高考数列问题研究

高考数列问题研究

一、数列高频考点

数列的概念，数列的通项，数列性质，数列求和。

二、数列高频考点考查方法研究

1．以小题或解答题的第一小问考查概念、通项、性质、求和以及1,,,,,n n a d q a S n 等基本量求解

例1：（1）（2011年湖南理第12题）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且11a =，

47a =，则5S =____________。

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（2）（2012年大纲全国卷）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =

A ．12-n

B 。1)23(-n

C 。1)32

(-n D 。121

-n

B

（3）（2012年浙江卷）设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．

的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项

B ．若数列{S n }有最大项，则d <0

C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0

D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列

C [解析] 本题考查等差数列的通项、前n 项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．

法一：特值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不恒成立．

法二：由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，

那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故

应选C.

[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．

（4）（2012年陕西）

设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；

设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，

由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝ a 1q 4＋a 1q 3，

由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.

2．以中档解答题考查等差数列、等比数列的通项、性质与求和。有的侧重于基本量计算，有的侧重于推理与证明。

例2：(1)（2012·湖北卷）已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.

(1)求等差数列{a n }的通项公式；

(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .

由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得

a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.

故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.

(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；

当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a n |＝|3n －7|＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .

当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；

当n ≥3时，

S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112

n ＋10. 当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

4，n ＝1，32

n 2－112n ＋10，n ＞1.

（2）（2012·湖南卷）已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….

(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．

解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.

故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．

于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.

(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是

B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n

＝q ， C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 2＋a 3＋…＋a n ＋1

＝q ， 即B n A n ＝C n B n

＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．

于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，

从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.

因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1

＝q . 故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．