计算方法第一章

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计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

1
9000 m=1
9000.00
解（1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式实际运算的递推式两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *

计算方法_课后习题答案

(4.5)(0.01172)

0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848

1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8

计算方法

计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。

计算方法第1章预备知识与误差分析

1．误差的来源及误差类型一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程：实际问题数学模型数值算法程序设计计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化，由此产生的误差称为模型误差；很多数学模型都含有若干个参数，而有些参数往往又是观测得到的近似值，如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。例如自由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效，因此对于稍微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你永远等不到最后的计算结果！我们再看一个实例，从中可以发现，有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章预备知识与误差分析

计算方法(1)-数值计算中的误差

* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2

1 1

24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2

b

b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25

当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2

1 1

3
计算结果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6

2 6

0.0040960

5
6

0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1

5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性

计算方法01

误差产生的原因.（例1.2.1）
例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期.
l 在物理学中我们知道单摆周期T 2 g 其中: l为摆长；g为自由落体加速度；是质点 m 的质量。如图所示：由牛顿定律 d f m g sin m a m l 2 dt
2
d 2 所以 m l 2 m g sin dt 2 d g 即 sin 0 2 dt l g 当很小时, sin , 令 l d 2 则有 2 0 dt 2
现取h=0.05,其结果见下表:
数值解理论解
xn
yn
y
xn
yn
y
0
0.2
1.00000 1.00000 1.2
1.18322 1.18322 1.4
1.84931 1.84931
1.94396 1.94396
0.4
0.6 0.8 1.0
1.34164 1.34164 1.6
1.48324 1.48324 1.8 1.61245 1.61245 2.0 1.73205 1.73205 …

防止大数吃小数 1000+0.1+0.2+0.3+0.4=？避免两个相近的数相减 1-cosx与2sin^2(x/2)

1.3 函数的性态
见例9
设函数y f ( x),当x用近似数x*代替计算函数值则 ( x* )时，则误差为 f e( f ) f ( x ) f ( x) df ( x )
*
四则运算的误差累计
* * 设x1 , x2的近似数x1 , x2，则 * * * * * * e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 ) * * * * * * er ( x1 x2 ) d ln(x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 )

南航《计算方法》第1章-绪论

绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论研究
科学计算
科学实验
科学工程计算
建模计算
应用问题
数学计算模型方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿计划，到1945年制造出三颗原子弹：代号为：“三一”，用于试验（7月16日），“瘦子”投于广岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值计算。
1983年一个由美国著名数学家拉克斯(P. Lax)为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出的报告之中，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解作为求偏微分方程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en

故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n

N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解

计算方法第一章绪论

知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又（0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于中的数字9不是有效数字,故不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26

西安交通大学《计算方法》课件-第一章

浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章绪论
定义数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数表示,因此必须用一个比较接近的数来代替因此产生误差称此误差称为舍入误差
第1章绪论
第1章绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成数据的意义、应注意的事项等介绍数值计算中的一些最基本的概念设计常见应用问题的数值处理方法对数值方法的数值特性进行研究分析方法的可靠性分析方法的效率
第1章绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)

计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2

教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。

但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。

西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。

计算方法引论-第一章

• 基−进制
– β称为基 – 这样表示的数称为β进制数
• 上溢、下溢
计算方法引论( 第三版)
1.3
徐萃薇、孙绳武高教2007
误差
• 误差
– 准确数x、近似数x*
– 误差e*=x*-x 、误差限ε*≥|x*-x|
– x=x2 65…
近似数
x* 3 3.14 3.141 6
max(0.005 /1.21 0.005 / 3.65, 0.005 / 9.81)
max(0.005 5, 0.000 5) 0.005 5
– 设y = xn, y的相对误差与x的相对误差之间的关
系: dr y | d( ln y) || nd( ln x) | ndr x
计算方法引论( 第三版)
2.4×10-6≈2×10-6
计算方法引论( 第三版)
1.6
徐萃薇、孙绳武高教2007
相对误差(续)
• 相对误差与有效数字关系
– 设数x*可表成(1.1)，
–
若x*有n位有效数字则有相对误差限
1
21
101n
x * x
1 2
10 pn
，x *
1 10p1
,相除．
–
若x*相对误差限
* r
1 2(1 1)
dlnf(x)= f′(x)/ f(x)dx= xf′(x)/f(x)dlnx
drf(x)= | x f′(x)/f(x) | drx
计算方法引论( 第三版)
1.10
徐萃薇、孙绳武高教2007
误差的传播:例
•例
– 设a 1.213.65 9.81,其中每个数据的绝对误差限为0.005,求a的绝对误差限和相对误差限

计算方法-第一章

三、有效数字及其位数
若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限, 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止, 共有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字. 例如, =3.141592· · · , x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|= 0.00159· · · 0.011/2, 即“4”所在的百分位的半个单位 0.011/2 是x*的绝对误差限, 故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位, 所以x* = 3.14具有3位有效数字. 有效数字位数越多, 近似值的绝对误差和相对误差就相对越小, 反之亦然.
§1 误差的来源
实际问题建立数学模型确定计算方法编程上机
由抽象简化产生的模型误差及参数的观测误差
由计算方法本身产生的截断误差或称方法误差
计算过程中产生的舍入误差
例如用级数
1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 的前三项计算 sinx 的近似值, 即取 1 3 1 5 sin x S5 ( x ) x x x 3! 5! 则截断误差为： 1 7 1 9 R( x ) sin x S5 ( x ) x x 7! 9! 由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差.
加, 减法相关的误差公式:
设 f (x1, x2)= x1±x2 .
e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( x2 ) 1 er ( x1 x2 ) [ x e ( x ) x e ( x )] 1 r 1 2 r 2 x1 x2
即
e( x*) x x * 通常将 er* ( x*) x* x* 作为近似值 x*的相对误差. 满足不等式 e( x*) x x * | er ( x*) || || | r x* x* 的正数r*称为近似值 x*的相对误差限. 例如: x1=100±2的近似值 x1*=100的相对误差为 e ( x ) 2 1 | er ( x1 ) || | 2% x1 100 而 x2=10±1的近似值 x2*=10的相对误差为 e ( x ) 1 2 | er ( x2 ) || | 10% x2 10 因此, 从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好.

计算方法第一章误差

五、误差的传播与估计
1.误差估计的一般公式：（略） 2.误差在算术运算中的传播：大小相近的同号
数相减、乘数的绝对值很大以及除数接近于0 等，在数值计算中应设法避免。 3.前例的误差分析：从相对误差来看，前两种算法比后两种大许多。
六、算法的数值稳定性
▪ 定义：凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。
y=1000的相对误差限分别为
r
(
x)
Байду номын сангаас
1 10
0.1，
r
(
y)
5 1000
0.005
r (x) r (y)
故y的精度比x高得多。
四、有效数字
★定义：若近似值x 的绝对误差限是某一位上的半个单位，且该位直到 x的第一位非零数字一共有n位，则称近似值 x有n位有效数字，或说精确x到该位。
※用四舍五入法得到的近似数都是准确到末位的有效数字。
第一章误差
一、误差的种类及其来源二、绝对误差和绝对误差限三、相对误差和相对误差限四、有效数字五、误差的传播与估计六、算法的数值稳定性
一、误差的种类及其来源
1.描述误差：也称环境误差或模型误差将复杂的物理现象抽象、归结为数学
模型，往往只得忽略一些次要的因素，从而造成误差。 2.观测误差：也称初值误差
实际使用的初始数据往往都是通过人们实际观察测量得来的，这些测得的数据都只能是近似的，称为参数误差。
3.截断误差：
计算时只能完成有限次运算，需要对一些无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求和等）进行截断，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。
4.舍入误差：四舍五入所造成的误差。 ※前两种为非过失误差，无法避免；后两种为

计算方法-第1章

13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地，求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1）数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法

计算方法第一章作业

1.题目(1)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=1，计算ln2的近似值；(2)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=-1/2，计算ln2的近似值；(3)将ln (1+x)/(1-x)进行Taylor展开，经过简单运算，求出ln2的近似值；(4)比较上述三种方法的计算精度，并给出简单的解释；(5)编写一段循环程序，对于(2) (3) 两种方法，使用累加和的方法求出ln2的近似值，循环结束的条件是累加和不再变化(使用双精度进行计算)，统计累加次数并比较精度。

2.编程计算(1)计算结果：Out[6]: ln(1+x)的Taylor展开式；Out[7]: x=1时，ln2的近似计算结果；Out[8]:计算误差。

(2)计算结果：Out[14]: ln(1+x)的Taylor展开式；Out[15]: x=-1/2时，ln2的近似计算结果；Out[16]:计算误差。

(3)计算结果：Out[22]: ln (1+x)/(1-x)的Taylor展开式；Out[23]: x=1/3时，ln2的近似计算结果；Out[24]:计算误差。

(4)比较分析从上述三种计算结果，可以看出方法（3）计算误差最小，即计算精度：方法（1）<方法（2）<方法（3）。

原因：利用泰勒公式进行数值的近似计算，根据泰勒公式：其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：可见近似计算的误差即为。

对于方法（1），方法（2），方法（3），可见三种方法下的大小关系是：方法（1）>方法（2）>方法（3），所以说方法（3）的计算误差最小。

此外，方法（3）计算结果out[22]可看出，在相同阶数的导数下，收敛速度更快，在有限的展开项中，原函数的导数收敛越快，结果越精确。

(5)方法（2）累加求和(6)方法（3）累加求和比较分析：方法（2）需要累加47次，方法（3）需要累加17次，相比来说方法（3）收敛速度更快。

计算方法第1章误差

1 r ( x) 10 ( n 1) 2(a1 1)
则x*至少有n位有效数字。
第1章误差
从上面几个结论可知：有效数字位数可刻画近似
数的精确度；绝对误差与小数点后的有效数字位数有关；相对误差与有效数字的位数有关。
《计算方法》
第1章误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章误差
高等学校工科电子类教材
《计算方法》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章误差
28学时：讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《计算方法》
考试：70% 实验：20% 平时课堂作业：10%
第1章误差
目录
《计算方法》
第一章误差
（2）
《计算方法》
第1章误差
选择数值方法-1
《计算方法》
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
第1章误差
l0），则:
《计算方法》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1，α、β为参数，可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知，lt-Lt为模型误差，10-6是观测α、β而产生的误差，因此为量测误差。
第1章误差
截断误差在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样《计产生的误差称为截断误差。算方法》舍入误差在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。

计算方法_第一章_绪论

第一章绪论1.1 "数值分析"研究对象与特点"数值分析"是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适用于计算机的数值方法.因此，"数值分析"内容十分广泛.但本书作为"数值分析"基础，只介绍科学与工程计算中最常用的基本数值方法，包括线性方程组与非线性方程求根、插值与最小二乘拟合、数值积分与常微分方程数值解法等.这些都是计算数学中最基础的内容.近几十年来由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化，新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.计算数学作为数学科学的一个分支，当然具有数学科学的抽象性与严密科学性的特点，但它又具有广泛的应用性和边缘性特点.现代科学发展依赖于理论研究、科学实验与科学计算三种主要手段，它们相辅相成，互相独立，可以互相补充又都不可缺少，作为三种科学研究手段之一的科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的新学科，发展迅速，它的物质基础是计算机(包括其软硬件系统)，其理论基础主要是计算数学.计算数学与计算工具发展密切相关，在计算机出现以前，数值计算方法只能计算规模小的问题，并且也没形成单独的学科，只有在计算机出现以后，数值计算才得以迅速发展并成为数学科学中一个独立学科--计算数学.当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步，计算机与计算方法的发展是相辅相成、互相促进的.计算方法的发展启发了新的计算机体系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求.例如为在计算机上求解大规模的计算问题、提高计算效率，诞生并发展了并行计算机.自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程，与此同时，涌现了许多新概念、新课题和能充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法，这就构成了现代意义下的计算数学.这也是数值分析的研究对象与特点.概括地说，数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法.具体说就是：第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法，即算法只能由计算机可执行的加减乘除四则运算和各种逻辑运算组成.第二，要有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散化及离散型方程数值求解.有关基本概念包括误差、稳定性、收敛性、计算量、存储量等，这些概念是刻画计算方法的可靠性、准确性、效率以及使用的方便性.第三，要有良好的复杂性及数值试验，计算复杂性是算法好坏的标志，它包括时间复杂性(指计算时间多少)和空间复杂性(指占用存储单元多少).对很多数值问题使用不同算法，其计算复杂性将会大不一样，例如对20阶的线性方程组若用代数中的Cramer法则作为算法求解，其乘除法运算次数需要，若用每秒运算1亿次的计算机计算也要30万年，这是无法实现的，而用"数值分析"中介绍的Gauss消去法求解，其乘除法运算次数只需3 060次，这说明选择算法的重要性.当然有很多数值方法不可能事先知道其计算量，故对所有数值方法除理论分析外，还必须通过数值试验检验其计算复杂性.本课程虽然只着重介绍数值方法及其理论，一般不涉及具体的算法设计及编程技巧，但作为基本要求仍希望读者能适当做一些计算机上的数值试验，它对加深算法的理解是很有好处的.讲解：（1）计算数学是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现，"数值分析"是计算数学的主要部分。