例1试求一均匀带电直线外任意一点处的场强设直线长

例1试求一均匀带电直线外任意一点处的场强设直线长【例1】试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长为L（见下图），电荷线密度（即单位长度上的电荷）为（设）。设直线外场点P到直线的垂直距离为，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为和。

带电直线外一点的电场

【解】

均匀带电直线可以理解为实际问题中一根带电直棒的抽象模型，如果我们仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。P点处的场强可以通过微积分来求解。

在带电直线上任取一长为的元电荷，其电量。以P点到带电直线的垂足O为原点，取如图所示坐标轴，。元电荷dq在P点的场强d E沿两个轴方向的分量分别为和。因而

由于，从而（此式在几何上表示，当很小时，对P 点张开的角度与的关系），并且，所以

由于对整个带电直线来说，q的变化范围是从到，所以

同理可得

P点总场强的大小可以由下式得到

有几种特殊情况，讨论如下：

(1)中垂线上的点在中垂线上，则有，将

代入，可得

此电场的方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方。

（2）无限长直线外任意一点处的场强真实的生活中没有无限长，无限长只是一个相对的概念，在本题中无限长的准确描述是，故有

此外，在远离带电直线的区域，即当时，中垂线上的电场强度

其中为带电直线所带的总电量。此结果显示，离带电直线很远处该带电直线的电场相当于一个点电荷q的电场。