计算方法第一章
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Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
计算方法
邓建中、葛仁杰、程正兴编著
（西安交通大学出版社）
现代数值分析
（高等教育出版社）
李庆扬、易大义、王能超 编著
2015-6-11
软件学院 张奕韬
2
总评成绩构成
总评成绩由学习过程中的各项考核指标综合评定。 上课考勤：10% 记 平时作业及平时表现：10% 住 上机实验：30% 大作业：50% 关于考勤： 旷课一次-5， 迟到、早退每次-2，请假次数 多者酌情扣分，扣完为止。
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 我们有责任改变。
公式二：
I n 1 n I n 1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
1 1 I 注意此公式与公式一 N e( N 1) N 1
计算 0 e -x
2015-6-11
1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
软件学院 张奕韬 13
2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
14
2015-6-11
软件学院 张奕韬
1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 ... 10m 2(a1 1)
10 n 1 (a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2(a1 1)
求近似解—— 方法误差(截断误差） 舍入误差
12
机器字长有限——
2015-6-11
软件学院 张奕韬
例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 1 1 x4 x6 x8 x 2
x2
0
e
2
dx
... ) dx 2! 3! 4! 2 1 1 1 1 1 x1 1 1 1 1 ... 13 / 2! 5 3! 7 4! 9 0
2015-6-11 软件学院 张奕韬 5
数值计算方法必须用实际数据进行运算，得出的 结果只能是数，而不是某种表达式。 由于离散化造成的误差和计算机的有限位运算造 成的舍入误差，使得数值计算方法得到的数值解 只能是近似解。
数值计算方法讨论的问题是如何把实际数学模型 转化为可解数学模型。 线性方程组是数值计算方法的重要内容。
0
(1 x
e
e
dx
R4
取 0 e
1
x
2
dx S4 ,
S4
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 则 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42 | 舍入误差 | 0.0005 2 0.001 R4
软件学院 张奕韬 6
2015-6-11
计算对象
有精确计算公式而无法用手工计算的数学问题。
例 解300阶的线性方程组
理论上有解而无计算公式
例
例
2015-6-11
软件学院 张奕韬
7
应用范围
航天航空 地质勘探 汽车制造 桥梁设计 天气预报 汉字字样设计
2015-6-11
10
怎样学习“计算方法”课程
认清方法的计算对象，了解方法计算原理
和计算步骤；
用简单的模拟数据调用方法； 选择某种高级语言，编制3-5道程序并在计 算机上运行。
2015-6-11
软件学院 张奕韬
11
二、 误差
§1 误差的背景介绍
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
以此类推，对 n < N 有：
| En | 1 | EN | N ( N 1) ... ( n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
软件学院 张奕韬 18
2015-6-11
§2 误差与有效数字
绝对误差
e* x* x 其中x为精确值，x*为x的近似值。
1 1 n 0 1 1 n 1 x e dx I n x e dx 0 e e 0 I1* 1 1 I 0* 0.36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0.08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94 .959424 ? !
可取 I
* N
1 1 1 IN 2 e( N 1) N 1
在理论上等价。
* 当 N 时, E N I N I N 0
2015-6-11 软件学院 张奕韬 16
1 1 1 * 取 I 15 0 .042746233 2 e 16 16 1 * * I 14 (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * * I 13 (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * * I 12 (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * * I 11 (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * * I 10 (1 I 11 ) 0 .083877115 11 ... ... ... ...
I15 1 15 I14 1423 .3914 ! !
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
2015-6-11
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15
考察第n步的误差 En
* * n |En1| ... n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
软件学院 张奕韬
8
课程特点
具有数学类课程中的抽象性和严谨性的理 论特性。 具有实验类课程的实用性和实验性的技术 特性。 前提课程是微积分、线性代数和一门计算 机语言。
2015-6-11
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9
课程内容
误差 非线性方程求根 求解线性方程组 数值积分
2015-6-11
软件学院 张奕韬
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
2015-6-11 软件学院 张奕韬
21
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
1 εr * 10 n1 0.001% 2a1
| e* | 的上限记为 ε* ，称为绝对误差限， 1 * * x2 工程上常记为 x x ε ，例如： e dx 0.743 0.006
0
相对误差
e* e x
* r
* ε * x 的相对误差上限 定义为 εr * |x |
2015-6-11
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19
* m x 0 .a a ... a 10 用科学计数法，记 （其中 a1 0 ）。若 1 2 n | x x* | 0.5 10mn（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 x * 为有n 位有效数字，精确到 10m n 。 897932 ......; * 3.1415 例： 3.1415926535
2015-6-11 软件学院 张奕韬 20
有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 ... a n 10 2 0 .a1 ... 1 10 n 1 2a1
数值分析 Numerical Analysis
主讲教师：张奕韬
E-mail: 93444774@qq.com
2015-6-11
软件学院 张奕韬
1
教材
数值方法
金一庆、陈越、王冬梅 编著（机械工业出版社）
参考书目 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
更多技巧请见教材第8页习题6。
2015-6-11 软件学院 张奕韬 23
xε x ε xε x ;
ε l n x ε l n x l n 1 ; x
2
当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin 2 x ;
1 1 e x 1 x 1 x Leabharlann Baidux 2 ... 2 6
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一：
I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 E I I 0 . 5 10 0 0 则初始误差 0
根 据 公 式 一 可 得 ：
* I1 * I0
2015-6-11
We just got lucky?
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1 软件学院 张奕韬
17
考察反推一步的误差：
1 1 1 * | E N 1 | (1 I N ) (1 I N ) | E N | N N N
2015-6-11
软件学院 张奕韬
3
•
提问：数值分析是什么？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x,
Ax b ,
a
b
f ( x) dx,
d f ( x ), ...... dx
数值 分析
解
计算机
2015-6-11
软件学院 张奕韬
4
第1章 绪论
一、课程简介
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近 似解方法，简称计算方法。 人类的计算能力=计算工具的效率×计算方法的效率 计算方法的发展与计算机同步。在计算机上使用 的解数学问题的方法就是数值计算方法。 计算工具：计算机
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
2015-6-11
软件学院 张奕韬
22
§4 几点注意事项
1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.7 - p.8)
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：
有效数字
* 有几位有效数字？请证明你的结论。 问：
证明： π* 0 .3 1 4 1 5 1 01 ,
a n d |π * π| 0 .5 1 0 3 0 .5 1 01 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第3 位。
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
计算方法
邓建中、葛仁杰、程正兴编著
（西安交通大学出版社）
现代数值分析
（高等教育出版社）
李庆扬、易大义、王能超 编著
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总评成绩构成
总评成绩由学习过程中的各项考核指标综合评定。 上课考勤：10% 记 平时作业及平时表现：10% 住 上机实验：30% 大作业：50% 关于考勤： 旷课一次-5， 迟到、早退每次-2，请假次数 多者酌情扣分，扣完为止。
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 我们有责任改变。
公式二：
I n 1 n I n 1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
1 1 I 注意此公式与公式一 N e( N 1) N 1
计算 0 e -x
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2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
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2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
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以上是一个病态问题
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1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 ... 10m 2(a1 1)
10 n 1 (a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2(a1 1)
求近似解—— 方法误差(截断误差） 舍入误差
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例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 1 1 x4 x6 x8 x 2
x2
0
e
2
dx
... ) dx 2! 3! 4! 2 1 1 1 1 1 x1 1 1 1 1 ... 13 / 2! 5 3! 7 4! 9 0
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数值计算方法必须用实际数据进行运算，得出的 结果只能是数，而不是某种表达式。 由于离散化造成的误差和计算机的有限位运算造 成的舍入误差，使得数值计算方法得到的数值解 只能是近似解。
数值计算方法讨论的问题是如何把实际数学模型 转化为可解数学模型。 线性方程组是数值计算方法的重要内容。
0
(1 x
e
e
dx
R4
取 0 e
1
x
2
dx S4 ,
S4
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 则 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42 | 舍入误差 | 0.0005 2 0.001 R4
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计算对象
有精确计算公式而无法用手工计算的数学问题。
例 解300阶的线性方程组
理论上有解而无计算公式
例
例
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7
应用范围
航天航空 地质勘探 汽车制造 桥梁设计 天气预报 汉字字样设计
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10
怎样学习“计算方法”课程
认清方法的计算对象，了解方法计算原理
和计算步骤；
用简单的模拟数据调用方法； 选择某种高级语言，编制3-5道程序并在计 算机上运行。
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11
二、 误差
§1 误差的背景介绍
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
以此类推，对 n < N 有：
| En | 1 | EN | N ( N 1) ... ( n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
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§2 误差与有效数字
绝对误差
e* x* x 其中x为精确值，x*为x的近似值。
1 1 n 0 1 1 n 1 x e dx I n x e dx 0 e e 0 I1* 1 1 I 0* 0.36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0.08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94 .959424 ? !
可取 I
* N
1 1 1 IN 2 e( N 1) N 1
在理论上等价。
* 当 N 时, E N I N I N 0
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1 1 1 * 取 I 15 0 .042746233 2 e 16 16 1 * * I 14 (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * * I 13 (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * * I 12 (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * * I 11 (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * * I 10 (1 I 11 ) 0 .083877115 11 ... ... ... ...
I15 1 15 I14 1423 .3914 ! !
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
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考察第n步的误差 En
* * n |En1| ... n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
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课程特点
具有数学类课程中的抽象性和严谨性的理 论特性。 具有实验类课程的实用性和实验性的技术 特性。 前提课程是微积分、线性代数和一门计算 机语言。
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课程内容
误差 非线性方程求根 求解线性方程组 数值积分
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可见 x* 至少有 n 位有效数字。
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例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
1 εr * 10 n1 0.001% 2a1
| e* | 的上限记为 ε* ，称为绝对误差限， 1 * * x2 工程上常记为 x x ε ，例如： e dx 0.743 0.006
0
相对误差
e* e x
* r
* ε * x 的相对误差上限 定义为 εr * |x |
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* m x 0 .a a ... a 10 用科学计数法，记 （其中 a1 0 ）。若 1 2 n | x x* | 0.5 10mn（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 x * 为有n 位有效数字，精确到 10m n 。 897932 ......; * 3.1415 例： 3.1415926535
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有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 ... a n 10 2 0 .a1 ... 1 10 n 1 2a1
数值分析 Numerical Analysis
主讲教师：张奕韬
E-mail: 93444774@qq.com
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教材
数值方法
金一庆、陈越、王冬梅 编著（机械工业出版社）
参考书目 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
更多技巧请见教材第8页习题6。
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xε x ε xε x ;
ε l n x ε l n x l n 1 ; x
2
当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin 2 x ;
1 1 e x 1 x 1 x Leabharlann Baidux 2 ... 2 6
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一：
I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 E I I 0 . 5 10 0 0 则初始误差 0
根 据 公 式 一 可 得 ：
* I1 * I0
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1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1 软件学院 张奕韬
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考察反推一步的误差：
1 1 1 * | E N 1 | (1 I N ) (1 I N ) | E N | N N N
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3
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提问：数值分析是什么？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x,
Ax b ,
a
b
f ( x) dx,
d f ( x ), ...... dx
数值 分析
解
计算机
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4
第1章 绪论
一、课程简介
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近 似解方法，简称计算方法。 人类的计算能力=计算工具的效率×计算方法的效率 计算方法的发展与计算机同步。在计算机上使用 的解数学问题的方法就是数值计算方法。 计算工具：计算机
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
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§4 几点注意事项
1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.7 - p.8)
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：
有效数字
* 有几位有效数字？请证明你的结论。 问：
证明： π* 0 .3 1 4 1 5 1 01 ,
a n d |π * π| 0 .5 1 0 3 0 .5 1 01 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第3 位。
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！