)min ＝3.3.选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B ⎝⎛⎭⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32.4．选A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z ＝x ＋2y 在点A(a ，a)处取得最值，故a ＋2a ＝3，解得a ＝1.5．选A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，过Q 点且与直线AB 垂直的直线为y －4＝x －5，即x －y －1＝0，其与直线x ＋y －2＝0的交点为⎝⎛⎭⎫32，12，而B(1,1)，A(0,2)，因为32＞1，所以点Q 在直线x ＋y －2＝0上的射影不在线段AB 上，则|PQ|的最小值即为点Q 到点B 的距离，故|PQ|min ＝5－12＋4－12＝5.6.选B 约束条件所表示的平面区域如图．OA 在OP上的投影为|OA |·cos θ＝23cos θ(θ为OA 与OP 的夹角)，∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°， ∴30°≤θ≤150°， ∴23cos θ∈[－3,3]．7．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3.答案：－38．解析：作出如图所示的可行域．x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(－3，－4)处取最大值(－3)2＋(－4)2＝25. 答案：259.解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x ＝2，y ＝0时，目标函数z ＝y －x 取得最小值－2. 答案：－210．解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． 11．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y) ＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A(50,50)，所以Wmax ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．12.解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y)的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5,2)． (1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.观察图形可知zmin ＝kOB ＝25.(2)z ＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin ＝|OC|＝2，dmax ＝|OB|＝29. 故z 的取值范围为[2,29]．B 级1．解析：平面区域如图所示，A(a,2a)，B ⎝⎛⎭⎫a ，－a 2. ∴S △OAB ＝12×5a 2×a ＝54a2＝5，∴a ＝2，即A(2,4)，B(2，－1)．又mx －y ＋m ＝0过定点(－1,0)，即y ＝mx ＋m ，斜率m 的最大值为过A 点时的值为42－－1＝43.答案：432.选B |2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x2≤(y ＋1)2，即|x|≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．则当目标函数过C(2,1)时取得最大值，所以zmax ＝2×2＋1＝5.3.解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．。