高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式 文 新人教版
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高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 文
＋ca， 的大小1(dàxiǎo)关系是__________________． 3
第十三页，共43页。
解析：由于(yóuyú)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋
2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋
c2)，
1
所以a2＋b2＋c2≥ 3 ；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab， ∴①正确；
②|a|＋|a1|≥2 |a|·|a1|＝2，∴②错误；③当 sin x ＝sin4 x时，sin x＝±2，显然等号取不到，事实上，设 t ＝sin x，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5，∴③错误．故选 B.
第二十三页，共43页。
点评(diǎn pínɡ)：在使用基本不等式求最值时，一定要注意 其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果 根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、 导数等)．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变 换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等 式的目的．使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一 正、二定、三相等”．
1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.当且仅当
a＝b＝c＝13时取等号．
第三十页，共43页。
考点(kǎo 基本不等式的实际(shíjì)应用 diǎn)五【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖(ɡònɡ nuǎn)时减少能源损耗，
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔
第二十页，共43页。
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出 m，n 的关系 m＋n＝3，将所找的关系与m4 ＋n1结合，再用 基本不等式求最值，关键的一步是m4 ＋n1＝13m4 ＋n1(m＋n)．
第十三页，共43页。
解析：由于(yóuyú)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋
2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋
c2)，
1
所以a2＋b2＋c2≥ 3 ；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab， ∴①正确；
②|a|＋|a1|≥2 |a|·|a1|＝2，∴②错误；③当 sin x ＝sin4 x时，sin x＝±2，显然等号取不到，事实上，设 t ＝sin x，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5，∴③错误．故选 B.
第二十三页，共43页。
点评(diǎn pínɡ)：在使用基本不等式求最值时，一定要注意 其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果 根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、 导数等)．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变 换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等 式的目的．使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一 正、二定、三相等”．
1a－11b－11c－1≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.当且仅当
a＝b＝c＝13时取等号．
第三十页，共43页。
考点(kǎo 基本不等式的实际(shíjì)应用 diǎn)五【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖(ɡònɡ nuǎn)时减少能源损耗，
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔
第二十页，共43页。
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出 m，n 的关系 m＋n＝3，将所找的关系与m4 ＋n1结合，再用 基本不等式求最值，关键的一步是m4 ＋n1＝13m4 ＋n1(m＋n)．
高考数学一轮复习 第6篇 第4节 基本不等式课件 文 新人教版
思维导引:(1)直接利用基本不等式求最值注意保证 “一正, 二定,三相等”;(2)配凑成基本不等式的形式求解.
解析:(1)≧x<0,≨-x>0,≨f(x)=1-x16 x
16 >0. x
16 =1+(-x)+（ ） x
≥1+2 =9.
x
16 x
当且仅当-x=-
16 ,即 x=-4 时取等号, x
≨f(x)的最小值为 9.
(2)≧0<x<2, ≨2-x>0, ≨y= x 4 2 x = 2 · x 2 x ≤ 2 · 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ≨当 x=1 时,函数 y= x 4 2 x 的最大值为 2 . 答案:(1)9 (2) 2
第 4 节 基本不等式
基础梳理
考点突破
基础梳理
知识整合
ab 1.基本不等式: ab ≤ 2
抓主干
固双基
(1)基本不等式成立的条件 a>0,b>0. (2)等号成立的条件当且仅当 a=b 时取等号.
ab (3)其中 称为正数 a、b 的算术平均数, ab 称 2
为正数 a、b 的几何平均数.
2
质疑探究:上述五个不等式等号成立的条件分别是什么? 提示:都是当且仅当 a=b.
双基自测
1.设 a>b>0,下列不等式不正确的是( (A)ab< (C)
a b 2
2 2
C
)
ab (B)ab< 2
2
2ab 2ab > ab (D) ab > ab ab
解析:由 a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab 及 a>b>0 知, 选项 A、B 正确.
高考数学一轮复习 6.4 基本不等式精品课件 理 新人教A版
2 即a＝b时等号成立，又因为 ＋ab≥2 ab
2 1 1 2 ＝ab时等号成立，所以 2 ＋ 2 ＋ab≥ ＋ab≥2 2 ，当且仅当 ab a b ab
12＝ 12 a b 2 ＝ab ab
，即a＝b＝ 2时取等号．
4
即时训练
已知x>0，y>0，z>0.
y z x z x y 求证：( ＋ )( ＋ )( ＋ )≥8. x x y y z z
a＋b 1．“a>0且b>0”是“ ≥ ab”的( 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
)
a＋b a＋b 解析：∵a>0，b>0，显然有 ≥ ab ，而 ≥ ab 时， 2 2 a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时．
答案：A
2．下列不等式证明正确的是(
＋
)
A．若a，b∈R ，则lga＋lgb≥2 lgalgb b a B．若a，b∈R，则 ＋ ≥2 a b
＋
ab ·＝2 ba
－b － a b a C．若a∈R ，ab<0，则 ＋ ＝－( ＋ ) a b a b ≤－2 D. ab> －a －b · ＝－2 b a 2ab a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
证明：x>0，y>0，z>0， y z 2 yz ∴ ＋ ≥ >0， x x x x z 2 xz ＋ ≥ >0， y y y x y 2 xy ＋ ≥ >0. z z z
y z x z x y ( ＋ )( ＋ )( ＋ ) x x y y z z 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【考向探寻】 1．利用基本不等式判断所给的不等式是否成立； 2．利用基本不等式证明所给的不等式．
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
高考数学总复习 第6章 第4讲 基本不等式课件 理 新人教A版
第二十页，共53页。
[变式探究(tànjiū)] 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 解：(1)∵2x＋8y＝xy≥2 16xy， ∴xy－8 xy≥0，∴解得 xy≥64. 当 x＝16，y＝4 时，xy 最小值为 64. (2)∵2x＋8y＝xy，∴8x＋2y＝1， 则 x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx≥18， 当 x＝12，y＝6 时，x＋y 的最小值为 18.
由 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 得 a≤6，此时，k＝ 20a＋ －20a2a22－4a2a2＋64>0(不考虑另一根)．当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
第三十一页，共53页。
解实际应用题要注意以下几点： (1) 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析(jiě xī)式后，只需利用 基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义 的自变量的取值范围)内求解．
故 x＝12＋0kk2＝k＋201k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 km.
第三十页，共53页。
(2)因为 a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在 k>0， 使 ka－210(1＋k2)a2＝3.2 成立，即关于 k 的方程 a2k2－20ak ＋a2＋64＝0 有正根．
奇思妙想：本例(1)改为“若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，求y ＝4a＋b的最小值”，则结果(jiē guǒ)如何？
解：由 a＋b＝2ab 得1a＋1b＝2， ∴4a＋b＝12(1a＋1b)(4a＋b) ＝12(5＋4ba＋ba)≥92，∴4a＋b 的最小值为92.
[变式探究(tànjiū)] 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 解：(1)∵2x＋8y＝xy≥2 16xy， ∴xy－8 xy≥0，∴解得 xy≥64. 当 x＝16，y＝4 时，xy 最小值为 64. (2)∵2x＋8y＝xy，∴8x＋2y＝1， 则 x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx≥18， 当 x＝12，y＝6 时，x＋y 的最小值为 18.
由 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 得 a≤6，此时，k＝ 20a＋ －20a2a22－4a2a2＋64>0(不考虑另一根)．当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
第三十一页，共53页。
解实际应用题要注意以下几点： (1) 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析(jiě xī)式后，只需利用 基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义 的自变量的取值范围)内求解．
故 x＝12＋0kk2＝k＋201k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 km.
第三十页，共53页。
(2)因为 a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在 k>0， 使 ka－210(1＋k2)a2＝3.2 成立，即关于 k 的方程 a2k2－20ak ＋a2＋64＝0 有正根．
奇思妙想：本例(1)改为“若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，求y ＝4a＋b的最小值”，则结果(jiē guǒ)如何？
解：由 a＋b＝2ab 得1a＋1b＝2， ∴4a＋b＝12(1a＋1b)(4a＋b) ＝12(5＋4ba＋ba)≥92，∴4a＋b 的最小值为92.
高考数学一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课件 新人教A版
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11
【解析】 应用基本不等式：x，y∈R＋，x＋2 y≥ xy(当且仅 当 x＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等 号的条件．
当 x>0 时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以 lgx2＋14≥lg x(x>0)，故选 项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x≠kπ，k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不
D 不正确，∵x＜0，∴－x＞0
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16
∴y＝2－3x－4x＝2＋－3x＋－4x≥2＋4 3.
当且仅当－3x＝－4x，即 x＝－233时等号成立．
(2)由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y
＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5，
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3
由公式 a2＋b2≥2ab 和 ab≤a＋2 b可以引申出的常用结论
(1)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
(2)ba＋ab≤－2(a，b 异号)；
(3)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)(或 ab≤a＋2 b
2≤a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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)
14
(2)(2014·贵阳模拟)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．6
【思路点拨】 (1)借助均值不等式的使用条件“一正、二定、
三相等”逐一判断．(2)将条件变形53x＋51y＝1，然后注意“1”的代
高考数学第六章第四节基本不等式课件新人教A版.pptx
一、基本不等式 ab≤a＋2 b 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
二、几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab (a，b∈R)；ba＋ab≥ 2 (a，b同号)．
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥 上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以 达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
第
六
第
章
四
不
节
等
式、 基
推
本
理
不
与
等
证
式
明
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
怎么考 1.利用基本不等式求最值是命题热点． 2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算
能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的 应用． 3.各种题型都有，难度中、低档.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·济南模拟)若x>0，则x＋4x的最小值为
A．2
B．3
()
C．2 2
D．4
解析：据基本不等式可得x＋4x≥2 时取得最小值为4.
x×4x＝4，当且仅当x＝4x，即x＝2
答案： D
解析：∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋12＝x2－2xx－＋12x＋2＝x2－2x＋1x＋－21x－1＋3 ＝x－12＋x－2x1－1＋3＝x－1＋x－3 1＋2 ≥2 x－1x－3 1＋2＝2 3＋2. 当且仅当x－1＝x－3 1，即x＝1＋ 3时，取等号．
2022版高考数学人教A版一轮复习课件：第六章第四节基本不等式
号)，
所以1≥2
2x＋y
，所以
1 4
≥2x＋y，所以2－2≥2x＋y，所以x＋y≤－2，所以x＋y
的最大值为－2.
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大 面积是________m2.
【解析】设矩形的一边为x m， 则另一边为21 ×(20－2x)＝(10－x)m， 所以y＝x(10－x)≤x＋（120－x） 2 ＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 答案：25
)
A．10 B．9 C．8 D．3 2
【解析】(1)选B.a＋4b＝(a－1)＋4(b－1)＋5＝[(a－1)＋4(b－1)] a－1 1＋b－1 1 ＋5＝10＋ba－－11 ＋4（ab－－11） ≥10＋2 4 ＝14，当且仅当ba－－11 ＝4（ab－－11） 时等号成立，取得最小值14.
(2)选B.对函数求导可得，f′(x)＝2ax＋b.根据导数的几何意义，f′(1)＝
2a＋b＝2，即a＋
b 2
＝1.
8a＋b ab
＝ 8b
＋
1 a
＝ b8＋1a
a＋b2
＝
8a b
＋ 2ba
＋5≥
2
8ba×2ba
2a＋b＝2，
＋5＝4＋5＝9，当且仅当 8ba＝2ba，
即
a＝13， b＝43
1．已知x>－1，函数y＝x＋x＋1 1 的最小值是(
)
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】选D.由x>－1，得x＋1>0，所以y＝x＋
1 x＋1
＝(x＋1)＋
1 x＋1
－
1≥2 （x＋1）·x＋1 1 －1＝1，当且仅当x＝0时取“＝”．
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D．6
.
【思路点拨】 将条件变形为53x＋51y＝1，然后用“1”的 替换求最值．
.
【解析】 由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝ 1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y ＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5， 当且仅当 x＝2y＝1 时，等号成立． ∴3x＋4y 的最小值为 5.
第四节 基本不等式
.
考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等 式解决简单的最大(小)值问题．
.
[基础真题体验]
考查角度[利用基本不等式求最值]
1．(2014·重庆高考)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b
的最小值是( )
A．6＋2 3
B．7＋2 3
C．6＋4 3
【答案】 C
.
解含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量替换”、 “1”的替换，构造不等式求解
.
考向二简单的不等式证明 [典例剖析]
【例 2】 (2013·课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
.
【思路点拨】 (1)将 a＋b＋c＝1 两边平方，化简整理， 借助不等式的性质，即得结论．
.
角度二：知积求和的最值 【例 1－2】 已知正实数 x、y 满足 xy＝1，则xy＋yyx＋x 的最小值为________．
.
【思路点拨】 先化简，然后利用基本不等式可得最小 值．
.
【解析】 由题意，xy＋yyx＋x＝1＋yx2＋xy2＋1≥2
y2 x2 x ·y
＋2＝2 xy＋2＝4.当且仅当 x＝y＝1 时等号成立．
.
[命题规律预测]
从近几年高考试题看，利用基本不等式求最值
命题 是高考的命题热点，题目形式多样，难度中档，
规律 题目灵活性强，以考查运算能力与化归思想为
目的．
预测 2016 年高考仍将以利用基本不等式求最
考向 预测
值为命题热点，对于把等式转化为不等式或采 用“拆”、“拼”、“凑”的技巧将代数式变 形为可利用基本不等式的问题，将会是高考重
.
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
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利用基本不等式证明不等式的方法： 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种 情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用条件 的可以先进行变形转化，常见的变形技巧有：拆项，并项， 也可以乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
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【思路点拨】 由题意可推得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，利 用基本不等式可得|PA|·|PB|的最大值．
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【解析】 ∵直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 分别过 定点 A，B，
∴A(0,0)，B(1,3)． 当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|·|PB|为零； 当点 P 与点 A，B 均不重合时，∵P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10， ∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋2 |PB|2＝120＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时， 上式等号成立．
3ba·4ab＝7
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【答案】 D
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2．(2013·福建高考)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是
()
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
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【解析】 ∵2x＋2y≥2 2x＋y，2x＋2y＝1， ∴2 2x＋y≤1， ∴2x＋y≤14＝2－2， ∴x＋y≤－2， 即(x＋y)∈(－∞，－2]． 【答案】 D
点.
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考向一利用基本不等式求最值 【命题视角】 利用基本不等式求最值是高考的热点类 型，题型既有选择题、填空题，也有解题答，难度中档，常 见的三个命题角度：
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角度一：知和求积的最值 【例 1－1】 (2014·四川高考)设 m∈R，过定点 A 的动 直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
(2)证ab2＋bc2＋ca2≥1，也即证ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 可分别证ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，然后相加 即得．
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【解】 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1. 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤31.
【答案】 4
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已知 x，y∈R＋，若 xy＝S(定值)，当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值，且最小值是 2 S(简记：积为定值，和有最小 值)．
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角度三：构造不等式求最值
【例 1－3】 若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．7＋4 3
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【解析】
由
题意得
ab>0，
ab≥0，所以a>0， >0.又 log4(3a＋4b)＝log2 ab，
所以 log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以 3a＋4b＝ab，故4a＋3b＝1.
a＋4b>0，
所以 a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋3ba＋4ab≥7＋2 ＋4 3，当且仅当3ba＝4ab时取等号．故选 D.
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【答案】 5
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1．利用基本不等式求最值应满足以下三个条件： (1)一正：各项或各因式均为正； (2)二定：和或积为定值； (3)三相等：各项或各等式能取到使等号成立的值． 简记：一正、二定、三相等． 如果解题过程中不满足上述条件，可以进行必要、合理 的拆分或配凑，以满足以上三个条件．
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2．已知 x，y∈R＋，若 x＋y＝P(定值)，当且仅当 x＝y 时，积 xy 有最大值，且最大值是41P2(简记：和为定值，积有 最大值)．