人教A版高中数学必修五3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 情境互动课型

所以z最小值=1.5-2×2.5
=-3.5,
1
z最大值=3-0=3.
o
A(-2,-1)
y x1
B(1.5,2.5)
x2y 0
x5y 3
C(3,0)
3
x
5x 3y 15
【提升总结】
解线性规划问题的步骤： （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
y≤x，
x＋y≤1，且 z＝2x＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n， y≥－1，
则 m－n＝( )
A．5 B．6
C．7
D．8
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
由z=2x+y,得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点 A，
直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小，
A
2
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
令 z 0 ，作直线 l : 2x 3y 0 . x 3
当把直线 l 向下平移 时，所对应的 z 2 x 3 y 的函数值 随之减小，
所以，当直 线 l 经过可行域的顶点 B 时，z 2 x 3 y 取 得最小值.
顶点 B 为直线 x 3 与直线 y 4 的交点， y
探究点2 简单线性规划问题的图解方法
例 1.设 x, y 满足约束条件 x 3, y 4, 4x 3y 12, 4x 3y 36.
求目标函数 z 2x 3y 的最小值与最大值.
解 ：作 出 可 行 域（ 如 图 阴 影 部 分 ）.
y 4x 3y 12
D
4
l:2x 3y 0
真理喜欢批评，因为经过批评，真理就 会取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬误 就会失败。
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
上述问题就转化为：当x,y满足不等式组并且 为非负整数时，z的最大值是多少？
把z 2x 3 y变形为y 2 x z ,这是斜率为 2 ,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
提示:
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
故可先作出过原点的直线l
0:
y
2 3
x，再作l 0的平行线.
当点P在可允许的取值范围内变化时， 求截距 z 的最值,即可得z的最值.
本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目 标函数、可行域、可行解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简 单的问题.(重点、难点）
探究点1 简单线性规划问题及有关概念
进一步，若生产一件甲种产品获利2万元,生产 一件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最 大? 提示：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获 得的利润为z,则z=2x+3y.
设生产甲产品x件,乙产品y件时，工厂获得的利 润为z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
22
2
在y轴上的截距为 z 的直线. 2
y
3 l0 : y 2 x
4
3
y=3
M(4, 2)
由图可知
x
当直线y 3 x z O 22
4
x4
8
x2y 8
3.线性规划 一般的，在线性约束条件下求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解.
【即时练习】 （1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利 3万元，每生产一件乙产品获利2万元，则如何安 排生产才能获得最大利润？ （2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间 的关系吗？
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
x 1. 若z取得最大值时，对应点有无数个，求a的值.
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合.
作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
则m-n=3-（-3）=6，
故选B.
1. （ 2015 · 天 津 高 考 ） 设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件
x20
x
x
2
2 y
y
8
0
0
,则目标函数
z=3x+y
的最大值为（
）
A. 7
B.8
C.9
D.14
【解析】选
C.
z
3x
y
5 2
x
2
1 2
x
2
y
8
9
9
,
当 x 2, y 3 时取得最大值 9,故选 C.此题也可画出
最大值为 a ，最小值为 b ，则 a b
的值是（ C ）
A.48
B.30
C.24
D.16
4.（2015·全国卷 I）若 x,y 满足约束
x y20
x
2
y
1
0
条件 2x y 2 0 ,
则 z=3x+y 的最大值为
4
．
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l0 ： 3x y 0 ，平移直线 l0 ，当直线 l :z=3x+y 过点 A 时，
3
y
2 l0 : y 3 x
4
3
由图可知
当直线y 2 x z
O
33
经过直线x 4与直线x 2 y 8
y=3
M(4, 2)
4
x4
x 8
x2y 8
的交点 M(4, 2) 时，截距
z 3
的值最大，最大值为134 .
即 z的最大值为 z 24 3 2 14.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y a与x 边z 界线重合时，有无数个
点使函数值取得最大值， 此时有 kl kAC .
因为k AC
3 5
,
所以kl
a
3. 5
y
即a
3 .
5
3x 5 y 25
C
x 4 y 3
B O
x1
Ａ x
【变式练习】
（ 2014·广 东 高考） 若变 量 x， y 满足约 束条件
3.线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数
可行解 可行域 最优解
线性规划问题
定义 由变量x，y组成的不等式组 由变量x，y组成的一次不等式组
关于x，y的函数解析式 关于x，y的一次函数解析式 满足线性约束条件的解（x,y）
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题统称线性规划问题
（2）将目标函数
z ax by(b 0) 变形为
ya
x
z ,
bb
将求z的最值问题转化为求直线 y a x z 在 y
轴上的截距 z 的最值问题；
bb
b
（3）画出直线 ax by=0并平行移动，平移过程中最先
或最后经过的点为最优解；
（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函 数的最值.
由yy
1, x,
解得
x= 1,
y
1,
即A（-1，-1），此时z=-2-1=-3，此时n=-3， 平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B, 直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，
由xy
1, y
1,
解得
x=2, y 1,
由B(2,-1),此时z=2×2-1=3，即m=3，
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1 h，每生产 一件乙产品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多 可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工 作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
【变式练习】
y x 1,
已知
x,
y
满足
x
5y
3,
求 z x2y 的
5x 3 y 15.
最大值和最小值.
解：作出如图所示的可行域， 由z x 2y得y 1 x z . 22
作l0 : x 2 y 0,并平行移动,
y
当直线l经过点B时，对应 5
的z最小，当直线l经过点
C时，对应的z最大.
设甲、乙两种产品分别生产x,y件，由已知条件
可得二元一次不等式组：
x 2 y 8，
44
x y
16， 12，
x
0，
y 0.
将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有
坐标为整数的点 P( x, y) 时 ,安排生产任务 x, y 都
是有意义的.
y
4
y=3
3
x
O
4
8
x2y 8
x4
上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，
其坐标为 3, 4 ；
4
l:2x 3y 0
A
2
o
y 4 B
4x 3y 12
D
x
C
4x 3y 36
x 3
当把直线 l 向上平移时，所对应的 z 2x 3y 的函数值随之增大，
所以，当直线 l 经过可行域的顶点 D 时， z 2x 3y 取得最大值.
顶点 D 为直线 4x 3y 12 与直线 4x 3y 36 的交点，
可行域,借助图像求解.
2.（2013·陕西高考）若点(x,y)位于曲线y=|x|
与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值
为( A )
A.－6
B.－2
C.0
D.2
3.（2013·四川高考）若变量 x, y
x y 8,
满足约束条件
2
x
yx 0,
4,
且 z 5y x的
y 0,
厂可获得最大利润14万元.
1.线性约束条件
x 2 y 8，
上述问题中，不等式组
44 xy
16， 12，
是一组对变量
x
0，
y 0
x,y的约束条件，这组约束条件都是关于x,y
的一次不等式，所以又称为线性约束条件.
2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标
函数.又因为z=2x+3y是关于变量x,y的一次解析 式，所以又称为线性目标函数.
经过直线x 4与x 2 y 8
的交点M(4, 2)时，截距的值最大，最大值为 8.
即 z的最大值为 z 34 2 2 16.
所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工 厂获得最大利润16万元.
【提升总结】
在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用 图解法求最优解的步骤为：
（1）在平面直角坐标系内画出可行域；
x y 2=0
z
取最大值，由
x
2
y
1=0
解得 A（1,1），
∴z=3x+y 的最大值为 4.
1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可 行解等基本概念的理解；
2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤. 最优解在可行域的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域 边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
解方程组
4x 3y 12, 4x 3y 36.
可以求得顶点 D 的坐标为 3,8 ．
y D4 x 3 y 12
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4
l:2x3y 0
A
2
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
x 3
此时，顶点Ｂ 3, 4 和顶点 D 3,8 为最优解．
所以
zmin 2 (3) 3 (4) 18, zmax 2 3 3 8 30.