离散数学第09章树及其应用

推论3 设T是连通图G的一棵生成树，T 为T 的余树，
C为G中任意一个回路，则E(T)∩E(C)≠。
证：若E(T)∩E(C)＝，则E(C)E(T)，
这说明C为T中回路，与T为树矛盾。
所以推论正确。
二、基本回路及基本回路系统
定理9.2.2 设T 为无向连通图G中一棵生成树，e为T 的
任意一条弦，则T∪e中含G中只含一条弦其余边均为 树枝的回路，而且不同的弦对应的回路也不同。

树中度数为1的结点称为树叶(leave) ，度数大于1的结 点称为分支点（branched node）或内点。 每个连通分支是树的无向图称为森林。


平凡图也是树，称为平凡树。
例：如图为九个结点的树。
二、无向树的性质
定理9.1.1 设G＝<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面
关于树的定义是等价的。
来自百度文库

由定理的证明过程可以看出，一个连通图可以有
许多生成树。

因为在取定一个回路后，就可以从中去掉任一条边， 去掉的边不一样，故可能得到不同的生成树。 一般如果G有v个点e条边连通，则e≥v-1，则G删除

e-(v-1)条边，破坏了e-(v-1)个回路，必成G的一棵生
成树，这是“破圈法”。

也可以从e条边中选取v-1条边并使它不含有回路，
这是“避圈法”。
推论1 G为n 阶m条边的无向连通图，则m≥n1。
证：由定理9.2.1可知，G 有生成树，设T为G的一棵生成树，
则
m＝|E(G)|≥|E(T)|＝n-1。
推论2 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G的生成树，
则T的余树中含有m-n+1条边（即T有m-n+1条弦）。
由推论1立刻可知推论2是正确的。
解：设Ti为满足要求的无向树，则边数mi＝6，于是
∑d(vj)＝12＝13+3+d(v4)+d(v5)+d(v6)。
由于 d(vj)≠1∧d(vj)≠3，而且d(vj)≥1且d(vj)≤6，j＝4,5,6， 可知 d(vj)＝2，j＝4,5,6。于是Ti 的度数列为：
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度结点vi，vi的邻域N(vi)中有3个结点，这3个 结点的度数列只能为以下三种情况之一： 1, 1, 2 1, 2, 2 2, 2, 2 设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵非同构的7 阶无向树。

求基本回路的算法
设弦e=(u,v)，先求T中u到v的通路 (u,v)，再并上
弦e，即得对应e的基本回路。
例：求下图中的基本回路系统。
对应生成树的弦分别为 e6,e7,e8,e10,e11。 设它们对应的基本回路分 别为C1,C2,C3,C4,C5，从 对应的弦开始，按顺时针 的顺序写出它们，分别为
证：T∪e中含G中只含一条弦其余边均为树枝的回路。
设e＝(u,v)，由定理9.1.1可知， 在T 中，u, v之间存在唯一的通路 (u,v)， 则 (u,v)∪e为所要求的回路。 不同的弦对应的回路也不同是显然的。
二、基本回路及基本回路系统
定义9.2.2 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成
C1＝e6e4e5 C2＝e7e2e1 C3＝e8e9e2e1 C4＝e10e3e5e2 C5＝e11e3e5e2e9
此图的回路秩为5，基本回路系统为{C1,C2,C3,C4,C5}。
说 明
无向连通图G的回路秩与生成树的选取无关，但不同生成 树对应的基本回路系统可能不同。
说明

一条回路和任何一棵生成树的余树至少有一条公共边。
树，设e1, e2, …, emn+1为T的弦。设Cr为T添加弦er产 生的G中只含弦er ，其余边均为树枝的回路，称Cr 为
G的对应T的弦er的基本回路，r＝1, 2, …, mn+1。
称{C1, C2, …, Cmn+1}为G对应T的基本回路系统，称
mn+1为G的回路秩，记作 (G)。
V(T2)}，
由构造显然可知，Se为G的割集，eSe且Se中除e外都
是弦。
不同的树枝对应的割集也不同是显然的。
三、基本割集与基本割集系统
定 义 9.2.3 设 T 是 n 阶 连 通 图 G 的 一 棵 生 成 树 ，
e1,e2,…,en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei的割集， 则称Si为G的对应于生成树T由树枝ei生成的基本割集， i＝1,2,…,n1。 称{S1,S2,…,Sn1}为G对应T的基本割集系统，称n1为G 的割集秩，记作 (G)。
(4) 对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度结点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
例9.1.1

人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1
的n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星
心。
例9.1.2 7阶无向图有3片树叶和1个3度结点，其余3个结
点的度数均无1和3。试画出满足要求的所有非同构的无 向树。
证：(2)(3)
如果G 中任意两个结点之间存在唯一的通路， 则G 中无回路且m＝n-1。 其次证明 m＝n-1。（归纳法）
n＝1时，G为平凡图，结论显然成立。
设n≤k (k≥1)时结论成立， 当n=k+1时，设e＝(u,v)为G 中的一条边， 由于G 中无回路，所以G -e 得两个连通分支G1、G2。 设ni、mi分别为Gi中的结点数和边数，则ni≤k ，i＝1,2， 由归纳假设可知mi＝ni-1，于是
生成树的存在定理
定理9.2.1 无向图G具有生成树当且仅当G连通。
证：必要性显然。只需证明充分性。
若连通图G中无回路，则G为自己的生成树。
若G中含回路，任取一回路，随意地删除回路上的一
条边，若还有回路再删除回路上的一条边，直到最后 无回路为止。 易知所得图无回路、连通且为G的生成子图， 所以为G 的生成树。 破圈法
证：(5)(6)
如果G是连通的且G中每条边均为桥，则G中没有回路， 但在任何两个不同的结点之间加一条新边，在所得图 中得到唯一的一个含新边的回路。 因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不 连通图，所以，G中没有回路。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的通路Г，
m mi (ni 1) ni s n s
i 1 i 1 i 1 s s s
由于s≥2，与 m＝n-1 矛盾。
证：(4)(5)
如果G是连通的且m＝n1，则G是连通的且G中每条边 均为桥。 只需证明G中每条边均为桥。 e∈E，均有|E(G-e)|＝n-1-1＝n-2， 由“若G是n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1”命题 可知，G-e已不是连通图， 所以， G中每条边均为桥。
如图所示
9.2 生成树

有一些图，本身不是树，但它的子图却是树； 一个图可能有许多子图是树，其中很重要的一类 是生成树。
一、生成树的定义及存在定理
定义9.2.1 设G为无向图，

若T是G的子图并且是树，则称T为G的树。
若T是G的生成子图并且是树，则称T为G的生成树。
设T是G的生成树，e∈E(G)，若e∈E(T)，则称e为 T的树枝。
例9.1.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解： 设Ti是6阶无向树。
由定理9.1.1可知，Ti的边数mi＝5，
由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。
于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
解出 x＝3，故T有3片树叶。 故T的度数应为：1, 1, 1, 2, 2, 3。
例：已知无向树T有5片树叶，2度与3度结点各1个，其
余结点的度数均为4，求T 的阶数n，并画出满足要求的 所有非同构的无向树。
解：设 T 的阶数为n，则边数为n1，4度结点的个数
为n7。 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) ∴ n = 8，即 4度结点为1个。 故T 的度数列为：1、1、1、1、1、2、3、4。
例9.1.2
1，1，2
1，2，2
2，2，2
例：已知无向树T中，有1个3度结点，2个2度结点，其
余结点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同 构的无向树。
解：设有x 片树叶，于是结点总数为
n＝1+2+x＝3+x
由握手定理和树的性质 m＝n1可知，
2m＝2(n1)＝2×(2+x)
＝1×3+2×2+x
证：若有一条回路和一棵生成树的余树没有公共边，
那么这回路包含在生成树中，然而这是不可能的，因为 一棵生成树不能包含回路。

一个边割集和任何生成树至少有一条公共边。
证：若有一个边割集和一棵生成树没有公共边，那么
删去这个边割集后，所得子图必包含该生成树，这意味 着删去边割集后仍是连通图，与边割集定义矛盾。
由u,v的任意性可知，G是连通的。
二、无向树的性质
定理9.1.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两
片树叶。
证：因 T 连通则u∈ T，deg(u)≥1。
设 T 有 k 个一度结点，其它结点均大于等于2，则 2e=∑deg(vi) ≥ k+2(v-k) = 2v-k。 又∵ e=v-1， ∴ 2(v-1)≥2v-k，故 k≥2。
易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路，
这与G 中无回路矛盾。
证：(2)(3)
如果G 中任意两个结点之间存在唯一的通路，
则G 中无回路且m＝n-1。 首先证明 G 中无回路。 若G 中存在关联某结点v 的环，
则v 到v 存在长为0和1的两条路经
(注意初级回路是通路的特殊情况)，
这与已知矛盾。
若G 中存在长度大于或等于2 的回路， 则回路上任何两个结点之间都存在两条不同的通路， 这也与已知矛盾。
m＝m1+m2+1＝n1-1+n2-1+1＝n1+n2-1＝n-1。
证：(3)(4)
如果G中无回路且m＝n-1，则G是连通的且m＝n -1。
只需证明G是连通的。（采用反证法）
假设G是不连通的，由s(s≥2)个连通分支G1,G2,…,Gs组
成，并且Gi 中均无回路，因而Gi 全为树。
由(1)(2)(3)可知，mi＝ni-1。于是，
第九章 树及其应用
第九章 树及其应用
树是图论中重要的概念之一，它在计算机科学中 应用非常广泛，这里将介绍树的一些基本性质和应用。
9.1 无向树及其性质 9.2 生成树
9.3 根树及其应用
小结
9.1 无向树及其性质
一、无向树的概念
定义9.1.1 一个连通且无回路的无向图称为树(tree) ，用
T表示。
定理9.2.3 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，
则G中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同 的树枝对应的割集也不同。
证：由定理9.1.1可知，e是T 的割边，
因而Te有两个连通分支T1和T2，
令 Se ＝ {e|eE(G) 且 e 的 两 个 端 点 分 别 属 于 V(T1) 和
（1）连通无回路的图G是树。 （2）G 中任意两个结点之间存在唯一的通路。 （3）G 中无回路且m＝n1。 （4）G 是连通的且m＝n1。 G中每条边是 割边或桥
（5）G 是连通，但删去任一边后就不连通 （6）G 中无回路，但增加一边后得到且仅得一个回路。
证：(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个结点之间存在唯一的通路。 存在性。 由G 的连通性及定理8.2.1的推论（在n阶图G中，若从 结点vi到vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小 于等于n-1的初级通路）可知， u,v∈V，u与v之间存在通路。 唯一性（反证法）。 若通路不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的通路，
设T是G的生成树，e∈E(G)，若eE(T)，则称e为T 的弦。 称导出子图G[E(G)-E(T)]为生成树T的余树，记作 T


e1、e7、e5、e8、e3是T的树枝， e2、e4、e6是T 的弦，{e2、e4、e6}是T的余树。
注意：1) T 不一定连通，也不一定是树。
2) 生成树不唯一
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的回路，
显然该回路是唯一的。
证：(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的结点之间加一 条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的回路， 则G是树。 只需证明G是连通的。 u,v∈V，且u≠v，则新边(u,v)∪G产生唯一的回路C， 显然有C -(u,v)为G 中u到v的通路，故u～v，