柱、锥、球及其简单组合体(1)

9．5 柱、锥、球及简单组合体
创设情境
兴趣导入
观察如图所示的多面体，可以发现它们具如下特征：有一个面是多边形， 其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点．
(3)
9．5 柱、锥、球及简单组合体
动脑思考
探索新知
具备上述特征的多面体叫做棱锥．多边形叫做棱锥的底面（简称底）， 有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶 点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．底面是三角形、四边形、……的棱 锥分别叫做三棱锥、四棱锥、……．通常用表示底面各顶点的字母来表示 棱锥．例如，图（2）中的棱锥记作：棱锥 S ABCD ．
3 42 4 3 cm 2 4
所以正三棱柱的体积为 V S底h 4 3 5 20
3 cm3
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动脑思考
探索新知
利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形．方法是：首先选中所以绘制 棱柱的名称（左图），然后选择合适的位置，点击并拖动，即可得到棱柱的直观 图形（右图），最后再标注字母．
S底 表示正棱柱底面的面积．
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动脑思考
探索新知
正棱柱的体积计算公式为
V正棱柱 S底h
其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积， h 是正棱锥的高.
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巩固知识
例1
典型例题
已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm，高为5 cm，求这个正三
棱柱的侧面积和体积． 解 正三棱锥的侧面积为 S侧＝ch＝3×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ×5 ＝ 60（ cm 2）． 由于边长为4 cm的正三角形面积为
V正棱锥
1 S底h 3
h 是正棱锥的高. 其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积，
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巩固知识
典型例题
例 2 如图，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心， PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm．求它的侧面积、体积
（面积精确到0.1 cm ，体积精确到1 cm ）．
解 在正三棱锥P-ABC中，高PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm． 在直角三角形PBD中，




9．5 柱、锥、球及简单组合体
运用知识
强化练习
1. 设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面积、全面积及体积.
2. 正四棱锥的高是a，底面的边长是2a，求它的全面积与体积.
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动脑思考
探索新知
上图所示的四个多面体都是棱柱． 表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短 横线隔开，如图 (2)所示的棱柱，可以记作棱柱 ABCD A1B1C1D1 或简记作 棱柱 AC1
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动脑思考
探索新知
经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−57所示的棱柱依次为三 棱柱、四棱柱、五棱柱．
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动脑思考
探索新知
正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积 与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积． 观察正棱柱的表面展开图，可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公 式分别为 S正棱柱侧 ch
S正棱柱全 ch 2S底
其中，c 表示正棱柱底面 的周长, h 表示正棱柱的高,
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创设情境
兴趣导入
准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器，将正三棱锥容器中装满沙 子，然后倒入正三棱柱形状的容器中，发现：连续倒三次正好将正三棱柱容 器装满．
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探索新知
实验表明，对于同底等高的棱锥与棱柱，棱锥的体积是棱柱体积 的三分之一．即
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探索新知
侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图（2）；侧棱与底面垂直的棱 柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱， 如图（3）和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱．
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探索新知
正棱柱有下列性质： （1）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高； （2）两个底面中心的连线是正棱柱的高．
CD PD2 PO2 132 122 5 cm ．
2
3
在底面正三角形ABC中， CD＝3 所以底面边长为 AC 3 cm．
OD＝15（cm）．
V正棱锥 S底h (10 3) sin 60 12 520 cm ． 3 3 2
1 1 S ch 3 10 3 13 337.7 cm2 . 所以侧面积与体积分别约为 侧 2 2 1 1 1 2 3
第九章
立体几何
9．5 柱、锥、球及简单组合体
创设情境
兴趣导入
观察上图所示的多面体，可以发现它们具如下特征： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形； （2）每相邻两个四边形的公共边互相平行．
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探索新知
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的 侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离， 叫做棱柱的高．
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动脑思考
积）计算公式分别为
探索新知
观察正棱锥的表面展开图，可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面
S 正棱锥侧
1 ch 2
S 正棱锥全
其中,
1 ch S 底 2
c 表示正棱锥底面的 周长, h 是正棱锥的斜高, S 底
表示正棱锥的底面的面积，h 是正棱锥的高.
(3)
9．5 柱、锥、球及简单组合体
动脑思考
探索新知
底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱锥叫做 正棱锥．图中（1）、（2）分别表示正三棱锥、正四棱锥．
(3)
9．5 柱、锥、球及简单组合体
动脑思考
正棱锥有下列性质： （1）各侧棱的长相等；
探索新知
（2）各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高都叫做正 棱锥的斜高； （3）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱锥的高； （4）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形； （5）正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形．